專題08數(shù)列

2022年高考真題

1.（2022年全國(guó)乙卷】已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168,a?-=42,則=（）

A.14B.12C.6D.3

2.【2022年全國(guó)乙卷】嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第

一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列

｛%｝：瓦=1+2,冬=1+六：，歷=1+漆占]，…，依此類推，其中%6N*（k=1,2

的1?2做工

，…）.則（）

A.瓦<B.匕3<C.匕6<b2D.64<b]

3.【2022年新高考2卷】中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如

圖是某古建筑物的剖面圖，CCi，CG，BBi，24i是舉，ODi，DQ,CBi，B&是相等的步，相鄰

桁的舉步之比分別為鬻=05夢(mèng)=自,箸=①，箸=自，若心,心，的是公差為0」的等差

數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則七=（）

C.0.85D.0.9

4.【2022年北京】設(shè)｛即｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則"｛廝｝為遞增數(shù)列”是"存在正整

數(shù)No，當(dāng)n>No時(shí)，冊(cè)>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.【2022年浙江】已知數(shù)列｛%｝滿足的=l,cin+i=廝一孑若（71€N*）,則（)

5577

A.2<lOOaloo<-B.-<lOOaloo<3C.3<lOOaloo<-D.-<lOOaloo<4

6.【2022年全國(guó)乙卷】記治為等差數(shù)列｛即｝的前。項(xiàng)和.若2s3=3S2+6,則公差d=—

7.[2022年北京】己知數(shù)列｛斯｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和%滿足0n-Sn=9(n=1,2,…).給

出下列四個(gè)結(jié)論：

①｛a“｝的第2項(xiàng)小于3；②｛冊(cè)｝為等比數(shù)列；

③｛a/為遞減數(shù)列；④｛即｝中存在小于焉的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

8.【2022年全國(guó)甲卷】記治為數(shù)列｛&J的前n項(xiàng)和.已知牛+n=2<i"+l.

⑴證明：｛an｝是等差數(shù)列；

⑵若。4，。7，。9成等比數(shù)列，求％的最小值.

9.[2022年新高考-1卷】記治為數(shù)列5｝的前n項(xiàng)和，已知的=1,｛君是公差為g的等差數(shù)

列.

⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：-+-+—<2.

a】a2an

10.(2022年新高考2卷】已知｛a.｝為等差數(shù)列，｛%｝是公比為2的等比數(shù)列，且a2—與=

a3-b3=b4-a4.

(1)證明：%=瓦；

⑵求集合伏|瓦=am+altl<m<500｝中元素個(gè)數(shù).

11.【2022年北京】已知Q:%,a2,…,4為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對(duì)任意的n€｛1,

2,…，m｝,在Q中存在即4+1嗎+2,…，>0)，使得臼+見(jiàn)+i+見(jiàn)+2+-+ai+j=n,

則稱Q為m-連續(xù)可表數(shù)列.

⑴判斷Q:2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

(2)若Q:%,a?,…，%為8—連續(xù)可表數(shù)列,求證：A的最小值為4；

(3)若Q:%,a2,…,功為20一連續(xù)可表數(shù)列,且的+。2+…+以<20,求證：k>7.

12.(2022年浙江】已知等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)的=-1,公差d>1.記｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為

eN*).

⑴若S4-2a2a3+6=0,求S4；

⑵若對(duì)于每個(gè)neN*,存在實(shí)數(shù)cn,使即+。,廝+1+4。,廝+2+15cH成等比數(shù)列，求d

的取值范圍.

