2017-2021年湖南中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的性質(zhì)

一.選擇題（共14小題）

1.（2020?益陽）如圖，在aABC中，AC的垂直平分線交于點￡）,C。平分NACB,若

ZA=50°,則的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

2.（2021?益陽）如圖，AB〃C。，ZUCfi■為等邊三角形，N￡>CE=40°,則NEAB等于（）

A.40°B.30°C.20°D.15°

3.（2021?永州）如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點A,B為圓心，大于的長為

2

半徑畫弧，兩弧相交于點例和點N,作直線MN分別交8C、AB于點。和點E,若NB

=50°,則NCAO的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.（2021?張家界）如圖，正方形A8CD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中

的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，設(shè)正方形ABCQ的面積為S,黑

色部分面積為Si,則SI：S的比值為（）

B

5.（2021?岳陽）將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線a〃b,則N1的大小為（）

6.（2019?婁底）如圖，的半徑為2,雙曲線的解析式分別為尸上和y=-L則陰影部

XX

分的面積是（）

7.（2021?湘潭）如圖，BC為。。的直徑，弦AOLBC于點E,直線/切于點C,延長

0。交/于點凡若AE=2,ZABC=22.5°,則CF的長度為（）

8.（2021?長沙）如圖，AB//CD,石廠分別與AB,CO交于點G,H,ZAGE=]00°,則N

。，產(chǎn)的度數(shù)為（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

9.（2021?株洲）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在線段8c的延長線上，若

ZDCE=\32Q，則NA=（）

D.66°

10.（2021?湘西州）如圖，面積為18的正方形ABC。內(nèi)接于則窟的長度為（）

C.D.In

11.（2021?株洲）如圖所示，在正六邊形A3CDEF內(nèi)，以A3為邊作正五邊形A3G”/,則

C.14°D.15°

12.（2019?永州）下列說法正確的是（)

A.有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等

B.有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形

C.如果一個角的補(bǔ)角等于它本身，那么這個角等于45°

D.點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度

13.（2019?郴州）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個

正方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知NA=90°,BD=4,CF=6,則正方形AOOF

的邊長是（）

A.A/2B.2C.73D.4

14.（2021?婁底）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當(dāng)。4與

直線/：只有一個公共點時，點A的坐標(biāo)為（）

12

A.（-12,0）B.（-13,0）C.（±12,0）D.（±13,0）

填空題（共6小題）

15.（2020?湘西州）若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的兩倍，則該多邊形的邊數(shù)是.

16.（2019?婁底）如圖，C、。兩點在以AB為直徑的圓上，43=2,ZACD=30°,則AO

B

D

17.（2019?邵陽）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦

圖”.如圖，設(shè)勾”=6,弦c=10,則小正方形ABCD的面積是

18.（2019?湘潭）如圖，在四邊形ABCD中，若4B=CD,則添加一個條件,能得

到平行四邊形ABCZ）.（不添加輔助線，任意添加一個符合題意的條件即可）

19.（2020?張家界）如圖，NAOB的一邊。4為平面鏡，N4OB=38°,一束光線（與水平

線OB平行）從點C射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在OB上的點E處，則NOEB的

度數(shù)是度.

20.（2020?懷化）如圖，在△48C和△AOC中，AB=AD,BC=DC,ZB=130°,則/O

三.解答題（共4小題）

21.（2021?湘潭）如圖，矩形ABC。中，E為邊BC上一點,將AABE沿AE翻折后，點、B

恰好落在對角線AC的中點F上.

（1）證明：尸絲△CER

（2）若求折痕AE的長度.

D

22.（2020?婁底）如圖，DABCD中，BC=2AB,AB±AC,分別在邊8C、AD上的點E與

點F關(guān)于AC對稱，連接EF、AE、CF、DE.

（1）試判定四邊形4EC尸的形狀，并說明理由;

(2)求證：AELDE.

23.（2020?株洲）48是。。的直徑，點C是。。上一點，連接AC、BC,直線MN過點C,

滿足NBCM=NBAC=a.

（1）如圖①，求證：直線MN是0。的切線;

（2）如圖②，點￡＞在線段3c上，過點。作于點H,直線。H交。。于點E、

F,連接AF并延長交直線MN于點G,連接CE,且CE=§,若。。的半徑為1,cosa

3

=3,求AG?E￡＞的值.

