專題06數(shù)學(xué)情景與新文化100題

類型一:函數(shù)類新文化題型

一、單選題

1.5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=Wlog[l+5].它表示：在受噪聲干撓的信道中，最

大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其

中三叫做信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比力從1000提升至2000,則C大約增加了

NN

()

A.10%B.30%C.50%D.100%

【答案】A

【分析】

根據(jù)香農(nóng)公式，分別寫出信噪比為1000和2000時的傳遞速率為C=Wl。g2(l+1000)和

C=Wlog2(1+2000),兩者相比，再根據(jù)對數(shù)運算即可估計得答案.

【詳解】

當(dāng)士=1000時，C=Wlog2(l+1000)

當(dāng)士=2000時，C=Wlog”(l+2000)

N

Wlog2(1+2000)-Wlog?(1+1000)log?200111+log?1000]_12？

h--"g

則IVlog2(l+1000)log21001log21000--3

i11ii

X—=lgl04<lg2<lgl03=-,根據(jù)選項分析,-lg2?0.1

所以信噪比1從1000提升至2000,則C大約增加了10%.

N

故選：A.

【點睛】

本題考查知識的遷移應(yīng)用，考查對數(shù)的運算，是中檔題.

2.2020年11月24日4時30分，我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射嫦娥五號，12月

17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，“繞、落、回“三步探月

規(guī)劃完美收官，這為我國未來月球與行星探測奠定了堅實基礎(chǔ).已知在不考慮空氣阻力和地球引力的理想

狀態(tài)下，可以用公式v=%ln絲計算火箭的最大速度v(m/s),其中%(m/s)是噴流相對速度，帆(kg)是火

m

箭(除推進劑外)的質(zhì)量，M(飯)是推進劑與火箭質(zhì)量的總和，也稱為“總質(zhì)比”.若A型火箭的噴流

相對速度為lOOOm/s,當(dāng)總質(zhì)比為500時，A型火箭的最大速度約為（1g”0434,1g2^0.301）（）

A.4890m/sB.5790m/sC.6219m/sD.6825m/s

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意把數(shù)據(jù)代入已知函數(shù)可得答案.

【詳解】

v=voln—=IOOOxln5OO=lOOOx=IOOOx37g29/?/5

mIgeIge

故選：C.

3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇跡之一，其中較為著名的是胡夫金字塔.令人

吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”.如胡夫金字塔的底

部周長如果除以其高度的兩倍，得到的商為3.14159,這就是圓周率較為精確的近似值.金字塔底部形為

正方形，整個塔形為正四棱錐，經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后，底座邊長大約230米.因年久風(fēng)化，頂端剝

落10米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為

A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米

【答案】C

【分析】

設(shè)出胡夫金字塔原高，根據(jù)題意列出等式，解出等式即可根據(jù)題意選出答案.

【詳解】

胡夫金字塔原高為人，則三產(chǎn)=3.14159,即〃=￡1宗、”146.4米，

2h2x3.14159

則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為136.4米.故選C.

【點睛】

本題屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用題，一般設(shè)出未知數(shù)，再根據(jù)題意列出含未知數(shù)的等式，解出未知數(shù)，即可得到答

案.屬于常規(guī)題型.

4.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬

W,經(jīng)科學(xué)研究表明：C與印滿足。=卬1＜岷式1+t），其中S是信道內(nèi)信號的平均功率，N是信道內(nèi)部的

高斯噪聲功率，?為信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，上式中真數(shù)中的1可以忽略不計.若不改變帶寬W,而將

N

信噪比三從1000提升至4000,則C大約增加了（）（附：lg2"Q3010）

N

A.10%B.20%C.30%D.40%

【答案】B

【分析】

先計算盤=1000和^=4000時的最大數(shù)據(jù)傳輸速率G和C2,再計算增大的百分比邑尹即可.

NN

【詳解】

當(dāng)士=1000時,C,=IVlog.1001?Wlog21000；

N

當(dāng)士=4000時，G=Wlog.4001。Wlog,4000.

N

C2Y_Q_]_Wlog24000_]_<4000lg44-lgl000

所以增大的百分比為:G一日一_WJogJOOO--IglOOO_一__1g1000

lg4_21g22x0.3010

?0.2=20%.

Igl000-33

故選：B.

