第一講速算與巧算(一)

―、加法中的巧算

1.什么叫“補(bǔ)數(shù)”？

兩個數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補(bǔ)數(shù)”。

如：1+9=10，3+7=10,2+8=10，4+6=10>5+5=10°

又如:11+89=100，33+67=100，22+78=100>44+56=100，55+45=100，

在上面算式中，1叫9的“補(bǔ)數(shù)”；89叫11的“補(bǔ)數(shù)”，11也叫89的“補(bǔ)數(shù)”.也就是說兩個數(shù)互為“補(bǔ)數(shù)”。

對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補(bǔ)數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得

9，到最后個位數(shù)字相加得10。

如：87655fl2345，46802—53198，87362—12638，…

下面講利用“補(bǔ)數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。

2.互補(bǔ)數(shù)先加。

例1巧算下面各題：①36+87+64②99+136+101③1361+972+639+28

解：①式=(36+64)+87②式=(99+101)+136③式=(1361+639)+(972+28)

=100+87=187=200+136=336=2000+1000=3000

3.拆出補(bǔ)數(shù)來先加。

例2①188+873②548+996③9898+203

解：①式=(188+12)+(873-12)(熟練之后，此步可略)②式=(548-4)+(996+4)③式=(9898+102)+(203-102)

=200+861=544+1000=10000+101

=1061=1544=10101

4.豎式運(yùn)算中互補(bǔ)數(shù)先加。如圖(右)：

二、減法中的巧算

1.把幾個互為“補(bǔ)數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。

例3①300-73-27②1000-90-80-20-10

22983

解：①式=300-(73+27)②式=1000-(90+80+20+10)

=300-100=1000-200

=200=800

2.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。

例4①4723-(7234-189)②2356-159-256

解：①式=4723-723-189②式二2356-256-159

=4000-189=2100-159

=3811=1941

3.利用“補(bǔ)數(shù)”把接近整十、整百、整千…的數(shù)先變整，再運(yùn)算（注意把多加的數(shù)再減去，把多減的數(shù)再加上）。

例5①506-397②323-189③467+997④987-178-222-390

解：①式=500+6-400+3（把多減的3再加上）②式=323-200+11（把多減的11再加上）③式=467+1000-3（把多加的3再減去④式=987-（178+222）-390

=109=123+11=134=1464=987-400-400+10=197

三、加減混合式的巧算

1.去括號和添括號的法則

在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號前面是“+”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運(yùn)算符號都不變；如果括號前

面是號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運(yùn)算符號都要改變，"+”變變"+"，即：

1.a+(b+c+d)=a+b+c+d2.a-(b+a+d)=a-b-c-d3.a-(b-c)=a-b+c

例6①100+(10+20+30)②100-(10+20+30)③100-(30-10)

解：①式=100+10+20+30②式=100-10-20-30③式=100-30+10

=160=40=80

例7計算下面各題：

①100+10+20+30②100-10-20-30③100-30+10

解：①式=100+(10+20+30)②式=100-(10+20+30)③式=100-(30-10)

=100+60=160=100-60=40=100-20=80

2.帶符號“搬家”

例8計算325+46-125+54

解：原式=325-125+46+54

=(325-125)+(46+54)

=200+100=300

注意：每個數(shù)前面的運(yùn)算符號是這個數(shù)的符號.如+46--125，+54.而325前面雖然沒有符號，應(yīng)看作是+325。

3.兩個數(shù)相同而符號相反的數(shù)可以直接“抵消"掉

例9計算9+2-9+3

解:原式=9-9+2+3=5

4.找“基準(zhǔn)數(shù)”法

幾個比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”-

例10計算78+76+83+82+77+80+79+85

解：原式=80X8-2-4+3+2-3+0-1+5

=640

例6一個數(shù)X9,數(shù)后添0,再減此數(shù)；

笫二講速算與巧算（二）

一個數(shù)X99,數(shù)后添00,再減此數(shù)；

一*乘怯中的巧算

一個數(shù)X999,數(shù)后添000,再減此數(shù)?