2022年高考模擬試題

1.（2022?河南?通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在等差數(shù)列｛4｝中，a,=5,-+-=^,

a\a5，

則49=（）

9

A.-B.9C.10D.12

2

2.（2022?福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若S,=28,則

%+%+%的值為（）

A.8B.10C.12D.14

3.（2022?北京?北大附中三模）已知數(shù)列｛4｝滿足4%為…勺="2,其中〃=1,2,3,…，則數(shù)

列｛叫（）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

4.（2022?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛a/（〃cN"）是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等差數(shù)列，公差

不為0,若由、數(shù)歹U｛%“｝的第2項(xiàng)、數(shù)列的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列｛q｝的

通項(xiàng)公式為（）

A.an=27z-lB.4=2孔+1C.%=〃-1D.cin=/?+1

5.（2022?四川?綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1,

“，產(chǎn)。，a,4T=然“7,若存在實(shí)數(shù)義使｛為｝是等差數(shù)列，則｛%｝的公差為（）

2

A.1B.2C.-D.2

2

6.（2022?湖南?邵陽(yáng)市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝滿足4=4+2%,若存在

14

金、5，使得=16a：,則一+一的最小值為（）

mn

7.（2022?浙江?三模）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足。,+1=M一24+，"€"）嗎=2,記數(shù)列［五的

前n項(xiàng)的和為5“，則（）

A.am<27B.存在上eN*,使4=%

C.Sl01<2D.數(shù)列｛%｝不具有單調(diào)性

8.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)的和為S,,,若

4（111<0，?10-2>°，則當(dāng)<<0時(shí),"的最大值為（）

A.1011B.1012C.2021D.2022

9.（2022?遼寧?渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿

足2sin（%+2）-3a5-5=0,2sin+2）-3a20lg-7=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.$2022=2022,且>“2018B.$2022=—2022,且<。2018

C.^2022=-4044,且為>。2018D.$2022=4044,且。5<“2018

10.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足對(duì)任意的〃eN,，總存在meN*，使得S“=am,

則凡可能等于（）

2022

A.2022"B.2022nC.2022/?D.-------

n

11.（2022?江蘇?南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)都不為0,4=1,%=3且滿足

4%=4511T,

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若“=2三，也｝的前n項(xiàng)和為7.，求7”取得最小值時(shí)的"的值.

““-14

12.（2022?福建?廈門雙十中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為5"，已知4=9,生為

整數(shù)，且s,ss-

⑴求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)a=二丁，求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和小

13.（2022?寧夏?銀川一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，他,｝是等比數(shù)列，且

b2=29匕？=4,4=,%+1=4.

⑴求數(shù)列｛叫、｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%="，數(shù)列化,｝的前"項(xiàng)和為S,,,若不等式2＜5.+4對(duì)任意的〃€14*恒成立,

求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

14.(2022?湖北?襄陽(yáng)四中模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛a,,｝滿足q=1,且前四項(xiàng)和為28,數(shù)列

也｝的前〃項(xiàng)和S“滿足2S?=3fe?-3A(2eR).

⑴求數(shù)列?｝的通項(xiàng)公式，并判斷｛，｝是否為等比數(shù)列；

⑵對(duì)于集合4B,定義集合A-B=｛x|xeA也茫B｝.若2=1,設(shè)數(shù)列｛為｝和低｝中的所有

項(xiàng)分別構(gòu)成集合A,B,將集合A-B的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛4｝,

求數(shù)列｛%｝的前30項(xiàng)和心.

15.(2022,浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè))在數(shù)列｛〃,,｝中，q=l,4=2,且對(duì)任意的〃eN*,都

有4+2=34+1-24.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若4=卜,＜》＜七或^3＜犬＜匕｝，定義集合A的長(zhǎng)度為|七一七|+上一七|.已知數(shù)歹U｛2｝的

通項(xiàng)公式為2=E謂J二還可(〃€N，)，若關(guān)于X不等式4+N+…+媼2＞1的

解集4求集合A的長(zhǎng)度.

專題08數(shù)列

2022年高考真題

1.【2022年全國(guó)乙卷】己知等比數(shù)列｛即｝的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q，qK。，易得q#l，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列

的通項(xiàng)即可得解.

【詳解】

解：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,qM0,

若q=1,則a?-CI5=0,與題意矛盾，

所以q豐1,

4

,a2—a5=arq—arq=42（"-2

所以%=&q5=3.

故選：D.

