PAGEPAGE1學科教師輔導教案―函數(shù)單調(diào)性教學內(nèi)容知識模塊1函數(shù)知識模塊1函數(shù)單調(diào)性的概念1、概念：單調(diào)增函數(shù)：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1,x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.單調(diào)減函數(shù)：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1,x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.yy=x2xy2x10y1x10yx10yyy=x2yy=x2xy2x10y1x10yx10yyy=x2x2x10xy2yy1x2x22、函數(shù)單調(diào)性的幾何意義：函數(shù)的單調(diào)性在圖像上的反映是：若f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，則它的圖像在I上的部分從左到右是上升的；若f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，則它的圖像在I上的部分從左到右是下降的；3、單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或者單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.【注意點】1、在函數(shù)的單調(diào)性定義中，x1,x2有三個特征：一是任意：即區(qū)間內(nèi)任意取兩個值x1,x2；二是有大?。阂话阍Ox1<x2；三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間：任意x1,x2∈I.2、理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間應注意的問題：①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先求函數(shù)的定義域；②單調(diào)區(qū)間可以是開區(qū)間，也可以是閉區(qū)間.但對于某些點無意義時，單調(diào)區(qū)間就不包括這些點，要用開區(qū)間；③一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”，而應用“，”或“和”連接；如在（-∞，0）和（0，+∞）上為減函數(shù)，而不能說在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)；④函數(shù)的單調(diào)性是一個局部性質(zhì)，介紹函數(shù)單調(diào)性時，一定要指出在哪一個區(qū)間上，而不能籠統(tǒng)說函數(shù)是單調(diào)的；⑤單調(diào)性與單調(diào)函數(shù)的區(qū)別：單調(diào)性是指在函數(shù)定義域的子區(qū)間上具有單調(diào)性，但在整個定義域上不一定具有單調(diào)性，如在（-∞，0）和（0，+∞）上分別具有單調(diào)性，但是它不是單調(diào)函數(shù)；函數(shù)y=3x+1在整個定義域上是單調(diào)遞增的，具有單調(diào)性，是單調(diào)函數(shù).域上是單調(diào)遞增的，具有單調(diào)性，是單調(diào)函數(shù).精典例題透析精典例題透析[例1]根據(jù)下圖說出函數(shù)在每個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？[鞏固1]下圖是定義在（-5，5）上的函數(shù)y=f(x)的圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間以及在每一個區(qū)間上y=f(x)是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù).[例2]說出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在各個單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.（1）（2）（3）（4）[鞏固2]下列說法不正確的是____________若x1,x2∈I，當x1<x2時，f(x1)<f(x2)，則y=f(x)在I上是單調(diào)增函數(shù)函數(shù)y=x2在R上是單調(diào)增函數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）思考：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性是怎樣的？知識模塊2函數(shù)知識模塊2函數(shù)單調(diào)性的判定與證明1、定義法：（1）取值：在區(qū)間內(nèi)任取x1，x2，且x1<x2；（2）比較大?。罕容^f(x1)和f(x2)的大?。ㄗ鞑罨蜃魃蹋?，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形；（3）根據(jù)定義，得出結(jié)論.當符號不確定時，可以進行分類討論，在確定差的符號.精典例題透析精典例題透析[例1]證明函數(shù)在（-1，+∞）上的單調(diào)性.[鞏固1]證明：函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是減函數(shù)．[鞏固2]證明函數(shù)f(x)＝x3在定義域上是增函數(shù).2、作圖法：根據(jù)函數(shù)的圖像特點（上升或下降），判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性（容易作出圖像的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、簡單的分段函數(shù)等）精典例題透析精典例題透析[例1]畫出函數(shù)圖像，判斷下列函數(shù)在相應區(qū)間上的單調(diào)性（1）y=-x2+2(2)[鞏固1]利用函數(shù)圖像判斷下列函數(shù)的單調(diào)性1、f(x)=3|x-1|2、f(x)＝2x2＋4x－3知識模塊3函數(shù)知識模塊3函數(shù)單調(diào)性的知識拓展1、和差函數(shù)單調(diào)性的判斷f(x)和g(x)的單調(diào)性相同時，則f(x)+g(x)的單調(diào)性和f(x)、g(x)的單調(diào)性相同；f(x)和g(x)的單調(diào)性相異時，則f(x)-g(x)的單調(diào)性和f(x)的單調(diào)性相同.f(x)增增減減g(x)增減增減f(x)+g(x)增減f(x)-g(x)增減精典例題透析精典例題透析[例1]判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性.[鞏固]判斷函數(shù)在（-∞，0）上的單調(diào)性.2、復合函數(shù)單調(diào)性的判斷：如果f(x)和g(x)的單調(diào)性相同，則f(g(x))為單調(diào)增函數(shù)；如果f(x)和g(x)的單調(diào)性相異，則f(g(x))為單調(diào)減函數(shù)；y=f(t)（外函數(shù)）增增減減t=g(x)（內(nèi)函數(shù)）增減增減y=f[g(x)]增減減增即“同增異減”精典例題透析精典例題透析[例1]已知f(x)在R上是減函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.[鞏固1]已知f(x)=-x2+2x+8，g(x)=f(2-x2)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間.3、抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷：抽象函數(shù)能夠代表一類函數(shù)，判斷此類函數(shù)的單調(diào)性主要是利用函數(shù)單調(diào)性的定義和抽象函數(shù)的運算性質(zhì)，同時要注意賦值法的使用.精典例題透析精典例題透析[例1]定義在（0，+∞）上的函數(shù)y=f(x)對任意的正實數(shù)x、y都有，且當x<1時，f(x)>0，試判斷函數(shù)y=f(x)在定義域上的單調(diào)性。[例2]已知定義域在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)>0.判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性并證明.[鞏固1]設函數(shù)y=f(x)定義在R+上，且對任意x、y>0，都有f(xy)=f(x)+f(y)，當x>1時，f(x)>0，試判斷函數(shù)f(x)在（-∞，0）上的單調(diào)性.[鞏固2]函數(shù)y=f(x)對任意的實數(shù)x、y都有，且當x<0時，f(x)>2，證明函數(shù)y=f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù).知識模塊4函數(shù)知識模塊4函數(shù)單調(diào)性的應用題型一：函數(shù)單調(diào)性的證明[例1]求證函數(shù)在（2，+∞）上是單調(diào)減函數(shù).[鞏固1]判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明.方法總結(jié)方法總結(jié)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性時，常用的變形技巧有：(1)因式分解：當原函數(shù)是多項式函數(shù)時，通常作差變形后進行因式分解；(2)通分：當原分母是分式函數(shù)的時候，作差后往往進行通分，然后對式子進行因式分解；(3)配方：當原函數(shù)是二次函數(shù)時，作差后可以考慮配方，便于符號判斷；(4)分子有理化：當原函數(shù)是根式函數(shù)時，作差后往往考慮分子有理化.