5.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=Wlog（l+得）.它表示：

在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,信道內(nèi)信號的平均功率5,信道內(nèi)部的

q

高斯噪聲功率N的大小，其中?叫做信噪比.當(dāng)信噪比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)

N

S

公式，若不改變帶寬W,而將信噪比《從1000提升至8000,則C大約增加了（愴2。0.3010）（）

N

A.10%B.30%C.60%D.90%

【答案】B

【分析】

根據(jù)所給公式、及對數(shù)的運算法則代入計算可得;

【詳解】

解：當(dāng)2=1000時，C^WlogJOOO,當(dāng)±二8000時，C.=Wlog,8000,

N'N

C,Wlog?8000lg80003+31g2…

唁回約增加了3。％.

故選：B

6.2020年11月24日4時30分，長征五號途五運載火箭在我國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，飛行約2200

秒后，順利將探月工程嫦娥五號探測器送人預(yù)定軌道，開啟我國首次地外天體采樣返回之旅.已知火箭的

最大速度v（單位:km/s）與燃料質(zhì)量M（單位:kg）、火箭質(zhì)量m（單位:kg）的函數(shù)關(guān)系為v=21n+若

已知火箭的質(zhì)共為3100kg,火箭的最大速度為Ukm/s,則火箭需要加注的燃料為（參考數(shù)值為

ln2=0.69;ln244.69”5.50,結(jié)果精確到0.01）（）

A.243.691B.244.691C.755.44tD.890.23t

【答案】C

【分析】

利用指對互化解出〃，可得火箭需要加注的燃料的估算值.

【詳解】

v=21nfl+—L則ll=21n[l+〃一],所以1+W_=e&5

ImJI3100J'3100

解得M=3100（e55-1）-3100x243.69=755439（kg）?755.44（t）

故選：C

7.意大利著名天文學(xué)家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線.直到1690年，雅各布?伯

努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學(xué)界征求答案.1691年他的弟弟約翰?伯努利和菜布尼茲、惠

更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達式一一雙曲余弦函數(shù)：f（x）=c+acosh?=c

e，，+e＜，

la（。為自然對數(shù)的底數(shù)）.當(dāng)c=0,。=1時，記。=/（-1）,n=f（2）,則P,

m,n的大小關(guān)系為（）.

A.p<m<nB.n<m<pC.m<p<nD.m<n<p

【答案】C

【分析】

先利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)八幻在區(qū)間（0,+?）上單調(diào)遞增，再結(jié)合單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】

.....、e~x+ex.-e~x+exe-1

由題意知，,/(x)=-丁一，f(x)=——-——="

當(dāng)x>0時，r(x)>0,即函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+?)上單調(diào)遞增

e-'+e

/(-1)=—⑴

V0<1<1<2,.-./^</(1)</(2),\^m<p<n

故選：C

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)〃x)的單調(diào)性，再結(jié)合單調(diào)性比較大小.

8.著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為空氣溫度為

琮c,貝打min后物體的溫度。(單位：℃)滿足：。=%+幽-4)""(其中左為常數(shù)，

e=2.71828…).現(xiàn)有某物體放在20c的空氣中冷卻，2min后測得物體的溫度為52℃,再經(jīng)過6min后物

體的溫度冷卻到24℃,則該物體初始溫度是()

A.80℃B.82℃C.84℃D.86℃

【答案】C

【分析】

先利用第二次冷卻：4=52℃,%=20℃，片6,。=24℃,代入求出k=子，然后對第一次冷卻，代入公式，

求出初始溫度.

【詳解】

第二次冷卻：q=52℃,q=20℃,片6,。=24℃,

即24=20+(52-20)解得：&=?；

第一次冷卻：。=52℃,4=20℃,片2,,

In8八

即52=20+(4-20”不，解得：G=84C；

故選：C.

【點睛】

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：

(1)求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字

語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（2）求解應(yīng)用性問題時，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結(jié)合實際問題理解自變量的取值范圍；

（3）可以建立多個函數(shù)模型時，要對每個模型計算，進行比較，選擇最優(yōu)化模型.

9.2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己

證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動.在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為

《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐

拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字x的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為乃（犬卜信的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得

出的結(jié)論，估計10000以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，lge“0.43429,計算結(jié)果取整數(shù)）

A.1089B.1086C.434D.145

【答案】B

【分析】

1nnnn

由題意可知10000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為計算即可得到答案.

In10000

【詳解】

由題可知小于數(shù)字X的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為乃（力士六，

則10000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為%（10000卜則史-=W&=儂5絲=25001gey0.434292500al086,

'In1000041nl04

故選B.

