中考數(shù)學(xué)幾何證明題「含答案」重慶中考（往屆）數(shù)學(xué)24題專題練習(xí)1、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE（1）求證：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，求證：BG=DG+CD．在BG上取BH=AB=CD，連EH，顯然△ABE與△CDE全等，則∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC又∠BEC=90°=∠BFC，對頂角∠BGE=∠CGF，故∠FBE=∠DCE，所以∠ABE=∠FBE在BF上取BH=AB，連接EH，由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE與△HBE全等故∠AEB=∠HEB，AE=EH而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90°所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED同理，∠DEG=45°=∠HEGEH=AE=ED，EG=EG故△HEG與△FEG全等，所以HG=DG即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長線上一點(diǎn)，連接ED，與BC交于點(diǎn)H．過E作CD的垂線，垂足為CD上的一點(diǎn)F，并與BC交于點(diǎn)G．已知G為CH的中點(diǎn)．（1）若HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的長．3、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對角線AC延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上的一點(diǎn)，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）當(dāng)CE=1時(shí)，求△BCE的面積；（2）求證：BD=EF+CE．4、如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC延長線上的一點(diǎn)，且．過點(diǎn)EEF∥CA，交CD于點(diǎn)F，連接OF．（1）求證：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長BF交AD的延長線于E，延長CD交BA的延長線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求線段CD的長；（2）H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面積；（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且滿足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．7、已知：如圖，ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點(diǎn)E．（1）求證：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．8、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．（1）求證：∠DAE=∠DCE；（2）當(dāng)CG=CE時(shí)，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．9、如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．（1）求證：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．10、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點(diǎn)，交BC的延長線于F；（1）證明：EF=EA；（2）過D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．11、如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．（1）求證：EB=EF；（2）延長FE交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn)，若AB=6，求BC的長．12、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高．（1）求證：AE=GF；（2）設(shè)AE=1，求四邊形DEGF的面積．13、已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．（1）求證：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的長．14、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點(diǎn)F，連接AF、BF．（1）求證：AD=BE；（2）試判斷△ABF的形狀，并說明理由．15、如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求證：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的長．16、如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．（1）求證：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的長．17、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．（1）求證：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的長．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且．（1）求證：BF=EF﹣ED；（2）連接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)．20、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的長．（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．21、如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求證：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面積．22、已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，在GD的延長線上取點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE，BD．（1）求證：△AGE≌△DAB；（2）過點(diǎn)E作EF∥DB，交BC于點(diǎn)F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．23、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，EF=EC，連接DF．（1）試說明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請直接寫出PB的長；若不存在，請說明理由．24、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）證明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度數(shù)．25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長至點(diǎn)F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）如果BC=8，求△DBF的面積？26、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．（1）求證：△AGD為正三角形；（2）求EF的長度．27、已知，如圖，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45°，連接ED，過D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，F(xiàn)C=3，求梯形ABCD的周長．（2）求證：ED=BE+FC．28、已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，直線CE交DA的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的長．29、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點(diǎn)E．求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周長為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．30、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．連接BD，過A點(diǎn)作BD的垂線，交BC于E．（1）求證：四邊形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．參考答案1、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE（1）求證：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，求證：BG=DG+CD．證明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延長CD和BE的延長線交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已證），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已證），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已證），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長線上一點(diǎn)，連接ED，與BC交于點(diǎn)H．過E作CD的垂線，垂足為CD上的一點(diǎn)F，并與BC交于點(diǎn)G．已知G為CH的中點(diǎn)．（1）若HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的長．（1）證明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中點(diǎn)，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對角線AC延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上的一點(diǎn)，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）當(dāng)CE=1時(shí)，求△BCE的面積；（2）求證：BD=EF+CE．（2）過E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，四邊形FDME是矩形，F(xiàn)E=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，繼而可證明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，∴…（5分）（2）證明：過E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，∴四邊形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC延長線上的一點(diǎn)，且．過點(diǎn)E作EF∥CA，交CD于點(diǎn)F，連接OF．（1）求證：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．解答：（1）證明：延長EF交AD于G（如圖），在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四邊形ACEG是平行四邊形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四邊形ABCD是矩形．證明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長BF交AD的延長線于E，延長CD交BA的延長線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求線段CD的長；（2）H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：連接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）證明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH，∴∠BCH=∠BCD==．