2019-2020學(xué)年高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.設(shè)集合Q{-1,0,1,2,3},4={-1,2],^={1,2,3},則(u(4U6)=()

A.{0}B.{2}C.{-1,2}D.{-1,1,2,3)

2.tan型匕的值是()

6

A.遮B.MW

C.弧D.-M

33

3.若/交inx=0,則x=()

A.24n(〃￡Z)B.2k+-^-(k€Z)

D-k7l-t^-(k6Z)

C.2kH--y-(keZ)

4.下列函數(shù)在(0,2)上遞增的是(

221

A.y=sin(x-2)B.y=e~C.y=(x-2)D.F

5.比較下列三個數(shù)的大小：a=lo§3^2,6=log23,c—Iog32()

A.aVbVcB.bVaVcC.c<a<bD.a<c<b

6.函數(shù)f(x)=Ioga(x-2)+產(chǎn)3+1(方＞o且方手1)的圖象恒過定點(diǎn)旦夕點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(2,1)B.(3,2)C.(0,1)D.(3,3)

Y4--|

7.對于函數(shù)f(x)二工^的性質(zhì)，下列描述：

x-1

①函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)；

②函數(shù)f(X)是非奇非偶函數(shù)；

③函數(shù)A(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱.

其中正確的有幾項(xiàng)()

A.0B.1C.2D.3

8.設(shè)函數(shù)f(x)=|tanx|,對任意滿足條件--M,入2,…,

Xn,不等式|》(汨)-f(A2)|+|f(X2)-f(A3)!+???+1f(Xn-1)-f(X〉|W"恒成立,

則〃的最小值是()

A.MB.2a0.1D.2

9.已知函數(shù)/(x)=4-4/8,XEL[1,0],g(x)=x+-^-,x￡[1,ri\,若，(x)與g(x)

sin(96)和sin(a

-h）分別等于（）

A返.返B也.返心.迎0近.加

'2'2'2C'F'~'2'

二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分

11.函數(shù)的定義域是_______,函數(shù)了4■的值域是_______.

Vx

_______2_

12-妝1-兀）『-------，（8）3-（y）-2+e°=-------

/x《0

13.已知函數(shù)f(x)X，則(-10)]=_______,若f(a)W1,則實(shí)數(shù)

lgx,x>0

a的取值范圍是.

14.已知tana=2,則-------------=_______,.

sinCL+2cosCLsinJCI+2cosJCI

15.若1"3gx)=loggX,則^=.

16.函數(shù)y=sin(2x+。)(0<0<々)圖象的一個對稱中心在區(qū)間([-,J)內(nèi)，則Q

的取值范圍為

17.已知函數(shù)尸（x）=2x+ax+ax,對任意兩個不等實(shí)數(shù)*,XzG[1,+°°）,都有

Xnf(X,)-X,f(X?)、

———-——-———>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

xl-x2

三、解答題：5小題，共74分

4

18.已知sina=--,JLcosa>0.

l+sinG1-sin。

(1)確定角a的象限并求cosa,tana,的值;

1-sinCL1+sinCL

a)+3cos(兀+a)

(2)求---------------------------的值.

sin(兀-a)+cos勺兀+a)

19.已知集合4={x|(x-2a)?(X-5-3)<0},B=[y,2,3).

(1)若3=1,求4n8；

(2)若a手3,寫出彳對應(yīng)的區(qū)間，并在xn看｛1,2｝時，求a的取值范圍.

20.函數(shù)F(x)=4sin(coA+0)(>4>0,o)>0,$E[0,2n))的圖象如圖所示.

(1)求尸(x)的解析式；

(2)f(x)向右平移工個單位后得到函數(shù)g(x),求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

6

(3)若xCl-e，兀］，且f(|x|)>雪，求x的取值范圍?

21.已知函數(shù)f(x)=log3/^(a〉0,b>0)在其定義域內(nèi)是奇函數(shù).

(1)求a,6的值，并判斷2(x)的單調(diào)性(寫簡要理由，不要求用定義證明)；

(2)解關(guān)于x不等式土若久)+f(生

22.已知f(x)=x-2SA+2.

(1)若丹A(x)］和/(彳)有相同的值域，求，的取值范圍；

(2)若尸(石)<0,且a>0,設(shè)|r(x)|在［1,4］上的最大值為g(a),求g(a)的

取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.設(shè)集合Z/={-1,0,1,2,3},/={-1,2},B={y,2,3},貝此u(4UB)=()

A.{0}B.{2}C.{-1,2}D.{-1,1,2,3)

【分析】先求出4US,由此能求出(u3US).