【點睛】

本題考查對數(shù)運算性質(zhì)的簡單應(yīng)用，考查學(xué)生的審題能力.

10.2020年6月17日15時19分，星期三，酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，我國成功發(fā)射長征二號丁運載火箭，并

成功將高分九號03星、皮星三號A星和德五號衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，攜三星入軌，全程發(fā)射獲得圓滿成

功，祖國威武.已知火箭的最大速度v（單位：km/s）和燃料質(zhì)量M（單位：kg）,火箭質(zhì)量m（單位：

kg）的函數(shù)關(guān)系是：v=20001n（l+‘],若已知火箭的質(zhì)量為3100公斤，燃料質(zhì)量為310噸，則此時v

的值為多少（參考數(shù)值為In2ao.69；In101?4.62）（）

A.13.8B.9240C.9.24D.1380

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)和函數(shù)關(guān)系式直接計算.

【詳解】

v=2000XIn11+3：器。）=2000x（lnlOI）=2000x4.62=9240km/s,

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.為了研究疫情有關(guān)指標(biāo)的變化，現(xiàn)有學(xué)者給出了如下的模型：假定初始時刻的病例數(shù)為N。，平均每

個病人可傳染給K個人，平均每個病人可以直接傳染給其他人的時間為L天，在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增

長隨時間r（單位：天）的關(guān)系式為Mf）=N°（l+2J若No=2,K=2.4,則利用此模型預(yù)測第5天的病例數(shù)大約

為（）（參考數(shù)據(jù)：logi.4454n8,log2.4454M,log3.4454k5）

A.260B.580C.910D.1200

【答案】C

【分析】

首先根據(jù)題意得到N（5）=2（1+2.4）5=2x3.4$,再根據(jù)參考數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】

N⑸=20+2.4）5=2x3.45,

因為log?”454*5,所以3.4'=454,

所以N⑸=2x3.45"2x454=908k9l0.

故選：C

12.干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法、干支是天干和地支的總稱，甲、乙、丙、

丁、戊、己、庚、辛、壬、癸為天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥為地支.把十

天干和十二地支依次相配，如甲對子、乙對丑、丙對寅、...癸對寅，其中天干比地支少兩位，所以天干先

循環(huán)，甲對戊、乙對亥、…接下來地支循環(huán)，丙對子、丁對丑、.，以此用來紀(jì)年，今年2020年是庚子

年，那么中華人民共和國建國100周年即2049年是（）

A.戊辰年B.己巳年C.庚午年D.庚子年

【答案】B

【分析】

由題意2020年是干支紀(jì)年法中的庚子年，則2049的天干為己，地支為巳，即可求出答案.

【詳解】

天干是以10為一周期，地支是以12為一周期，

2020年是干支紀(jì)年法中的庚子年，而2049-2020=29=2x10+9=2x12+5,所以2049的天干為己，地支

為已，

故選：B.

【點睛】

本題考查數(shù)學(xué)文化，實際生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用，關(guān)鍵在于運用閱讀理解能力將生活中的數(shù)據(jù)和用語轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)中的概念和數(shù)據(jù)，屬于中檔題.

13.2020年初，新冠病毒肺炎(COV/D-19)疫情在武漢爆發(fā)，并以極快的速度在全國傳播開來.因該病

毒暫無臨床特效藥可用，因此防控難度極大.湖北某地防疫防控部門決定進行全面入戶排查4類人員：新

冠患者、疑似患者、普通感冒發(fā)熱者和新冠密切接觸者，過程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎密

切接觸者，按要求進一步對該5名成員逐一進行核糖核酸檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭定義為"感染高危

戶”，設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率相同均為。且相互獨立，該家庭至少檢測了4人才

能確定為“感染高危戶”的概率為八P),當(dāng)時，”P)最大，此時P°=()

A.「姮B.叵C.正D.

5555

【答案】A

【分析】

由題意可得，該家庭至少檢測了4人才能確定為"感染高危戶"，則前3人檢測為陰性，第4人為陽性，或

前4人檢測為陰性，第5人為陽性.求出f(p),求/(p),利用導(dǎo)數(shù)求當(dāng)最大時，。的值.

【詳解】

由題意可得，該家庭至少檢測了4人才能確定為"感染高危戶”，則前3人檢測為陰性，第4人為陽性，或

前4人檢測為陰性，第5人為陽性.