2.【2022年全國(guó)乙卷】嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第

一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列

（bn］：瓦=1+2，匕2=1+屋七，①=1+/=,...,依此類推，其中以6N*（k=1,2

11?2匕位

，…）.則（）

A.b1<bsB.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)以GN*（k=1,2,...）,再利用數(shù)列｛勾｝與曲的關(guān)系判斷Sn｝中各項(xiàng)的大小，即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)?€曠伏=1,2,“?）,

11、1

所以的<%+屋，->—z,得到瓦>電，

11

。2a2

?1、?1

同理由+豆>%+/Z，可得打<b3,br>b3

?3

又因?yàn)?>%+1%+卷<的+工,

/+由""3+六

故電<b4,b3>

以此類推，可得瓦>b3>bs>b7>???,87>演，故A錯(cuò)誤;

b1>b7>b3,故B錯(cuò)誤;

—>—i

a2a——，得辦2<b,故C錯(cuò)誤;

2立3+…赤6

A—>的+]

ttid---------%+…京三，得，故正確.

a2+-b4cb7D

故選：D.

3.【2022年新高考2卷】中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如

圖是某古建筑物的剖面圖，DDi，CG，BBi，24i是舉，0￡>i，DCi，CBi，B4是相等的步，相鄰

桁的舉步之比分別為黑=05篙=自,等=&，箸=自，若心,心，的是公差為0」的等差

數(shù)列，且直線。4的斜率為0.725,則七=（）

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)。。1=DC1=CBi==1,則可得關(guān)于出的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng)?

【詳解】

設(shè)0￡>i=DC1=CB1=BA-i—1,貝iJCC】=k”BBi=k2,AA1=k3,

D0[+CC[+88[+AA^

依題意，有七-k，i，k，3—=k，2,且=0.725,

0.2—0.10￡)i+DCi+CB]+84i

所以°：,葉3：=°：3=0.725,故&=0.9,

故選:D

4.【2022年北京】設(shè)｛即｝是公差不為。的無(wú)窮等差數(shù)列，則"｛即｝為遞增數(shù)歹/是"存在正整

數(shù)No，當(dāng)n>N0時(shí)，即>0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,貝心40,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的

定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d,則dH0,記［x］為不超過(guò)x的最大整數(shù).

若｛6｝為單調(diào)遞增數(shù)列，貝標(biāo)>0,

若田20,則當(dāng)n22時(shí)，an>?!>0；若/<0,則即=%+(n—l)d,

由即=%+(n-l)d>0可得n>1-號(hào)■,取+則當(dāng)n>N()時(shí)，6>0,

所以,"｛與｝是遞增數(shù)歹存在正整數(shù)M，當(dāng)n>M)時(shí)，即>0?

若存在正整數(shù)No，當(dāng)？i>M)時(shí)，?！?gt;0,取ZCWN*且上>刈，ak>0,

假設(shè)d<。令￡1"=%+令-k)d<0可得n>k—柴且

當(dāng)TI>上一詈］+1時(shí)，?！?lt;0,與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則d>0,即數(shù)列｛即｝是遞增數(shù)

列.

所以,"｛冊(cè)｝是遞增數(shù)列存在正整數(shù)M，當(dāng)n>N()時(shí)，廝>0".

所以,"｛%｝是遞增數(shù)列"是"存在正整數(shù)No，當(dāng)n>N°時(shí)，即>0"的充分必要條件.

故選：C.

5.【2022年浙江】已知數(shù)歹!］｛即｝滿足的=1,即+1=斯一1成(neN*),則()

5577

A.2<100aloo<-B.|<100aloo<3C.3<100a100<-D.-<100a100<4

【答案】B

【解析】

【分析】

先通過(guò)遞推關(guān)系式確定｛即｝除去見(jiàn),其他項(xiàng)都在(0,1)范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到

1___1_=三1>!，累加可求出a>?(?，+2),得出lOOtZioo<3,再利用六個(gè)=士<

an+lan

占=*1+W)，累加可求出++再次放縮可得出100

°n+2%1,s4JTI

、5

a100>2,

【詳解】

Vdi=1,易得Ci2=|e(0,1),依次類推可得即e(0,1)