4

24.（2020?衡陽）如圖1,平面直角坐標(biāo)系X。）：中，等腰△4BC的底邊BC在x軸上，BC

=8,頂點A在y的正半軸上，OA=2,一動點E從（3,0）出發(fā)，以每秒1個單位的速

度沿CB向左運(yùn)動，到達(dá)08的中點停止.另一動點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB

向左運(yùn)動，到達(dá)點O停止.已知點E、F同時出發(fā)，以為邊作正方形EFG”，使正方

形EFG”和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動的時間為f秒(f20).

(1)當(dāng)點“落在AC邊上時，求「的值；

(2)設(shè)正方形EFG”與△ABC重疊面積為5,請問是否存在，值，使得S=91?若存在，

36

求出r值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,取AC的中點。，連接0￡),當(dāng)點E、尸開始運(yùn)動時，點M從點0出發(fā)，

以每秒2旄個單位的速度沿0。-。(7-?！?gt;-￡>0運(yùn)動，到達(dá)點。停止運(yùn)動.請問在點E

的整個運(yùn)動過程中，點M可能在正方形EFGH內(nèi)(含邊界)嗎？如果可能，求出點M

在正方形EFGH內(nèi)(含邊界)的時長；若不可能，請說明理由.

2017-2021年湖南中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的性質(zhì)

參考答案與試題解析

選擇題（共14小題）

1.（2020?益陽）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交A8于點。，C￡>平分/AC8,若

ZA=50°,則N8的度數(shù)為（）

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到NA=NACO,再根據(jù)角平分線的定義，

即可得出NAC8的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到NB的度數(shù).

【解答】解：垂直平分4C,

：.AD=CD,

：.ZA=ZACD

又平分NACB,

AZACB=2ZACD=100°,

.,.ZB=180°-ZA-ZACB=180°-50°-100°=30°,

故選：B.

【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分

線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.

2.（2021?益陽）如圖，A8〃C￡>,ZXACE為等邊三角形，/QCE=40°,則/EA8等于（）

A.40°B.30°C.20°D.15°

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/￡>CA+/CAB=180°,即NOCE+NECA+NE4C+/

EA8=180°,由△ACE為等邊三角形得/ECA=NE4C=60°,即可得出/E48的度數(shù).

【解答】JW：'：AB//CD,

：.ZDCA+ZCAB=\S0°,BPZDCE+ZECA+ZEAC+ZEAB=\SO°,

?:△ACE為等邊三角形，

：.ZECA^ZEAC=60Q,

/.180°-40°-60°-60°=20°.

故選：C.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NECA

=NE4C=60°是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?永州）如圖，在△48C中，AB=AC,分別以點A,B為圓心，大于的長為

2

半徑畫弧，兩弧相交于點M和點N,作直線MN分別交BC、4B于點。和點E,若NB

=50°,則NC4。的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】作圖題；推理能力.

【分析】利用基本作圖可判斷MN垂直平分AB,則D4=￡>B,所以ND48=N8=50°,

再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出NBAC,然后計算NB4C-NDAB即可.

【解答】解：由作法得垂直平分48,

：.DA=DB,

：.ZDAB=ZB=50°,

\"AB=AC,

.../C=NB=50°,

AZBAC=1800-ZB-ZC=180°-50°-50°=80°,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=S00-50°=30°.

故選：A.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：利用基本作圖判斷MN垂直平分AB是解決問題的

關(guān)鍵.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).

4.（2021?張家界）如圖，正方形ABC。內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中

的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，設(shè)正方形ABCQ的面積為S,黑

D，2

【考點】正方形的性質(zhì)；扇形面積的計算；中心對稱圖形.

【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力.

【分析】觀察題目，不妨設(shè)正方形面積S=l,則正方形邊長為1,則內(nèi)切圓半徑為』,

2

再利用圓的對稱性表示出S1即可找到Si：S的比值.

【解答】解：不妨設(shè)正方形面積S=l,則正方形邊長為1,

二內(nèi)切圓直徑d=l,r——,

2

'.S園=11/=31,

4

根據(jù)圓的對稱性得：黑色部分面積51=%圓=%,

28

ASi：S=工兀：1=三，

88

故選:A.

