2020-2021學年長春市二道區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分）

1.下列是一元二次方程的是（）

A.-5x+2=lB.2x2-y+l=0C.x2+2x=0D.產一妥=°

2.下列計算正確的是（）

A.V16=+4B.V6+V3=2C.J（—3）2=-3D.（—V2）2=2

3.在探究“拋物線y=/—2x—3與x軸交于4、B兩點（4在B的左邊），過點4且與％軸成45。角的

直線，，與拋物線交于點c”的圖形性質時，小慧在得出“在第一象限存在一點G，第四象限存

在一點滿足條件”這一正確結論后，還由此得出下列結論：①△4C1C2的外接圓圓心在C1C2的

中點處；②G的橫坐標為4,C2的縱坐標為—3；③過點G、作X軸的垂線，垂足分別為。1、D2,

則△G/BsAC2D2B，則其中正確的為（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

4.下列事件是隨機事件的是（）

A.任意畫一個平行四邊形，它是中心對稱圖形

B.方程/一2x-1=。必有實數(shù)根

C.擲兩次骰子，骰子向上的一面的點數(shù)之積為14

D.李老師購買了1張彩票，正好中獎

5.為測量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明測得圖中所示的數(shù)據(jù)（單位：k4

米），則該坡道傾斜角a的正切值是（）

-!

4

B

-

3

C

3

-

5

D

4

-

5

6.兩個相似三角形的面積比是9：16,則這兩個三角形的相似比是（）

A.9：16B.3：4C.9：4D.3：16

7.如圖，在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,過對角線交點。作EF_LAC交A豈D

AD于點E,交BC于點凡則0E的長是（）

A.1

C.2

DT

8.二維碼已經給我們的生活帶來了很大方便，它是由大小相同的黑白兩色的小正方形（如圖1中C）

按某種規(guī)律組成的一個大正方形，現(xiàn)有25x25格式的正方形如圖1,角上是三個7x7的4型大

黑白相間正方形，中間右下一個5x5的B型黑白相間正方形，除這4個正方形外，若其他的小正

方形白色塊數(shù)y與黑色塊數(shù)支正好滿足如圖2所示的函數(shù)圖象，則該25x25格式的二維碼共有多

少塊黑色的C型小正方形（）

A.153B.218C.100D.216

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

9,若式子與有意義，則x的取值范圍是.

10.己知m為一元二次方程-8x+1=0的解，則巾2-6m+16

m2+l

11.如圖，在44BC中，LA=30°,48=45°,AC=2痘,則工.。=

12.在一個不透明的口袋中裝有5個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球

試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近，則估計口袋中白球大約有一個.

DC

13.如圖，已知零件的外徑為25mm,現(xiàn)用一個交叉卡鉗（兩條尺長4c和8。相等,

0C=0D）量零件的內孔直徑4B.若。C：0A=1：2,量得CD=10mm,則

零件的厚度%=mm.

P

14.如圖，四邊形4BCD是正方形，AP/W是等邊三角形，貝此4PB

R

三、計算題（本大題共1小題，共7.0分）

15.五一期間，小紅到美麗的世界地質公園湖光巖參加社會實踐活動，在景點P處測得景點B位于南

偏東45。方向；然后沿北偏東60。方向走100米到達景點4此時測得景點B正好位于景點4的正南

方向，求景點4與B之間的距離.（結果精確到0.1米）

四、解答題（本大題共9小題，共71.0分）

16.計算：|四一2|-（&+1）。+2（：0$45。+（3-2；

17.用公式法和配方法解方程：3x2-6x+1=0

公式法:

配方法:

18.為了了解全校3000名同學對學校設置的體操、籃球，足球、跑步、舞蹈等課外活動目的喜愛情

況，在全校范圍內隨機抽取了若干名同學，對他們喜愛的項目(每人選一項進行了問卷調查，將

數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計，并繪制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整)，請回答下列問

題

20

15

10

5

0

(1)在這次問卷調查中，一共抽查了名同學

(2)補全條形統(tǒng)計圖

(3)估計該校3000名同學中喜愛足球活動的人數(shù)

(4)在體操社團活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加

體操大賽.用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學的概率

19.某公司投資新建了一商場，共有商鋪30間.據(jù)預測，當每間的年租金定為10萬元時，可全部租

出.每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間.該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費

用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元.