6、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面積；（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且滿足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．解：（1）連AC，過C作CM⊥AD于M，如圖，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面積=?（8+14）?6=66（cm2）；（2）證明：過G作GN⊥AD，如圖，∵∠D=45°，∴△DNG為等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點(diǎn)E．（1）求證：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．（1）證明：如圖．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AE=DE．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．（1）求證：∠DAE=∠DCE；（2）當(dāng)CG=CE時(shí)，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（1）證明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的對角線平分對角），ED=DE（公共邊），AE=CE（正方形的四條邊長相等），∴△DAE≌△DCE（SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的對應(yīng)角相等）；（2）解：如圖，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等邊對等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等邊對等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；過點(diǎn)C作CH⊥AG于點(diǎn)H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．（1）求證：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．（1）證明：連接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中點(diǎn)，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．∵P是EF的中點(diǎn)，∴PH=EC．設(shè)EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，F(xiàn)C=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，F(xiàn)D=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點(diǎn)，交BC的延長線于F；（1）證明：EF=EA；（2）過D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E為CD的中點(diǎn)，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：連接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四邊形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．（1）求證：EB=EF；（2）延長FE交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn)，若AB=6，求BC的長．（1）證明：∵△ADF為等邊三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE為公共邊∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如圖，連接EC．（6分）∵在等邊三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分線，則∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG為等邊三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：過C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高．（1）求證：AE=GF；（2）設(shè)AE=1，求四邊形DEGF的面積．（1）證明：∵AB=DC，∴梯形ABCD為等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE為等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中點(diǎn)，∵F是DC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四邊形AEFD是平行四邊形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四邊形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四邊形DEGF的面積=EF?DG=．（10分）13、已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．（1）求證：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的長．解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點(diǎn)F，連接AF、BF．（1）求證：AD=BE；（2）試判斷△ABF的形狀，并說明理由．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延長AF交BC的延長線于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011?潼南縣）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求證：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的長．解答：（1）證明：連接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，設(shè)AB=x，則BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．說明：依據(jù)此評分標(biāo)準(zhǔn)，其它方法如：過點(diǎn)C作CF⊥AB用來證明和計(jì)算均可得分．16、如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．（1）求證：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的長．（1）證明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中點(diǎn)，∴AE⊥BD．（2）解：延長AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已證），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中點(diǎn)（已知），所以由三角形中位線定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的長為5．17、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．（1）求證：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的長．解：如圖，過點(diǎn)D作DF∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC?sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且．（1）求證：BF=EF﹣ED；（2）連接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)．證明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF＇=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的長．（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于點(diǎn)M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四邊形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延長AF、BC交于點(diǎn)N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求證：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面積．解：（1）證明：過D作DE∥AC交BC延長線于E，（1分）∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE為等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE為等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面積為18．（8分）注：此題解題方法并不唯一．22、已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，在GD的延長線上取點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE，BD．（1）求證：△AGE≌△DAB；（2）過點(diǎn)E作EF∥DB，交BC于點(diǎn)F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等邊三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四邊形BFED是平行四邊形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等邊三角形，∠AFE=60°．23、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，EF=EC，連接DF．（1）試說明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請直接寫出PB的長；若不存在，請說明理由．解：（1）證明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，證明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四種情況：∵DF⊥BC，∴當(dāng)PF=CF時(shí)，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；當(dāng)P與F重合時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；當(dāng)PC=CD=（P在點(diǎn)C的左側(cè)）時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；當(dāng)PC=CD=（P在點(diǎn)C的右側(cè)）時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四種情況：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每個(gè)1分）24、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）證明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度數(shù)．解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長至點(diǎn)F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）如果BC=8，求△DBF的面積？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面積為．26、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．（1）求證：△AGD為正三角形；（2）求EF的長度．（1）證明：連接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可證△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD為等邊三角形，（2）解：∵BE為△BCG的中線