第二講有理數(shù)

(1)理解有理數(shù)的意義，用有理數(shù)表示一些有相反意義的數(shù)量；

(2)掌握數(shù)軸，相反數(shù),絕對(duì)值的概念，建立非負(fù)數(shù)思想.；

教學(xué)目標(biāo)

(3)理解應(yīng)用有理數(shù)的運(yùn)算法則準(zhǔn)確地進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算；

(4)建立數(shù)感，體會(huì)數(shù)軸模型在數(shù)的表示中的重要性,初步形成數(shù)形結(jié)合的思想.

教學(xué)重點(diǎn)及相應(yīng)策略能理解并應(yīng)用有理數(shù)解決實(shí)際問題，

教學(xué)難點(diǎn)及相應(yīng)策略能利用相反數(shù)，絕對(duì)值的意義，有理數(shù)的運(yùn)算法則解決問題

教學(xué)方法建議講授法，設(shè)問法，舉例法,練習(xí)矯正法.

課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)

第1-2課時(shí)A類(1)道(6)道(3)道

選材程度及數(shù)量B類(6)道(5)道(5)道

C類(3)道(2)道(2)道

課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)

第3—4課時(shí)A類(3)道(5)道(1)道

選材程度及數(shù)量B類(5)道(7)道(3)道

C類(3)道(1)道(3)道

課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)

第5—6課時(shí)A類(0)道(1)道(1)道

選材程度及數(shù)量B類(5)道(5)道(5)道

C類(3)道(2)道(3)道

第1-2課時(shí)有理數(shù)的意義及相關(guān)概念

一、知識(shí)梳理

1.正、負(fù)數(shù)的概念

像1、L、1.2,…這樣的大于零的數(shù)叫做正數(shù);在正數(shù)的前面加上"-"號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù).

2

。既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).

我們常常用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示一些相反意義的量.

2.有理數(shù)的定義及分類

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

有理數(shù)的分類：

按符號(hào)分：

‘正整數(shù)：如1,2,3…

正有理數(shù)1119

正分?jǐn)?shù):如一，一,5.2,3-,45%...

I235

有理數(shù)《0

負(fù)整數(shù)如

負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù):如一，,-2,-35

按定義分:

‘正整數(shù):如1,2,3…

整數(shù)0

負(fù)整數(shù):如T,-2,-3...

有理數(shù)《

I4

正分?jǐn)?shù):如一,一,5.2,89%...

分?jǐn)?shù)”23

2

負(fù)分?jǐn)?shù):如--,-58%,-0.16...

3

3.數(shù)軸：畫一條水平的直線，在直線上取一點(diǎn)表示零（叫做原點(diǎn)）選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)

度，規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较?，就得到?shù)軸。

（三要素：原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向。易混淆點(diǎn)：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度可任意選取。）

有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：

任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示。

數(shù)軸的判斷方法：

要判斷是否為數(shù)軸，應(yīng)抓住它的三要素：原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度，三者缺一不可。

數(shù)軸的表示方法：

數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)可用大寫字母標(biāo)出，寫在數(shù)軸上方相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的上面，原點(diǎn)用O表出，

它表示數(shù)0,數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)用小寫字母表示.寫在數(shù)軸下方.數(shù)軸上原點(diǎn)位置根據(jù)需要

來(lái)確定，不一定在中間，在同一數(shù)軸上，單位長(zhǎng)度要相同。

比較大小（數(shù)軸）：

數(shù)軸從左至右依次增大，所以先在數(shù)軸確定兩個(gè)（或多個(gè)）數(shù)的位置，然后按它的特

點(diǎn)進(jìn)行判斷。數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大。正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,

正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小

三大步驟：（1）先分別寫出兩負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；（2）比較這兩個(gè)絕對(duì)值的大小。（3）

絕對(duì)值大的反而小。

有理數(shù)大小的比較法則

正數(shù)都大于0;負(fù)數(shù)都小于0;正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小。

4.相反數(shù)

代數(shù)定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們稱其中一個(gè)為另一個(gè)的相反數(shù)，這兩數(shù)也互稱為相

反數(shù)。0的相反數(shù)是0。

幾何定義：兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)在數(shù)軸上分別到原點(diǎn)的距離相等。

5.絕對(duì)值

代數(shù)定義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。

用式子表示為：

[a（a>0）

|a|=〈o

-a（a<0）

幾何定義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，記作

二、易錯(cuò)知識(shí)辨析

1.自然數(shù)，非負(fù)數(shù),非正數(shù)，非零有理數(shù)所代表的數(shù)中零的位置；

2.數(shù)軸上到任一點(diǎn)距離相等的點(diǎn)所表示的數(shù)有兩個(gè)，他們不一定互為相反數(shù)；

3.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)不一定一正一負(fù)，絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值等于它的相

反數(shù)的數(shù)是非正數(shù).