(1)當每間商鋪的年租金定為13萬元時，能租出商鋪間.

(2)在10萬元的基礎上，若每間商鋪的年租金上漲x萬元，該公司的年收益為y萬元，寫出y與x之間

的關系式.

(3)為了使該公司的年收益不少于275萬元，應如何控制每間商鋪的年租金？(收益=租金-各種費用)

20.如圖，在△ABC中，已知MB=BC=AC=4cm,超_L踞于D,點P、Q分別從B、C兩點同

時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為lcm/s,點Q沿CA,4B向終點B運動，速度為2cm/s,

設它們運動的時間為t(s),

(1)求t為何值時，,理1.竣；

(2)當財3：63：罵時，求證：4。平分△PQC的面積;

(3)當多、:育T鬟時，求△PQD面積的最大值.

21.如圖1,拋物線y=ax2+c(a*0)與x軸交于點4和點0),與y軸交于點C(0,2),點P(2,t)是

該拋物線上一點.

(1)求此拋物線的解析式及t的值；

(2)若點。是y軸上一點，線段P。繞點。逆時針旋轉90。后，點P的對應點P'恰好也落在此拋物線上，

求點。的坐標；

(3)如圖2,直線I：y=kx+b交該拋物線于M、N兩點，且滿足MCJ.NC,設點P到直線，的距離是d,

求d的最大值.

22.如圖1,OA=2,OB=4,以4點為頂點、力B為腰在第三象限作等腰Rt△4BC.

(1)求C點的坐標；

(2)如圖1,在平面內是否存在一點H,使得以4、C、B、”為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在,

請直接寫出“點坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖1點是第四象限內的一點，在y軸上是否存在一點F,使得|FM-FC|的絕對值最大?

若存在，請求出F點坐標；若不存在，請說明理由

23.幾何探究

在AHBC中，AB=AC,。是直線BC上一點(不與點B、C重合)，以4。為一邊在4。的右側作△4DE,

AD=AE,/.DAE=^BAC,連接CE.

(1)如圖1,當點。在線段BC上時，求證：BD=CE.

(2)如圖2,若點。在線段CB的延長線上，乙BCE=a,484。=夕.則*￡之間有怎樣的數(shù)量關系？寫

出你的理由.

(3)如圖3,當點。在線段BC上，Z.BAC=90°,BC=4,求工℃￡最大值.

24.如圖，二次函數(shù)丫=。％2+bx+c(a#0)的圖象與％軸交于4(3,0),B(-l,0)兩點，與y軸相交于

點C(0,-4).

(1)求該二次函數(shù)的解析；

(2)若點P、Q同時從4點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度分別沿力B、4C邊運動，其中一點到達端點

時，另一點也隨之停止運動.

①當點P運動到B點時，在x軸上是否存在點E,使得以4、E、Q為頂點的三角形為等腰三角形？若

存在，請求出E點的坐標；若不存在，請說明理由.

②當P、Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點4恰好落在拋物線上。點處，請直接寫出t的值及。點

的坐標.

參考答案及解析

1.答案：c

解析：解：4、含有一個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；

8、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；

C、是一元二次方程，故此選項符合題意；

。、含有分式，不是一元二次方程，故此選項不符合題意.

故選：C.

根據(jù)一元二次方程的定義逐一判斷即可.

此題主要考查了一元二次方程定義，關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方

面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整

式方程”.

2.答案：D

解析：解：A、V16=4,故原題計算錯誤；

B、V6-V3=V2,故原題計算錯誤；

C、7(33)2=3,故原題計算錯誤；

D、(一企)2=2,故原題計算正確；

故選：D.

根據(jù)必=|a|，(VS)2=a(a>0),二次根式的除法法則：居=夠(aNO,b>0)進行計算即可.

