廣東省深圳市明德外語實驗學(xué)校高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為α的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成．該八邊形的面積為(

) A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinα﹣cosα+3 C．3sinα﹣cosα+1 D．2sinα﹣cosα+1參考答案：A考點：解三角形的實際應(yīng)用．專題：解三角形．分析：利用余弦定理求得正方形的邊長，則正方形的面積可求得．利用正弦定理分別求得小等腰三角形的面積，最后相加即可．解答： 解：正方形的邊長為=，∴正方形的面積為2﹣2cosα，等腰三角形的面積為?1?1?sinα=sinα，∴八邊形的面積為4?sinα+2﹣2cosα=2sinα﹣2cosα+2，故選：A．點評：本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是把八邊形拆分成三角形和正方形來解決．2.若是1-a和1+a的等比中項，則a+3b的最大值為

（

）A.1

B.2

C.3 D.4參考答案：B3.方程表示的曲線是（

）A.雙曲線

B.橢圓

C.雙曲線的一部分

D.橢圓的一部分參考答案：D略4.從1，2，3，4中任取兩個數(shù)，記作a，b，則兩數(shù)之和a+b小于5的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】先同基本事件總數(shù)n=，再求出兩數(shù)之和a+b小于5包含的基本事件，由此能求出兩數(shù)之和a+b小于5的概率．【解答】解：從1，2，3，4中任取兩個數(shù)，記作a，b，基本事件總數(shù)n=，兩數(shù)之和a+b小于5包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共有m=4個，故兩數(shù)之和a+b小于5的概率p=．故選：D．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．5.若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是純虛數(shù)，則實數(shù)x的值是（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．﹣1或﹣2參考答案：A考點：復(fù)數(shù)的基本概念．專題：計算題．分析：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是純虛數(shù)，實部為0，虛部不為0，求解不等式組即可確定x的值．解答：解：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是純虛數(shù)，則解得：x=1故選A點評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．6.若展開式中各項二項式系數(shù)之和為，展開式中各項系數(shù)之和為，則=

（

）(A).

(B).

(

C).

(

D).參考答案：B略7.某容量為180的樣本的頻率分布直方圖共有n(n>1)個小矩形，若第一個小矩形的面積等于其余n--1個小矩形的面積之和的，則第一個小矩形對應(yīng)的頻數(shù)是(

)A.20

B.25

C.30

D.35 參考答案：C8.是定義在上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對任意的正數(shù)，若，則必有（

）Ks*5uA．

B．

C．

D．

參考答案：B略9.已知向量，，且與互相垂直，則的值是（）A．B．C．D．參考答案：B10.若成等比數(shù)列，是的等差中項，是的等差中項，則(

)

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線與圓相交于A、B兩點，且，則______________.參考答案：12.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，{bn}是正項等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列

．參考答案：

13.有下列命題：①命題“?x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x2+1≤3x”；②設(shè)p、q為簡單命題，若“p∨q”為假命題，則“￢p∧￢q為真命題”；③若p（x）=ax2+2x+1＞0，則“?x∈R，p（x）是真命題”的充要條件為a＞1；④若函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0，f（x）=3x+3x+a，則f（﹣2）=﹣14；⑤不等式的解集是．其中所有正確的說法序號是．參考答案：①②③④考點：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：計算題．分析：①根據(jù)命題否定的定義對其進行判斷；②p為真則￢p為假，反過來p為假，￢p為真，利用此定義進行判斷；③對“?x∈R，方程ax2+2x+1＞0，可得判別式小于0，可以推出a的范圍；④根據(jù)奇函數(shù)過點（0，0）求出a值，根據(jù)x≥0的解析式，可以求出x＜0時的解析式，把x=﹣2進行代入；⑤解不等式要移項，注意分母不為零，由此進行判斷；解答：解：①已知命題“?x∈R，使得x2+1＞3x”對其進行否定：“?x∈R，都有x2+1≤3x”，故①正確；②若“p∨q”為假命題，可得p與q都為假命題，則￢p與￢q都為真命題，則“￢p∧￢q為真命題”，故②正確；③“?x∈R，p（x）=ax2+2x+1＞0，可得△＜0，得4﹣4a＜0，得a＞1，故③正確；④函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，推出a=﹣1，得x≥0，f（x）=3x+3x﹣1，令x＜0得﹣x＞0，f（x）為奇函數(shù)，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x）=﹣f（x）=3﹣x﹣3x﹣1，f（x）=﹣3﹣x+3x+1，f（﹣2）=﹣32﹣6+1=﹣14；⑤不等式，，可得，從而求解出﹣≤x≤3且x≠1；故⑤錯誤；故答案為①②③④；點評：此題主要考查命題的真假判斷，涉及方程根與不等式的關(guān)系，不等式的求解問題，奇函數(shù)的解析式求法，考查知識點多且全面，是一道綜合題；14.程序如下圖：若執(zhí)行程序時輸入10,12,8，則輸出的結(jié)果為______________.