1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個

特殊的等式，以匕類推。

5X2=10如，12X9=120-12=108

25X4=10012X99=1200-12=1188

125X8=100012X999=12000-12=11988

例1計算①123X4X25例7一個偶數(shù)乘以5,可以除以2添上0。

②125X2X8X25X5X4如，6X5=30

解：①式=123X（4X25）16X5=80

=123X100=12300116X5=580。

=1000X100=100000

3.應(yīng)用乘法分配律。

例3計算①175X34+175X66

②67X12+67X35+67X52+6

解：①式=175X（34+66）

=175X100=17500

②式=67X（12+35+52+1）

_=12300+123=12423

-0CI7AyIirt

（原式中,②式二123X（100-1）

例4計算（=12300-123=12177

解，①式;4.幾種特殊因數(shù)的巧算。

例5一個數(shù)x10,數(shù)后添S

=6X100=6

一個數(shù)X100,數(shù)后添00i

②式=7X8

一個數(shù)x1000,數(shù)后添0。01

=7X1000=

以匕類推。

③式=125>；X4）

如?15X10=150

15X100=1500

15X1000=15000

【試題】巧算與速算：41x49=()

【詳解】相乘的兩個數(shù)都是兩位數(shù)，且十位上的數(shù)字相同，個位上的數(shù)字之和正好是10，這就可以運(yùn)用"頭同尾合十"的巧算法進(jìn)行

簡便計算。

"頭同尾合十”的巧算方法是：用十位上的數(shù)字乘十位上的數(shù)字加1的積，再乘100，最后加上個位上2個數(shù)字的乘積。

41x49，先用（4+l）x4=20，將20作為積的前兩位數(shù)字，再用1x9=9，可以發(fā)現(xiàn)末位數(shù)字相乘的積是一位數(shù)，那就在9的前面

補(bǔ)一個0，作為積的后兩位數(shù)字。這樣答案很簡單的就求出了，即41x49=（4+1）x4x100+1x9=2009。

第三講上樓梯問題

有這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層上到四層需

要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯了.正確的答案應(yīng)該是3分

鐘。

為什么是3分鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，

而不是四層樓梯。

下面我們來看幾個類似的問題。

例1裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？

分析如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最

后一段，4米里有2個2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4

米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個2米，只用2天；如果呢子有8

米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪

去最后一段，8米里有4個2米，用3天，……

我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1.因此，只要看16米

里有幾個2米，問題就可以解決了。

解：16米中包含2米的個數(shù)：16+2=8（個）

剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7（天）

答：笫七天就可以剪去最后一段。

例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少

秒？

分析III把一根木料切成2段，切1次；

把一根木料切成3段,切2次；

□L□把一根木料切成4段,切3次；

可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)切了4

段，實(shí)際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時間了，又由于用同

樣的速度切成5段；實(shí)際上切了4次，這樣切成5段所用的時間就可以求出來

To

解：切一次所用的時間：24+（4-1）=8（秒）

切5段所用的時間：8X（5-1）=32（秒）

答：用同樣的速度切成5段，要用32秒。

例3三年級同學(xué)120人排成4路縱隊(duì)，也就是4個人一排，排成了許多排，

現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊(duì)伍長多少米？

解：因?yàn)槊?人一排，所以共有，120+4=30（排）

30排中間共有29個間隔，所以I隊(duì)伍長：1X29=29（米）

答：這支隊(duì)伍長29米。

例4時鐘4點(diǎn)鐘敲4下，12秒鐘敲完，那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？

分析如果盲目地計算：12+4=3（秒），3X6=18（秒），認(rèn)為敲6下需

要18秒鐘就錯了.請看下圖：

12秒

:TTT=TTT

第1下第2下第3下第4下第5下第6下

時鐘敲4下，其間有3個間隔，每個間隔是：12+3=4（秒）；時鐘敲6下，

其間共有5個間隔，所用時間為：

4X5=20（秒）.

解：每次間隔時間為：12+（4-1）=4（秒）

敲6下共用的時間為：4X（6-1）=20（秒）

答：時鐘敲6下共用20秒。

例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開，如從1層走

到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

分析要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，還

要知道從4樓走到8樓共走幾層樓梯.上一層樓梯需要：48+（4-1）=16

（秒），從4樓走到8樓共走8-4=4（層）樓梯。到這里問題就可以解決了。

解：上一層樓梯需要：48+（4-1）=16（秒）

從4樓走到8樓共走：8-4=4（層）樓梯

還需要的時間：16X4=64（秒）

答：還需要64秒才能到達(dá)8層。

例6晶晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級臺階，如果各層樓之間的臺階數(shù)

