第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年四川省遂寧市射洪中學高二（下）第一次質檢數(shù)學試卷（4月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列結論不正確的是(

)A.若y=3，則y′=0 B.若y=1x，則y′=?2.已知函數(shù)f(x)=1xA.0 B.?2 C.?1 3.設f′(x)=x2?A. B.

C. D.4.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是(

)

A.0<f′(3)<f(5.已知函數(shù)f(x)=x(x?A.?6 B.?2 C.2 D.?6.已知函數(shù)f(x)與其導函數(shù)f′(x)的圖象如圖，則滿足f′A.(0,4) B.(?∞7.已知a=sinπ5A.a>b>c B.c>a8.若存在唯一的正整數(shù)x0，便得不等式2xex?aA.(0,43e2) B.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列導數(shù)運算錯誤的有(

)A.(sinπ3)′=cosπ310.已知a∈R，函數(shù)f(x)=axA.a>0

B.a=1時，函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y=x+111.已知f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，當A.f(12)>2f(112.已知函數(shù)f(x)=xex,g(x)=lnxx，若直線y=b與曲線A.x1x4=x2x3 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知f(x)=1x，g(x)14.函數(shù)y=f(x)在其定義域[?32,3]內可導，其圖象如圖所示，記

15.若函數(shù)f(x)=(x?m)16.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+sinx四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

利用導數(shù)求下列函數(shù)的單調區(qū)間．

(1)f(x)=x18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x?ln2x．

(1)求f19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ax?1x?(a+1)lnx(20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+2．

(1)若函數(shù)f21.(本小題12分)

南京玄武湖號稱“金陵明珠”，是我國僅存的皇家園林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飄香，令人陶醉.夏天的一個傍晚，小胡和朋友游玄武湖，發(fā)現(xiàn)觀賞荷花只能在岸邊，無法深入其中，影響觀賞荷花的樂趣，于是他便有了一個愿景：若在玄武湖一個盛開荷花的一角(該處岸邊近似半圓形，如圖所示)設計一些棧道和一個觀景臺，觀景臺P在半圓形的中軸線OC上(圖中OC與直徑AB垂直，P與O，C不重合)，通過棧道把PA，PB，PC，AB連接起來，使人行在其中，猶如置身花海之感.已知AB=200m，∠PAB=θ，棧道總長度為函數(shù)f(θ)22.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=aex?1x的圖象在(1,f(1))處的切線經過點(2,e)．答案和解析1.【答案】B

【解析】解：對于A，常數(shù)的導數(shù)為0，正確；

在B中，y=1x=1x12=x?12，根據導數(shù)的公式得y′=(x?12)′=?122.【答案】C

【解析】解：f(x)=1x，

則f′(x)=?13.【答案】C

【解析】解：因為f′(x)=x2?2x，所以令f′(x)>0，得x<0或x>2；令f′(x)<4.【答案】A

【解析】解：觀察圖象可知，該函數(shù)在(2,3)上為連續(xù)可導的增函數(shù)，且增長的越來越慢．

所以各點處的導數(shù)在(2,3)上處處為正，且逐漸減小，所以故f′(2)>f′(3)，

而f(3)?f(2)=5.【答案】A

【解析】解：因為f(x)=x(x?m)2，

所以f′(x)=(x?m)2+2x(x?m)，

因為f(x)在x=?2處有極小值，

所以f′(?2)=(?2?m)2?4(?2?m)=0，

即m2+8m+12=0，解得m=?6或m=6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的單調性與導函數(shù)的關系，屬于簡單題．

利用導函數(shù)的圖象以及原函數(shù)的圖象的關系，判斷推出結果即可．

【解答】

解：如圖，記兩個函數(shù)分別為g(x)和h(x)，

若g(x)為導函數(shù)，則h(x)應在?∞,2單調遞減，明顯與圖象不符；

所以f(7.【答案】D

【解析】解：a=sinπ5>sinπ6=12=c，

設f(x)=lnx+1?x，x>1，則f′(x)=1?xx8.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用．因為存在唯一的正整數(shù)x0，使得不等式2xex?ax【解答】