此題主要考查了二次根式的性質和除法，關鍵是掌握計算公式.

3.答案：A

解析：解：?.?拋物線丫=/一2%-3與％軸交于4、B兩點(A在B的左邊)，

???4(-1,0),

設直線，的解析式為y=x+b,

???-1+b=0,

解得：b=l,

?,?直線2的解析式為y=%+1,

(y=x+1解得或憂。

由｛y=X2-2X-3

???A(T0),

Ci(4,5),

由憶亡2二解喉MJ：7

AC2=3V2,C1C2=2V17,ACi=5V2,

vACl+ACl=G戲，

??.△AC1C2的是以CiG為斜邊的直角三角形，

4GC2的外接圓圓心在GC2的中點處，故①②正確;

???需力箸，故③錯誤.

tSD]DU2

故選：A.

求出點做一1,0),求出直線/的解析式，利用方程組求出C1，C2的坐標，①可判斷AACiCz是以C1C2為

斜邊的直角三角形；②由求出的點G，Cz的坐標可判斷；③根據(jù)對應邊不成比例可判斷結論.

本題考查相似三角形的判定、拋物線與x軸的交點、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用方

程組求兩個函數(shù)圖象的交點坐標，屬于中考常考題型.

4.答案：D

解析：解：任意畫一個平行四邊形，它是中心對稱圖形是必然事件；

方程/一2x-1=。必有實數(shù)根是必然事件；

擲兩次骰子，骰子向上的一面的點數(shù)之積為14是不可能事件；

李老師購買了1張彩票，正好中獎是隨機事件，

故選：D.

根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可.

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事

件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，

可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

5.答案：A

解析：試題分析：根據(jù)正切的定義，即所對的直角邊與鄰邊的比值，即可求解.

AC=3,BC=4.

貝!Itana=—=

BC4

故選：A.

6.答案：B

解析：試題分析：因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，所以這兩個三角形的相似比是3：4.

??,兩個相似三角形的面積比為9：16,

???它們對應的相似比是3：4.

故選8.

7.答案：B

解析：

本題考查了矩形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理；熟練掌握矩形的性質，由勾股定理得

出方程是解題的關鍵.

連接CE,由矩形的性質得出乙40c=90。，CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC,由線段垂直平

分線的性質得出4E=CE,設DE=x,貝!]CE=4E=8-x,在RtACOE中，由勾股定理得出方程，

解方程即可.

解：連接CE,如圖所示，

???四邊形4BCD是矩形,

???Z.ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC,

■■■EFLAC,

AE=CE,

設DE=x,貝UCE=4E=8—x,

在RtACOE中，由勾股定理得：xz+62=(8-x)2,

解得：x=：,

4

7

即DE=~

4

故選B.

8.答案：C

解析：解：設丁=。/+6%+。，

c=153(a—0.1

400a+20b+c=33,得,=-8,

900a+30b+c=31c=153

???y=O.lx2—8x+153.

,:C型小正方形白色塊數(shù)與黑色塊數(shù)之和是：25x25-7x7x3-5x5=453,

:.x+(O.lx2—8%+153)=453,

解得，x1=100,x2=-30(舍去)，

即C型小正方形黑色塊數(shù)為100,

故選：C.

根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得二次函數(shù)的解析式，從而可以得到X與y的關系，再根據(jù)題意即可得

到關于久的方程，從而可以求得久的值，本題得以解決.

本題考查二次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

9.答案：x<5

解析：解：???式子VT與有意義，

5—x>0,

解得：%<5,

則x的取值范圍是：x<5,

故答案為：%<5.

直接利用二次根式的定義進而得出答案.

此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式定義是解題關鍵.

10.答案：15

解析：解：??,m為一元二次方程X2-8刀+1=0的解，

，m2—8m+1=0,

.??m2=8m—1,

1616

???m2—6m+8m—1-6m4-

m2+18m—1+1

2

=2mH-------1

m

27n2+2

=--------------1

m

—2+2

--------------------1

m

=16-1

=15.