相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少破臺階？

分析要求晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階，必須先求出每一層

樓梯有多少臺階，還要知道從一層走到6層需要走幾層樓模。

從1樓到3樓有3-1=2層樓梯，那么每一層樓梯有36+2=18（級）臺階，而

從1層走到6層需要走6-1=5（層）樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。

解，每一層樓梯有：36+（3-1）=18（級臺階）

晶晶從1層走到6層需要走：18X（6-1）=90（級）臺階。

答：晶晶從第1層走到第6層需要走90級臺階。

注：例1~例4所敘述的問題雖然不是上樓梯，但它和上樓梯有許多相似之

處，請同學(xué)們自己去體會.爬樓梯問題的解題規(guī)律是：所走的臺階數(shù)=每層樓梯

的臺階數(shù)x（所到達(dá)的層數(shù)減起點(diǎn)的層數(shù)）。

第四講植樹與方陣問題

一、植樹問題

要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：①

總路線長.②間距（棵距）長.③棵數(shù).只要知道這三個要素中任意兩個要素.就

可以求出第三個。

關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。

1.不封閉路線

例：如圖

間距

\___

①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總

長平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。

全長、裸數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：

棵數(shù)二段數(shù)+1=全長+株距+1

全長=株距X（棵數(shù)-1）

株距=全長+（棵數(shù)-1）

②如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時的裸數(shù)少

1,即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：

全長=株距X裸數(shù)；

棵數(shù);全長一株距；

秣距=全長一棵數(shù)。

③如果植樹路線的兩端都不植樹，則裸數(shù)就比②中還少1棵。

例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合

在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。

棵數(shù)二段數(shù)=周長一株距.

二、方陣問題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著推叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相

等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問

題）。

方陣的基本特點(diǎn)是：

①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每

邊上的人數(shù)就少2。

②每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：

四周人（或物）數(shù)=[每邊人（或物）數(shù)7]X4；

每邊人（或物）數(shù)二四周人（或物）數(shù)-4+1。

③中實(shí)方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊入（或物）數(shù)X每邊人（或物）數(shù)。

例1有一條公路長900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可

栽多少根電線桿？

分析要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長可分成若干段.由

于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。

解：以10米為一段，公路全長可以分成

900+10=90（段）

共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）

答：可栽電線桿91根。

例2馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問

汽車每小時走多少千米？

分析張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段

路的長度就容易求出汽車速度.

解，5分鐘汽車共走了：

9X（501-1）=4500（米）,

汽車每分鐘走：4500+5=900（米），

汽車每小時走：

900X60=54000（米）=54（千米）

列綜合式：

9X（501-1）+5X60+1000=54（千米）

答：汽車每小時行54千米。

例3某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊

有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？

分析根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知:

每邊人數(shù)=四周人數(shù)+4+1,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣

隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。

解：方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16（人）

整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16X16=256（人）

答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。

例4晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶

擺這個方陣共用圍棋子多少個？

分析方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14

個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層

總數(shù)。

解：最外邊一層棋子個數(shù)：（14-1）X4=52（個）

第二層棋子個數(shù)：（14-2-1）X4=44（個）

第三層棋子個數(shù)：（14-2X2-1）X4=36（個）.

擺這個方陣共用棋子：

52+44+36=132（個）

還可以這樣想：

中空方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)一層數(shù)）x層數(shù)x4進(jìn)行計算。

解：（14-3）X3X4=132（個）

答：擺這個方陣共需132個圍棋子。

例5一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥

花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少裸芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的

株距是多少米？

分析①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù)=段數(shù).②由于相鄰

的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵

數(shù)是芍藥的2倍。

解：共可栽芍藥花?180+6=30（棵）

共種月季花:2X30=60（棵）

兩種花共：30+60=90（棵）

兩棵花之間距離：180+90=2（米）

相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花

的株距是2米或4米。

答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。

例6一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.己知從每

個小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多

少棵花？整個花園中共栽多少棵花？

分析①從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知

道每個小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為

9X2-1=17（裸）。

②又知道這個大三角形三個頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所

以大三角形三條邊上共栽花

（17-1）X3=48（棵）.

③.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上.在計算大

三角形栽花裸數(shù)時己經(jīng)計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2=7

（棵）

解：大三角形三條邊上共栽花：

（9X2-1-1）X3=48（棵）

中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：

（9-2）X3=21（棵）

整個花壇共栽花：48+21=69（棵）

答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵。

笫五講找?guī)缀螆D形的規(guī)律

找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的手段，而規(guī)律的找尋既需要敏銳的觀

察力，又需要嚴(yán)密的邏輯推理能力.為培養(yǎng)這方面的能力，本講將從幾何圖形的

問題入手，逐步分析應(yīng)從哪些方面來觀察思考。因此，學(xué)習(xí)本講的知識有助于

養(yǎng)成全面地、由淺入深、由簡到警觀察思考問題的良好習(xí)慣，可以逐步掌握通

過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律來解決問題的方法。

下面就來看幾個例子。

△△△△

△△△□

△?□□

△□□□

圖5-1

例1按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，技圖形的變化規(guī)律,

在帶“？”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形？

分析觀察中，注意到圖5—1中每行三角形的個數(shù)依次減少，而正方形的個

數(shù)依次增多，且三角形的個數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然啦等于2；圖5—2