【點評】本題考查與圓有關(guān)的計算，涉及圓的對稱性，圓的面積等知識點，熟練掌握圓

的對稱性將黑色部分學(xué)會轉(zhuǎn)移為半圓面積是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?岳陽）將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線則/I的大小為（）

A.45°B.60°C.75°D.105

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線：幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得Nl+/A8C=180°,進(jìn)而可求出/I.

【解答】解：由題意知，ZABC=45°+60°=105°,

.".Zl+ZAfiC=180°,

二/1=180°-180°-105°=75°,

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解決問題的

關(guān)鍵.

6.（2019?婁底）如圖，。。的半徑為2,雙曲線的解析式分別為＞=工和y=-1，則陰影部

XX

分的面積是（）

A.4nB.3nC.2nD.n

【考點】扇形面積的計算；反比例函數(shù)圖象的對稱性.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性得出圖中陰影部分的面積為半圓面積，進(jìn)而求出即可.

【解答】解：雙曲線y=工和y=-1的圖象關(guān)于X軸對稱，

XX

根據(jù)圖形的對稱性，把第二象限和第四象限的陰影部分的面積拼到第一和第三象限中的

陰影中，可以得到陰影部分就是一個扇形，

并且扇形的圓心角為180°,半徑為2,

所以：$加=180-X22=27T.

360

故選：C.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)，題目中的兩條雙曲線關(guān)于x軸對稱，圓也是一個對

稱圖形，可以得到圖中陰影部分的面積等于圓心角為180°,半徑為2的扇形的面積，用

扇形面積公式計算可以求出陰影部分的面積.

7.（2021?湘潭）如圖，BC為。0的直徑，弦8c于點E,直線/切。0于點C,延長

。。交/于點F,若AE=2,N4BC=22.5°,則C尸的長度為（）

B

A.2B.2^2C.273D.4

【考點】切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【分析】根據(jù)垂徑定理求得AC=CD，AE=DE=2,即可得到NCOO=2NABC=45°,

則△OED是等腰直角三角形，得出0。=在可3=2證,根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC1CF,

得到△OCF是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得CF=OC=OD=2近.

【解答】解：；BC為。0的直徑，弦AOLBC于點E,

AC=CD?AE=DE=2,

：.ZCOD^2ZABC=45Q,

...△OE。是等腰直角三角形，

：.OE=ED=2,

0D=個「2+22=2"\/"^,

?.?直線/切。。于點C,

：.BCVCF,

...△OCF是等腰直角三角形，

：.CF=OC,

?：OC=OD=2近,

:.CF=2?

故選:B.

【點評】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股

定理的應(yīng)用，求得CF=OC=。。是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?長沙）如圖，AB//CD,EF分別與A3,CD交于點G,H,ZAGE=100°,則/

OHF的度數(shù)為（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出NCHG的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等，即可得出尸

的度數(shù).

【解答】解：??.AB”。。,

：.ZCHG^ZAGE=iOO°,

:.NDHF=NCHG=TOQ°.

故選：A.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時關(guān)鍵是注意：兩直線平行，同位

角相等.

9.（2021?株洲）如圖所示，四邊形ABCC是平行四邊形，點E在線段BC的延長線上，若

ZDCE=132°,則N4=（）

A.38°B.48°C.58°D.66°

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】根據(jù)平行四邊形的外角的度數(shù)求得其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)，然后求得其對角的度

數(shù)即可.

【解答】解：?.?NZ>CE=132。，

/.Z￡>CB=180°-ZDCE=180°-132°=48°,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

.?.N4=NQCB=48°,

故選：B.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平角的定義，熟記平行四邊形的各種性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.（2021?湘西州）如圖，面積為18的正方形ABCO內(nèi)接于。0,則AB的長度為（)

A.9nB.—nC.—nD.—ir

224

【考點】正多邊形和圓；弧長的計算；正方形的性質(zhì).

【專題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力.

【分析】連接OA、OB,則△0A8為等腰直角三角形，由正方形面積為18,可求邊長為

30，進(jìn)而可得半徑為3,根據(jù)弧長公式可求弧A8的長.

