第一章參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝．故選：B．2．解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為acm，bcm，斜邊為ccm，根據(jù)勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，則c＝30cm．故選：B．3．解：A、42+52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；C、52+62≠72，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D、12+（）2≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．故選：B．4．解：由題可知，在等腰三角形中，底邊的一半、底邊上的高以及腰正好構(gòu)成一個直角三角形，且（）2+122＝132，符合勾股定理，故選：B．5．解：A、12+22≠32，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；B、∵12+（）2＝（）2，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；C、42+52≠62，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；D、122+152≠202，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：B．6．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，故選：C．7．解：將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y，∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3＝18，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝18，故3x+12y＝18，x+4y＝6，所以S2＝x+4y＝6，即正方形EFGH的面積為6．故選：B．8．解：A、1，，2，因為不是正整數(shù)，故一定不是勾股數(shù)，故此選項錯誤；B、1.5，2，2.5，因為不是正整數(shù)，故一定不是勾股數(shù)，故此選項錯誤；C、因為62+82＝102，故是勾股數(shù)．故此選項正確；D、因為52+62≠72，故不是勾股數(shù)，故此選項錯誤；故選：C．9．解：在側(cè)面展開圖中，AC的長等于底面圓周長的一半，即×2π×＝6（cm），∵BC＝8cm，AC＝6cm，∴根據(jù)勾股定理得：AB＝＝10（cm），∴要爬行的最短路程是10cm．故選：C．10．解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB＝（m），∵AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′＝（m），∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故選：B．二．填空題（共10小題，滿分30分）11．解：∵正方形PQED的面積等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面積為289，∴PR2＝289，又△PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，則正方形QMNR的面積為64．故答案為：64．12．解：根據(jù)勾股數(shù)定義可得①3，4，5；②6，8，10，故答案為：3，4，5；6，8，10．13．解：如圖：設(shè)AB＝25是最長邊，AC＝15，BC＝20，過C作CD⊥AB于D，∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∵S△ACB＝AC×BC＝AB×CD，∴AC×BC＝AB×CD15×20＝25CD，∴CD＝12（cm）；故答案為：12．14．解：如圖，連接AC．由題意，AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，故答案為：45°．15．解：∵將一根長9cm的筷子，置于底面直徑為3cm，高為4cm的圓柱形水杯中，∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度，∴當(dāng)杯子中筷子最短時等于杯子的高，h＝9﹣4＝5（cm），當(dāng)杯子中筷子最長時等于杯子斜邊長度，h＝9﹣＝4（cm），∴h的取值范圍是：4≤h≤5．故答案為：4≤h≤5．16．解：設(shè)AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，由題意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣1）2+42＝x2，解得x＝8.5，∴AC＝8.5m．故答案為：8.5．17．解：由圖可知正方形的邊長為＝8cm，正方形的面積為8×8＝64cm2．故答案為：64cm2．18．解：設(shè)中間兩個正方形的面積分別為x、y，正方形D的面積為z，則由勾股定理得：x＝2+5＝7；y＝1+z；7+y＝7+1+z＝10；即正方形D的面積為：z＝2．故答案為：2．19．解：∵四邊形EFGH為正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．設(shè)OG＝PG＝CG＝x，∵O為EG，BD的交點，∴EG＝2x，F(xiàn)G＝x，∵四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，∴＝＝2+，故答案為：2+．20．解：由題意可得，當(dāng)展開前面和右面時，最短路線長是：＝＝15（cm）；當(dāng)展開前面和上面時，最短路線長是：＝＝7（cm）；當(dāng)展開左面和上面時，最短路線長是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是15cm，故答案為：15．三．解答題（共7小題，滿分90分）21．證明：【嘗試探究】梯形的面積為S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），利用分割法，梯形的面積為S＝△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；【定理應(yīng)用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．22．解：正確．理由：∵m表示大于1的整數(shù)，∴a，b，c都是正整數(shù)，且c是最大邊，∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，即a、b、c為勾股數(shù)．當(dāng)m＝2時，可得一組勾股數(shù)3，4，5．23．（1）證明：在△BDC中，BC＝15，BD＝9，CD＝12，∵BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵CD⊥AB，∴△ADC是直角三角形，∵S△ABC＝84，CD＝12，∴AB＝14，∴AD＝AB﹣BD＝14﹣9＝5，在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即52+122＝AC2，解得AC＝13，∴△ABC的周長是13+14+15＝42．24．解：（1）在Rt△ABD中，AD＝＝3；（2）在Rt△ACD中，AC＝＝2，則△ABC的周長＝AB+AC+BC＝5+4++2＝9+3．25．解：（1）AB＝，AD＝，CD＝，BC＝2，四邊形ABCD的周長為；面積為5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；（2）連接BD，∵BC＝2，CD＝，BD＝5，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BCD是直角．26．（1）證明：∵AB＝13ccm，BD＝8cm，∴AD＝AB﹣BD＝5cm，∴AC＝13cm，CD＝12cm，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形；（2）解：在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，BD＝8cm，CD