中黑點(diǎn)的個數(shù)從左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多兩

個點(diǎn).事實(shí)上，本題中幾何圖形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上，是一種較為基本

的、簡單的變化模式。

日豈區(qū)口運(yùn)

(a)(b)(c)(d)(e)

圖5-2

解：在圖5—1的“？”處應(yīng)是三角形△,在圖5—2的“？”處應(yīng)是

I.：/

例2請觀察右圖中己有的幾個圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。

分析首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個圓、一個三角形和一

個正方形所組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重

復(fù)的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我

們知道這個圖的特點(diǎn)是：

①僅由圓、三角形、正方形組成；

②各行各列中，都只有一個圓、一個三角形和一個正方形。

因此，根據(jù)不重不漏的原則，在第二行的空格中應(yīng)填一個三角形，而第三

行的空格中應(yīng)填一個正方形。

解略。

例3按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在”處填上合適的圖形.

瓦國口日

（a）（b）（c）（d）

分析顯然，圖Ca）、圖（b）中都是圓，而圖（c）中卻不是圓；同時，

圖（a）、（c）中都有3個圖形，而（b）中只有兩個.由此可知：圖（a）到

（b）的變化規(guī)律對應(yīng)于圖（c）到（d）的變化規(guī)律.再注意到圖（a）到圖

（b）中圖形在繁簡、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖（d）中的圖形

了。

解：在上圖的“？”處應(yīng)填如下圖形.

例4下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請仔細(xì)觀察，并在“？”處填上適當(dāng)

的圖形.

因？Q

(a)⑹(c)

A@?

((i)(f)

o?A

(g)①)⑴

分析本題中，首先可以注意到每個圖形都由大、小兩部分組成，而且，

大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個圖形均不相

同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)

現(xiàn)：對于大圖形來說，每行每列的圖形決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個

大正方形，一個大三角形和一個大圓，對于小圖形也是如此，這樣，“？”處

的圖形就不難得出。

解：圖中，(b)、(f)、(h)處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖

丙.

甲乙丙

小結(jié)：對于較復(fù)雜的圖形來說，有時候需要把圖形分開幾部分來單獨(dú)考慮

其變化規(guī)律，從而把復(fù)雜問題簡單化。

例5觀察下列各組圖的變化規(guī)律，并在“？”處畫出相關(guān)的圖形.

□o0▽

△0o□

甲乙丙丁

分析我們先來看這樣兩個圖：

BA

DC

（甲）（乙）

（甲）圖與（乙）圖中，點(diǎn)A、B、C、D的順序和距離都沒有改變，只是每

個點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，如：甲圖中，A在左方；而乙圖中，A在上方，……我

們把這樣一種位置的變化稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，乙圖可以看作是甲圖

沿順時針方向旋轉(zhuǎn)J個圓（或90°）而得到的，甲圖也可以看作是由乙

圖沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)5個圓（90°）而得到的.同樣的道理，我們

可以把噩噩的位置變化也稱為旋轉(zhuǎn)，叫做沿順時針方向旋轉(zhuǎn)

90°（或一格）?

現(xiàn)在我們再回到題目上來，容易看出：例5題中按（a）、（b）、（c）、

（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）順序排列的9個圖形，它們的變化

規(guī)律是：每一個圖形（躲外）都是由其前一個圖形逆時針旋轉(zhuǎn)90。而得到的.

甲乙丙丁四個圖形變化規(guī)律也類似。

解：圖G）處的圖形應(yīng)是下面左圖，丁圖處的圖形應(yīng)是下面右圖

(a)(b)

注意：因?yàn)閳D形是由旋轉(zhuǎn)而得到的，所以其中三角形、菱形的方向隨旋轉(zhuǎn)

而變化，作圖的時候要注意到這一點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握好這個概念，可以提高觀察能力，加快解

題速度，對于許多問題的解決，也有事半而功倍的效果。

下面再來看幾個例子：

例6仔細(xì)觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填入合適的圖形.