?■?/(P)=(1-P)，P+(1-P)4P>

f\P)=-3(l-p)2p+(l-p)3-4(1-p)3p+(l-p)4=(l-p)2(5p2-10p+2)

Q0<夕—5+產(chǎn)］<0,

令/(p)>()，得0<p〈三普；〃P)<0,得沼叵<p<l.

?."(0在0,—上單調(diào)遞增，在—^,1單調(diào)遞減，

...p=^Z時，/(#最大，即%=^1=1-半.

故選：A.

【點睛】

本題考查相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題.

14.復(fù)興號動車組列車，是中國標(biāo)準(zhǔn)動車組的中文命名，由中國鐵路總公司牽頭組織研制、具有完全自主

知識產(chǎn)權(quán)、達到世界先進水平的動車組列車.2019年12月30日，CR400BF-C智能復(fù)興號動車組在京張

高鐵實現(xiàn)時速350km自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小.我們用聲強/(單位：W/m2

表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級Z.(單位：dB與聲強/的函數(shù)關(guān)系式為

Z,=101g(?/),已知/=10'w/m?時，乙=10期.若要將某列車的聲強級降低30dB,則該列車的聲強應(yīng)變?yōu)樵?/p>

聲強的()

A.10-5倍B.KT4倍C.10’倍D.IO一倍

【答案】C

【分析】

由題設(shè)可得“=10-3,代入函數(shù)式，由指對數(shù)的關(guān)系有/=1043,進而求聲強級降低30dB的聲強廣，應(yīng)用

指數(shù)累的運算性質(zhì)求聲強的比值.

【詳解】

由題設(shè)，101g(103a)=10,解得a=10-3,則L=101g(l(f3/)=10(lg/-3),

=要使聲強級降低30dB,則/，=10用%=]0+，

L

故選：C

15.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函

數(shù)”為：設(shè)xeR,用卜]表示不超過x的最大整數(shù)，貝！|.丫=國稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，如：

[-3.7]=^,[2.3]=2,已知/(力=弄—1,則函數(shù)y=3[〃x)]-2[〃-切的值域為()

A.{-3,0,2)B.{-1,2}C.{-3,0,-2}D.{-2,0,3}

【答案】A

【分析】

化簡得出/(x)=l-2，可得x>0時，[/(x)]=0；x=0時，[/(x)]=0;x<0時，[/(x)]=-l,即

可求出.

【詳解】

,2(2*)-2-22

f(x)=-1=-----：-------1=2：----1=1-

2r+l2'+12'+12*+1

當(dāng)x>0時，2"+le(2,-K>o),則白?0,1),則〃x)w(O,l),此時[。(切=0,

當(dāng)x=0時，/(x)=0,則[〃x)]=0,

當(dāng)x<0時,2、+1?1,2),則白產(chǎn)(1,2),則〃x)?-l,0),此時[0(x)]=T，

則對于函數(shù)y=3[〃x)]-2[〃-x)],

當(dāng)x>0時,-x<0,lltHty=3[/(x)]-2[/(-x)]=3x0-2x(-l)=2；

當(dāng)x=0時.，-x=0,此時y=3[/(x)]-2[〃-x)]=3x0-2x0=0；

當(dāng)x<0時，—x>0,此時y=3[/(x)]_2[f(_x)]=3*(_l)_2x0=_3,

故V=3"(x)]-2"(一切的值域為{-3,0,2}.

故選:A.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是化簡得出/(x)=l-品■，分別求出x>0,x=0,x<0時/(力的取值范圍.

16.我國于2021年5月成功研制出目前國際上超導(dǎo)量子比特數(shù)量最多的量子計算原型機“祖沖之號”，操

控的超導(dǎo)量子比特為62個.已知1個超導(dǎo)量子比特共有“|0>,H>"2種疊加態(tài)，2個超導(dǎo)量子比特共有

“[00>,|01>,|10>,種疊加態(tài)，3個超導(dǎo)量子比特共有“|000>,|001>,|010>,

|100>,種疊加態(tài)，…，只要增加1個超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指

數(shù)級增長.設(shè)62個超導(dǎo)量子比特共有N種疊加態(tài)，則N是一個()位的數(shù).(參考數(shù)據(jù)：地2b0.3010)

A.18B.19C.62D.63

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意〃個超導(dǎo)量子比特共有2"種疊加態(tài)，進而兩邊取以10為底的對數(shù)化簡整理即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，設(shè)〃個超導(dǎo)量子比特共有2"種疊加態(tài)，

所以當(dāng)有62個超導(dǎo)量子比特共有N=262種疊加態(tài)。

兩邊取以10為底的對數(shù)得lgN=Ig262=621g2=62x0.3010=18.662,

所以N=10,8662=10。《2x108,由于10。<10°?2<10、

故N是一個19位的數(shù).