4.原點(diǎn)代表的有理數(shù)為零,并不代表沒有，它代表的是一個(gè)基準(zhǔn)值.

三、課堂精講例題

例題組1訓(xùn)練重點(diǎn):關(guān)注零在有理數(shù)中的地位,強(qiáng)化有理數(shù)是帶符號(hào)的數(shù)的思想.

1.下列說(shuō)法：①零是正數(shù)②零是整數(shù)③零是最小的有理數(shù)④零是最小的自然數(shù)

⑤零是最大的負(fù)數(shù)⑥零是非負(fù)數(shù)⑦零是偶數(shù)

其中正確的說(shuō)法為（）.難度分級(jí)：A類

解析：有理數(shù)分為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，整數(shù)分為正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)，自然數(shù)為零和正整數(shù),

偶數(shù)的相反數(shù)、零也是偶數(shù)。故正確的說(shuō)法為②④⑥⑦。

2.體育課上全班女生進(jìn)行百米測(cè)驗(yàn)達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?8秒，下面是第一小組8名女生的成績(jī)記錄,

其中“+”表示成績(jī)大于18秒,“一”表示成績(jī)小于18秒。這個(gè)小組女生的達(dá)標(biāo)率是（）

A.25%B.37.5%C.50%D.75%

I-21+0.310|01-1-21-1I-H）.51-0.4難度分級(jí)：B類

解析：達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?8秒，即小于等于18秒為達(dá)標(biāo)，以18秒為基準(zhǔn)值，得到的有理數(shù)中的

非負(fù)數(shù)的成績(jī)達(dá)標(biāo)，所以達(dá)標(biāo)率等于75%,故選D。

3.七名同學(xué)的體重以48kg為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)即為正，不足記為負(fù)，記錄如下

編號(hào)1234567

與標(biāo)準(zhǔn)體重的差（kg）-3.0+1.5+0.80+0.3+1.2+0.5

A.最接近標(biāo)準(zhǔn)體重的學(xué)生體重是多少?并說(shuō)明這個(gè)有理數(shù)的意義.

B.按體重的輕重排列時(shí)，恰好居中的是哪位同學(xué)？

難度分級(jí)：B類

解析：A,最接近標(biāo)準(zhǔn)體重的學(xué)生體重為48kg,它表示的有理數(shù)為0,其意義為與標(biāo)準(zhǔn)體重的

差值為零。

B,按體重排列，由小到大排列為：-3.0,0,+0.3,,+0.5,+0.8,+1.2,+1.5,故居中的是7號(hào)學(xué)生。

4.觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律?請(qǐng)接著寫出后面的三個(gè)數(shù)，?并寫出第

150個(gè)數(shù).

1

(1)1,--,,，第150個(gè)數(shù)是；

23'4'5'67'8-

1_1!

⑵1，F(xiàn),，第150個(gè)數(shù)是；

2345678

111111

(3)1,-,-,,1,,，第150個(gè)數(shù)是

234234

難度分級(jí)：C類

解析：本題主要關(guān)注三個(gè)部分，數(shù)的符號(hào)，分式的分子分母的變化。

（1）符號(hào)一正一負(fù)出現(xiàn)，偶數(shù)個(gè)數(shù)為負(fù)，分子均為1,分母為正整數(shù)，故答案為-一!一，

150

（2）符號(hào)四個(gè)數(shù)一循環(huán)，每個(gè)循環(huán)中第一個(gè)數(shù)為正，其余三個(gè)數(shù)為負(fù)，分子分母的規(guī)律

與（1）相同，故答案為-----，

150

循環(huán)出現(xiàn)，故答案為‘

(3)

2

搭配課堂訓(xùn)練題

1.如果。表示有理數(shù)，那么下列說(shuō)法中正確的是（）

（A）+a和-。一定不相等（B）-。一定是負(fù)數(shù)

（C）-（+。）和+（-“）一定相等（D）|“|一定是正數(shù)難度分級(jí)：A類

2.71是（）

（A）整數(shù)（B）分?jǐn)?shù)（C）有理數(shù)（D）以上都不對(duì)難度分級(jí)：A類

3.大于-3.5,小于2.5的整數(shù)共有（）個(gè)。

（A）6（B）5（C）4（D）3難度分級(jí)：A類

4.寫出三個(gè)有理數(shù),使它們滿足:①是負(fù)數(shù);②是整數(shù);③能被2、3、5整除。答:.

