第04講一次函數(shù)的實際應(yīng)用能通過函數(shù)圖像獲取信息，發(fā)展形象思維；能利用函數(shù)圖像解決簡單的實際問題初步體會方程與函數(shù)的關(guān)系，建立良好的知識聯(lián)系4.通過函數(shù)圖像解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，同時培養(yǎng)學(xué)生良好的環(huán)保意識和熱愛生活的意識。知歸納：一、分段函數(shù)有的題目中，如下左圖，當(dāng)自變量x發(fā)生變化時，隨著x的取值范圍不同，y和x的函數(shù)關(guān)系也不同，它們之間或者不再是一次函數(shù)，或者雖然還是一次函數(shù)，但函數(shù)的解析式發(fā)生了變化。這種變化反映在函數(shù)圖像上時的主要特征，就是由一條直線變成幾條線段或射線，我們把這類函數(shù)歸類為分段函數(shù)。在有的題目中，如下右圖，含有兩個一次函數(shù)的圖像，我們需要對兩個函數(shù)的相關(guān)變量進(jìn)行對比。二、利用一次函數(shù)的知識解應(yīng)用題的一般步驟（1）設(shè)定實際問題中的變量；（2）建立一次函數(shù)表達(dá)式；（3）確定自變量的取值范圍，保證函數(shù)具有實際意義；（4）解答一次函數(shù)實際問題，如最大（小）值；（5）寫出答案?！绢}型1：根式實際問題列除一次函數(shù)表達(dá)式】【典例1】（2022秋?東營區(qū)校級期末）汽車由北京駛往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/時，則汽車距天津的路程S（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍是（）A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4） C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4）【答案】A【解答】解：汽車行駛路程為：30t，∴車距天津的路程S（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍是：S＝120﹣30t（0≤t≤4）．故選：A．【變式1-1】（2022春?平遙縣期中）百貨大樓進(jìn)了一批花布，出售時要在進(jìn)價（進(jìn)貨價格）的基礎(chǔ)上加一定的利潤，其長度x與售價y如下表，下列用長度x表示售價y的關(guān)系式中，正確的是（）長度x/m1234…售價y/元8+0.316+0.624+0.932+1.2…A．y＝8x+0.3 B．y＝（8+0.3）x C．y＝8+0.3x D．y＝8+0.3+x【答案】B【解答】解：依題意得：y＝（8+0.3）x；故選：B．【變式1-2】（2023?濟南二模）學(xué)校食堂按如圖方式擺放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的張數(shù)，y表示椅子的把數(shù)，請你寫出椅子數(shù)y（把）與餐桌數(shù)x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】y＝2x+2【解答】解：觀察圖形：x＝1時，y＝4，x＝2時，y＝6；x＝3時，y＝8；…可見每增加一張桌子，便增加2個座位，∴x張餐桌共有2x+2個座位．∴可坐人數(shù)y＝2x+2，故函數(shù)關(guān)系式可以為y＝2x+2．故答案為：y＝2x+2．【變式1-3】（2022春??？谄谀┮阎桓鶑椈稍诓粧熘匚飼r長6cm，在一定的彈性限度內(nèi)，每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm．則該彈簧總長y（cm）隨所掛物體質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】y＝0.3x+6【解答】解：∵每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm，∴掛上xkg的物體后，彈簧伸長0.3xcm，∴彈簧總長y＝0.3x+6．故答案為：y＝0.3x+6．【題型2：利用一次函數(shù)解決方案問題】【典例2】（2023?新市區(qū)一模）某鮮花銷售公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案．方案一：沒有底薪，只付銷售提成；方案二：底薪加銷售提成．如圖中的射線l1，射線l2分別表示該鮮花銷售公司每月按方案一，方案二付給銷售人員的工資y1（單位：元）和y2（單位：元）與其當(dāng)月鮮花銷售量x（單位：千克）（x≥0）的函數(shù)關(guān)系．（1）分別求y1、y2與x的函數(shù)解析式；（2）若該公司某銷售人員今年3月份的鮮花銷售量沒有超過70千克，但其3月份的工資超過3000元．這個公司采用了哪種方案給這名銷售人員付3月份的工資？【解答】解：（1）由圖可知，y1與x的函數(shù)解析式滿足正比例函數(shù)解析式．設(shè)y1＝k1x（k1≠0），將點（50，2500）代入y1＝k1x（k1≠0），得50k1＝2500，則k1＝50，則y1＝50x．設(shè)y2與x的函數(shù)解析式為y2＝k2x+b（k2≠0），將點（0，1500）、（50，2500）代入y2＝k2x+b，得，于是，則y2＝20x+1500．（2）將x＝70分別代入y1、y2，得y1＝50×70＝3500（元），y2＝20×70+1500＝2900（元），由題可知，其3月工資超過3000元，∵3500＞3000，∴這個公司采用方案一給這名銷售人員付3月的工資．【變式2-1】（2022秋?于洪區(qū)期末）某公司要印制宣傳材料，甲、乙兩個印刷廠可選擇，甲印刷廠只收取印制費，乙印刷廠收費包括印制費和制版費．（1）甲印刷廠每份宣傳材料的印制費是2.5元；（2）求乙印刷廠收費y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式，并說明一次項系數(shù)，常數(shù)項的實際意義；（3）若印制相同數(shù)量，乙印刷廠的收費總是低于甲廠，求印制數(shù)量的范圍．【解答】解：（1）由圖或得，甲印刷廠每份宣傳材料的印制費為：1000÷400＝2.5（元）．故答案為：2.5；（2）設(shè)乙印刷廠收費y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，由圖可得（0，1500），（400，1900）在圖象上，代入，得，解得：，∴y＝x+1500，一次項系數(shù)1代表每份宣傳材料的印制費為1元，常數(shù)項1500代表制版費為1500元；（3）由（1）知甲印刷廠每份宣傳材料的印制費是2.5元，∴甲印刷廠收費y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式為y＝2.5x，聯(lián)立兩函數(shù)解析式得解得，∴兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為（1000，2500），由圖象可得當(dāng)印制數(shù)量大于1000時，乙印刷廠的收費總是低于甲廠．【變式2-2】（2023?禹州市一模）為弘揚愛國精神，傳承民族文化，某校組織了“詩詞里的中國”主題比賽，計劃去某超市購買A，B兩種獎品共300個，A種獎品每個20元，B種獎品每個15元，該超市對同時購買這兩種獎品的顧客有兩種銷售方案（只能選擇其中一種）．方案一：A種獎品每個打九折，B種獎品每個打六折．方案二：A，B兩種獎品均打八折．設(shè)購買A種獎品x個，選擇方案一的購買費用為y1元，選擇方案二的購買費用為y2元．（1）請分別寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）請你計算該校選擇哪種方案支付的費用較少．