解：存在唯一的正整數(shù)x0，使得不等式2xex?ax?a>0成立；

即a<2xex(x+1)有唯一的正整數(shù)解；

設

f(x)=2xex(x+1)

(x>0)

則f?′9.【答案】AC【解析】解：A，∵(sinπ3)′=0，∴A錯誤，

B，∵(xex+e2)′=ex+xex=(x+10.【答案】AB【解析】解：對于A，由題意，當a=0時，f(x)=?2x+3，無極值點，

當a≠0時，f′(x)=3ax2?2，

a<0時，f′(x)<0，函數(shù)y=f(x)單調遞減，無極值點，

當a>0時，令f′(x)=0，得x2=23a，解得x1=?23a,x2=23a，

當f′(x)>0，解得x<x1或x>x2，∴f′(x)在(?∞,x1)，(x2,+∞)上單調遞增，

當f′(x)<0，解得x1<x<x2，∴f(x)在(x1,x2)上單調遞減，

所以x1是f(x)11.【答案】BD【解析】解：令F(x)=f(x)x，

所以F′(x)=f′(x)?x?f(x)x2，

因為當x>0時，有f(x)?xf′(x)>0恒成立，

所以當12.【答案】AD【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，屬于較難題．

求導分析f′(x)的符號，f(x)的單調性和極值，同理可得g(x)的單調性和極值，作出f(x)與g(x)的大致圖象，設函數(shù)f(【解答】

解：f′(x)=ex?ex?x(ex)2=(1?x)ex(ex)2=1?xex，

令f′(x)=0得x=1，

所以在(?∞,1)上，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

在(1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

所以當x=1時，f(x)取得極大值即最大值f(1)=1e，

g′(x)=1x?x?lnxx2=1?lnxx2，

令g′(x)=0得x=e，

所以在(0,e)13.【答案】?9【解析】解：由f(x)=1x，求導得f′(x)=?1x2，則f′(3)=?14.【答案】[?【解析】解：由圖象可知f(x)在區(qū)間[?13,1]和[2,3)上單調遞減，

∴15.【答案】(?【解析】解：已知f(x)=(x?m)2+lnx，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

可得f′(x)=2(x?m)+1x，

因為f′(x)>0在(1,16.【答案】[2【解析】解：?x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，

不妨設x1<x2，x2?x1>0，

∵f(x2)?f(x1)x2?x1>1，

∴f(x2)?f(x1)>x2?x1，即f(x2)?x2>f(x1)?x1，

f(x)=ln17.【答案】解：(1)由f′(x)=3x2+3>0在定義域上恒成立，

故f(x)【解析】(1)(18.【答案】解：(1)因為函數(shù)f(x)=x?ln2x，

所以f′(x)=【解析】(1)利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則直接計算即得；

(2)求出19.【答案】解：(1)當a=0時，函數(shù)f(x)=?1x?lnx，求導得：f′(x)=1?xx2，

令f′(x)>0，得0<x<1；令f′(x)<0，得x>1；

則函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，

【解析】(1)當a=0時，對f(x)求導，分析函數(shù)單調性，確定f(x)圖象，可證明曲線y=f(x20.【答案】解：(1)因為f(x)=lnx+ax+2(x>0)，則f′(x)=1x+a=ax+1x，

因為函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，所以f′(1)=1+a=0，解得a=?1，

當a=?1時，可得f′(x)=1?xx，

當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當x∈(1,+∞)時，f′【解析】(1)根據題意，利用函數(shù)極值點的意義列式，得到f′(1)=0，由此求得a值，再進行驗證即可得到答案；

(2)對21.【答案】解：(1)由題意知∠PAB=θ(0<θ<π4)，OC⊥AB，OA=OB=100，

則PA=PB=100cosθ，PO=100tanθ，所以PC=100?100tanθ，

所以f(θ【解析】(1)由已知可得PA=PB=100cosθ，PC=22.【答案】解：(1)因為f(x)=aex?1x，所以f(1)=ae?1，

f′(x)=axex?aex+1x2，f′(1)=1，

又函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1))處的切線經過點(2,e)，

所以ae?1?e1?2=1，解得a=1