【解答】解：如圖

連接。A,0B,則0A=。8,

；四邊形A8C。是正方形，

AZAOB=90°,

...△0A8是等腰直角三角形,

?.,正方形ABCQ的面積是18,

:-AB=7

：.OA=OB=3>,

二弧AB的長L=n兀r=90?3,兀=3兀

180~180

故選：C.

【點評】本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)、弧長公式等知識，構(gòu)造等腰直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

11.（2021?株洲）如圖所示，在正六邊形A8C0EF內(nèi)，以A8為邊作正五邊形A8GH/,則

4FAI=()

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】正多邊形與圓；推理能力.

【分析】分別求出正六邊形，正五邊形的內(nèi)角可得結(jié)論.

【解答】解：在正六邊形A8COEF內(nèi)，正五邊形ABGH/中，/硼3=120°108°,

：.ZFAI^ZFAB-ZIAB^\20°-108°=12°,

故選：B.

【點評】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是求出正多邊形的內(nèi)角，屬于中考常考題

型.

12.（2019?永州）下列說法正確的是（）

A.有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等

B.有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形

C.如果一個角的補(bǔ)角等于它本身，那么這個角等于45°

D.點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度

【考點】矩形的判定；點到直線的距離；全等三角形的判定.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形.

【分析】根據(jù)去全等三角形的判定方法得出A不正確；由矩形的判定方法得出B不正確;

由補(bǔ)角的定義得出C不正確；由點到直線的距離的定義得出。正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：A.有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等；不正確；

B.有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形；不正確；

C.如果一個角的補(bǔ)角等于它本身，那么這個角等于45°；不正確；

D點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度；正確；

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、點到直線的距離以及補(bǔ)角的

定義；熟記各個判定方法和定義是解題的關(guān)鍵.

13.（2019?郴州）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個

正方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知NA=90°,B￡>=4,CF=6,則正方形AOOF

的邊長是（）

A.V2B.2C.A/3D.4

【考點】正方形的性質(zhì)；數(shù)學(xué)常識；勾股定理.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形.

【分析】設(shè)正方形AOOF的邊長為x,在直角三角形AC8中，利用勾股定理可建立關(guān)于

x的方程，解方程即可.

【解答】解：設(shè)正方形ADO尸的邊長為x,

由題意得：BE=BD=4,CE=CF=6,

：.BC=BE+CE=BD+CF=10,

在RtZXABC中，AC1+AB2=BC2,

即（6+x）2+（x+4）2=102,

整理得，?+10x-24=0,

解得：x—2,或*=-12（舍去），

??.x=2,

即正方形ADO尸的邊長是2；

故選：B.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、勾股定

理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?婁底）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當(dāng)OA與

直線/：y=-Lx只有一個公共點時，點A的坐標(biāo)為（）

12

y

x

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【考點】直線與圓的位置關(guān)系；正比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】由題意可知：直線/與0A相切，設(shè)切點為8,過點8作于點E,利用

直線/的解析式設(shè)出點B的坐標(biāo)，可得線段8E,08的長，由直角三角形的邊角關(guān)系可

得tan/4OB=_§_；解直角三角形ABO可得08的長，利用勾股定理可求。A的長，點

12

A坐標(biāo)可得，同理可求當(dāng)A在x軸的正半軸上的坐標(biāo)為(13,0).

【解答】解：當(dāng)OA與直線/：y=_Lx只有一個公共點時，直線/與0A相切，

12

設(shè)切點為8,過點8作8EL0A于點E,如圖，

；點8在直線>=工上，

12

.?.設(shè)B(/n,

12

OE--m,BE--

12

在RtZ\OEB中，tanNAOB=E^hL.

OE12

?.,直線/與OA相切，

：.ABLBO.

在RtaOAB中，tan/AO8=a5_=_L.

OB12

,.,A8=5,

：.0B=\2.

,0A=VAB2-K)B2=V52+122=13-

；.A(-13,0).

同理，在x軸的正半軸上存在點(13,0).

綜上所述，點4的坐標(biāo)為(±13,0).

故選：D.

【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，正比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)圖象上

點的坐標(biāo)的特征，解直角三角形，勾股定理.利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解

題的關(guān)鍵.

填空題(共6小題)

15.(2020?湘西州)若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的兩倍，則該多邊形的邊數(shù)是6.

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力.