【解答】解：（1）由題意得：y1＝20×0.9x+15×0.6×（300﹣x）＝9x+2700；y2＝20×0.8x+15×0.8×（300﹣x）＝4x+3600，∴y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝9x+2700，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2＝4x+3600；（2）當(dāng)y1＞y2時，9x+2700＞4x+3600，解得x＞180，∴購買A種獎品超過180個時，方案二支付費用少；當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，9x+2700＝4x+3600，解得x＝180，∴購買A種獎品180個時，方案一和方案二支付費用一樣多；當(dāng)y1＜y2時，9x+2700＜4x+3600，解得x＜180，∴購買A種獎品少于180個時，方案一支付費用少．【題型3：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題】【典例3】（2022?昭陽區(qū)一模）某市霧霾天氣趨于嚴(yán)重，甲商場根據(jù)民眾健康需要，代理銷售每臺進(jìn)價分別為600元、560元的A、B兩種型號的空氣凈化器，如表是近兩周的銷售情況：（進(jìn)價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入﹣進(jìn)貨成本）銷售時段銷售數(shù)量銷售收入（元）A種型號（臺）B種型號（臺）第一周323960第二周547120（1）求A，B兩種型號的空氣凈化器的銷售單價；（2）該商店計劃一次購進(jìn)兩種型號的空氣凈化器共30臺，其中B型凈化器的進(jìn)貨量不超過A型的2倍．設(shè)購進(jìn)A型空氣凈化器為x臺，這30臺空氣凈化器的銷售總利潤為y元．①請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②該商店購進(jìn)A型、B型凈化器各多少臺，才能使銷售總利潤最大？【解答】解：（1）設(shè)A型號空氣凈化器銷售單價為x元，B型號空氣凈化器銷售單價y元，則，解得：．答：A型號空氣凈化器單價為800元，B型號空氣凈化器單價780元；（2）①設(shè)A型空氣凈化器采購x臺，采購B種型號空氣凈化器（30﹣x）臺．則y＝（800﹣600）x+（780﹣560）（30﹣x）＝﹣20x+6600，∴y與x的關(guān)系式為y＝﹣20x+6600；②∵B型凈化器的進(jìn)貨量不超過A型的2倍，∴30﹣x≤2x，解得x≥10，∵y＝﹣20x+6600中，﹣20＜0，∴當(dāng)x＝10時，y最大為6400．此時30﹣x＝20．答：商店購進(jìn)A型凈化器10臺，B型凈化器20臺時，才能使銷售總利潤最大．【變式3-1】（2022秋?武義縣期末）非常時期，出門切記戴口罩．當(dāng)下口罩市場出現(xiàn)熱銷，某超市老板用1200元購進(jìn)甲、乙兩種型號的口罩在超市俏售，銷售完后共獲利400元．進(jìn)價和售價如表：型號價格甲型口罩乙型口罩進(jìn)價（元/袋）23售價（元/袋）33.5（1）該超市胸購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩各多少袋？（2）該超市第二次又以原來的進(jìn)價購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩共500袋，此次用于購進(jìn)口罩的資金不少于1220元，但不超過1360元．若兩種型號的口罩都按原來的售價全部售完．設(shè)此次購進(jìn)甲種口罩x袋，超市獲利y元，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍和超市的最大利潤．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)甲型號口罩有a袋，乙型號口罩有b袋，用1200元購進(jìn)，獲利400元，∴，解方程組得，，∴甲型號口罩有300袋，乙型號口罩有200袋．（2）解：以原來的進(jìn)價購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩共500袋，甲種口罩x袋，∴乙型口罩為（500﹣x）袋，∵用于購進(jìn)口罩的資金不少于1220元，但不超過1360元，∴1220≤2x+3（500﹣x）≤1360，解不等式得，140≤x≤280，∵獲利y元，∴y＝（3﹣2）x+（3.5﹣3）（500﹣x），整理得，y＝0.5x+250，∵一次函數(shù)y＝0.5x+250中，k＝0.5＞0，∴函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，且自變量的取值范圍為140≤x≤280，∴當(dāng)x＝280時，利潤最大，最大值為y＝0.5×280+250＝390（元），∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝0.5x+250，且自變量的取值范圍為140≤x≤280，當(dāng)x＝280時，有最大利潤，最大利潤為390元．【變式3-2】（2023?市北區(qū)校級開學(xué)）元旦期間，某經(jīng)銷葡萄的水果店，有兩種銷售方式：既可以批發(fā)，也兼顧零售．店家規(guī)定當(dāng)顧客一次性購買葡萄超過5箱，就可以享受批發(fā)價．市場調(diào)查顯示，這兩種銷售方式中，每箱葡萄所獲利潤的情況如表所示：銷售方式每箱所獲利潤（元）批發(fā)30零售60（1）已知該水果店元旦假期期間，兩種銷售方式共賣出100箱葡萄，總獲利是3600元求元旦假期期間，該水果店這兩種方式分別銷售了多少箱葡萄；（2）現(xiàn)該水果店計劃銷售1000箱葡萄，并規(guī)定零售葡萄的數(shù)量不超過200箱，若設(shè)批發(fā)了a箱葡萄，銷售1000箱葡萄的總利潤為w元，則根據(jù)題意，可得w與a的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣30a+60000；a的取值范圍是800≤a≤1000；（3）忽略其他影響因素．請分析分別零售和批發(fā)多少箱葡萄時，才能使售完這1000箱葡萄的總利潤最大？求最大總利潤是多少元．【解答】解：（1）設(shè)該水果店批發(fā)葡萄x箱，則零售葡萄（100﹣x）箱，由題意，得30x+60（100﹣x）＝3600，解得x＝80，答：該水果店批發(fā)葡萄80箱，零售葡萄20箱；（2）由題意，得w＝30a+60（1000﹣a）＝﹣30a+60000，∴w與a的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣30a+60000；∵零售葡萄的數(shù)量不超過200箱，∴1000﹣a≤200，解得a≥800，∴a的取值范圍是800≤a≤1000，故答案為：w＝﹣30a+60000；800≤a≤1000；（3）∵在w＝﹣30a+60000中﹣30＜0，∴w隨x的增大而減小，∵800≤a≤1000，∴當(dāng)a＝800時，w最大，最大值為36000，此時，1000﹣800＝200，答：當(dāng)零售200箱，批發(fā)800箱葡萄時，才能使售完這1000箱葡萄的總利潤最大，最大總利潤是36000元．【典例4】（2023春?寶豐縣月考）“雙減”政策頒布后，各校重視了延遲服務(wù)，并在延遲服務(wù)中加大了體育活動的力度．某體育用品商店抓住商機，計劃購進(jìn)300套乒乓球拍和羽毛球拍進(jìn)行銷售，其中購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，它們的進(jìn)價和售價如下表：進(jìn)價售價乒乓球拍（元/套）a50羽毛球拍（元/套）b60已知購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費110元，購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費260元．