專題02超幾何分布(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品．從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，其中，，，，，，，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．2、公式中個(gè)字母的含義—總體中的個(gè)體總數(shù)—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))—樣本容量—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))注意：(1)“由較明顯的兩部分組成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽樣；(3)注意分布列的表達(dá)式中，各個(gè)字母的含義及隨機(jī)變量的取值范圍.二、典型題型題型一：超幾何分布的概率問題1．（2024上·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）杭州第屆亞運(yùn)會，是繼年北京亞運(yùn)會、年廣州亞運(yùn)會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.年月日，杭州亞運(yùn)會開幕式隆重舉行.某電商平臺亞運(yùn)周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當(dāng)晚點(diǎn)前登錄該直播間的前名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運(yùn)、送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這名觀眾中抽取名幸運(yùn)觀眾，抽中者平臺會有亞運(yùn)吉祥物玩偶贈送.而直播時(shí)這名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)為（幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計(jì)數(shù)，例如若某幸運(yùn)觀眾兩次都被抽中，但只記為人）.(1)已知小杭是這前名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為，求的值；(2)當(dāng)取到最大值時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）記“小杭被抽中”為事件，“小杭第次被抽中”為事件，可知，利用獨(dú)立事件的概率公式可得出關(guān)于的等式，解之即可；（2）求得，解不等式，解出的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）解：記“小杭被抽中”為事件，“小杭第次被抽中”為事件.，整理可得，即，又因?yàn)榍?，解?（2）解：“”表示第一次在個(gè)人中抽取個(gè)，第二次抽取的個(gè)人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的個(gè)人在第一次抽取的人中，，記，由，解得，又，所以時(shí)，取最大值.2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾關(guān)注的熱點(diǎn)話題之一，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某研究機(jī)構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進(jìn)行了調(diào)查，并將隨機(jī)抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)年齡在的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機(jī)選取男女各2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）【答案】(1)44.5(2)【分析】（1）求出指數(shù)，再根據(jù)百分位數(shù)的求法即可；（2）利用組合公式結(jié)合古典概型即可得到答案.【詳解】（1）由條件得，指數(shù)，則這50人年齡的第60百分位數(shù)是將他們的年齡按從小到大的順序排列后的第30人與第31人的年齡平均值，由莖葉圖可知，第30人的年齡為44，第31人的年齡為45，則所求的第60百分位數(shù)是44.5.（2）由莖葉圖可知，年齡在的被調(diào)查者共9人，其中6名男性，3名女性，令為至少有三人投贊成票，依題意得，被選中的4人中有兩名女性一名男性投贊成票的概率是被選中的4人中有一名女性兩名男性投贊成票的概率是，被選中的4人中有兩名女性兩名男性投贊成票的概率是，則被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率為.3．（2023·全國·高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎活動．袋中裝有18個(gè)除顏色外其余均相同的小球，其中8個(gè)是紅球，10個(gè)是白球．抽獎?wù)邚闹幸淮纬槌?個(gè)小球，抽到3個(gè)紅球得一等獎，抽到2個(gè)紅球得二等獎，抽到1個(gè)紅球得三等獎，抽到0個(gè)紅球不得獎．求得一等獎、二等獎和三等獎的概率．【答案】得一等獎的概率約為0.0686，得二等獎的概率約為0.3431，得三等獎的概率約為0.4412．【分析】由題意，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，根據(jù)超幾何分布的概率公式得解.【詳解】解：從18個(gè)小球中抽取3個(gè)時(shí)，有種等可能的結(jié)果，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，則P（得一等獎）．P（得二等獎）．P（得三等獎）．因此，得一等獎的概率約為0.0686，得二等獎的概率約為0.3431，得三等獎的概率約為0.4412．4．（2022上·上海虹口·高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考期末）某批件產(chǎn)品的次品率為2%，現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn).(1)當(dāng)，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？(2)當(dāng)，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？(3)（1）、（2）分別對應(yīng)哪種分布，并結(jié)合（1）（2）探究兩種分布之間的聯(lián)系.【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，如果放回，是二項(xiàng)分布，計(jì)算概率值；（2）如果不放回，是超幾何分布，分別計(jì)算概率值；（3）對超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系的認(rèn)識從共同點(diǎn)、不同點(diǎn)和聯(lián)系三個(gè)方面進(jìn)行說明．【詳解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取時(shí)都是從這件產(chǎn)品中抽取，從而抽到次品的概率都為，可以把3次抽取看成是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這樣抽到的次品數(shù)，恰好抽到1件次品的概率為.（2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品數(shù)是隨機(jī)變量，服從超幾何分布，的分布與產(chǎn)品的總數(shù)有關(guān)，所以需要分3種情況分別計(jì)算：①時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為500件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為490件，從500件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.