①aZk匕.?/

(a)(b)(c)

分析顯然，圖（a）、（b）的變化規(guī)律對應(yīng)于圖（c）的變化規(guī)律；圖

（d）、（e）的變化規(guī)律也對應(yīng)于圖（f）的變化規(guī)律，我們先來觀察（a）、

（b）兩組圖形，發(fā)現(xiàn)在形狀、位置方面都發(fā)生了變化，即把圓變?yōu)樗囊话胍?/p>

一半圓，把三角形也變?yōu)樗囊话胍灰恢苯侨切?；同時，變化后圖形的位置

相當(dāng)于把原圖形沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到.因此，我們很容易地就把圖

（c）中的直角梯形還原為等腰梯形并通過逆時針旋轉(zhuǎn)而得到圖（c）“？”處

的圖形。

當(dāng)我們從左到右來觀察圖（d）、（e）的變化規(guī)律時，我們發(fā)現(xiàn)，圖

（d）、（e）的變化規(guī)律有與圖（a）、（b）相同的一面，即都是把一個圖形

變?yōu)樽陨淼囊话?，但也有與圖（a）、（b）不同的一面，即圖（d）、（e）中

右半部分的圖形無法通過旋轉(zhuǎn)原圖來得到，只能通過上下翻轉(zhuǎn)而獲得.這樣，我

們就得到了這些圖形的變化規(guī)律。

解：圖（c）中“？”處的圖形應(yīng)是下面甲圖，圖（f）中“？”處的圖形

應(yīng)是Z圖.

小結(jié)：本題是一道較為復(fù)雜的題，觀察的出發(fā)點(diǎn)主要有3點(diǎn)：①形狀變

化；②位置變化；③顏色變化。

例7四個小動物排座位，一開始，小鼠坐在第1號位子上，小猴坐在第2號，小

兔坐在第3號，小貓坐在第4號.以后它們不停地交換位子，第一次上下兩排交

換.第二次是在第一次交換后左右兩列交換，第三次再上下兩排交換，第四次再

左右兩列交換…這樣一直換下去.問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子

上？（參看下圖）

位子圖開始第一次第二次第十次

分析這是“華羅庚金杯”第二屆初賽的一道試題，如果有充裕的時間，我

們當(dāng)然可以把十次變化的圖都畫出來，從而得到答案.10并不是一個很大的數(shù)

字，因此這樣的方法雖然麻煩，卻也是行之有效的.然而，在初賽中，本題的思

考時間只有30秒，不可能一步步把圖畫出來，這就要求我們仔細(xì)觀察，認(rèn)真思

考，找出規(guī)律再做題。

方法1：因?yàn)轭}目中間的只是第十次交換位子后，小兔的位子是幾.因此，

我們只需考慮小兔的位子變化規(guī)律，小兔剛開始時在3號位子，記為③，則

變化過程為：③一次①二次②三次④四次③f…容易看出，每一

次交換座位，小兔的座位按順時針方向轉(zhuǎn)動一格，每四次交換座位后，小

兔又回到原處，知道了這個規(guī)律，就不難得出答案.即10次后，小兔到了第2號

位子。

方法2：受方怯一的啟示，我們可以思、考，其他小動物的變化規(guī)律怎樣？四

個小動物的整體變化規(guī)律又怎樣呢？事實(shí)上，當(dāng)我們仔細(xì)觀察示意圖時會發(fā)