（1）求出a，b的值；（2）該面店根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，設(shè)購進(jìn)乒乓球拍x（套），售完這批體育用品獲利y（元）．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②該商店實際采購時，恰逢“雙十一”購物節(jié)，乒乓球拍的進(jìn)價每套降低了a元（0＜α∠10），羽毛球拍的進(jìn)價不變，已知商店的售價不變，這批體育用品能夠全部售完，則如何購貨才能獲利最大？【解答】解：（1）根據(jù)題意：，解得，答：a的值為35元，b的值為40元；（2）①由題意得：y＝（50﹣35）x+（60﹣40）（300﹣x）＝﹣5x+6000，∵購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，∴x≤150，∵購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，∴x≥（300﹣x），解得：x≥100，則x的取值范圍為：100≤x≤150，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+6000，x的取值范圍為：100≤x≤150；②由題意得：y＝（50﹣35+a）x+（60﹣40）（300﹣x）＝（a﹣5）x+6000，∵0＜a＜10，∴當(dāng)a＜5即a﹣5＜0時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝100時，y有最大值，∴乒乓球拍購進(jìn)10O套，羽毛球拍購進(jìn)200套能獲利最大；當(dāng)a≥5時，即a﹣5≥0時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝150時，y有最大值，∴乒乓球拍購進(jìn)150套，羽毛球拍購進(jìn)150套能獲利最大．【變式4】（2021秋?南岸區(qū)期末）為了切實保護(hù)長江生態(tài)環(huán)境，長江實施全面禁漁．禁漁后，某水庫自然生態(tài)養(yǎng)殖的魚在市場上熱銷，經(jīng)銷商老李每天從該水庫購進(jìn)草魚和鰱魚進(jìn)行銷售，兩種魚的進(jìn)價和售價如表所示：進(jìn)價（元/斤）售價（元/斤）鰱魚a6草魚b銷量不超過200斤的部分銷量超過200斤的部分98.5已知老李購進(jìn)10斤鰱魚和20斤草魚需要160元，購進(jìn)20斤鰱魚和10斤草魚需要140元．（1）求a，b的值；（2）老李每天購進(jìn)兩種魚共300斤，并在當(dāng)天都銷售完，其中銷售鰱魚不少于80斤且不超過120斤，設(shè)每天銷售鰱魚x斤（銷售過程中損耗不計）．①求出每天銷售獲利y（元）與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②元旦節(jié)這天，老李讓利銷售，將鰱魚售價每斤降低m元（m＞0），草魚售價全部定為8.5元/斤，為保證元旦節(jié)這一天銷售這兩種魚獲得最小利潤，且最小利潤為630元，求m的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，解得；（2）①由題意得，銷售鰱魚獲利y1＝（6﹣4）x＝2x（80≤x≤120），（Ⅰ）當(dāng)300﹣x≤200時，100≤x≤120，銷售草魚獲利y2＝（9﹣6）×（300﹣x）＝﹣3x+900；∴當(dāng)100≤x≤120時，每天銷售獲利y＝y(tǒng)1+y2＝2x+（﹣3x+900）＝﹣x+900，（Ⅱ）當(dāng)300﹣x＞200時，80≤x＜100，銷售草魚獲利y2＝（9﹣6）×200+（8.5﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣2.5x+850；∴當(dāng)80≤x＜100時，每天銷售獲利y＝y(tǒng)1+y2＝2x+（﹣2.5x+850）＝﹣0.5x+850，綜上所述，y＝；②設(shè)銷售獲利W元，由題意得：W＝（6﹣m﹣4）x+（8.5﹣6）×（300﹣x）＝（﹣0.5﹣m）x+750，其中80≤x≤120，∵當(dāng)﹣0.5﹣m≥0時，W＝（﹣0.5﹣m）x+750≥750，不合題意，∴﹣0.5﹣m＜0，∴W隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝120時，W的值最小，由題意得：（﹣0.5﹣m）×120+750＝630，解得m＝0.5，∴m的值為0.5．【題型4：利用一次函數(shù)解決行程問題】【典例5】（2023春?南關(guān)區(qū)校級月考）甲車從A地出發(fā)勻速駛往B地，半個小時后，乙車沿同一路線由A地勻速駛往B地，兩車距A地的路程y（km）與乙車出發(fā)時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）乙車速度是100km/h，a＝40；（2）求甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出在乙車行駛過程中，甲、乙兩車相距15km時x的值．【解答】解：（1）由圖象知，乙的速度為：＝100（km/h）；甲的速度為：＝80（km/h），則a＝80×0.5＝40（km），故答案為：100，40；（2）設(shè)甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），將（0，40）、（5.5，480）代入，得，解得，∴甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y＝80x+40；（3）設(shè)乙車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y＝mx（m≠0），將（4.8，480）代入，得480＝4.8，解得m＝100，則乙車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y＝100x，令|80x+40﹣100x|＝15，解得x1＝，x2＝；∴當(dāng)x＝或時，甲、乙兩車相距15km．【變式5-1】（2023?新市區(qū)校級一模）甲、乙兩車分別從A，B兩地去同一城市C，他們離A地的路程y（km）隨時間x（h）變化的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）A，B兩地的路程為360千米；（2）求乙車離A地的路程y（km）關(guān)于時間x（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)兩車相距20千米時，求乙車行駛的時間．【解答】解：（1）A，B兩地的路程為360千米，故答案為：360；（2）設(shè)乙離A地的路程y（千米）關(guān)于時間x（時）的函數(shù)表達(dá)式是y＝ax+b，則，解得，∴乙離A地的路程y（千米）關(guān)于時間x（時）的函數(shù)表達(dá)式是y＝80x+40；（3）設(shè)甲離A地的路程y（千米）關(guān)于時間x（時）的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx，把（3，360）代入得：3k＝360，解得k＝120，∴甲離A地的路程y（千米）關(guān)于時間x（時）的函數(shù)表達(dá)式是y＝120x，當(dāng)兩車相距20千米時，|80x+40﹣120x|＝20，解得x＝或，當(dāng)甲到達(dá)C地時，80x+40＝340，解得x＝，綜上所述，當(dāng)兩車相距20千米時，乙車行駛的時間為h或h或h．【變式5-2】（2023?新華區(qū)模擬）小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學(xué)，小明的媽媽在小明出發(fā)后10min，發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本沒帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學(xué)的路線追趕小明，結(jié)果與小明同時到達(dá)學(xué)校，交接課本后立即按原路返回．