利用一元二次方程根的定義得到血2=8TH-1,則機2一6m+U化為8m-1-6m+所

mz+l8?n-l+l

以原式=2機+巳-1,然后通分后再進行降次，最后約分即可.

m

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

11.答案：過也

2

解析：解：如圖，過點C作。D于點C.

???在直角△ACD中，44=30。，AC=2V3.\

AD—AC-cos30°-2>/3X—=3,CD=|/1C=V3.

22

???在直角ABCO中，Z.B=45°,CD=V3，

BD=CD=V3>

.-.AB=AD+BD=3+y/3

??SXABC=|/ie-CD=1x(3+V3)xV3=手.

故答案是：3.

2

如圖，過點C作CO_L4B于點D.通過解直角AACO求得CO、4。的長度，通過解直角△BCD求得BD的

長度；則易求4B=4D+BD；然后由三角形面積公式進行解答.

本題考查了解直角三角形.對于此類題目，不是直角三角形，要利用三角函數(shù)必須構筑直角三角形，

知道三個元素(至少有一個是邊)，就能求出其余的邊和角.進而求面積，在轉化時，盡量不要破壞

所給條件.

12.答案:20

解析：解：設白球個數(shù)為：X個，

???摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，

二口袋中得到紅色球的概率為0.2=

???--5--=1

5+x5

解得：x=20,

即白球的個數(shù)為20個，

故答案為：20.

由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近得出口袋中得到紅色球的概率，進而求出白球個數(shù)即可.

此題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關鍵.

13.答案：2.5

解析：解：?.?兩條尺長4c和BD相等，OC=OD

:.OA=OB

vOC：OA=1：2

???OD：OB=OC：OA=1：2

???乙COD=LAOB

??.△COD

???CD：AB=OC：OA=1：2

vCD=10mm

???AB=20mm

:.2x+20=25

:.x=2.5mm.

要求零件的厚度，由題可知只需求出力B即可.因為CD和4B平行，可得△AOBs/kC。。，可以根據(jù)相

似三角形對應邊成比例即可解答.

本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求

出零件的內孔直徑4B即可求得x的值.

14.答案:15。

解析：解：???四邊形Z8CD是正方形，是等邊三角形，

???4BAP=乙BAD+^PAB=90°+60°=150°.

vPA=AD,AB=ADf

:.PA=AB,

:.Z,APB=(180°-150°)+2=15°.

故答案為：15°.

根據(jù)題意知△力BP是等腰三角形，且4B4P=90。+60。=150。.根據(jù)三角形內角和定理及等腰三角形

性質求底角/即可.

此題考查了正方形的性質和等邊三角形的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形和等邊三角形的

性質，利用特殊角的度數(shù)解決問題.

北

15.答案：解：由題意可知：作PC14B于C,弋A

乙4cp=4BCP=90°,乙4PC=30。，乙BPC=45°.：

在Rt△4cplt

vZ.ACP=90°,Z.APC=30°,

???AC=-AP=50,PC=V3AC=50A/3.

在中，

???乙BCP=90°,4BPC=45°,

BC=PC=50V3.

???AB=AC+BC=50+50V3?50+50X1.732?136.6(米).

答：景點4與B之間的距離大約為136.6米.

解析：由已知作PC1AB于C,可得AABP中乙4=602B=45。且P4=100m,要求48的長，可以

先求出4C和BC的長.

本題考查了解直角三角形的應用，對于解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解

直角三角形的問題，解決的方法就是作高線.

16.答案：解：原式=2一1+2x￥+4

=5.

解析：按照從左到右的順序，先算絕對值，再算零指數(shù)累、特殊角三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)累，最

后進行加減運算.

本題主要考查實數(shù)的運算，需要熟練掌握絕對值的運算、零指數(shù)累、負整數(shù)指數(shù)塞以及特殊角的三

角函數(shù)值.