故選：B

【點睛】

本題考查數(shù)學(xué)文化，對數(shù)運算，考查知識的遷移與應(yīng)，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)材料得“個超導(dǎo)

量子比特共有2"種疊加態(tài)，進而根據(jù)對數(shù)運算求解.

17.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又

一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決

這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日乙點的軌道運行.人點是平

衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為Mz,地月距離為R,4點到月球的

距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

----匕■++=(△+r)T.

(R+r)2r2*

y_1_A"4Izy

設(shè)"二萬’由于"的值很小，因此在近似計算中.…)2"3統(tǒng),則r的近似值為

【答案】D

【分析】

本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立。的方程，解方程、近似計算.題目所處

位置應(yīng)是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運

算求解能力的考查.

【詳解】

由a=三，得r=aR

A

MM,、M

因為----\+V=（/DR+r）T,

（R+r）2r2R3

%M,“、必

所以六（1+4a*iJR-,

，「八、1、a5+3a4+3?3.3

即二■=?-（1+a）------------]=---------------------=3a3,

陷（1+a）（1+。）

所以fJ毋

【點睛】

由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復(fù)雜式子的

變形出錯.

18.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：。=皿1。氏(1+5).它表

示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)

部的高斯噪聲功率N的大小，其中?叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計.

N

q

按照香農(nóng)公式，若帶寬W增大到原來的L1倍，信噪比《從1000提升到16000,則。大約增加了(附：

N

lg2?0.3)()

A.21%B.32%C.43%D.54%

【答案】D

【分析】

利用對數(shù)的運算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和16000時C的比值即可求解.

【詳解】

l.lWlog16000lg160003+41g2

解：由題意12-1—1.1X1-I-1.1X-1=0.54,所以C大約增加了54%.

Wlog,10001g10003

故選：D.

19.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命名的“高斯

函數(shù)”為：設(shè)xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則了=[可稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，如:

[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知〃》)=言言，則函數(shù)y=[f(x)]的值域為()

A.{0,—3}B.{0,-11C.{0,—1,—21D.{1,0,—1,—2}

【答案】C

【分析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得"X）的值域，然后再根據(jù)新定義求y="（x）］的值域.

【詳解】

3，+」,

3*-23317髭然31+I+1>1-3(3"'+1)3)’

1+3J+I3X+1+1-3-3(3x+1+l)

所以『3的值域是（-嗎,

當(dāng)-2</(x)v-l時，"(x)]=-2,

—14x<0時，[/?]=-1,當(dāng)0?/(x)<；時"(x)]=0,

所以所求值域是{-2,-1,0}.

故選：C.

20.2020年第三屆中國國際進口博覽會開幕，時值初冬呼吸系統(tǒng)傳染病高發(fā)期，防疫檢測由上海交通大學(xué)

附屬瑞金醫(yī)院與上海聯(lián)通公司合作研發(fā)的“5G發(fā)熱門診智慧解決方案”完成.該方案基于5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實現(xiàn)

了患者體溫檢測、人證核驗、導(dǎo)診、診療、藥品與標(biāo)本配送的無人化和智能化.5G技術(shù)中數(shù)學(xué)原理之一就

是香農(nóng)公式：C=Wlog（l+5］.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C（單位：bit/s）

取決于信道帶寬W（單位：HZ）、信道內(nèi)信號的平均功率S（單位：dB）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N

（單位：dB）的大小，其中三叫做信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比《從1000提升

NN

至2000,則C大約是原來的（）

A.2倍B.1.1倍C.0.9倍D.0.5倍

【答案】B

【分析】

GWlog,20011,.,1111

由題可得7=wbgjooi”3電2+1,根據(jù)z=lgl04<lg2<lgl03=］可求出.