難度分級(jí)：B類

5.某公司今年第一季度收入與支出情況如表所示（單位：萬(wàn)元）

月份一月二月三月

收入324850

支出121310

請(qǐng)問：（1）該公司今年第一季度總收入與總支出各多少萬(wàn)元？

（2）如果收入用正數(shù)表示，則總收入與總支出應(yīng)如何表示？

（3）該公司第一季度利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？難度分級(jí)：B類

例題組2訓(xùn)練重點(diǎn):數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)與點(diǎn)的距離與點(diǎn)的關(guān)系，初步形成數(shù)形結(jié)合

的思想

1.數(shù)軸上原點(diǎn)右邊4.8厘米處的點(diǎn)表示的有理數(shù)是32,那么，數(shù)軸左邊18厘米處的點(diǎn)表示

的有理數(shù)是。難度分級(jí)：B類

解析：原點(diǎn)右邊到原點(diǎn)4.8cm處的點(diǎn)表示的數(shù)為32,則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為32個(gè)單位長(zhǎng)度,

則每個(gè)單位長(zhǎng)度為cm,離原點(diǎn)18cm的點(diǎn)有個(gè)單位長(zhǎng)度，該點(diǎn)又在原點(diǎn)左邊，所以有理數(shù)為

-120.

2..一數(shù)軸上的A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2.,那么數(shù)軸上到A點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)所表示的數(shù)

有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)難度分級(jí)：B類

解析：數(shù)軸上到A的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，到這兩個(gè)點(diǎn)距離相等的點(diǎn)又分別有兩個(gè)，且

距離不相等，所以表示的數(shù)有4個(gè)。故選D。

3.借助數(shù)軸列式回答下列問題

(1)與原點(diǎn)相距!2■的點(diǎn)表示的數(shù)是什么？

(2)與-3相距|2■的點(diǎn)表示的數(shù)是什么？

(3)一個(gè)點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,把A點(diǎn)向左移動(dòng)2個(gè)單位后所得的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為什么？

7

(4)兩個(gè)點(diǎn)A,B分別表示的數(shù)為-1,1，有一個(gè)點(diǎn)C到這兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)C表示的數(shù)

4

為什么？

難度分級(jí)：C類

解析：如圖數(shù)軸

IIIIII1IIII.

-5-4-3-2-1012345

2

(1)該數(shù)為土一

3

21

(2)該數(shù)表示的點(diǎn)在-3左邊，則該數(shù)為-3—；該數(shù)表示的點(diǎn)在-3右邊，則該數(shù)為-2—

33

(3)把A向左移動(dòng)2個(gè)單位，A表示：一2」。

7

-3

(4)到A、B兩個(gè)點(diǎn)距離相等的點(diǎn)C表示的數(shù)為：-一。

8

搭配課堂訓(xùn)練題

1.畫一條數(shù)軸，并在數(shù)軸上找出比-21大，且比小的整數(shù)點(diǎn).難度分級(jí)：A類

32

2.根據(jù)下面給出的數(shù)軸，解答下列問題：

AB

-----?----?.-----?-----?-----?-----?-----??-----------?-------->

-5-4-3-2-101234------5

(1)A、B兩點(diǎn)之間的距離是多少？

(2)畫出與點(diǎn)A的距離為2的點(diǎn)(用不同于A、B的字母在所給的數(shù)軸上表示)。

(3)數(shù)軸上，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是多少？難度分級(jí)：B類

3.有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列不等式正確的是()

A.a>bB.-a>-bCb>oD.a>o

a0b

難度分級(jí)：B類

例題組3訓(xùn)練重點(diǎn):相反數(shù),絕對(duì)值的意義，進(jìn)一步理解有理數(shù)，提高運(yùn)用數(shù)的能力.