-

由題意，an+i=an(l-|an),即六=。二廣；+白,

30n+iOnZan)anJan

?----1---——1_____1__>、—1

0n+lan3-a九3

nn11^111^111I、1/、”

a2at3a3a23a4a33anan_t3

累加可得?T>沁T)，即十>1(n+2),(n>2),

工時(shí)V總2),即。100<100a100<^<3,

又土_2=1<今=*1+W)G22),

有W(i+5*W(i+〉2W(i+〉…*一￡<家1+?523

)，

累加可得2一1<1(n-1)+1(1+4------?-^),(n>3),

?工1----1V33+：(；+：+…+白)<33+沼x4+：x94)<39,

UJOO5ZoWoZO

1-1c

BP--<40,/.a>—,g|J100a>-；

1*ioo100，ulooz

綜上：|<100aloo<3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

6.【2022年全國(guó)乙卷】記治為等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和.若2s3=3S2+6,則公差d=

【答案】2

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化條件為2(%+2&)=2%+d+6,即可得解.

【詳解】

由2s3=3s2+6可得2(%+a2_(_a3)=3(%+a2)+6,化簡(jiǎn)得2a3=at+a2+6,

即2(%+2d)=2al+d+6,解得d=2.

故答案為：2.

7.(2022年北京】己知數(shù)列己其各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和已滿足0n-Sn=9(n=1,2,…).給

出下列四個(gè)結(jié)論：

①｛a.｝的第2項(xiàng)小于3；②｛a.｝為等比數(shù)列；

③｛即｝為遞減數(shù)列；④｛6｝中存在小于焉的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

推導(dǎo)出即=3-3,求出由、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單

anan-l

調(diào)性的定義可判斷③.

【詳解】

由題意可知，VneN%an>0,

當(dāng)n=l時(shí)，，a1=9,可得%=3；

當(dāng)nA2時(shí)，由Sn=^Q■可得S"_i=六Q，兩式作差可得斯=^q■—六Q，

anan-lanan-l

9a9

所以，---=---Qn，則;;---。2=3,整理可得諼+3g—9=0,

an-lana2

因?yàn)椤?>0,解得a?=容<3,①對(duì)；

假設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則嫌=%。3,即(￡f=段，

所以，S/=S]S3,可得講(l+q)2=a：(l+q+q2),解得q=0,不合乎題意，

故數(shù)列｛斯｝不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；

當(dāng)7122時(shí)，斯=?一言=%上3>0,可得a“<an-i，所以，數(shù)列｛冊(cè)｝為遞減數(shù)列，

anan-l

③對(duì)；

假設(shè)對(duì)任意的nGN*，即2擊，則Siooooo>100000X京=1000,

aq1

所以，的。。。。。=W高<去，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).

3100000J_UUUJ.UU

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來(lái)進(jìn)行推

導(dǎo).

8.【2022年全國(guó)甲卷】記治為數(shù)列的前n項(xiàng)和.已知F+n=2an+l.

⑴證明：｛aj是等差數(shù)列；

⑵若。4，。7，。9成等比數(shù)列，求%的最小值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析：

(2)-78.

【解析】

【分析】

⑴依題意可得2Sn+n2=2嗎+71,根據(jù)斯=1作差即可得到an-

an-i=1,從而得證；

(2)由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出％,即可得到｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式與前幾項(xiàng)和，再根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

(1)

2

解：因?yàn)椤?n=2an+1,即2s九+n=2nan+九①，

2

當(dāng)九>2時(shí)，2s71T+(n-l)=2(n-1)Q72T4-(n-1)②，

22

①一②得，2Sn+N-2Sn_1—(n—l)—271aH4-n—2(n—I)時(shí).1—(n—1),

=

即2an+2n-12nQn-2(n-1)Q九一〔+1,

即2(n—l)an-2(n-l)Qn_!=2(n-1),所以即-an_t=1,n>2且nEN*,

所以｛斯｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)

解：由(1)可得。4=。1+3,。7=。1+6,的=01+8,

又。4，。7，成等比數(shù)列，所以。72=a4,a9?