已知小明距離家的路程s（km）與離開家的時間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．（1）求s（km）與t（min）之間的函數(shù)關(guān)系；（2）請在圖中畫出小明的媽媽距離家的路程s（km）與小明離開家的時間t（min）之間函數(shù)關(guān)系的圖象；（備注：請對畫出的圖象用數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)臉?biāo)注）（3）直接寫出小明的媽媽在追趕小明及返回家的過程中，距學(xué)校0.5km時t的值．【解答】解：（1）∵s（km）與t（min）之間的函數(shù)關(guān)系的圖像是線段OA，且O（0，0），∴設(shè)s＝kt，又∵A（20，2），則有：2＝20k，解得：，∴．（2）解：如圖1中折線段BA﹣AC．（3）解：由（2）可知，家與學(xué)校的距離為2km，小明媽媽來回學(xué)校的時間為20min，∴小明媽媽的速度為＝0.2km/min，∴小明的媽媽在追趕小明，距學(xué)校0.5km時：，小明的媽媽在返回家，距學(xué)校0.5km時；．【變式5-3】（2022秋?高郵市期末）甲、乙兩地相距150千米，一列快車和一列慢車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，沿平行的軌道勻速相向而行，快車到達(dá)乙地停留一段時間后，按原路原速返回到甲地時停止；慢車到達(dá)甲地時停止．慢車到達(dá)甲地比快車到達(dá)甲地早0.5小時，快車速度是慢車速度的2倍．兩車距各自出發(fā)地的路程y千米與所用時間x小時的函數(shù)圖象如圖，請結(jié)合圖象信息解答下列問題：（1）快車的速度為100千米/小時，慢車的速度為50千米/小時；（2）求快車返回過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）兩車出發(fā)后經(jīng)過多長時間相距60千米的路程？【解答】解：（1）∵快車到達(dá)乙地停留一段時間后，按原路原速返回到甲地時停止，慢車到達(dá)甲地時停止，∴圖中OA為慢車距乙地的路程y千米與所用時間x小時的函數(shù)圖象，折線OBCD為快車距甲地的路程y千米與所用時間x小時的函數(shù)圖象，∵慢車到達(dá)甲地比快車到達(dá)甲地早0.5小時，∴慢車從甲地到乙地所用時間為：3.5﹣0.5＝3（小時），∴慢車的速度為：（千米/小時），∵快車速度是慢車速度的2倍，∴快車速度為50×2＝100（千米/小時）；故答案為：100千米/小時；50千米/小時．（2）快車從乙地到甲地所用時間為：（小時），∴點C的橫坐標(biāo)為3.5﹣1.5＝2，則C（2，150），設(shè)CD的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），把C（2，150），D（3.5，0）代入得：，解得：，∴CD的函數(shù)解析式為y＝﹣100x+350，即快車返回過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣100x+350．（3）快車從甲地到乙地時，設(shè)經(jīng)過m小時兩車相距60千米，兩車相遇前，100m+50m＝150﹣60，解得：；兩車相遇后，100m+50m＝150+60，解得：；快車從乙地出發(fā)時，慢車與乙地的距離為：50×2＝100（千米），快車從乙地到甲地時，設(shè)經(jīng)過n小時，兩車相距60千米，根據(jù)題意得：100+50n﹣100n＝60，解得：，（小時）；綜上分析可知，兩車出發(fā)后經(jīng)過小時或小時或小時，兩車相距60千米的路程．【題型5：利用一次函數(shù)解決運輸問題】【典例6】（2022春?江岸區(qū)校級月考）A城有肥料200t，B城有肥料300t，現(xiàn)要把這些肥料全部運往C、D兩鄉(xiāng)，從A城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費元用分別為20元/t和25元/t；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料分別為15元/t和24元/t．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240t，D鄉(xiāng)需要肥料260t，設(shè)A城運往C鄉(xiāng)的肥料為x噸，運往C鄉(xiāng)肥料的總運費為y1，運往D鄉(xiāng)肥料的總運費為y2；（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出自變量的取值范圍；（2）怎么樣調(diào)度使得該過程的總運費最少并求出最少的運輸費以及最少的運輸方案；（3）由于從B城到D鄉(xiāng)開辟了一條新的公路，使B城到D鄉(xiāng)的運輸費每噸減少了a（2≤a≤8）元，如何調(diào)度才能使總運費最少？最少運輸費是多少？（用含a的式子表達(dá)）【解答】解：（1）據(jù)題意得：y1＝20x+15（240﹣x）＝5x+3600，y2＝25（200﹣x）+24（x+60）＝﹣x+6440．（2）設(shè)總運費為y元，根據(jù)題意可得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：y＝5x+3600+（﹣x+6440）＝4x+10040，∵k＝4＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝0時，y最小＝10040，∴從A城運往C鄉(xiāng)0噸，運往D鄉(xiāng)200噸；從B城運往C鄉(xiāng)240噸，運往D鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，總運費最小值是10040元．（3）根據(jù)題意可知，改善后的總運費為y＝20x+15（240﹣x）+25（200﹣x）+（24﹣a）（x+60）＝（4﹣a）x+10040﹣60a，∵，∴0≤x≤200．①當(dāng)4﹣a＞0，即2≤a＜4時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝0時，y最?。?0040﹣60a，②當(dāng)4﹣a＜0，即4＜a≤8時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝200時，y最?。?0840﹣260a，③當(dāng)4﹣a＝0時，即a＝4時，無論x去何值，y的值為10040﹣60a．綜上，2≤a≤4時，從A城運往C鄉(xiāng)0噸，運往D鄉(xiāng)200噸；從B城運往C鄉(xiāng)240噸，運往D鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，y最?。?0040﹣60a；當(dāng)4＜a≤8時，從A城運往C鄉(xiāng)200噸，運往D鄉(xiāng)0噸；從B城運往C鄉(xiāng)40噸，運往D鄉(xiāng)260噸，此時總運費最少，y最?。?0840﹣260a．【變式6-1】（2022春?黔東南州期末）A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)全部運往C，D兩鄉(xiāng)，從A城往C，D兩鄉(xiāng)運送肥料的費用分別是每噸20元和25元，從B城運往C，D兩鄉(xiāng)的運輸費用分別是15元和24元，C鄉(xiāng)需240噸，D鄉(xiāng)需260噸，設(shè)A城運往C鄉(xiāng)的肥料量為x噸，總運費為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？