現(xiàn)，開始的圖沿順時針方向旋轉(zhuǎn)兩格（即180°）時，恰得到第二次交換位子后

的圖，由此可以知道，每一次上下交換后再一次左右交換的結(jié)果就相當(dāng)于把原

圖沿順時針方向旋轉(zhuǎn)180°,第十次交換位子后，相當(dāng)于是這些小動物沿順時針

方向轉(zhuǎn)了4圈半，這樣，我們就得到了小兔的位子及它們的整體變化規(guī)律.但其

中需注意一點(diǎn)的是：單獨(dú)一次上下（或左右）的交換與旋轉(zhuǎn)90°得到的結(jié)果是

不同的.小貓、小鼠的位子變化規(guī)律是沿逆時針方向，而小假的位子變化規(guī)律與

小兔相似。

解：第十次交換位子后，小兔到了2號位子。

例8將A、B、C、D、E、F六個字母分別寫在正方體的六個面上，從下面三種不

同擺法中判斷這個正方體中，哪些字母分別寫在相對的面上。

分闋俘

（a）（b）（c）

分析本題所給的是一組立體幾何圖形.但是，我們注意到：由于圖（a）、

（b）、（c）都是同一個正方體的不同擺法，所以，（a）、（b）、（c）可以

通過旋轉(zhuǎn)來互相轉(zhuǎn)化，這三個圖形中，字母C所在的一面始終不改變位置.因

此，這三個圖形的轉(zhuǎn)化只能是前后轉(zhuǎn)動.把圖（a）向后翻轉(zhuǎn)一次（90°）得圖

G）,由此可知，字母A的對面是D,把圖（a）向前翻轉(zhuǎn)一次（90。）得圖

（c）,所以，字母B的對面是字母E,最后得出只有字母C、F相對。

解：正方體中，相對的字母分別是A—D,B—E、C—F。

總結(jié)：一般地說，在觀察圖形變化的規(guī)律時，應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)來考慮問

題：

1.圖形數(shù)量的變化；

2.圖形形狀的變化；

3.圖形大小的變化；

4.圖形顏色的變化；

5.圖形位置的變化；

6.圖形繁簡的變化等。

對較復(fù)雜的圖形，也可分成幾部分來分別考慮.總而言之，只要全面觀察，

勤于思考，就一定能抓住規(guī)律、解決問題。

第六講找簡單數(shù)列的規(guī)律

日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：

自然數(shù)：1,2,3,4,5,6,7,-（1）

年份：1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996（2）

某年級各班的學(xué)生人數(shù)（按班級順序一、二、三、四、五班排列）

45,45,44,46,45（3）

像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個

數(shù)都叫做這個數(shù)列的項(xiàng)，其中第1個數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(xiàng)，第2個數(shù)稱為第2

項(xiàng)，…，第n個數(shù)就稱為第n項(xiàng).如數(shù)列（3）中，第1項(xiàng)是45,第2項(xiàng)也是45,第3

項(xiàng)是44,第4項(xiàng)是46,第5項(xiàng)45。

根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的個數(shù)分類，我們把項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列（即有有窮多個項(xiàng)的數(shù)

列）稱為有窮數(shù)列，把項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列（即有無窮多個項(xiàng)的數(shù)列）稱為無窮數(shù)

列，上面的幾個例子中，（2）（3）是有窮數(shù)列，Q）是無窮數(shù)列。

研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù)，

本講將從簡單數(shù)列出發(fā)，來找出數(shù)列的規(guī)律。

例1觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號中填上合適的

數(shù).

①2,5,8,11,().17,20。

②19,17,15,13,(),9,7,

③1,3,9,27,(),243。

④64,32,16,8,(),2.

⑤1,1,2,3,5,8,O,21,34-

⑥1,3,4,7,11,18,(),47-

⑦1,3,6,10,O，21,28,36,().

⑧1,2,6,24,120,(),5040。

⑨1,1,3,7,13,(),31。

?1,3,7,15,31,(),127,255。

(11)1,4,9,16,25,(),49,64。

(12)0,3,8,15,24,(),48,63。

(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,().

(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,().

分析與解答

①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3.因

此，括號審應(yīng)填的數(shù)是14,即：11+3=14。

②同①考慮，可以看出，每相鄰兩項(xiàng)的差是一定值2.所以，括號中應(yīng)填

11,即：13—2=11.

不妨把①與②聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列①中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，

每一項(xiàng)的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列①是遞增的；數(shù)列②中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每

一項(xiàng)的值卻依次減小，即數(shù)列②是遞減的.但是除了上述的不同點(diǎn)之外，這兩個

數(shù)列卻有一個共同的性質(zhì)：即相鄰兩項(xiàng)的差都是一個定值.我們把類似①②這樣

的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.

③1,3,9,27,0,243。

此數(shù)列中，從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)

都是其前面一項(xiàng)的3倍.即：3=1X3,9=3X3,27=9X3.因此，括號中應(yīng)填

81,即81=27X3,代入后，243也符合規(guī)律，即243=81X3.

?64,32,16,8,(),2

與③類似，本題中，從第1項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后面一項(xiàng)的2倍，即：

第1項(xiàng)64=32X2

第2項(xiàng)32=16X2

第3項(xiàng)16=8X2

第4項(xiàng)8-

因此，括號中填4,代入后符合規(guī)律。

綜合③④考慮，數(shù)列③是遞增的數(shù)列，數(shù)列④是遞減的數(shù)列，但它們卻有

一個共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項(xiàng)的商都相等.像③?這樣的數(shù)列，我們把

它稱為等比數(shù)列。

⑤1,1,2,3,5,8,(),21,34-

首先可以看出，這個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨

看看相鄰項(xiàng)之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前

面兩項(xiàng)的和.即2=1+1,3=2+1,5=2+3,8=3+5.因此,括號中應(yīng)填的數(shù)是13,

即13=5+8,21=8+13,34=13+21?