17.答案：解：3%2-6%+1=0中，a=3,b=—6,c=1,

△=b2-4ac=(-6)2—4x3x1=24,

巡

6+2>/6V6，A

Xi1=---6----=1H——3x24=1----3-;

(2)移項，得3——6%=—1,

二次項系數(shù)化為1,得/一2%=一!

配方,得(工_1)2號.

開方，得一d

1I61遍

=1+丁x2=1-y

解析：根據(jù)公式法：X=i土心-4",可得方程的解;

2a

根據(jù)配方法，可得方程的解.

本題考查了解一元二次方程，公式法要用一般形式，再利用根的判別式.

18.答案：50

解析：解：(1)?.?喜歡跑步的有5名同學，占10%,

二在這次問卷調查中，一共抽查了學生數(shù)：5+10%=50(名);

故答案為：50；

(2)喜歡足球人數(shù)：50-5-20-5-3=17(A)；

(3)該校3000名同學中有人喜愛足球活動的有：3000xg=1020(名);

(4)畫樹狀圖得：

開始

甲乙丙丁

/1\/N/N/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

???共有12等可能的結果，恰好選中甲、乙兩位同學的有2種情況,

???恰好選中甲、乙兩位同學的概率為：=

INo

(1)由喜歡跑步的有5名同學，占10%,即可求得總人數(shù)；

(2)由(1)可求得喜歡足球的人數(shù)，繼而補全條形統(tǒng)計圖；

(3)利用樣本估計總體的方法，求得答案；

(4)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好選中甲、乙兩位同學的情

況，再利用概率公式即可求得答案.

此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形與扇形統(tǒng)計圖的知識.用到的知識點為：概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

19.答案：解：(1)24

(2)y=(x-1)x[30-(x-10)+0.5]-[(x-10)+0.5]x0.5,

=-2x2+51x—40；

(3)275=-2x2+51X-40,

解得=10.5,x2=15

答：每間商鋪的年租金定為10.5萬元或15萬元.

解析:

解:(1)租出間數(shù)為：30-(130000—100000)+5000=30-6=24間；

故答案為：24

(2)見答案;

(3)見答案.

(1)根據(jù)租出間數(shù)=30-增加了多少個5000元，計算即可；

(2)根據(jù)年收益=租出去的商鋪的收益-未租出的商鋪的費用計算即可；

(3)把(2)得到的關系式中的函數(shù)值等于275計算即可.

本題考查了二次函數(shù)的應用；解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等

量關系，列出方程，再求解.本題中的等量關系題目中已經給出，相對降低了難度.

20.答案：(1)當t=?(Q在4C上)時，.形1.盤；

售

(2)證明見解析；

(3)當t=1時，△PQD面積般的最大值為苴￡；海了.

愚…

解析：試題分析：(1)若使PQ14C,則根據(jù)路程=速度x時間表示出CP和CQ的長，再根據(jù)30度的直

角三角形的性質列方程求解；

(2)根據(jù)三角形的面積公式，要證明4。平分△PQD的面積，只需證明。是PQ的中點.根據(jù)題意可以

證明BP=CN,則PD=DN,再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；

(3)△PQ。面積與t的函數(shù)關系式，再求最大值即可.

試題解析：（1）當Q在AB上時，顯然不存在,形1.，窗;

當Q在AC上時，BP=t,CQ=2x,PC=4-t

vAB=BC=AC=4cm,

:.Z.C=60°

若，抽1.絲，則NQPC=30。

???PC=2QC,

???4—t=2X23

4

t=一,

售

當t=-（Q在AC上）時，.?g±.理；

售

（2）過點Q作QE1BC于點E,

???Z.ODP=90°=乙QEP,4OPD=4QPD

???△ODP-AQEP

???當醺?〈盒時，BP=t,PD=,

又CQ=2t,CE=t,PE=BC-BP-CE=4-t-t=4-2t

APD=-PE,

?',?治蹦警=1留癖量J

.??4。平分△「(2/)的面積；

⑶當陰:6.“：罷時，設^PQD面積為.哪?游,

,:PD=，QE=晶

.?.解=±第一糜..揚=

&2

二當t=1時，△PQD面積”的最大值為、土雪減產.