【解答】解：（1）設(shè)總運費為y元，A城運往C鄉(xiāng)的肥料量為x噸，則運往D鄉(xiāng)的肥料量為（200﹣x）噸；B城運往C、D鄉(xiāng)的肥料量分別為（240﹣x）噸和[260﹣（200﹣x）]＝（60+x）噸，根據(jù)題意得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，自變量x的取值范圍為0≤x≤200，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝4x+10040（0≤x≤200）；（2）由（1）知，y＝4x+10040，∵k＝4＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝0時，y最?。?0040，∴從A城運往C鄉(xiāng)0噸，運往D鄉(xiāng)200噸；從B城運往C鄉(xiāng)240噸，運往D鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，總運費最小值是10040元．【變式6-2】（2022春?武漢期末）2020年春，新冠肺炎疫情暴發(fā)后，全國人民眾志成城抗擊疫情．某省A，B兩市成為疫情重災(zāi)區(qū)，抗疫物資一度嚴(yán)重緊缺，對口支援的C，D市獲知A，B兩市分別急需抗疫物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運物資支援災(zāi)區(qū)．已知C市有救災(zāi)物資240噸，D市有救災(zāi)物資260噸，現(xiàn)將這些抗疫物資全部調(diào)往A，B兩市．已知從C市運往A，B兩市的費用分別為每噸20元和25元，從D市運往往A，B兩市的費用別為每噸15元和30元，設(shè)從D市運往B市的救災(zāi)物資為x噸，并繪制出表：A（噸）B（噸）合計（噸）Cab240Dcx260總計（噸）200300500（1）a＝x﹣60，b＝300﹣x，c＝260﹣x（用含x的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)C，D兩市的總運費為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）由于途經(jīng)地區(qū)的全力支持，D市到B市的運輸路線得以改善和優(yōu)化，縮短了運輸時間，運費每噸減少m元（m＞0），其余路線運費不變，若C，D兩市的總運費的最小值不小于10320元，求m的取值范圍．【解答】解：（1）∵D市運往B市x噸，∴D市運往A市（260﹣x）噸，C市運往B市（300﹣x）噸，C市運往A市200﹣（260﹣x）＝（x﹣60）噸，故答案為：x﹣60，300﹣x，260﹣x；（2）由題意得：w＝20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，∵x＞0，x﹣60≥0，300﹣x≥0，260﹣x≥0，∴60≤x≤260，∴w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝10x+10200，自變量x的取值范圍為60≤x≤260；（3）由題意可得，w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，當(dāng)10﹣m＞0時，即0＜m＜10，x＝60時，w最小，此時w＝（10﹣m）×60+10200≥10320，解得0＜m≤8，當(dāng)10﹣m＜0時，即m＞10，x＝260時，w取得最小值，此時w＝（10﹣m）×260+10200≥10320，解得m≤，∵＜10，∴m＞10不符合題意，∴m的取值范圍是0＜m≤8．1．（2023?聊城）甲乙兩地相距a千米，小亮8：00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻為（）A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35【答案】A【解答】解：設(shè)小亮與小瑩相遇時，小亮乘車行駛了x小時，∵小亮、小瑩乘車行駛完全程用的時間分別是小時，小時，∴小亮、小瑩乘車行駛的速度分別是a千米/時，2a千米/時，由題意得：ax+2a（x﹣）＝a，∴x＝，小時＝28分鐘，∴小亮與小瑩相遇的時刻為8：28．故選：A．2．（2023?山西）一種彈簧秤最大能稱不超過10kg的物體，不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故選：B．3．（2023?濟南）學(xué)校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行”，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學(xué)，兩人各自從家同時同向出發(fā)，沿同一條路勻速前進(jìn)．如圖所示，l1和l2分別表示兩人到小亮家的距離s（km）和時間t（h）的關(guān)系，則出發(fā)0.35h后兩人相遇．【答案】0.35．【解答】解：設(shè)l1的函數(shù)解析式為y1＝kx+b，則，解得，∴l(xiāng)1的函數(shù)解析式為S1＝5t+3.5；設(shè)l2的函數(shù)解析式為S2＝mt，則0.4m＝6，解得m＝15，∴l(xiāng)2的函數(shù)解析式為S2＝15t；令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，解得t＝0.35，∴出發(fā)0.35小時后兩人相遇．故答案為：0.35．4．（2023?武漢）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關(guān)于善行者的行走時間t的函數(shù)圖象，則兩圖象交點P的縱坐標(biāo)是250．【答案】250．【解答】解：由題意可知，不善行者函數(shù)解析式為s＝60t+100，善行者函數(shù)解析式為s＝100t，聯(lián)立，解得，∴兩圖象交點P的縱坐標(biāo)為250，故答案為：250．5．（2023?威海）一輛汽車在行駛過程中，其行駛路程y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)0≤x≤0.5時，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝60x；當(dāng)0.5≤x≤2時，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝80x﹣10．【答案】y＝80x﹣10．【解答】解：∵當(dāng)0≤x≤0.5時，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝60x，∴當(dāng)x＝0.5時，y＝30，設(shè)當(dāng)0.5≤x≤2時，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，把（0.5，30），（2，150）代入得：，解得，故答案為：y＝80x﹣10．6．（2023?陜西）某農(nóng)科所對當(dāng)?shù)匦←湉某樗肫诘焦酀{期連續(xù)51天的累計需水量進(jìn)行研究，得到當(dāng)?shù)孛抗曅←溤谶@51天內(nèi)累計需水量y（m3）與天數(shù)x之間的關(guān)系如圖所示，其中，線段OA，AC分別表示抽穗期、灌漿期的y與x之間的函數(shù)關(guān)系．（1）求這51天內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當(dāng)?shù)孛抗曅←溤谡麄€灌漿期的需水量．【答案】（1）y＝；（2）1085m3．【解答】解：（1）由題意，當(dāng)0≤x≤20時，設(shè)y＝kx，∴20k＝960．∴k＝48．∴y＝48x．當(dāng)20＜x≤51時，設(shè)關(guān)系式為y＝mx+n，∴．∴．∴y＝35x+260．綜上，所求函數(shù)關(guān)系式為y＝．（2）由題意，令x＝51，∴y＝35×51+260＝2045．