解：?.?集合Q{-1,0,1,2,3},>4={-1,2],8={1,2,3},

.*"U5={-1,1,2,3),

Cu3US)={o}.

故選：4

2.tan&L的值是()

6

A?李B.半C.V3D.-V3

OO

【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡所給的式子，可得結(jié)果.

M…13九+冗打

解：.tan-----=tan---=--,

663

故選：A.

3.若/弟訪*=0,則x=()

冗

A.2kn(AGZ)B.2kH+—(k€Z)

C.2k兀-g(k€Z)D.kHZ)

【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)的性質(zhì)可得sinx=1,進(jìn)而由正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.

解：根據(jù)題意，若/的inx=0,則sinx=1,必有％=2々口+w-,(4GZ);

故選：B.

4.下列函數(shù)在(0,2)上遞增的是()

A.y=sin(x-2)B.y=e~2C.y=(x-2)2D.y=-

x-2

【分析】函數(shù)與函數(shù)尸『的單調(diào)性一致，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)即可得解.

解：函數(shù)y=e"2相當(dāng)于函數(shù)尸/向右移動兩個單位而得到，其單調(diào)性與函數(shù)尸/一

致，

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=e*單調(diào)遞增，即函數(shù)y=e"2單調(diào)遞增.

故選：B.

5.比較下列三個數(shù)的大?。篴=lob=log23,c=Iog32()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解：Va=log3V2<c=log32<1</>=log23,

二a<c<b.

故選：D.

6.函數(shù)f(x)=log,(x-2)+a—+i(a>0且a#=1)的圖象恒過定點(diǎn)只P點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(2,1)B.(3,2)C.(0,1)D.(3,3)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出f(x)所過的定點(diǎn).

x3

解：函數(shù)尸(x)=loga(x-2)+a+1(a>0且a=#1)中，

令x-2=1,解得x=3,此時v=2(3)=0+1+1=2,

所以/(x)的圖象恒過定點(diǎn)P(3,2).

故選：B.

7.對于函數(shù)￡6)=耳的性質(zhì)，下列描述：

X-1

①函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)；

②函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)；

③函數(shù)2(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱.

其中正確的有幾項(xiàng)()

A.0B.1C.2D.3

【分析】①結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象的平移可判斷，

②先判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故可判斷，

③根本反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移可判斷.

解：(x)=2［支=1+—2:的定義域3x手1},

X-1X-1

在(-8,1),(1,+8)單調(diào)遞減，但是在定義域內(nèi)不是遞減，故①錯誤，

由于A(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，即A(x)為非奇非偶函數(shù)，②正確，

根據(jù)函數(shù)圖象的平移可知，f(X)=1+—2:的圖象可由y=2的圖象向右平移1個單位,

X-1X

向上平移1個單位，故函數(shù)的圖象的對稱中心(1,1),③正確.

故選：C.

8.設(shè)函數(shù)f(x)=|tanx|,對任意滿足條件---4x[<x<乂"<二:的不，電…，

X?,不等式-f(X2)|+|f(A2)-f(jft)|+-+|f(JG-1)-f(x?)|W"恒成立,

則"的最小值是()

A.遮B.2ac.1D.2

【分析】利用絕對值不等式|96|W|a|+|6|的推廣可得|r(x)-f(x?)|再根據(jù)

X的取值范圍

解：因?yàn)閨“M)-f(.Xn)\=\f(Xl)-f(A2)+f(x2)-f(%3)+—+f(X,-1)-f(xn)

|W|r(M)-f(%2)l+lf(X2)-f(%3)!+???+1f(Xn-1)-f(.Xn)[WM,

TTTT

即-f(x?)|,又因?yàn)?x]<x2<…<所以|,(必)-

f(x)|W|尸(--fI=2,

44

故"最小值為2,

故選：D.

9.已知函數(shù)/'(x)=x-4A+8,[1,m\,g(x)=x+^,xG[1,ri\,若/'(x)與g(x)

【分析】利用二次函數(shù)及雙勾函數(shù)的性質(zhì)求得〃，"的范圍，進(jìn)而求得答案.

解：顯然加>1,/7>1,

函數(shù)A(x)=f-4/8的對稱軸為x=2,在［1,2］遞減，在(2,向遞增，故A(x)

=2(2)=4,f(1)=f(3)=5,故2W危3;

函數(shù)g(x)=x「1在［1,2］遞減，在(2,"］遞增，故g(x)?in=g(2)=4,g(1)=g

(4)=5,故2W〃W4;

故點(diǎn)5i,n)的橫坐標(biāo)介于［2,3］之間，縱坐標(biāo)介于［2,4］之間,

故選：C.