這個以1,1分別為第1、第2項(xiàng)，以后各項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和的無窮數(shù)

列，就是數(shù)學(xué)上有名的斐波那契數(shù)列，它來源于一個有趣的問題：如果一對成

熟的兔子一個月能生一對小兔，小兔一個月后就長成了大兔子，于是，下一個

月也能生一對小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對兔子都是

一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長，按順序記錄每個月中所有兔

子的數(shù)目(以對為單位，一月記一次)，就得到了一個數(shù)列，這個數(shù)列就是數(shù)

列⑤的原型，因此，數(shù)列⑤又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級遞推方法中我們還

要作詳細(xì)介紹。

⑥1,3,4,7,11,18,(),47-

在學(xué)習(xí)了數(shù)列⑤的前提下，數(shù)列⑥的規(guī)律就顯而易見了，從第3項(xiàng)開始，每

一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)的和.因此，括號中應(yīng)填的是29,即29=11+18。

數(shù)列⑥不同于數(shù)列⑤的原因是：數(shù)列⑥的第2項(xiàng)為3,而數(shù)列⑤為1,數(shù)列⑥

稱為魯卡斯數(shù)列。

(7)1,3,6,10,1),21,28,36,C)。

方法L繼續(xù)考察相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：

第1項(xiàng)1=1

第2項(xiàng)3=1+2一項(xiàng)數(shù)

第3項(xiàng)6=3+3=項(xiàng)數(shù)

第4項(xiàng)10=6+4+項(xiàng)數(shù)

因此，可以猜想，這個數(shù)列的規(guī)律為：每一項(xiàng)等于它的項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)的

和，那么，第5項(xiàng)為15,即15=10+5,最后一項(xiàng)即第9項(xiàng)為45,即45=36+9.

代入驗(yàn)算，正確。

方法2：其實(shí)，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：

第1項(xiàng)?1=1

第2項(xiàng)：3=1+2

第3項(xiàng)：6=1+2+3

第4項(xiàng)：10=1+2+3+4

第5項(xiàng)：（）

第6項(xiàng)：21=1+2+3+4+5+6

第7項(xiàng)：28=1+2+3+4+5+6+7

第8項(xiàng)；36=1+2+3+4+5+6+7+8

第9項(xiàng)：（）

即這個數(shù)列的規(guī)律是：每一項(xiàng)都等于從1開始，以其項(xiàng)數(shù)為最大數(shù)的n個連

續(xù)自然數(shù)的和.因此，

第五項(xiàng)為15,即：15=1+2+3+4+5；

第九項(xiàng)為45,即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。

第3項(xiàng)6=1x2X3

⑧1,2,6,24,120,（）,5040.

第4項(xiàng)24=1X2X3X4

方法1：這個數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項(xiàng)相加減后，看不出任何規(guī)律.

考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項(xiàng)的商，顯然：

笫5項(xiàng)120=1X2X3X4X5

’第1項(xiàng)：1第瀕()

第2項(xiàng)：2=1X2?-

6*2-3…第瀕：6q><3V第7項(xiàng)5040=1X2X3X4X5X6X7

也即

24*6-4第4項(xiàng)：斌4

所以，第瀕應(yīng)為1X2X3X4X5X6=720

120*24-5

，笫5項(xiàng)：120-24X5

⑨1,1,3,7,13.().31

所以，這個數(shù)列的規(guī)律是，除第1項(xiàng)以外的每一項(xiàng)都等于其項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)與⑦類似：

的乘積,因此，括號中的數(shù)為第6項(xiàng)720,即720=120X6.

