2021-2022學年廣東省汕頭市高三（上）期末數(shù)學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（5分）若集合A={x|x>l},B={x\-l<x<2],則AU8=（）

A.{x|l<x<2}B.{x\-l<x<2}C.{加>-1且xW2}D.[x\x>-1}

2.（5分）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（l-i）=4-3i,貝Uz=（）

A.TiLB.IllC.坦D.

2222

3.（5分）記出為等差數(shù)列{斯}的前〃項和，已知出=0，06=6,貝IJ（）

1

A.an—12-nB.tzio—16C.Sn—lri-lOnD.Sio—50

4.（5分）已知sinJa€,兀）,則cos（a-）=（）

22o

A.-1B.0C.A.D.返

22

5.（5分）某市場一攤位的買菜員發(fā)現(xiàn)顧客來此攤位買菜后選擇只用現(xiàn)金支付的概率為0.2,

選擇既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付的概率為0.1,且買菜后無賒賬行為，則選擇只用非現(xiàn)

金支付的概率為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

6.（5分）金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等

邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2,則它的體積為（）

2.J_j_

7.(5分)已知4=2"b=g2,c=,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=/+/+(a-3)x+l在區(qū)間(0,1)上有最小值，則實數(shù)a的

取值范圍是()

A.(-e,2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-1-e)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得分。

（多選）9.（5分）某中學為了解學生數(shù)學史知識的積累情況，隨機抽取150名同學參加數(shù)

學史知識測試，測試題共5道，每答對一題得20分，答錯得0分得分不少于60分記為

及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（）

A.該次數(shù)學史知識測試及格率超過90%

B.該次數(shù)學史知識測試得滿分的同學有15名

C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)

D.若該校共有1500名學生，則數(shù)學史知識測試成績能得優(yōu)秀的同學大約有720名

（多選）10.（5分）對于函數(shù)/（x）=sinxcosx,xCR,貝!］（）

A.f（x）的最大值為1B.直線為其對稱軸

C.f（x）在［0,卷-］上單調(diào)遞增D.點（弓0）為其對稱中心

（多選）11.（5分）如圖，平行四邊形ABC。中，AB=2,AD=4,/BAD=匹，E為CD

3

的中點，AE與DB交于F,則（）

A.而在瓦方向上的投影為0

B.AF=yAB-^AD

C.AF?AB=2

D-|AF|=2^7

（多選）12.（5分）在棱長為1的正方體ABCD-4B1C1D1中，M為底面ABCD的中心,

而=入5高，入6（0,1）,N為線段A。的中點，則（）

A.CN與QM■共面

B.三棱錐A-OMN的體積跟人的取值無關(guān)

C.入小時，過A,Q,M三點的平面截正方體所得截面的周長為幺歷+2力行

33

D.入=［時，AMLQM

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知偶函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,+°°）上單調(diào)遞減，若f（T）=0,則滿足/（〃z）

>0的實數(shù)機的取值范圍是.

14.（5分）（x+y）（x-y）'的展開式中，/y7的系數(shù)為.

15.（5分）“四書”是《大學》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文

化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值.某校

計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動，某班有A、2兩位同學參賽，比賽時每位同學從這

4本書中隨機抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則A、B兩位同學抽到同一本書的概率

為.

16.（5分）設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足。1=1,a3=3且斯+2-2斯+1+斯=2,貝!|°4"3=，數(shù)列

｛劭｝的通項an=.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前"項和為8,S2=4,a2a4=81.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

（2）數(shù)列｛岳｝滿足bi=l,當時，b=7：---------------------------，求數(shù)列｛為｝的前n

nlog3an-log3an,1

項和Tn.

18.（12分）在△A3C中，角A,B,C所對的邊分別〃，b,c.已知2Z?COS3=CCOSA+QCOSC.

(1)求&

（2）若a=2,b=V6，設(shè)。為CB延長線上一點，且AO_LAC,求線段的長.

19.（12分）某土特產(chǎn)超市為預估2022年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2021年元旦

期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表：

購買金額（元）[0,150)[150,300)[300,450)[450,600)[600,750)[750,900]

人數(shù)101520152010

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2X2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為購買金額是否少于

600元與性別有關(guān).

不少于600元少于600元合計

男40

女18

合計

（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案：購買金額不少于600元可抽獎3次，每次

中獎概率為尸（每次抽獎互不影響，且P的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于600元

的頻率），中獎1次減50元，中獎2次減100元，中獎3次減150元.若游客甲計劃購

買800元的土特產(chǎn)，請列出實際付款數(shù)X（元）的分布列并求其數(shù)學期望.

附：參考公式和數(shù)據(jù)：心皿）n=a+b+C+d-

附表：

ko2.0722.7063.8416.6357.879

P(K22公)0.1500.1000.0500.0100.005

20.（12分）如圖，直三棱柱（即側(cè)棱與底面質(zhì)直的棱柱）ABC-481cl內(nèi)接于一個等邊圓

柱（軸截面為正方形），AB是圓柱底面圓O的直徑，點。在A/1上，且AbD=3DBi.若

AC=BC.

（1）求證：平面CODJ_平面ABBiAi；

（2）求證：平面COD與平面CB31C1所成銳二面角的余弦值.

弓片=1(a>6>0)的離心率為返，又點(1,工)在橢

21.(12分)已知橢圓E：

a*b*222

圓E上.

(1)求橢圓￡的標準方程；

(2)若動直線/與橢圓E有且只有一個公共點，過點M(1,0)作直線/的垂線，垂足

為。，試探究：|。。|是否為定值，如果是，請求出該值；如果不是，請說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx,xe(0,+°°)；g(x)=7-尤+1,xGR.

(1)求函數(shù)〃(無)=/(尤)-g(x)在區(qū)間(0,+8)上的極值；

(2)證明：有且只有兩條直線與函數(shù)/(x),g(x)的圖象都相切.

2