【分析】任何多邊形的外角和是360°,內(nèi)角和等于外角和的2倍則內(nèi)角和是720°.〃

邊形的內(nèi)角和是2)780°,如果已知多邊形的內(nèi)角和，就可以得到一個關(guān)于邊數(shù)的

方程，解方程就可以求出多邊形的邊數(shù).

【解答】解：設(shè)該多邊形的邊數(shù)為〃，

根據(jù)題意，得，(n-2)*180°=720°,

解得：“=6.

故這個多邊形的邊數(shù)為6.

故答案為：6

【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和以及外角和，已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)，可

以轉(zhuǎn)化為方程的問題來解決，難度適中.

16.(2019?婁底)如圖，C、。兩點在以為直徑的圓上，AB=2,ZACD=30°,則A。

B

C

A

【考點】圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】利用圓周角定理得到N4DB=90°,NB=NACO=30°,然后根據(jù)含30度的

直角三角形三邊的關(guān)系求求AD的長.

【解答】解：為直徑，

AZADB=90a,

VZB=ZACD=30°,

.*.AO=Xw=」X2=l.

22

故答案為1.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的

圓周角所對的弦是直徑.

17.（2019?邵陽）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦

圖”.如圖，設(shè)勾。=6,弦c=10,則小正方形A8CZ）的面積是4.

【考點】勾股定理的證明；數(shù)學(xué)常識.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】應(yīng)用勾股定理和正方形的面積公式可求解.

【解答】解：；勾a=6,弦c=10,

.,.股={102_62=8,

二小正方形的邊長=8-6=2,

...小正方形的面積=2?=4

故答案是：4

【點評】本題運(yùn)用了勾股定理和正方形的面積公式，關(guān)鍵是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

18.（2019?湘潭）如圖，在四邊形A8C。中，若AB=CD,則添加一個條件AC=8C,

能得到平行四邊形A8CD.（不添加輔助線，任意添加一個符合題意的條件即可）

【考點】平行四邊形的判定.

【專題】多邊形與平行四邊形.

【分析】可再添加一個條件AD=BC,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，

四邊形ABCD是平行四邊形.

【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定，可再添加一個條件：AD=BC.

故答案為：AD=BC（答案不唯一）.

【點評】此題主要考查平行四邊形的判定.是一個開放條件的題目，熟練掌握判定定理

是解題的關(guān)鍵.

19.（2020?張家界）如圖，/AOB的一邊OA為平面鏡，乙408=38°,一束光線（與水平

線OB平行）從點C射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在OB上的點E處，則/。E8的

度數(shù)是76度.

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】推理填空題；線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/AOC的度數(shù)，由光線的反射定理可得/ODE的度數(shù),

再根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求解.

【解答】W：'：DC//OB,

.?.NAZ)C=NAOB=38°,

由光線的反射定理易得，ZODE=ZADC=38a,

NDEB=NODE+NAOB=38°+38°=76°,

故答案為：76。.

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)和光線的反射定理，掌握入射角=反

射角是解題的關(guān)鍵.

20.(2020?懷化)如圖，在aABC和△4￡>(7中，AB=AD,BC=DC,ZB=130°,則NO

-130°.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABC絲△AQC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

ND=NB,代入求出即可.

【解答】解：在△AOC和△48C中，

，AD=AB

<AC=AC-

CD=CB

/.△ABC^AADC(SSS),

:.ND=NB,

VZB=130°,

：.ZD=130°,

故答案為：130.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解此題的

關(guān)鍵.

三.解答題(共4小題)

21.(2021?湘潭)如圖，矩形ABC。中，E為邊BC上一點,將AABE沿AE翻折后，點8

恰好落在對角線AC的中點F上.

(1)證明：尸絲△CER

(2)若A8=J§,求折痕AE的長度.

D

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】（1）由折疊性質(zhì)得到，NAFE=NB=90°,由點8恰好落在對角線4c的中點

尸上可得根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到/CFE=90°,即可根據(jù)SAS判定△AEfg4

CEF；

（2）由（1）得由折疊性質(zhì)得到NBAE=NE4F,根據(jù)直角三角形的兩

銳角互余求出NBAE=30°,再解直角三角形求解即可.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABC。是矩形，

AZB=90°,

,/將△ABE沿AE翻折后，點B恰好落在對角線AC的中點F上，

；./AFE=/B=90°,AF^CF,

VZAFE+ZCF￡=180°,

AZCFE=180°-ZAFE=90°,

在△AEF和△（?￡'/中，

'AF=CF

<ZAFE=ZCFE>

EF=EF

.,.△AEF^ACEF（SAS）.