第

1項(xiàng)

2項(xiàng)

方法2,受⑦的影響，可以考慮連堞自然數(shù)，顯然，第

項(xiàng)

第3

項(xiàng)

第1項(xiàng)1=1第4

第

項(xiàng)

第2項(xiàng)2=1X25

可以猜想，數(shù)列⑨的規(guī)律是該項(xiàng)=前項(xiàng)+2X（項(xiàng)數(shù)-2）（第1項(xiàng)除外），那

么，括號中應(yīng)填21,代入驗(yàn)證，符合規(guī)律。

?1,3,7,15,31,（）,127,255。

為了書寫的方便引進(jìn)一符號，記：2X2X...X2=2n,其中n為自然數(shù)，

-n個輸市―

則，

第1項(xiàng):1=1

第2項(xiàng):3=1+21-

第3項(xiàng):7=1+2斗22

第4項(xiàng):15=1+21+22+23

項(xiàng)數(shù)

第5項(xiàng):31=1+21+22+23+24-1

第6項(xiàng):()

第7項(xiàng):127=1+21+22+23+24+25+26*—

第8項(xiàng):255=1+21+22+23+24+25+26+27

因此，括號中的數(shù)應(yīng)填為63。

小結(jié)：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個方面來考慮：①尋找各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)間的

關(guān)系；②考慮相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系.然后，再歸納總結(jié)出一般的規(guī)律。

事實(shí)上，數(shù)列⑦或數(shù)列?的兩種方法，就是分別從以上兩個不同的角度來

考慮問題的.但有時候，從兩個角度的綜合考慮會更有利于問題的解決.因此，

仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，會使我們的學(xué)習(xí)更上一層樓。

在?題中，1=2-1

3=22-1

7=23-1

15=24-1

31=21

127=27-1

255=28-1

255=28-1

所以，括號中為28-1即63。

(11)1,4,9,16,25,(),49,64.

1=1X1,4=2X2,9=3X3,16=4X4,25=5X5,49=7X7,64=8X8,

即每項(xiàng)都等于自身項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的乘積，所以括號中的數(shù)是36。

本題各項(xiàng)只與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項(xiàng)關(guān)系來考慮問題，勢必要走彎路。

(12)0,3,8,15,24,(),48,63.

仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項(xiàng)加上1正好等于數(shù)列(11),因此，本數(shù)列

的規(guī)律是項(xiàng)二項(xiàng)數(shù)x項(xiàng)數(shù)-1.所以，括號中填35,即35=6X6-1,

(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,()。

(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,()。

前面的方法均不適用于這個數(shù)列，在觀察的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中

的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1,2,3,4,5,而它們恰好是第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5

項(xiàng)、第7項(xiàng)和第9項(xiàng)，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項(xiàng)(即第1,3,5,7,9項(xiàng))和偶

數(shù)項(xiàng)(即第2,4,6,8項(xiàng))來考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)重新分組排列如

下：

奇數(shù)項(xiàng)：1,2,3,4,5

偶數(shù)項(xiàng)：2,4,8,16可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一

等比數(shù)列.因此，括號中的數(shù)，即第10項(xiàng)應(yīng)為32(32=16X2)。

(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,()。

同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項(xiàng)：

偶數(shù)項(xiàng)：2,4,6,8,10

奇數(shù)項(xiàng)：1,3,9,27,().所以，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)

列，括號中應(yīng)填81(81=27X3)。

像（13）（14）這樣的數(shù)列，每個數(shù)列中都含有兩個系列，這兩個系列的規(guī)律

各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重數(shù)列。

例2下面數(shù)列的每一項(xiàng)由3個數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：

（1,3,5）,（2,6,10）,（3,9,15）…問：第100個數(shù)組內(nèi)3個數(shù)的

和是多少？

方法3注意觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)組的第1個分量依次是：1,2,3…構(gòu)成等差

數(shù)列，所以第100個數(shù)組中的第1個數(shù)為100；這些數(shù)組的第2個分量3,6,

9…也構(gòu)成等差數(shù)列，且3=3X1,6=3X2,9=3X3,所以第100個數(shù)組中的第2個

數(shù)為3X100=300；同理，第3個分量為5X100=500,所以，第100個數(shù)組內(nèi)三個

數(shù)的和為100+300+500900。

方法2：因?yàn)轭}目中問的只是和，所以可以不去求組里的三個數(shù)而直接求

和，考察各組的三個數(shù)之和。

第1組：1+3+5=9,第2組：2+6+10=18

第3組：3+9+15=27-,由于*9X1,18=9X2,27=9X3,所以9,

18,27…構(gòu)成一等差數(shù)列，第10函為9X100=900,即第100個數(shù)組內(nèi)三個數(shù)的

和為900。

例3按下圖分割三角形，即，①把三角形等分為四個相同的小三角形（如圖

因此，數(shù)列的第畫為121.

（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分為四個更小的三角形

（如圖（））…繼續(xù)下去，將會得到一系列的圖,依次把這些圖中不重疊的三

C這個數(shù)列的規(guī)律如下，

角形的個數(shù)記下來，成為一