又當(dāng)x＝20時，y＝960，∴每公頃小麥在整個灌漿期的需水量＝2045﹣960＝1085（m3）．7．（2023?齊齊哈爾）一輛巡邏車從A地出發(fā)沿一條筆直的公路勻速駛向B地，小時后，一輛貨車從A地出發(fā)，沿同一路線每小時行駛80千米勻速駛向B地，貨車到達(dá)B地填裝貨物耗時15分鐘，然后立即按原路勻速返回A地．巡邏車、貨車離A地的距離y（千米）與貨車出發(fā)時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：（1）A，B兩地之間的距離是60千米，a＝1；（2）求線段FG所在直線的函數(shù)解析式；（3）貨車出發(fā)多少小時兩車相距15千米？（直接寫出答案即可）【答案】（1）60，1；（2）線段FG所在直線的函數(shù)解析式為y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；（3）貨車出發(fā)小時或小時或小時，兩車相距15千米．【解答】解：（1）∵80×＝60（千米），∴A，B兩地之間的距離是60千米；∵貨車到達(dá)B地填裝貨物耗時15分鐘，∴a＝+＝1，故答案為：60，1；（2）設(shè)線段FG所在直線的解析式為y＝kx+b（k≠0），將F（1，60），G（2，0）代入得：，解得，∴線段FG所在直線的函數(shù)解析式為y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；（3）巡邏車速度為60÷（2+）＝25（千米/小時），∴線段CD的解析式為y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2），當(dāng)貨車第一次追上巡邏車后，80x﹣（25x+10）＝15，解得x＝；當(dāng)貨車返回與巡邏車未相遇時，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，解得x＝；當(dāng)貨車返回與巡邏車相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，解得x＝；綜上所述，貨車出發(fā)小時或小時或小時，兩車相距15千米．8．（2023?成都）2023年7月28日至8月8日，第31屆世界大學(xué)生運動會將在成都舉行．“當(dāng)好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買A，B兩種食材制作小吃．已知購買1千克A種食材和1千克B種食材共需68元，購買5千克A種食材和3千克B種食材共需280元．（1）求A，B兩種食材的單價；（2）該小吃店計劃購買兩種食材共36千克，其中購買A種食材千克數(shù)不少于B種食材千克數(shù)的2倍，當(dāng)A，B兩種食材分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用．【答案】（1）A種食材單價是每千克38元，B種食材單價是每千克30元；（2）A種食材購買24千克，B種食材購買12千克時，總費用最少，為1272元．【解答】（1）設(shè)A種食材的單價為x元/千克，B種食材的單價為y元/千克，由題意得：，解得：，∴A種食材單價是每千克38元，B種食材單價是每千克30元；（2）設(shè)A種食材購買m千克，B種食材購買（36﹣m）千克，總費用為w元，由題意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，∵m≥2（36﹣m），∴24≤m＜36，∵k＝8＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝24時，w有最小值為：8×24+1080＝1272（元），∴A種食材購買24千克，B種食材購買12千克時，總費用最少，為1272元．9．（2023?淮安）快車和慢車同時從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，快車到達(dá)乙地卸裝貨物用時30min，結(jié)束后，立即按原路以另一速度勻速返回，直至與慢車相遇，已知慢車的速度為70km/h．兩車之間的距離y（km）與慢車行駛的時間x（h）的函數(shù)圖象如圖所示．（1）請解釋圖中點A的實際意義；（2）求出圖中線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式；（3）兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續(xù)向甲地行駛，求到達(dá)甲地還需多長時間．【答案】（1）A點的實際意義是，出發(fā)3小時，快車到達(dá)乙地，此時快車與慢車相距120km；（2）線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣70x+330（3≤x≤3.5）；（3）兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續(xù)向甲地行駛，到達(dá)甲地還需2.8h．【解答】解：（1）A點的實際意義是，出發(fā)3小時，快車到達(dá)乙地，此時快車與慢車相距120km；（2）∵點B的橫坐標(biāo)為：3+＝3.5（h），點B的縱坐標(biāo)為：120﹣×70＝85（km），∴點B的坐標(biāo)為（3.5，85），設(shè)線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，將A（3，120），B（3.5，85）代入得：，解得，∴線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣70x+330（3≤x≤3.5）；（3）快車從返回到遇見慢車所用的時間為：4﹣3.5＝0.5（h），∴快車從乙地返回甲地時的速度為：85÷0.5﹣70＝100（km/h），∵4×70÷100＝2.8（h），∴兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續(xù)向甲地行駛，到達(dá)甲地還需2.8h．10．（2023?青島）某服裝店經(jīng)銷A，B兩種T恤衫，進(jìn)價和售價如下表所示：品名AB進(jìn)價（元/件）4560售價（元/件）6690（1）第一次進(jìn)貨時，服裝店用6000元購進(jìn)A，B兩種T恤衫共120件，全部售完獲利多少元？（2）受市場因素影響，第二次進(jìn)貨時，A種T恤衫進(jìn)價每件上漲了5元，B種T恤衫進(jìn)價每件上漲了10元，但兩種T恤衫的售價不變．服裝店計劃購進(jìn)A，B兩種T恤衫共150件，且B種T恤衫的購進(jìn)量不超過A種T恤衫購進(jìn)量的2倍．設(shè)此次購進(jìn)A種T恤衫m(xù)件，兩種T恤衫全部售完可獲利W元．①請求出W與m的函數(shù)關(guān)系式；②服裝店第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．【答案】（1）2880元；（2）①W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利，理由見詳解．【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)AT恤衫x件，購進(jìn)BT恤衫y件，根據(jù)題意列出方程組為：，解得，∴全部售完獲利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．（2）①設(shè)第二次購進(jìn)A種T恤衫m(xù)件，則購進(jìn)B種T恤衫（150﹣m）件，根據(jù)題意150﹣m≤2m，即m≥50，∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利，理由如下：由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），∵﹣4＜0，一次函數(shù)W隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝50時，W取最大值，W大＝﹣4×50+3000＝2800（元），∵2800＜2880，∴服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利．