即(％+6)2=(%+3)?(%+8),解得%=-12,

所以=n—13,所以=—12n+"丁)=|n2—yn=[(幾—g)—

所以，當(dāng)?i=12或n=13時(shí)(SQmin=-78.

9.【2022年新高考1卷】記及為數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，已知％=1,尚是公差為抽等差數(shù)

列.

⑴求｛a"的通項(xiàng)公式；

(2)證明：《+十+…+十<2.

ala2an

【答案】⑴即=

⑵見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得費(fèi)=1+[5-1)=詈，得到5,=誓生，利用和與

項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，誓?-5+11，進(jìn)而得:詈=善，利用累

71>2an=Sn-Sn_i=一

乘法求得冊(cè)=吟檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到｛｝的通項(xiàng)公式廝=的；

2n=1anF

(2)由(1)的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到《+：+…+白=2(1-去)，進(jìn)而證得.

%a2an\n+1/

(1)

=1,；.S1=%=I,；.?=1,

又：舟是公差為我等差數(shù)列，

.*=1+狗—1)=等,.』=中，

.,.當(dāng)n>2時(shí)，Sn_i=處警

._Q_(n+2)an("+l)Qn-i

,,an--^n-1-j3，

整理得：(九-(幾+

l)an=l)an_1,

即冬=絲1,

^n-1日T

工an=Q1X%X色X...XX

ala2an-2an-l

34nn+1n(n+l)

=1X-X-X...X——X——=

23n-2n-12

顯然對(duì)于n=1也成立,

，｛6｝的通項(xiàng)公式即=當(dāng)小；

(2)

1=2="i--

ann(n+l)\nn+11，

—=2++???(---)]=2(1-—)<2

?ia2anL\2/\23/Xnn+l/J\n+17

10.【2022年新高考2卷】已知｛即｝為等差數(shù)列，｛勾｝是公比為2的等比數(shù)列，且。2-62=

a3-b3=b4-a4.

⑴證明：%=&；

⑵求集合伏|尻=am+altl<m<500｝中元素個(gè)數(shù).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)9.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)數(shù)列｛即｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出；

(2)根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得巾=2八2,即可解出.

(1)

設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,所以，十用二半即可解得，瓦=%=g

所以原命題得證.

⑵

由(1)知，瓦=%=B，所以玩=cim+%=瓦x2"T=%+(m-l)d+的，即2"T—2m,

亦即m=2-2e[1,500],解得2Wk410,所以滿足等式的解k=2,3,4,…,10,故集合伙

\bk=am+a1,l<m<500｝中的元素個(gè)數(shù)為10-2+1=9.

11.【2022年北京】已知Q:%,。2,…,以為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對(duì)任意的ne｛1,

2,…，m｝,在Q中存在與田+1，田+2,…，七+4>0),使得a+ai+1+ai+2+-+ai+j=n,

則稱Q為巾-連續(xù)可表數(shù)列.

⑴判斷Q:2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

⑵若Q:%,。2,…,為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證:k的最小值為4；

若…,以為一連續(xù)可表數(shù)列,且由+求證：

(3)Q:%,20a2T----Fak<20,k>7.

【答案】⑴是5-連續(xù)可表數(shù)列；不是6-連續(xù)可表數(shù)列.

⑵證明見(jiàn)解析.

⑶證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)直接利用定義驗(yàn)證即可：

(2)先考慮kS3不符合，再列舉一個(gè)k=4合題即可；

(3)kW5時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論k=6時(shí)，由%+。2+…+。6<20可

知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是-1,然后分類討論驗(yàn)證不行即可.

⑴

所以是—連續(xù)可表數(shù)列；易知，不

a2=1>%=2,ax+a2=3,a3=4,a2+a3=5,Q5

存在才使得%+所以不是-連續(xù)可表數(shù)列.

ai+1+-+ai+j=6,Q6

(2)

若kW3,設(shè)為Q:a,b,c,則至多a++c,a+b+c,a,b,c,6個(gè)數(shù)字，沒(méi)有8個(gè),矛盾;

當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足的=

k=4Q:1,4,1,2,1,=2,a3+=3,a2=4,%+a2=5,ar+a2+

a3=6,a2+a3+a4=7,aT+a2+a3+a4=8,kmin=4.