【詳解】

C=Wlog2（l+J

當(dāng)［=1000時,G=lVlog2（l+1000）=Wlog21001,

當(dāng)士=2000時，G=Wlog?（1+2000）=Wlog,2001,

GWlog?2001Jog?2000k)g22+log210001?1J2+1

3+8+

則cf-WlogJOOl~log,1000-logJOOO-—log2IO-3

i11iiGii

又上=lgl(y*<lg2<lgio,=—,則一lg2ao.1,即U=l.l.

433cl

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出a341g2+1,再利用!=lgio!<lg2<lgio5=：

343

求出.

類型二:三角形類新文化題型

21.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最

具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的〃弓”，擲鐵餅者的手臂長約為￡

4

米，肩寬約為「米，"弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）

O

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【分析】

由題分析出這段弓所在弧長，結(jié)合弧長公式求出其所對圓心角，雙手之間的距離為其所對弦長.

【詳解】

解：由題得：弓所在的弧長為：，=￡+￡+《=苧；

4488

5乃

所以其所對的圓心角。=葺=3;

JL

4

兩手之間的距離d=27?sin—=x1.25?1.768.

4

故選：B.

【點睛】

本題主要考查圓心角，弧長以及半徑之間的基本關(guān)系，本題的關(guān)鍵在于讀懂題目，能提取出有效信息.

22.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑,，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.

某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在

嘴角A,C處作圓弧的切線，兩條切線交于3點，測得如下數(shù)據(jù)：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cW（其

畔，。.866）.根據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等

于（）

【答案】A

【分析】

由已知AB=8C=6,設(shè)ZABC=2夕.可得疝。=半=0.866.于是可得。，進而得出結(jié)論.

【詳解】

解：依題意A8=8C=6,設(shè)Z4BC=26?.

貝jlsin，=^^=0.866。蟲.

62

；.e=-,20=—.

33

設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為a.

則a+2。=萬，

71

a=一.

3

故選：A.

【點睛】

本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于

中檔題.

23.《九章算術(shù)》成書于公元一世紀(jì)，是中國古代乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著.書中記載這樣一

個問題“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？"（一步=1.5米）意思是現(xiàn)有扇形田，弧長為45

米，直徑為24米，那么扇形田的面積為

A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米

【答案】B

【分析】

直接利用扇形面積計算得到答案.

【詳解】

11?4

根據(jù)扇形的面積公式，計算扇形田的面積為5=H=]X45X]=270（平方米）.

故選：B.

【點睛】

本題考查了扇形面積，屬于簡單題.

24.希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父"，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué).特別是與“月牙形"

有關(guān)的問題.如圖所示.陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是AABC的外接圓和以AB為直徑

的圓的一部分，若=AC=BC=l,則該月牙形的面積為（）

B

君兀R7371rInn1"

424424424424

【答案】A

【分析】

求出AABC的外接圓半徑，得弓形面積，再求得大的半圓面積，相減可得結(jié)論.

【詳解】

解析由已知可得AB=G,AABC的外接圓半徑為R=二有=1.由題意，內(nèi)側(cè)圓弧為AABC的外接圓的

2sm30

一部分，且其對應(yīng)的圓心角為"，則弓形ABC的面積為k/x[0一sin四]=二-外側(cè)的圓弧以A3

32<33J34

為直徑，所以半圓A8的面積為gxnx圖哼，則月牙形的面積為5邛邛+看

故選：A.

25.故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群.故宮宮殿房檐設(shè)計恰好使北房在冬

至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75,冬至前后正午太

陽高度角約為30.圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出

檐A8的長度（單位：米）約為（）

圖1圖2

A.3B.4C.6（G-1）D.3（g+l）

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，建立解三角形的數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化為利用正弦定理解三角問題求解即可.

【詳解】

如圖，根據(jù)題意得ZACB=15,ZACD=105,ZADC=30,CD=24,

所以NCAO=45,

CDAC刖24AC

所以在AACD由正弦定理得pi_____=______

sinZ.CADsinZ.ACD'sin45-sin300

解得AC=12夜.

所以在RtAACB中,sinNAC5=就，即sin15。=百方,

y/3A/21

解得AB=120sinl5-=12&sin（60-45）=12>/2x-------X----------------X

222

12&x與2=3/（#-&）=66-6.

故選：C

-N

本題考查數(shù)學(xué)問題，解三角形的應(yīng)用問題，考查數(shù)學(xué)建模思想，數(shù)學(xué)運算能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵

在于根據(jù)題意，建立三角形模型，利用正弦定理求解即可.