1.已知I—a|—a=0,則a是數(shù)；已知弛=一1(。<0),那么a是

ab

數(shù)。

難度分級(jí)：B類

解析:卜a/a=0,即為卜a|=a,.'.aeO,￡>>0,>>0,即，a是正數(shù)

2.(1).+5的相反數(shù)是-5,-5的相反數(shù)是5,那么數(shù)x的相反數(shù)是,數(shù)-x的相反數(shù)是

；數(shù)-。+上12的相反數(shù)是；數(shù)機(jī)+1上〃的相反數(shù)是。

b2

(2)因?yàn)榈近c(diǎn)2和點(diǎn)6距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)是4,有這樣的關(guān)系4=,(2+6),那么到點(diǎn)

一46一

100和到點(diǎn)999距離相等的數(shù)是；到點(diǎn)一距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)是

57

：到點(diǎn)m和點(diǎn)-n距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)是。

(3)已知點(diǎn)4和點(diǎn)9之間的距離為5個(gè)單位，有這樣的關(guān)系5=9-4,那么點(diǎn)10和點(diǎn)-3.2

之間的距離是:點(diǎn)m和點(diǎn)n(數(shù)n比m大)之間的距離是。

(4)數(shù)5的絕對(duì)值是5,是它的本身；數(shù)-5的絕對(duì)值是5,是它的相反數(shù)；以上由定理非

負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，非正數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)而來(lái)。由這句話，正數(shù)-a的絕

對(duì)值為;負(fù)數(shù)-b的絕對(duì)值為:負(fù)數(shù)1+。的絕對(duì)值為,正數(shù)

-a+1的絕對(duì)值。

難度分級(jí)：B類

121

解析：(1)-X；x；a----；-m—n；

b2

求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是給整體添一個(gè)負(fù)號(hào)即可。

,、109929m-n

(2)-----；一；-----；

2352

求數(shù)軸上到兩個(gè)數(shù)表示的點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)為兩數(shù)相加再除以2.

(3)13.2；n—tn\

(4)a；b；—\—a；\—a

正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。

3.(1)如果|x-2|=2,求x,并觀察數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離。

(2)在(1)的啟發(fā)下求適合條件|x-1I<3的所有整數(shù)x的值。難度分級(jí)：C類

解析：(1)?.?絕對(duì)值等于2的數(shù)為±2

二九=0或無(wú)=4

...軸上表示x的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離為1或3

（2）其意義為到表示1的點(diǎn)的距離小于3的所有的數(shù)1-3=-2與1+3=4這兩個(gè)數(shù)之間的所有

數(shù)，其中整數(shù)有-1,0,1,2,3。

搭配課堂訓(xùn)練題

1.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.正數(shù)的絕對(duì)值一定大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值B.相反數(shù)等于它本身的數(shù)只有零

C.一個(gè)有理數(shù)不是正數(shù)就一定是負(fù)數(shù)D.絕對(duì)值等于它本身的數(shù)只有零.

難度分級(jí)：A類

IJ|z?|

2.若，山。0,則口+U的取值不可能是（

ab

A.0B.1C.2D.-2難度分級(jí)B：類

3.絕對(duì)值大于1而小于4的整數(shù)有,這些整數(shù)之和為。

難度分級(jí)：A類

4.若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是2,則幺電+n?-cd的值為。

m

難度分級(jí)：C類

5.若|a+2|+（b-3）2=0,則2=_,b=_,ab2=.難度分級(jí)：C類

四、鞏固練習(xí)

1.下列各數(shù)中，大于小于j的負(fù)數(shù)是（?

22

A--B--C.-?D0

333

難度分級(jí)：A類

2.文具店、書店和玩具店依次座落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩

具店位于書店?yáng)|邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了一60米，此時(shí)

小明的位置在（）

A.文具店B.玩具店

C.文具店西40米處D.玩具店西60米處難度分級(jí)：B類

3.在0,—,——r—8,+10>+19,+3,—3.4,兀中整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

25

A.6B.5C.4D.3

難度分級(jí)：A類

4.下面是具有相反意義的量，請(qǐng)用箭頭標(biāo)出其對(duì)應(yīng)關(guān)系

增產(chǎn)95哈斤節(jié)約15阡迎建二^±2局海平面上10米

海平面下5米打球敗2局浪費(fèi)電25千瓦/時(shí)減少200公斤

難度分級(jí)：A類

5.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A.B.O、C.D分別表示-5、-1.5、0、2.5、6,回答下列問題.