(3)

若最多有種，若豐最多有展種，所以最多有％鋁種，

Q-.ai,a2l-,ak,i=Jkij,+d=

若kM5,則由?2，…,以至多可表等2=15個(gè)數(shù)，矛盾,

從而若k<7,則k=6,2兒。,％名/至多可表且乎=21個(gè)數(shù)，

而a+b+c+d+e+/<20,所以其中有負(fù)的，從而見(jiàn)也a匕當(dāng)/可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)(恰

21個(gè))，這表明a~/中僅一個(gè)負(fù)的，沒(méi)有0,且這個(gè)負(fù)的在a~f中絕對(duì)值最小，同時(shí)a~/中

沒(méi)有兩數(shù)相同，設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為一爪(血21)，

則所有數(shù)之和之m+l+m+2-i------Fin+5—zn=47n+15,4m+15<19=>m=1,

{a,b,c,d,e,/}={-1,2,3,4,5,6},再考慮排序，排序中不能有和相同,否則不足20個(gè),

???1=-1+2(僅一種方式)，

-1與2相鄰，

若一1不在兩端，則為—1,2,一—一"形式，

若x=6,則5=6+(-1)(有2種結(jié)果相同，方式矛盾)，

x*6,同理x75,4,3,故一1在一端，不妨為"二1,2,4旦2"形式，

若4=3,則5=2+3(有2種結(jié)果相同，矛盾)，4=4同理不行，

4=5,則6=-1+2+5(有2種結(jié)果相同，矛盾)，從而4=6,

由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相鄰,、

故只能一1,2,6,3,5,4,①或一1,2,6,4,5,3,②

這2種情形，

對(duì)①：9=64-3=5+4,矛盾，

對(duì)②：8=2+6=54-3,也矛盾，綜上上力6

k>7.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛，先理解題意，是否為巾-可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項(xiàng)(可以是一項(xiàng))

之和能表示從1到?n中間的任意一個(gè)值.本題第二問(wèn)k<3時(shí)，通過(guò)和值可能個(gè)數(shù)否定k<3；

第三問(wèn)先通過(guò)和值的可能個(gè)數(shù)否定k<5,再驗(yàn)證k=6時(shí)，數(shù)列中的幾項(xiàng)如果符合必然是｛-

1,2,3,4,5,6｝的一個(gè)排序，可驗(yàn)證這組數(shù)不合題.

12.[2022年浙江】已知等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)由=-1,公差d>1.記｛an｝的前n項(xiàng)和為現(xiàn)5

eN*).

⑴若S4-2a2a3+6=0,求Sn；

(2)若對(duì)于每個(gè)neN*,存在實(shí)數(shù)品，使的+%,即+1+44,即+2+15%成等比數(shù)列，求d

的取值范圍.

【答案】⑴SnN*)

(2)1<d<2

【解析】

【分析】

(1)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出d,再求Sn；

⑵由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求d的范圍.

(1)

因?yàn)镾4-2a2a3+6=0,ar——1,

所以-4+6d—2(-1+d)(—1+2d)+6=0,

所以c/2—3d=0,又d>1,

所以d=3,

所以=3n—4,

(a1+an)n_3n2-5n

⑵

因?yàn)閍”+cn,an+i+4cn,an+2+15cli成等比數(shù)列,

所以(djj+i+4CJJ)2=(Cln+Cn)(dn+2+15%),

2

(nd.-1+4cn)=(-1+nd-d+cn)(—1+nd+d+15cn)>

2

Cn+(14d-Bnd+8)cn+d=0,

2

由已知方程W+(14d-8nd+8)cn+d=0的判別式大于等于0,

所以A=(14d-8nd+8)?-4d?N0,

所以(16d-8nd+8)(12d-8nd+8)>0對(duì)于任意的n6N*恒成立,

所以[(n-2)d-l][(2n-3)d-2]>0對(duì)于任意的"eN"恒成立，

當(dāng)n=1時(shí),[(n-2)d-l][(2n-3)d-2]=(d4-l)(d4-2)>0,

當(dāng)n=2時(shí)，由(2￡/—2</-1)(4d-3￡/-2)20,可得dW2

當(dāng)n>3時(shí)，[(n—2)d—l][(2n-3)d—2]>(n-3)(2n—5)>0,

又d>1

所以1<dW2

2（）22年局考模擬試題

1.（2022?河南?通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在等差數(shù)列｛4｝中，a,=5,-+-=^,