考點：等邊三角形的性質.

21.答案：解：⑴??,拋物線y=ax?+c過點8(或,0)與點C(0,2),

邛:+:°解得：F=;1,

(0+c=21c=2

二拋物線解析式為y=-x2+2,

?.?點P(2,t)是該拋物線上一點，

t=-4+2=-2；

(2)過點P作PE1y軸于點E,過點P'作P'F1y軸于點F,

???4PED=乙DFP'=90°,

???P(2,-2),

:.PE=2,OE=2,

設。(0,d),

①若d>-2,即點。在點P上方，則點P'在y軸右側，如圖1,

???PD繞點。逆時針旋轉90。得到P'D,

???Z.PDP'=90°,PD=P'D,

■.乙FDP'+乙PDE=4FDP'+乙DP'F=90°,

4PDE=乙DP'F,

NDFP'=乙PED

在△DFP'與△PED中,,乙DP'F=LPDE，

.DP'=PD

DFP'^hPED(AAS),

DF=PE=2,FP'=DE=d+2,

P'(d+2,d+2),

?.?點P'也在拋物線上，

—(d+2產+2=d+2,

解得：dj=-4(舍去)，d2=-1,

???￡>(0,-1),

②若d<—2,即點。在點P下方,則點P'在y軸左側，如圖2,

圖2

???DE=-2—d,

同理可證：△OFP'三APE。，

???DF=PE=2,FP'=DE=-2-d,

???P'(d+2,d+2),

—(—d—2尸+2=d+2,

解得:di=-4,d2=-1(舍去),

???。(0,-4),

綜上所述，點。的坐標為(0,-1)或(0,-4)；

(3)設點M、N的坐標分別為：01，%)、(%2、72)?直線，與y軸交于點R，

聯(lián)立y=-x2+2,y=fcx+b并整理得：

%24-/ex+(h—2)=0,

+%2=—%xix2=b—2,

yi=kxr+b,y2=kx2+b,

故點C作％軸的平行線GH,分別過點M、N作y軸的平行線交GH于點G、H,

MCA.NC,:?乙GCM+乙HCN=9。。,乙HCN+乙CNH=90。,

???乙CNH=4GCM,

tanZ.CNH=tanzGCM,即：焉=答，

即：言號

-xrx2=4-2yl-2y2+丫。2，其中與+x2=-k,xtx2=b-2,%=kxr4-b,y2~k尤2+b,

整理得：b2-3b+2=0,整理得：b=l或2(舍去2),

故：6=1,

則點R(0,l),而點尸(2,-2),

過點P作PK11交于點K,

則d=PK=RPcosZ.RPK,

當NRPK=0。時，d取得最大值為：PR=,22+(1+2產=g

解析：(1)已知拋物線上的點B、C坐標，用待定系數(shù)法即求得解析式；把P的橫坐標代入解析式，即

求得縱坐標t的值；

(2)按點P'在y軸左側或右側畫出兩種情況的圖形，分別作點P、P'與y軸的垂線段PE、P'F,易證△

DFPOPED,由全等三角形對應邊相等，可用含d的式子表示P'尸與FD,進而用d表示點P'的坐標，

即可求解；

(3)tan4CNH=tan/GCM,即：黑=吟，即：-x^=4-2yj-2y2+yiy2>整理得：

nINUC人1

/—3力+2=0,解得：b=1,即可求解.

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、三角形全等、解直角三角形等，其中（3）,用韋

達定理處理復雜數(shù)據(jù)，是本題本題解題的難點.