11．（2023?內(nèi)蒙古）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽禮盒的進(jìn)價比肉粽禮盒的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用2500元購進(jìn)的肉粽和用2000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價；（2）商家計劃只購買豆沙粽禮盒銷售，經(jīng)調(diào)查了解到有A，B兩個廠家可供選擇，兩個廠家針對價格相同的豆沙粽禮盒給出了不同的優(yōu)惠方案：A廠家：一律打8折出售．B廠家：若一次性購買禮盒數(shù)量超過25盒，超過的部分打7折．該商家計劃購買豆沙粽禮盒x盒，設(shè)去A廠家購買應(yīng)付y1元，去B廠家購買應(yīng)付y2元，其函數(shù)圖象如圖所示：①分別求出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系；②若該商家只在一個廠家購買，怎樣買劃算？【答案】（1）50，40元；（2）①y1＝32x，y2＝；②該商家購買豆沙粽禮盒的數(shù)量若少于75盒，從A廠家購買比較劃算；若等于75盒，從A和B兩個廠家任選一家即可；若超過75盒，從B廠家購買比較劃算．【解答】解：（1）設(shè)每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價分別為x元和y元．根據(jù)題意，得，解得．∴每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價分別為50元40元．（2）①根據(jù)題意，得：y1＝0.8×40x＝32x；當(dāng)x≤25時，y2＝40x；當(dāng)x＞25時，y2＝25×40+0.7×40（x﹣25）＝28x+300．綜上，y1＝32x；y2＝．②設(shè)y1和y2兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為x，則32x＝28x+300，解得x＝75．根據(jù)函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜75時，y1＜y2；當(dāng)x＝75時，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)x＞75時，y2＜y1．∴該商家購買豆沙粽禮盒的數(shù)量若少于75盒，從A廠家購買比較劃算；若等于75盒，從A和B兩個廠家任選一家即可；若超過75盒，從B廠家購買比較劃算．12．（2023?長春）甲、乙兩人相約登山，他們同時從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車直達(dá)山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示：（1）當(dāng)15≤x≤40時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度．【答案】（1）y＝12x﹣180；（2）180米．【解答】解：（1）設(shè)乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，∵直線過（15，0）和（40，300），∴，解得，∴乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝12x﹣180；（2）設(shè)甲的函數(shù)解析式為：y＝mx+n，將（25，160）和（60，300）代入得：，解得，∴y＝4x+60；∵乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度，∴，解得，∴乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度為180米．13．（2023?廣西）【綜合與實踐】：有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”，某興趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設(shè)計方案，然后動手制作，再結(jié)合實際進(jìn)行調(diào)試，請完成下列方案設(shè)計中的任務(wù)，【知識背景】：如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：（m0+m）?l＝M?（a+y），其中秤盤質(zhì)量m0克，重物質(zhì)量m克，秤砣質(zhì)量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤組與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．【方案設(shè)計】：目標(biāo)：設(shè)計簡易桿秤．設(shè)定m0＝10，M＝50，最大可稱重物質(zhì)量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．任務(wù)一：確定l和a的值．（1）當(dāng)秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于l，a的方程；（2）當(dāng)秤盤放入質(zhì)量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于l，a的方程；（3）根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；任務(wù)二：確定刻線的位置．（4）根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于m的函數(shù)解析式；（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應(yīng)刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得：m＝0，y＝0，∵m0＝10，M＝50，∴10l＝50a，∴l(xiāng)＝5a；（2）由題意得：m＝1000，y＝50，∴（10+1000）l＝50（a+50），∴101l﹣5a＝250；（3）由（1）（2）可得：，解得：；（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），∴；（5）由（4）可知：，∴當(dāng)m＝0時，則有y＝0；當(dāng)m＝100時，則有y＝5；當(dāng)m＝200時，則有y＝10；當(dāng)m＝300時，則有y＝15；當(dāng)m＝400時，則有y＝20；當(dāng)m＝500時，則有y＝25；當(dāng)m＝600時，則有y＝30；當(dāng)m＝700時，則有y＝35；當(dāng)m＝800時，則有y＝40；當(dāng)m＝900時，則有y＝45；當(dāng)m＝1000時，則有y＝50；∴相鄰刻線間的距離為5厘米．1．（2023秋?大東區(qū)期中）小明在勞動技術(shù)課中要制作一個周長為80cm的等腰三角形，則底邊長y（cm）關(guān)于腰長x（cm）的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍分別是（）A．y＝2x，x＜40 B．y＝80﹣2x，x＜40 C．y＝2x，20＜x＜40 D．y＝80﹣2x，20＜x＜40【答案】D【解答】解：∵等腰三角形的周長為80cm，底邊長ycm，腰長xcm，∴y+2x＝80，整理得y＝80﹣2x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，解得20＜x＜40，故選：D．