a\a5,

則a「“5=（）

c.ioD.12

【答案】B

【解析】

【分析】

將已知等式變形，由等差數(shù)列下標(biāo)和計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】

q+%_24_￡09a

?(?59'????45-5

故選：B.

2.（2022?福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S,,,若S,=28,則

%+%+%的值為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得為=4,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到4+%+%=3%，

即可求解.

【詳解】

因?yàn)镾?=28,由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得57=駕包=74=28,即4=4,

則生++%=3。1+9d=3（4+3d）=3a4=12.

故選：C.

3.（2022?北京?北大附中三模）已知數(shù)列｛叫滿足W洶…4,=/，其中〃=1,2,3,…，則數(shù)

列｛叫（）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【答案】A

【解析】

【分析】

求得數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式，再分析數(shù)列的單調(diào)性即可

【詳解】

依題意，因?yàn)閣2a3…4=，其中"=1,2,3,…，當(dāng)”=1時(shí)，q=F=l,

當(dāng)〃22時(shí)，402a3…氏-1=（"-1）2,W2a3…4=1,兩式相除有

a?=-n1,n>2,易得%隨著"的增大而減小，故%M%=4,且。“>1=弓，

（?-1）In-\）

故最小項(xiàng)為q=i,最大項(xiàng)為%=4

故選：A

4.(2022?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛q｝(〃eN")是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等差數(shù)列，公差

不為0,若％、數(shù)歹￡%“｝的第2項(xiàng)、數(shù)列｛“八｝的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的

通項(xiàng)公式為()

A.an=2?-1B.??=277+1C.an=n-\D.an=n+\

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意設(shè)4,=1+("—1)",所以%=1+(2”-1財(cái)，/=1+(/-l)d,所以1,1+34,1+244

構(gòu)成等比數(shù)列，即(1+34)2=1x(1+244),求出即可求解

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為〃(">0)，所以a“=l+(〃—l)d,所以%,=l+(2”—l)d,

%=1+(〃2-1”，又卬、數(shù)列｛%,｝的第2項(xiàng)、數(shù)列｛%｝的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，

即1,1+34,1+244構(gòu)成等比數(shù)列，所以(1+34)2=1x(1+244),

解得d=2,d=O(舍去)，所以q=2"-1.

故選：A.

5.(2022?四川?綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)(文))已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q=l,

4戶0,a?an+l=ASn-\,若存在實(shí)數(shù)4使｛/｝是等差數(shù)列，則｛%｝的公差為()

2、

A.1B.2C.-D.A

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用S“-5,1=%(〃22)得｛%｝的遞推關(guān)系，從而求得;I與公差d的關(guān)系，舞由出—4=“求

得

【詳解】

設(shè)公差為d,

因?yàn)樗浴?2時(shí),a?_tan=A5?_,-1,

兩式相減得：4,（q+1-%）=見(jiàn)⑸-S"_1）=Aan,

因?yàn)?,二。，所以4+i-”,i=4=2",

由q,=2$-]=2</?]-1得“2=2"-1.從而弓一仆=24_]_1=4,d=2,

故選:B.