參考答案：略15.若a≥0,且z|z|+az+i=0,則復(fù)數(shù)z=

.參考答案：16.一組數(shù)據(jù)23,27,20,18，x,12，它們的中位數(shù)是21，即x是________．參考答案：2217.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則=

參考答案：；略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，（1）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)．（2）已知的三條邊長為、、．利用（1）的結(jié)論，證明．參考答案：解析:（1）函數(shù)在上是增函數(shù).

…………5分

另解：用單調(diào)性定義證明也酌情給分。(2)的三條邊長為、、.

由（1）的結(jié)論，可知，即

………①

…………9分

又由，

………

②

由①，②可得：

…………14分19.（14分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達式；（Ⅱ）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x?v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．參考答案：（I）由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v（x）=60；當(dāng)20＜x≤200時，設(shè)v（x）=ax+b再由已知得，解得故函數(shù)v（x）的表達式為（II）依題并由（I）可得當(dāng)0≤x＜20時，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，其最大值為60×20=1200當(dāng)20≤x≤200時，當(dāng)且僅當(dāng)x=200﹣x，即x=100時，等號成立．所以，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間（20，200]上取得最大值．綜上所述，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間[0，200]上取得最大值為，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．答：（I）函數(shù)v（x）的表達式（II）當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．20.（本小題滿分7分，其中第⑴問4分，第⑵問3分）在正方體中⑴求證：⑵求異面直線與所成角的大小.

參考答案：⑴略；⑵⑴連結(jié)，由正方體性質(zhì)，得⑵連結(jié)、，由是異面直線與所成的角，又是正三角形，所以，即異面直線與所成的角是21.已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上橫坐標(biāo)為3的點，且P到拋物線焦點F的距離等于4．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線交于A、B兩點，l2與拋物線交于C、D兩點，M、N分別是線段AB、CD的中點，求△FMN面積的最小值．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（1）利用拋物線的定義列出方程求解即可．（2）求出拋物線的焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，求出M、N的坐標(biāo)，然后求解三角形的面積，利用基本不等式求解三角形的面積的最小值即可．【解答】解：（1）拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為，由題意，，p=2．

…所以所求拋物線的方程為y2=4x．

…（2）F（1，0），由題意，直線l1、l2的斜率都存在且不為0，設(shè)直線l1的方向向量為（1，k）（k＞0），則（1，k）也是直線l2的一個法向量，所以直線l1的方程為，即y=k（x﹣1），…直線l2的方程為y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0．

…設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0…則=1+．=

…同理可得，．

…所以，|MF|==，|FN|==，∴△FMN面積：?=2（k+）≥4=4．

…所以，當(dāng)且僅當(dāng)k=，即k=1時，△FMN的面積取最小值4．…22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在a，b，使得在區(qū)間[0,1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由.參考答案：(1)見詳解；(2)或.【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.【詳解】(1)對求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小