ABOCD

----1-----1---------1----?--1--------4-------1--------1---?----1------1--------1--------4-----

-5-4-3-2-10123456

(1)0、C以及B.D兩點(diǎn)間的距離各是多少？

(2)你能發(fā)現(xiàn)所得的距離與這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的差有什么關(guān)系嗎?并請(qǐng)說(shuō)出這個(gè)關(guān)系；

(3)假如數(shù)軸上任意兩點(diǎn)A.B所表示的數(shù)是"請(qǐng)你用一個(gè)式子表示這兩點(diǎn)間的距

離.難度分級(jí)：B類

6.若同=a,則a；若同=-a,貝Ua；

若。>-a,則a；若?。，則a；若一。<(),則。；

若@=1，則a；若回=一1,則a。難度分級(jí)：B類

aa

7.數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)-1,若|AB|=3,則點(diǎn)B所表示的數(shù)為。

難度分級(jí)：B類

8.若兇=2,y=3,則x+y。難度分級(jí)：B類

3a

9.(1)已知同=],例=茄，且b<a,求a、b的值

(2)已知a<0力>0,同>瓦試用“v”號(hào)將ayb-a-b連接起來(lái)。難度分級(jí)：C類

10.化簡(jiǎn)裝的結(jié)果是________o難度分級(jí)：C類

|a|

第3—4課時(shí)有理數(shù)的運(yùn)算

一、知識(shí)梳理

有理數(shù)的加、減法

1.有理數(shù)加、減法的定義

（1）把兩個(gè)數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算，叫做有理數(shù)的加法。

（2）已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法。

2.有理數(shù)加、減法法則（重點(diǎn)）

（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加

（同號(hào)相加，符號(hào)不變，絕對(duì)值相加）

（2）異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。

（異號(hào)相加，符號(hào)同大，絕對(duì)值相減）

（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得零

（4）一個(gè)數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)

（5）減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)

3.有理數(shù)加法的運(yùn)算律（難點(diǎn)）

加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即8

加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和

不變。即（a+〃）+c=a+（/?+c）

4.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法和步驟（難點(diǎn)）

第一步：運(yùn)用減法法則將有理數(shù)混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。

第二步：運(yùn)用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算

有理數(shù)的乘、除法

1.有理數(shù)的乘、除法法則（重點(diǎn)）

（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘

任何數(shù)與零相乘，積仍為零

（2）兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

0除以任何不為0的數(shù)，都得0

除以一個(gè)不等于零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

2.倒數(shù)、負(fù)數(shù)的倒數(shù)（重點(diǎn)）

(1)若兩個(gè)有理數(shù)的乘積為1,則這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)

(2)求一個(gè)負(fù)整數(shù)的倒數(shù)，直接寫成這個(gè)數(shù)分之一即可；

求一個(gè)負(fù)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，把這個(gè)數(shù)的分子分母顛倒一下位置即可。

3.有理數(shù)乘法法則的推廣(難點(diǎn))

(1)幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定：

當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；

(2)幾個(gè)數(shù)相乘，只要有一個(gè)因數(shù)為零，則積為零

4.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律(難點(diǎn))

(1)乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。

(2)乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不

變

(3)乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這兩個(gè)數(shù)分別同兩個(gè)數(shù)相乘，

再把積相加

有理數(shù)的乘方

1.乘方的定義(重點(diǎn))

求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方，即axax…xa=a",其中乘方

的結(jié)果叫做累，。叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。

2.乘方運(yùn)算的符號(hào)法則(難點(diǎn))

正數(shù)的任何次基都是正數(shù)；

負(fù)數(shù)的奇次基是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)；

1,0的任何次幕分別是的奇次幕是-1,偶次累是1。

有理數(shù)的混合運(yùn)算

1.有理數(shù)的混合運(yùn)算

有理數(shù)的混合運(yùn)算是指一個(gè)整式里含有加、減、乘、除、乘方運(yùn)算

中的兩種以上的運(yùn)算。

2.有理數(shù)的混合運(yùn)算的順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的.