26.東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對，已有1100多年歷史.東寺塔基座

為正方形，塔身有13級，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱.如

圖，在A點測得：塔在北偏東30°的點。處，塔頂C的仰角為30°,且8點在北偏東60°.A3相距80

（單位：m）,在8點測得塔在北偏西60°,則塔的高度C。約為（）m

A

A.69B.40C.35D.23

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意構(gòu)造四面體GA8D,再運用線面位置關(guān)系及三角形相關(guān)知識求解出相應(yīng)的線段長即可.

【詳解】

如圖，根據(jù)題意，圖中CD_L平面A8D,NCW=30。，/班。=30。,乙48￡>=60。,鉆=80

△AB。中，ZBAD=30°,ZABD=60°,.-.ZADB=90°

AD=A8cos3flBA破88)?0=■

乂平面A8D,.?.△ACO是直角三角形

Rt^ACD中，ACAD=30°,ZADC=90°,AD=4073

CD=AD-tan30°=4073x—=40,選項B正確，選項ACD錯誤

3

故選：B.

27.三國時期，吳國數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理(西方稱之為“畢達哥拉斯定理”).如圖，

四個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個大正方形，角a為直角三角形中的一個銳角，若

該勾股圓方圖中小正方形的面積H與大正方形面積演之比為1:25,則cos(a+.)=()

7啦

lo-

【答案】D

【分析】

如圖。由題意得￡）七=。。85。=七。一七”=。。5皿。一"。。，從而可得sin。一cosa=（,給等式兩邊平方

247而cos(a+網(wǎng)］=cosacos網(wǎng)—sinasin2

化簡后得2sinacosa=—，從而可求出sina+cosa=-

255(4J44

na+cosa)，進而可求得答案

【詳解】

由題意得OC=5￡W,因為CE=OCsina,

DE=DCcosa=EC-EH=DCsina--DC,

5

所以sina-cosa=1，貝ijl-2sinacosa=，,

525

24

所以2sinacosa=—,

25

249

所以(sina+cosa)~=l+2sinacosa=—,

7T7

因為aw(0,5),所以sina+cosa=g,

3?..3乃

所以cosa+——=cosacos-----sinasin—

I4J44

=---(sina+cosa)、

V27772

------------X—=---------------,

2510

故選：D

28.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文

人雅士的寵物，所以又有"懷袖雅物”的別號.如圖是折扇的示意圖，M為QN的一個靠近點N的三等分點，

若在整個扇形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則此點取自扇面（扇環(huán)）部分的概率是（）

【答案】D

【分析】

設(shè)ON=r,扇形的圓心角為a,求出整個扇形的面積和扇環(huán)的面積，利用幾何概型的概率公式可求得所求

事件的概率.

【詳解】

設(shè)ON=r,扇形的圓心角為a,則整個扇形的面積為S，=Ja/,

52

扇環(huán)的面積為S4=2a/,由幾何概型的概率公式得p=￥-=-.

22⑴181“9

2

故選：D.

【點睛】

本題考查幾何概型概率的計算，解答的關(guān)鍵在于計算出相應(yīng)平面區(qū)域的面積，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

29.我國魏晉時期著名的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了“割圓術(shù)——割之彌細(xì)，所失彌少，割之

又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”.也就是利用圓的內(nèi)接多邊形逐步逼近圓的方法來近似計算

圓的面積.如圖。。的半徑為1,用圓的內(nèi)接正六邊形近似估計，則。。的面積近似為氈，若我們運用割

2

圓術(shù)的思想進一步得到圓的內(nèi)接正二十四邊形，以此估計，。。的面積近似為（）

O

A.3（""）B.3（>+⑹C.3（卡-&）D,3（?+0）

22

【答案】C

【分析】

求得圓內(nèi)接正二十四邊形的面積，由此求得。。的面積的近似值.

【詳解】

/7_/y

sin15°=sin（45°-30°）=sin450cos300-cos45°sin30°=7J，

圓內(nèi)接正二十四邊形的面積為24x；xlxlxsinW=12x與也=3（指-⑶.

故選：C

30.筒車是我們古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的

工作原理，如圖所示，已知筒車的半徑為4m,筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距離為2m,筒車沿逆時針方向

以角速度。（。>。）轉(zhuǎn)動，規(guī)定：盛水筒用對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即凡時的位置）時開始計算時間，且以

水輪的圓心。為坐標(biāo)原點，過點。的水平直線為x軸建立平面直角