題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例1]作出函數(shù)的函數(shù)圖像，并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.[鞏固1]作出函數(shù)f(x)＝|x2＋2x－3|的圖像，并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.[例2]已知函數(shù)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.[鞏固2]已知函數(shù)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.方法總結(jié)方法總結(jié)(1)圖像法：作出函數(shù)圖像；上升圖象對應增區(qū)間，下降圖像對應減區(qū)間(2)定義法：作差，因式分解；判斷各因式符號；如果各因式符號確定，那么函數(shù)在整個定義域上具有單調(diào)性，如果有一個因式的符號不確定，那么需要分界點以確定單調(diào)區(qū)間，因式符號必須在某個區(qū)間內(nèi)恒成立.題型三：由函數(shù)的單調(diào)性比較大小與解不等式[例1]如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c關于直線x=2對稱,比較f(1)、f(2)、f(4)的大小.[鞏固1]已知f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0)，則f(3)，f(-3)，f()從小到大的順序為________________.[例2]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(2x-1)<f(3)，求x的取值范圍.[鞏固1]已知f(x)是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，且f(x-2)<f(1-x)，求x的取值范圍.[鞏固2]]已知函數(shù)f(x)是定義在[0，+∞)上的增函數(shù)，且，f(2)=1，解不等式：方法總結(jié)方法總結(jié)1、利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在解決問題時，要注意將對應的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小即可；2、利用函數(shù)單調(diào)性解抽象不等式是：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，對任意x1,x2∈I，且f(x1)<f(x2)，則有x1<x2；若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，對任意x1,x2∈I，且f(x1)<f(x2)，則有x1>x2.題型四：用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值[例]函數(shù)的最大值為_____.[鞏固]已知二次函數(shù)f(x)=ax2-2ax-5，求函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最值.方法總結(jié)方法總結(jié)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用單調(diào)性寫出最值；①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)增(減)函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間[a，b]的左、右端點處分別取得最小(大)值或最(小)大值；②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是減函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(a，c)有最大值f(b)；③如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b]上是減函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是增函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(a，c)有最小值f(b).題型五：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍[例1]若函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[3，+∞)，則a=_______.[鞏固1]若函數(shù)在區(qū)間[3，+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是__________.[例2]已知函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[1，2]上具有單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍.[鞏固2]若函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－12在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求參數(shù)a的取值范圍.方法總結(jié)方法總結(jié)1、利用單調(diào)性的定義：設單調(diào)區(qū)間內(nèi)x1<x2，由f(x1)–f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求參數(shù)范圍；2、利用具體函數(shù)本身所具有的特征：如二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間被對稱軸一分為二，根據(jù)對稱軸相對于所給單調(diào)區(qū)間的位置求參數(shù)；對于二次函數(shù)，要注意開口方向和二次項系數(shù)不為零.鞏固鞏固基礎訓練函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_________________.2、已知函數(shù)在[a，+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______________.3、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______________，單調(diào)減區(qū)間為______________.4、函數(shù)y=(2k+1)x+b在R上是單調(diào)減函數(shù)，則k的取值范圍是______________.5、已知函數(shù)f(x)=2x2-mx+3，當x∈[2，+∞)時，f(x)是增函數(shù)，當x∈(-∞，2)時，f(x)是減函數(shù)，則f(1)=_______.6、下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為單調(diào)增函數(shù)的是_____________.（填序號）①y=3-x②y=x2+1③④y=-|x|7、如果函數(shù)f(x)=x2-ax-3在區(qū)間(-∞，4]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a滿足的條件是______________.8、求證：函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù).9、已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2.（1）求f(x)在區(qū)間[，3]上的最大值和最小值；（2）若g(x)=f(x)-mx在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍.能力提升訓練能力提升訓練10、若函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，當a+b>0時給出下列四個關系，其中正確的關系為____________.（填序號）①f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)②f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)③f(a)+f(-a)>f(b)+f(-b)④f(a)+f(-a)<f(b)+f(-b)11、已知函數(shù)在區(qū)間[-2，+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是__________.12、設函數(shù)y=f(x)為R上的減函數(shù)，且f(-2)=0，則不等式f(x-1)>0的解集是_____________.13、已知f(x)=-x2+2ax與g(x)=在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是__________.14、求f(x)=x2-2ax-1在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值.15、已知f(x)=ax2-2ax+2+b（a>0）在區(qū)間[2，3]上的值域為[2，5].（1）求a、b的值；（2）若