二、易錯(cuò)知識(shí)辨析

1.有理數(shù)的符號(hào)運(yùn)算，重點(diǎn)是加減法轉(zhuǎn)化中性質(zhì)符號(hào)與運(yùn)算符號(hào)的處理；

2.乘方運(yùn)算基底數(shù)的負(fù)號(hào)與基的負(fù)號(hào)的區(qū)別.負(fù)數(shù)的奇次舞與偶次基的區(qū)別；

3.負(fù)數(shù)的倒數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，

4.混合運(yùn)算中的運(yùn)算順序，運(yùn)算定律的準(zhǔn)確運(yùn)用，

5.絕對(duì)值運(yùn)用，化簡(jiǎn)，推理判斷中的分類討論.

三、課堂精講例題

例題組1訓(xùn)練重點(diǎn)：能準(zhǔn)確地進(jìn)行有理數(shù)的加減及加減運(yùn)算，運(yùn)用加減運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單數(shù)

的推理

13

1.計(jì)算:(1)-70-28-(-19)-(-12)(2)(-3-)+(+6.75)+(-3-)+(-9)

44

133

(3)(-1.7)-1-4.31+1-1.71+(-6.8)(4)-8.125+7--4-+-難度分級(jí)：A類

1111844

解析：(1)合并性質(zhì)符號(hào)與運(yùn)算符號(hào)，先加同號(hào)數(shù)，再把異號(hào)兩數(shù)相加；

(2)(4)合并性質(zhì)符號(hào)與運(yùn)算符號(hào)，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)分成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)

行運(yùn)算。

(3)去絕對(duì)值符號(hào)，再運(yùn)算。

答案：(1)-67；(2)-9-；(3)-11.1；(4)-5。

4

2.下列結(jié)論不正確的是().

A若a>0,b<0,則a-b>0

B若a<0,b>0,貝！Ia-b<0

C若a<0,b<0,則a-(a-b)>0

D若。<03<0,若時(shí)>網(wǎng)，貝難度分級(jí)：B類

解析：小數(shù)減大數(shù)，差為負(fù)數(shù)；大數(shù)減小數(shù)，差為正數(shù)。

答案：Co

3.已知a,b是有理數(shù)那么a+b與b這兩個(gè)數(shù)比較大小的結(jié)果是()

A.a+b<bB.a+b>b

C.a+b<bD.大小關(guān)系取決于a難度分級(jí)：B類

解析：當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，a+b>b；

當(dāng)a為0時(shí)，a+b=b；

當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，a+b<bo

答案：D。

4.若時(shí)=3,網(wǎng)=1,卜|=5,且,+4=a+〃，|a+c|=—(a+c),求a-b+c的值。

難度分級(jí)：C類

解析：：同=3,網(wǎng)=1,卜|=5

/.6z=±3；b=±l；c=±5；

XV\a+b\-a+b,即a+6>0

|a+c|=-(a+c)，即a+c<0

可推知：a-3,b—c——5,

?,.當(dāng)a=3,。=l,c=—5時(shí)，a—b+c=3—1—5=—3；

當(dāng)a=3,b=—l,c=—5時(shí)，d—Z?+c=3+l—5=—1。

搭配課堂訓(xùn)練題

12

1.計(jì)算：(1)16+(-25)+24+(-32)(2)16-(-8-)-(+4-)

33

3423

(3)--(--)+(-)-(+ly)(4)(-2.39)+(+3.75)+(-7.61)+(-1.57)

難度分級(jí)：A類

2.若m<0,n>0,且網(wǎng)>同，則m+n0(填或“=”)

難度分級(jí)：B類

3.時(shí)+。=0則a取的數(shù)是()

Atz>0Ba<0

Ca>0Da<0難度分級(jí)：B類

4.下表為

今年雨季某防汛小組測(cè)量的某條河流在一周內(nèi)的水位變化情況(單位：米)

星期一二三n/1,.六日

水位變化/米+0.25+0.52-0.18+0.06-0.13+0.49+0.10

(注：正號(hào)表示比前一天上升，負(fù)號(hào)表示比前一天水位下降)

(1)若本周日達(dá)到了警戒水位73.4米，那么本周一水位是多少？上周末的水位是多少？

(2)本周哪一天河流水位最高，哪一天水位最低？它們位于警戒水位之上還是之下？

(3)與上周相比，本周末河流水位是上升還是下降了？

難度分級(jí)：B類

例題組2訓(xùn)練重點(diǎn)：能準(zhǔn)確地進(jìn)行有理數(shù)的乘除法，乘方的運(yùn)算，運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行

簡(jiǎn)單數(shù)的推理

41

1.計(jì)算：(1)(—)x(—3—)