10.對任意xGR,不等式sin(冗x+?日-),cos(ax+b)4C恒成立，則sin(>6)和sin(a

-6)分別等于()

A返.返B班.返c至QV2.V2

'2'2'2'F'~'2'

【分析】根據(jù)不等式恒成立得到cosCax+b)=-sin(口妙』-),然后利用三角函數(shù)

4

的誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化建立方程進(jìn)行求解即可.

解：要使sin(冗,cos(ax+b)《C恒成立，

貝必有cos(ax+6)=-sin(nA+---)=cos(---+nA+---)=cos(nx+----),

4244

QTT

貝Ia=n,b=——+2An,

4

貝Isin(>6)=sin(rt+^^2Zrn)=-sin-

442

sin(a-/>)=sin(TT--2=TT)=s

442

故選：B.

二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分

11.函數(shù)vW7的定義域是［o,+8)函數(shù)的值域是(0,+8)

【分析】由函數(shù)定義域及值域的定義直接可以得到答案.

解：函數(shù)yf/x的定義域是［0,+°°);函數(shù)的定義域是(0,+8),故其值域是

Vx

(0,+8);

故答案為：［0,+8),(Q,+OO).

________2_

32=4

12.妝1一冗)『一口7，(8)-(y)-+e°~-

【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

解：兀)4=口T,

22

(8)3,(l)-2+e0=23Xy_3^l=4-9+1=-4.

故答案為：n-1,-4.

/x<0

13.已知函數(shù)f(x)=4，則(-10)]=2,若尸(a)W1,則實(shí)數(shù)a

lgx,x>0

的取值范圍是[-1,10].

【分析】推導(dǎo)出f(-10)=(-10)2=100,從而(-10)]=f(100),由此能

求出結(jié)果；由f(a)W1,當(dāng)aWO時，f(a)=a2^1,當(dāng)a>0時，f(a)=IgaWI,

由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x2.x40

解：?.?函數(shù)f(x)=,

lgx,x>0

Af(-10)=(-10)2=100,

f[f(-10)]=f(100)=/必00=2,

(a)W1,

...當(dāng)aWO時，f(a)=a2^1,解得-1WaW0;

當(dāng)a>0時，f(a)=/gaW1,解得OVaWIO,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,10].

故答案為：2,[-1,10].

則擊號Tsina

14.已知tana=2,1.

sin3a+2cos3a

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡即可求解.

解：Vtana=2,

?sinatana21

sinCl+2cosCItanCL+22+22'

._____sina_______________tana___________________2

=1.

sin3a+2cos3asin2a?tanCL+2cos2a2(sin2a+cos2a

故答案為：y,1.

15.若log3dx)=1口ggX,則l4?

【分析】由log3(3)=1口ggX,化為T"片4〉。，即可得出.

7

解：log3(yx)=log9x,

???裊=4>。，

解得x=4.

故答案為：4.

'IIJI'JI

16.函數(shù)y=sin(2x+。)(0<。<-0J圖象的一^對稱中心在區(qū)間(,--)內(nèi)，則Q

乙T：O

的取值范圍為(冬JT一；7T).

---32---

ITJT

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心求出X的值，再根據(jù)對稱中心在區(qū)間(―,內(nèi)

TZO

求出0的取值范圍.

TT

解：函數(shù)y=sin(2x+。)(0<)中，

令2A+(|)=an,〃￡Z；

解得x=,k￡Z；

又函數(shù)V圖象的一個對稱中心在區(qū)間(?，：)內(nèi)，

3o

IT11JT

所以一<—kn-—<(><—,A-EZ；

4223

9JTJT

解得々11-"^—V0VATI-——,4GZ;

32

令〃=1,得gvQV2，

所以小的取值范圍是(三，三).

O/

故答案為：(:T3T,飛7T.

32

17.已知函數(shù)2(x)=2x+ax+ax,對任意兩個不等實(shí)數(shù)x,x2G[1,+°°),都有

xf(x,)-X,f(x)、

—?——-——J———?>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-4,+8).

xl-x2

f(XI)^.f(Xo)i(\n

【分析】通過變形可得———<———,構(gòu)造函數(shù)g(x)=E"v=2x+ax+a,可知函

X1x2x

數(shù)g(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增，進(jìn)而得解.

,f(X,)..f(x2)

解：不妨設(shè)1Mx、Vx],則xiRxD-*V0,即此/<x)V*雙的)，即-------<--------,

X1x2

構(gòu)造函數(shù)g(x)=豈成-=2x2+ax+a,依題意，函數(shù)g(x)在[1,+℃)上單調(diào)遞增，

X

?\—即心-4.