6.（2022?湖南?邵陽(yáng)市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛《,｝滿足%=4+2q,若存在

-I4

金、《,，使得金七”=16a：,則一+一的最小值為（）

mn

8113

A.-B.16C.—D.一

342

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為夕，則4>o,根據(jù)已知條件求出g的值，由已知條件可得出

m+n=6,將代數(shù)式上1+土4與；1（，”+〃）相乘，利用基本不等式可求得上1+4上的最小值.

mn6mn

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，則4>0,由6=七+2q可得/-q-2=0,解得夕=2,

因?yàn)?”?“”=16a：,則a；.2"i.2"T=16a；2=4,可得利+〃=6,

141

由已知機(jī)、“eN*,所以，-+-=-(m+n—+—

〃6mn

>—3

-62

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2機(jī)=4時(shí)，等號(hào)成立

因此，1：4的最小值為3不

mn2

故選：D.

7.(2022?浙江?三模)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足[=尺-24+，"€")嗎=2,記數(shù)列五Jj的

前n項(xiàng)的和為S,,則()

A.『<27B.存在々eNZ使4=%

C.5,01<2D.數(shù)列｛可｝不具有單調(diào)性

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求得92；，進(jìn)而得到與%同號(hào)，結(jié)合作差法比較法，可判定B、D錯(cuò)

誤；由%+「%=(%-2)(%-1)+；,得到a,,7利用疊加法，可判定A錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)

1_11

得至I」—T=-33,利用裂項(xiàng)法求和，可判定C正確.

a"~2a,'-2"時(shí)一萬(wàn)

【詳解】

由于%=(4-l『+K,4=2,則4,2：,

又由??+|~|=-2%+[=1%-一g)，則”"+i一T與“"一]同號(hào).

又由4=2,則4">|,可得a,.-4,=。；一3%+(=[.-￡]>0,

所以數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，故B、D錯(cuò)誤；

又因?yàn)閍n+x-an=(??-2)(4-1)+：,

由數(shù)列｛叫單調(diào)遞增，且4=2,所以4—2>0,〃“-1>0,所以”,用-％

累力口得岑=25,所以//27,故A錯(cuò)誤；

911_______

由?！?1=-2a+1口]■得133,

4a,--an--all+l--

Q__!______1,??

因?yàn)椤?>4=2,所以⑼―一333-,故C正確.

CI.--6Z-----CI,-------

12m?102212

故選：C.

8.(2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)(理))數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，前"項(xiàng)的和為S“，若

%<0,+0)012>0>則當(dāng)5"<0時(shí)，”的最大值為()

A.1011B.1012C.2021D.2022

【答案】C

【解析】

【分析】

分析數(shù)列｛《,｝的單調(diào)性，計(jì)算$2以、$2儂，即可得出結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)閝ou<O,?l011+a10l2>0,則即”2>0,故數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，

因?yàn)棰?2°2"+%必)=2021冊(cè)<0,S*=2022([+限)=]0]]廊“+%)>0,

且當(dāng)〃21012時(shí)，a?>0.0,2>0,所以，當(dāng)"22022時(shí)，5?>S2O22>0,

所以，滿足當(dāng)S,<0時(shí)，〃的最大值為2021.

故選：C.

9.(2022,遼寧?渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為5“，且滿

^2sin(a5+2)-3a5-5=0,2sin(a,0l8+2)-3^)18-7=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.$2022=2022,且外>“2018B.$2022=-2022,且45<“2018

c.s2o22=-4044,且%>的018D.$2022=4044,且火<—8

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)f(x)=2sinx-3x,確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)

“6+2)+2)的關(guān)系即可確定答案.

【詳解】

設(shè)函數(shù)/(x)=2sinx-3x,則/⑺為奇函數(shù)，且/'(x)=2cosx-3<0,所以數(shù)x)在R卜.遞減，

由已知可得2sin(a5+2)—3(a5+2)=—1,2sin(a20lg+2j—3(a20ii+2)=l,有〃見(jiàn)+2)=—1,

/(?2018+2)=1,所以73+2)<“4刈8+2),且〃火+2)=—”4刈8+2),所以

%+2>々2018+2=。5>“2018，」L〃5+2=—(々2018+2)，所以為+“2018=Y，

=2022=101］他+限)=-4044.

§2022呼囁)

故選：C.

10.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列儲(chǔ)“｝滿足對(duì)任意的〃eN*，總存在，〃eN,,使得s?=冊(cè)，

則可能等于()

,