32

/、21

(3)7x(-8)x(------)xOx(-4.25)(4)1+(----)4-------j-(---------)

51001000

難度分級(jí)：A類

414714

解析：(1)(--)x(-3-)=-x-=—；(同號(hào)得正)

32323

(3)0：

(4)500000；

2.若ab<0,必有()

A.a>0,Z?<0B.a<0,8>0C.a、b同號(hào)D.a、b異號(hào)

難度分級(jí)：B類

答案：D

3.若0<x<l,則x、x2的大小關(guān)系是()

X

A.-<x<x2B.x<-<x2C.x2<x<-D.-<x2<x

xxxx

難度分級(jí)：C類

解析：當(dāng)0<x<l時(shí)，有［>1,x2<x?

X

.,.選C。

搭配課堂訓(xùn)練題

77

1.計(jì)算：(l)(-1.5)x(-0.5)(2)(一8一)+(—8—)

99

14

(3)(-81)^-2-x-x(-16)(4)(-5)x25x125x(-2)x16

(5)(—3)2,-32,一(一3>(6)(|)\|,j難度分級(jí)：A類

2.設(shè)a、b為任意兩個(gè)有理數(shù)，且=那么()

慶.〃〃>0或。=0或b=08.〃〃>0或。=()

C.a<0且力<()D.a、b同號(hào)或b=0

難度分級(jí)：B類

3.若a、b為有理數(shù)，且一3=0,那么一定有()

b

A.a=0B.a=0且b/0C.a=b=00.。=0或5=0

難度分級(jí)：B類

4.若x為任何有理數(shù)，則1一定是數(shù)，-/一定是數(shù)；若xoo,

則/一定是數(shù)，一/一定是數(shù)。

難度分級(jí)：B類

例題組3訓(xùn)練重點(diǎn):能準(zhǔn)確地進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算,綜合運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單數(shù)的推

理

225

3

算

升(2)[2-x--x(-2)4--]xl

3-9-6-

3352

317315113713

(3)(--------)x(60x—60x—F60x-)(4)(―1-)4-(1-)-(—I—)4-(---)

5212777424816

難度分級(jí)：A類

答案：(1)-26；(2)—;(3)-29；(4)-

46

2.若-a%>0,且a<0,貝U()

b

A.ab2>0B.a+h>0C.9+cib>0D.—->0

難度分級(jí):B類

解析：

-/10,月.a<0,.,)<()

y.■a2+ab-+b)

：.a2+ab>0,故。正確。

3.己知x,y,z是三個(gè)有理數(shù)，若x<y,x+y=0,且孫z>0,則x+z0.

難度分級(jí)：B類

4.四個(gè)各不相等的整數(shù)a,b,c,d,它們的積a?力c-d=9,那么a+0+c+d的值為()

A.OB.8C.-8D.±8難度分級(jí)：C類

解析：可分解為3X3、(—3)X(-3)、1X9、(-1)X(—9),且四個(gè)不同整數(shù)積為

9；

.?.四個(gè)整數(shù)分別為±1、±3；

。+力+c+d=0.

搭配課堂訓(xùn)練題

32

1.計(jì)算：(1)100-(-3)-(一一)(2)12.7-(一一)x0—(—2)3

419

1111217

(3)36x(-----f一(4)-2-x(1-1-)+(-5-)-1-

2322739

(5),-I4-(l-0.5)x1x[2-(-32)]

x48+(-18)x[(-l)1(,1^(-l)8]

(6)難度分級(jí)：A類

2.下列說(shuō)法中正確的是()

①同號(hào)兩數(shù)相乘，積必為正②1乘以任何有理數(shù)都等于這個(gè)數(shù)本身③0乘以任何數(shù)

的積均為0④-1乘以任何有理數(shù)都等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)

A.①②③B.①②④C.①②③④D.①③④難度分級(jí)：A類

3.平方等于本身的有理數(shù)是,立方等于本身的有理數(shù)是.

難度分級(jí)：A類

4.一個(gè)正數(shù)a的立方()

A.一定比a大B.一定比a小C.一定等于aD.以上都有可能

難度分級(jí)：B類

5.若x<0,孫<0,求?+-,一〉一5|的值.難度分級(jí)：C類

四、鞏固練習(xí)

]]3

1.計(jì)算：(1).5------1—(2).