故答案為：[-4,+oo).

三、解答題：5小題，共74分

4

18.已知sina=-----,且cosa>0.

5

(1)確定角a的象限并求cosa,tana,\1+S饃。.l-sinO的值;

Vl-sinCLVl+sinCL

)+3cos(兀+a)

(2)求?的值.

sin(兀-a)+cos(萬兀+a)

【分析】(1)由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得結(jié)果.

(2)由題意利用誘導(dǎo)公式，求得要求式子的值.

2

解：(1)?.?已知sina=-J,且cosa>0,??.(！為第四象限角，cosa=^_g^nQ

=3_

?sinCI4

..tana=----------=-----,

cosa3

V(l+sinCt)2(l-sinJ產(chǎn)

cos2acos2a

(1+sinaA(l-sina)2sinaQ

=2tana=--

cosacosa3

/兀、/、

)+3cos(兀+a)

coSa-3coSCL=_cota=_-=旦

sin(兀-a)+cos("1?兀+a)sina+sinatanCl4

19.已知集合/={x|(x-2a)?(x-a-3)<0},5={1,2,3).

(1)若a=1,求4n8;

(2)若a#=3,寫出4對應(yīng)的區(qū)間，并在4n5={1,2}時，求，的取值范圍.

【分析】(1)a=1時，可得出集合4然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可;

(2)根據(jù)，手3,可討論小司>3時，得出4={x|>3VxV2目；aV3時，得出4={x|2a

a+3<1

VxV>3},然后根據(jù)力D8={1,2},即可得出e>3時，--/c；￡<3時，得出

2<2a<3

2a<l

,,解出a的范圍即可.

2<a+3<3

解：(1)a=1時，A—{x|2<x<4},

：.AQB=[3];

(2)Va#=3,

'.2a>a^3,即a>3時，A={x|>3VxV2a};2ao3,即a<3時,A={x|2aVxO3},

?*DU,2},

Ja+3<1

...①a>3時,解得l<a4卷，顯然不滿足題意;

[2<2a<3,

-{2a<1

②aV3時，)，解得-1VaW0,

[2<a+3<3

...a的取值范圍為(-1,0].

20.函數(shù)F(x)=As\n(3A+Q)(>4>0,U)>0,中￡[0,2n))的圖象如圖所示.

(1)求r(x)的解析式；

(2)f(x)向右平移三4單位后得到函數(shù)g(x),求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

6

(3)若xEl-卷，兀],且篝，求*的取值范圍?

【分析】(1)函數(shù)y=/sin(3戶。)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)

求出4由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出。的值，可得函數(shù)五(x)的解析式.

(2)由題意利用函數(shù)y=4sin(3戶巾)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，再利

用正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性，得出結(jié)論.

(3)由題意可得sin(2|x|+=)，返，結(jié)合x的范圍、正弦函數(shù)的圖象特征，求出

32

x的具體范圍.

解：(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=>4sin(U)A+0)的圖象可得力=&,

求得3=2.

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得2?三30=n,/.$=:，故函數(shù)f(x)=/2sin(2/二).

ooO

(2)把A(x)向右平移四個單位后得到函數(shù)g(x))=?sin2x的圖象,

6

令2〃n+會2忘2“n+等,求得若

可得3(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［〃口+工，An+旦三］,k《Z.

44

(3)若X€[-9，兀]，貝"|x|e[O,n],2|x|+?e[等，罕.

/OOO

；?J^sin(2|3+二")2義求得sin(2|x|+-^-)》義2,

???f(lxl)璞,

3232

...2cxll+—兀el!["—兀,-2一兀一]1,或4'2cxl+l—兀=-17—兀

33333

/.2|x|G[0,—],或2|x|=2n,

O

求得xW[——,――],或x=n.

66

21.已知函數(shù)f(x)=logQ上工(a〉0,b〉0)在其定義域內(nèi)是奇函數(shù).

Ja+bx

(1)求a,6的值，并判斷尸(x)的單調(diào)性(寫簡要理由，不要求用定義證明)；

(2)解關(guān)于x不等式(亞字二L)〈i.

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可求得a,b,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可得單調(diào)性;

(2)通過換元法，直接求解即可.

解：(1)依題意，log3~^^=-log^^=log3V^，貝寸=a；bx,顯然a=1,

?a+bxa-bxJ1+xa+bx1+x

6=1,

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=6=1時，函數(shù)f(x)=l°g擊!■在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)，滿足題設(shè)；

由f(x)=log?(,-；：+11)=1口g?(七--1)，定義域?yàn)?/p>