（2）解：由（1）知，/\AEF^/\CEF,

:"EAF=2ECF,

由折疊性質(zhì)得，NBAE=NEAF,

：.ZBAE=ZEAF=NECF,

VZB=90°,

.\ZBAC+ZBCA=90°,

：.3ZBAE=90°,

：.ZBAE=30°,

在Rt/XABE中，AB=gZB=90°,

，AE=__=卓=2.

cos30°73

2

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)及折疊的

性質(zhì)求出XAEFmXCEF是解題的關(guān)鍵.

22.(2020?婁底)如圖，oABCD中，BC=2AB,ABLAC,分別在邊8C、上的點E與

點F關(guān)于AC對稱，連接EF、AE、CF、DE.

(1)試判定四邊形AECF的形狀，并說明理由；

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；平移、

旋轉(zhuǎn)與對稱：推理能力.

【分析】(1)由軸對稱的性質(zhì)得出AE=AF,CE=CF,OE=OF,證AAO尸名△COE(A4S),

得出AF=CE,則AE=AF=CE=C凡即可得出四邊形AEC尸是菱形；

(2)證NAC8=30°,ZkABE是等邊三角形，則AE=AB=BE,ZAEB=60°,ZAEC

=120°,證出CE=8E=」BC=A8=C￡>,則/CEO=/CZ)E=30°,進(jìn)而得出結(jié)論.

2

【解答】(1)解：四邊形AECF是菱形，理由如下：

V四邊形ABCD是平行四邊形，

.'.AD//BC,

：.ZOAF=ZOCE,

?.?點E與點F關(guān)于AC對稱，

：.AE=AF,CE=CF,OE=OF,

，Z0AF=Z0CE

在△AO/和△<%>￡；中，.ZAOF=ZCOE>

OF=OE

.?.△AOF絲△COE(AAS),

：.AF=CE,

:.AE=AF=CE=CF,

??.四邊形AECF是菱形；

(2)證明：???BC=2AB,AB±ACf

：.ZACB=30°,

/.ZB=60°,

U

：AE=CE9

：.ZEAC=ZACB=30°,

AZBAE=90°-30°=60°=ZB,

**./\ABE是等邊三角形，

：.AE=AB=BE,ZAEB=60°,

AZAEC=120°,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB//CD,AB=CDf

：.ZDCE=1SO°-ZB=120°,

XVCE=AE,

:.CE=BE=LBC=AB=CD,

2

：.ZCED^ZCDE=30°,

：.ZAED=\20°-30°=90°,

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定,

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

23.（2020?株洲）AB是。。的直徑，點C是。。上一點，連接AC、BC,直線MN過點C,

滿足NBCAf=N3AC=a.

E

圖①圖②

(1)如圖①，求證：直線是的切線;

(2)如圖②，點。在線段8c上，過點。作。于點從直線?！ń?。。于點E、

F,連接A尸并延長交直線MN于點G,連接CE,且CE=$,若。。的半徑為1,cosa

3

=旦，求的值.

4

【考點】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；解直角三角形及其

應(yīng)用；推理能力.

【分析】(1)由圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)可得NA+NB=90°,由OC=OB

可得/B=/OC8,推出NOCB+/BCM=90°,從而可得結(jié)論；

(2)由已知條件易求出4C的長，根據(jù)對頂角相等和圓周角定理可得NG"/=/ACE,

根據(jù)余角的性質(zhì)可得NECO=NAGC,進(jìn)而可得△EDCS^ACG,根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)變形可得4G?DE=AUCE,即可求出結(jié)果.