2．（2023秋?昭平縣期中）如圖，落落同學(xué)從家沿著筆直的公路去跑步鍛煉，她離開家的距離y（米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式的圖象如圖所示，下列結(jié)論中不正確的是（）A．整個進(jìn)行過程花了40分鐘 B．整個進(jìn)行過程共跑了2700米 C．在途中停下來休息了5分鐘 D．返回時休息后的速度比去的時候的速度小60米/分【答案】B【解答】解：A、∵當(dāng)y＝0時，x＝0或x＝40，∴整個行進(jìn)過程花了40分鐘，A正確，不符合題意；B、觀察函數(shù)圖象可知，y的最大值為2700，∵2700×2＝5400（米），∴整個行進(jìn)過程共走了5400米，B錯誤，符合題意；C、∵25﹣20＝5（分鐘），∴在途中停下來休息了5分鐘，C正確，不符合題意；D、∵1800÷（40﹣25）＝120（米/分），2700÷15＝180（米/分），180﹣120＝60（米/分），∴返回時休息后的速度比去的時候的速度小60米/分，D正確，不符合題意．故選：B．3．（2023秋?中原區(qū)校級期中）甲、乙兩個草莓采摘園為吸引顧客，在草莓銷售價格相同的基礎(chǔ)上分別推出優(yōu)惠方案，甲園：顧客進(jìn)園需購買門票，采摘的草莓按六折優(yōu)惠．乙園：顧客進(jìn)園免門票，采摘草莓超過一定數(shù)量后，超過的部分打折銷售．活動期間，某顧客的草莓采摘量為xkg，若在甲園采摘需總費用y1元，若在乙園采摘需總費用y2元．y1，y2與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）A．甲園的門票費用是60元 B．草莓優(yōu)惠前的銷售價格是40元/kg C．乙園超過5kg后，超過的部分價格優(yōu)惠是打五折 D．若顧客采摘15kg草莓，那么到甲園比到乙園采摘更實惠【答案】D【解答】解：由圖象可得，甲園的門票費用是60元，故選項A正確；草莓優(yōu)惠前的銷售價格是200÷5＝40（元/千克），故選項B正確；乙園超過5千克后，超過的部分價格優(yōu)惠是打÷40×10＝5折，故選項C正確；若顧客采摘15千克草莓，那么到甲園和乙園采花費一樣多，故選項D錯誤；故選：D．4．（2023秋?福田區(qū)校級期中）小明的爸爸騎摩托車上班，出發(fā)時油箱中有油28升，如果每小時耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和行駛時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝28﹣4x（不用寫自變量取值范圍）．【答案】y＝28﹣4x．【解答】解：∵每小時耗油4升，∵工作x小時內(nèi)耗油量為4x升，∵油箱中有油28升，∴剩余油量y＝28﹣4x，故答案為：y＝28﹣4x．5．（2023秋?雨花區(qū)校級期中）“健康湖南，云動瀟湘”，為迎接2023年全民健身線上運動會，某中學(xué)計劃購進(jìn)一批籃球和排球．若購買3個籃球和1個排球共需360元；若購買5個籃球和3個排球共需680元．（1）求每個籃球和每個排球的價格分別是多少元？（2）該學(xué)校計劃購進(jìn)籃球和排球共100個，且購買籃球的個數(shù)不少于排球個數(shù)的3倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少總費用．【答案】（1）每個籃球的價格是100元，每個排球的價格是60元；（2）購買籃球75個，排球25個，總費用最少，最少總費用為9000元．【解答】解：（1）設(shè)每個籃球的價格是m元，每個排球的價格是n元，根據(jù)題意得：，解得，∴每個籃球的價格是100元，每個排球的價格是60元；（2）設(shè)購買籃球x個，總費用為W元，則購買排球（100﹣x）個，∵購買籃球的個數(shù)不少于排球個數(shù)的3倍，∴x≥3（100﹣x），解得x≥75，根據(jù)題意得：W＝100x+60（100﹣x）＝40x+6000，∵40＞0，∴W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝75時，W取最小值，最小值為40×75+6000＝9000，此時100﹣x＝100﹣75＝25，∴購買籃球75個，排球25個，總費用最少，最少總費用為9000元．6．（2023秋?禪城區(qū)校級期中）受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，利用水桶和體積相同的小球進(jìn)行了如圖操作：（1）已知放入小球后量筒中水面的高度y（cm）是放入小球個數(shù)x（個）的一次函數(shù)，從圖中可以看出函數(shù)經(jīng)過點（0，30）與點（3，36），試確定該函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)水桶中至少放入10個小球時，有水溢出．【答案】（1）y＝2x+30；（2）10．【解答】解：（1）設(shè)放入小球后量筒中水面的高度y（cm）是放入小球個數(shù)x（個）之間的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，將（0，30）與點（3，36）代入，得，解得，故放入小球后量筒中水面的高度y（cm）與小球個數(shù)x（個）之間的一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝2x+30；（2）要使量筒有水溢出，則y＝2x+30≥49，解得x≥9.5，∵小球的個數(shù)是正整數(shù)，∴x最小取10，即至少要放入的小球個數(shù)為10個．故答案為：10．7．（2023秋?太原期中）清德鋪位于清徐縣徐溝鎮(zhèn)正南5公里，該村種植紅薯由來已久，據(jù)傳從清光緒時就開始享譽龍城，2018年獲國家農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志登記保護(hù)．紅薯豐收時節(jié)，某農(nóng)戶啟動線上銷售，每千克紅薯的定價為3元，當(dāng)銷售量不超過10千克時，每筆訂單均收取6元的快遞費；當(dāng)銷售量超過10千克時，免快遞費．設(shè)每筆線上紅薯訂單的銷售量為x千克，每筆訂單的總收款額為y元．（1）當(dāng)0＜x≤10時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3x+6；當(dāng)x＞10時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3x；（2）一筆10千克的線上紅薯訂單，總收款額為多少元？（3）若一筆訂單的總收款額為108元，求這筆訂單的銷售量．【答案】（1）y＝3x+6，y＝3x；（2）36元；（3）36千克．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得：當(dāng)0＜x≤10時，y＝3x+6，當(dāng)x＞10時，y＝3x，故答案為：y＝3x+6，y＝3x；（2）當(dāng)x＝10時，y＝3×10+6＝36（元），答：一筆10千克的線上紅薯訂單，總收款額為36元；（3）由（2）知這筆訂單的紅薯千克數(shù)超過10千克，∴3x＝108，解得x＝36，答：這筆訂單的銷售量為36千克．8．（2023?乾安縣一模）桿秤是我國傳統(tǒng)的計重工具，如圖，秤鉤上所掛的不同重量的物體使得秤砣到秤紐的水平距離不同．稱重時，秤鉤所掛物重為x（斤）時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為y（厘米）．如表中為若干次稱重時所記錄的一些數(shù)據(jù)，且y是x的一次函數(shù)．x（斤）00.751.001.502.253.25y（厘米）﹣2124711注：秤桿上秤砣在秤紐左側(cè)時，水平距離y（厘米）為正，在右側(cè)時為負(fù)．（1）根據(jù)題意，完成上