22.答案：解：(1)如圖1,過C作CMlx軸于M點,

???/.MAC+/.OAB=90°,/.OAB+Z.OBA=90°,

則NM4C=4OBA,

在40B4中，

2CMA=4AOB=90°

2LMAC=N0B4,

.AC=AB

??.△MAC三△084(44S),

???CM=OA=2,MA=OB=4,

：.OM=OA+AM=2+4=6,

.??點C的坐標為(-6,-2)

(2)答：如圖2,存在三個H點，

???4(-2,0),5(0,-4),。(一6,-2),

???根據(jù)8到4的平移規(guī)律可得C到乩的平移規(guī)律,

則匕(一8,2),

同理得42（-4,—6）、〃3（4,—2）

（3）答：存在，尸（0,一》，

如圖3,作點”（1,一1）關于y軸的對點

連接CFi、M&,由于|FM-FC|WCM,

當C、M'、尸三點共線時取等號，

連接CM',與y軸交于點F即為所求，

設CM的解析式為：y=kxb,

把C（-6,-2）、-1）代入得,｛二屋箕二2

1

5

解得：r

b=-4

5

14

???y=-X——

當x=0時，y=

4

???”0,一耳).

解析：(1)證明△MAC三A0B4(44S),根據(jù)三角形全等時對應邊相等可得C的坐標；

(2)根據(jù)平移規(guī)律可得三個H點的坐標；

(3)如圖3,作點關于y軸的對點(一1,一1),連接CB、MFr,由于尸M-FC|WCM,當C、

M'、F三點共線時取等號，連接CM',與y軸交于點尸即為所求，根據(jù)直線解析式，令％=0可得與y軸

的交點戶的坐標.

本題考查四邊形綜合題、軸對稱的最短路徑問題、等腰直角三角形的性質和判定、三角形全等的性

質和判定等知識，第3問有難度，確定點F的位置是關鍵，學會用平移的規(guī)律確定點的坐標，屬于中

考壓軸題.

23.答案：⑴證明：v^BAC=^DAE,

^BAC-乙DAC=乙DAE-"AC,即=ACAE,

在△4B0和△ACE中，

AB=AC

Z.BAD=/.CAE1

AD=AE

三△4CE(S4S),

BD=CE；

(2)解：a=p.

理由如下：同(1)的方法可得，△4Bnwz\ACE(SAS),

???Z.ACE=Z.ABD,

乙BCE=a,

???/.ACE=乙4cB+乙BCE=乙4cB+a,

在△ABC中，AB=AC,Z.BAC=p,

：./.ACB=/.ABC=|(180。一夕)=90。一|4，

4ABD=180°-/.ABC=90°+],

Z.ACE=Z.ACB+a=90°--/?+a,

,:/.ACE=乙ABD=90°+-S,

2L

90°-1/?+a=90。+/

圖3

???a=8：

(3)解：如圖3,過點4作4"于H,

-AB=AC,Z,BAC=90°,

???(ABC=45°,

BH=AH=HC=-BC=2

29

同(1)的方法可得，△ABD三△ACE(SAS),

SMEC=S^ABD>

SMEC+S—DC=SAMD+S^ADC,即S四邊幽DCE=SMBC=]X4X2=4,

SADCE=S四邊形ADCE~SAADE,

當S&4DE最小時，SA℃E最大，

當40J.8C時,AD最小，最小值是2,

11?SA.DE最小值是aX2x2=2,

"S4DCE最大=4-2=2。

解析：⑴利用S4S定理證明A/IBD三△4CE,根據(jù)全等三角形的對應邊相等證明；

(2)根據(jù)全等三角形的性質得到N4CE=^4BD,根據(jù)等腰三角形的性質、三角形內角和定理得到

乙4cB=^ABC=90°-斜，根據(jù)三角形的外角性質列式計算即可；

(3)作4"1BC,根據(jù)等腰直角三角形的性質求出4H,證明△48。三△4CE,得到S-EC=S-BO，根

據(jù)垂線段最短解答即可.

本題考查的是全等三角形的判定和性質、三角形的面積計算、垂線段最短、等腰直角三角形的性質，

掌握全等三角形的判定定理和性質定理、等腰直角三角形的性質是解題的關鍵.

24.答案：解：⑴???二次函數(shù)y=<n：2+b%+c的圖象與％軸交于4(3,0),5(-1,0),

C(0,-4).

'9a+3b+c=0

a—b+c=0，

.c——4

4

a=-