【解答】(1)證明：連接OC,如圖①，

「AB是。。的直徑,

AZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

：OC=OB,

：./B=NOCB,

"：ZBCM=ZA,

：.ZOCB+ZBCM=90°,HP0C1MN,

.?.MN是。。的切線；

(2)解：如圖②，：AB是。0的直徑，。0的半徑為1,

：.AB=2,

"."cosZBAC—cosa即空■萼,

C0SAB424

?3

,,AC為

,/ZAFE=NACE,ZGFH=NAFE,

：.ZGFH=ZACE,

,:DHLMN,

...NGFH+/4GC=90°,

VZACE+Z￡CD=90°,

NECD=ZAGC,

又：NDEC=NCAG,

:AEDCSAACG,

?EDEC

**AC=AG"

圖②

圖①

【點評】本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理

的推論以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，屬于常考題型，熟練掌握切線的判定和相

似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.（2020?衡陽）如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC

=8,頂點A在），的正半軸上，OA=2,一動點E從（3,0）出發(fā)，以每秒1個單位的速

度沿C8向左運(yùn)動，到達(dá)08的中點停止.另一動點尸從點C出發(fā)，以相同的速度沿C8

向左運(yùn)動，到達(dá)點。停止.己知點E、尸同時出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH,使正方

形EFGH和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動的時間為，秒G20）.

（1）當(dāng)點“落在AC邊上時，求I的值；

（2）設(shè)正方形EFG”與△A8C重疊面積為S,請問是否存在"直，使得S=91?若存在，

36

求出t值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,取AC的中點。，連接OD,當(dāng)點E、尸開始運(yùn)動時，點例從點O出發(fā)，

以每秒2泥個單位的速度沿0。-。0?！?gt;-00運(yùn)動，到達(dá)點。停止運(yùn)動.請問在點E

的整個運(yùn)動過程中，點M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點M

在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；動點型；應(yīng)用意識.

【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

（2）由題意，在E,尸的運(yùn)動過程中，開始正方形EFGH的邊長為1,因為正方形EFG”

與AABC重疊面積為S,S=9L推出此時點F與。重合，已經(jīng)停止運(yùn)動，如圖1-2

36

中，重疊部分是五邊形OEKJG.構(gòu)建方程求解即可.

（3）分別求出點M第一次和第二次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時長即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖1-1中，

由題意，0A=2,O2=OC=4,EF=EH=FG=HG=l,

當(dāng)點〃落在AC上時，-：EH//OA,

ACE=EH；

"coOA'

ACE=2,

~2

：.CE=2,

.?.點E的運(yùn)動路程為1,

.丁=1時，點H落在AC上.

(2)由題意，在E,尸的運(yùn)動過程中，開始正方形EFG"的邊長為1,

:正方形EFG4與△A8C重疊面積為S,S=里，

36

此時點尸與。重合，已經(jīng)停止運(yùn)動，如圖1-2中，重疊部分是五邊形OEKJG.

由題意：(r-3)2-?(3-13)=毀,

2236

整理得45?-486r+1288=0,

解得/=」&或絲(舍棄)，

315

滿足條件的t的值為

3

5

???點M第一次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時長=烏-3=工（S）,

555

當(dāng)點M第二次落在FG上時，4z-r=4,r=A（s）,

3

當(dāng)點M第二次落在E”上時，4r-（Z+1）=4,f=5（s）,

3

點M第二次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時長=2-9=工（s）,

333

當(dāng)3Wf<5時，E點運(yùn)動，M在。點不動，M在正方形EFG”的邊界，

...點M落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的總時長=工+1+2=段（s）.

5315

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，平行線分線段

成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用

分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

考點卡片

1.數(shù)學(xué)常識

數(shù)學(xué)常識

此類問題要結(jié)合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解.比如給出一個物體的高度

要會選擇它合適的單位長度等等.

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識.

2.正比例函數(shù)的性質(zhì)

正比例函數(shù)的性質(zhì).

3.一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

一次函數(shù)丫=區(qū)+乩（％wo,且上人為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與X軸的交點坐標(biāo)是（-

電，0）；與y軸的交點坐標(biāo)是（0,b）.

k

直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)^kx+b.

4.反比例函數(shù)圖象的對稱性

反比例函數(shù)圖象的對稱性：

反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：①二、四象限的角平分

線丫=-為②一、三象限的角平分線y=x；對稱中心是：坐標(biāo)原點.

5.點到直線的距離

（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段.它

只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形.

6.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理h兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

7.三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且

每個內(nèi)角均大于0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在

轉(zhuǎn)化中借助平行線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角;②依據(jù)三角形中角的關(guān)系,

用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

8.全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（5）判定定理5：4L--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若

已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