444

1

⑶?一1卜㈠4-，(4).(3一3：卜4x；

2

1/1223、1/f

(5).--+|-----+------⑹.1x(一7)+

42(67314J

(7)32x)4-(-11)x(—―)-21x(—―)

2

(8)—92+2x(―3)2+(―6)+(—)2

2

(9).(-i)'+(-i)+-(-ir=。

(1、2

(-2)3x(-1)、13+--

(10),0.125X8+[1-32X(-2)]

(11)(―3丫+2；x(—+2,+(—2)2x[-難度分級(jí)：A類

2.兩個(gè)有理數(shù)。、b,如果。。<0,且a+Z?<0,那么()

A.6f>0,/?>0B.6f<0,Z?>0C.Q、b異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值較大

D.Q、b異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大難度分級(jí)：B類

3.若,一3|—3+。=0,則。的取值范圍()

A.6Z<3B.a<3C.a>3D.a>3

難度分級(jí)：C類

4.下列說(shuō)法正確的是()

A.a是有理數(shù)，則a的倒數(shù)是有理數(shù)B.-L的倒數(shù)與它的相反數(shù)的積是1

2

C.若兩數(shù)的商為零，則兩數(shù)中至少有一個(gè)為零D.若。3=(_0)3,則a=0

難度分級(jí)：B類

54+勺(ab^O)的所有可能的值有個(gè)難度分級(jí)：C類

6.已知卜2一［+3+1)2=0,求/顏+尸助的值。難度分級(jí)：B類

7.國(guó)=3,y是一;的倒數(shù)，求d+y3的值難度分級(jí)：C類

第5―6課時(shí)有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用及規(guī)律探索

一、知識(shí)梳理

1.確定基準(zhǔn)值，利用有理數(shù)表示一些有實(shí)際意義的數(shù)量，解決實(shí)際問題；

2.巧用數(shù)軸模型，解決與距離有關(guān)的實(shí)際問題；

3.探索有理數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,提高解決復(fù)雜運(yùn)算的能力.

二、課堂精講例題

例題組1訓(xùn)練重點(diǎn)：理解有理數(shù)的意義,利用有理數(shù)解決實(shí)際問題：

1.下表列出了國(guó)外幾個(gè)城市與北京的時(shí)差(帶正號(hào)的數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的時(shí)間),

請(qǐng)回答

(1)如果現(xiàn)在是北京時(shí)間上午8:00,那么東京時(shí)間是多少？

城市紐約巴黎東京

與北京的時(shí)差-13-7+1

(2)如果小芳給遠(yuǎn)在紐約的叔叔打電話，她在北京時(shí)間下午15:00打電話，你認(rèn)為合適嗎?請(qǐng)說(shuō)

明理由難度分級(jí)：B類

解析：北京時(shí)間為標(biāo)準(zhǔn)，比北京時(shí)間早記為正，晚記為負(fù)

若北京時(shí)間為上午8:00時(shí)，則東京時(shí)間為8:00+1=9:00；

北京時(shí)間為下午15:00時(shí)，紐約時(shí)間為15:00-13=2:00,剛好為紐約當(dāng)日凌晨2點(diǎn)，叔叔正在

睡覺，所以不合適。

2.一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，第

3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位,……，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第100次落下時(shí),

落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是個(gè)單位.難度分級(jí)：C類

解析：確定直線上的O點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為0,向右為正，則向左為負(fù),

則跳蚤落點(diǎn)表示的數(shù)為1-2+3-4+5-6+...+99-100=-1-1-1....-1=-50

.?.落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離為50,且可知在O點(diǎn)的左邊。

搭配課堂訓(xùn)練題

1.個(gè)體兒童服裝店老板以32元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)30件連衣裙，針對(duì)不同的顧客，30件連衣裙的售

價(jià)不完全相同，若以47元為標(biāo)準(zhǔn)，將超過(guò)的錢數(shù)記為正，不足的錢數(shù)記為負(fù)，記錄結(jié)果如

下表所示：

售出件數(shù)763545

售價(jià)(元)+3+2+10-1-2

請(qǐng)問該服裝店在售完這30件連衣裙后，賺了多少錢？難度分級(jí)：A類

2.三峽大壩從6月I日下閘蓄水，下表是工作人員連續(xù)五天的水位記錄（如果規(guī)定蓄水位為

135米）情況，記錄如下。（單位：米）

6月1日