②時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為5000件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為4900件，從5000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.③時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為50000件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為49000件，從50000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.（3）對超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系的認(rèn)識：共同點(diǎn)：每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失?。煌c(diǎn)：1、超幾何分布是不放回抽取，二項(xiàng)分布是放回抽??；2、超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”；聯(lián)系：當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布．題型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差1．（2024上·山東德州·高二統(tǒng)考期末）為落實(shí)“雙減”政策，提升課后服務(wù)水平，某小學(xué)計(jì)劃實(shí)行課后看護(hù)工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取該小學(xué)三年級的個(gè)班級并調(diào)查需要課后看護(hù)的學(xué)生人數(shù)，分布如下：班級代號12345678需看護(hù)學(xué)生人數(shù)2022273025233221(1)若將上述表格中人數(shù)低于人的班級兩兩組合進(jìn)行看護(hù)，求班級代號為、的兩個(gè)班合班看護(hù)的概率；(2)從已抽取的個(gè)班級中隨機(jī)抽取個(gè)班，記個(gè)班中需要課后看護(hù)的學(xué)生人數(shù)低于人的班級數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）求出將人數(shù)少于人的個(gè)班兩兩組合進(jìn)行課后看護(hù)的不同組合方法種數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）解：若將表中人數(shù)少于人的個(gè)班兩兩組合進(jìn)行課后看護(hù)，共種不同的方法，其中班級代號為、的兩個(gè)班合班看護(hù)共種方法．記表示事件“班級代號為、的兩個(gè)班合班看護(hù)”，則其概率．（2）解：隨機(jī)變量的可能取值為、、、，可得，，，，則的分布列為：XP所以數(shù)學(xué)期望為．2．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個(gè)攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機(jī)對100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區(qū)間，，，，內(nèi)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值為代表）；(2)為了進(jìn)一步了解游客對潮州美食的評價(jià)，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組，，的游客中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可；（2）先由題意得到隨機(jī)變量的取值，并分別計(jì)算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機(jī)變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：0123所以.3．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時(shí)投籃活動，記錄他們在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的進(jìn)球個(gè)數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：(1)估計(jì)全班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進(jìn)行培訓(xùn)，再從中抽取3人做進(jìn)一步培訓(xùn)．（?。┯涍@3人中進(jìn)球個(gè)數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率．【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列見解析，；（ⅱ）【分析】（1）每一組的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)的頻率即可得到平均值；（2）由頻率比得到各小組內(nèi)的人數(shù)，再利用超幾何分布得到X的分布列與數(shù)學(xué)期望，即可得到（?。┑拇鸢福挥掷脳l件概率即可得到（ⅱ）的答案.【詳解】（1）該班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù):．（2）由題意可知進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，頻率比為；所以抽取的8人中，進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．（?。┯深}意可知，，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列為X0123P所以．（ⅱ）記事件“抽取的3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間”，事件“抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間”，則，，所以，即這3個(gè)人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率為．4．（2023上·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司對該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個(gè)小矩形依次對應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，，，(2)①各組應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3，4，5，6；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）結(jié)合題意及頻數(shù)與頻率，頻率之和為1等知識建立方程組，計(jì)算即可;（2）根據(jù)分層抽樣的定義即可求得各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)可求得分布列，進(jìn)一步求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為，又因?yàn)榈谖逍〗M的頻數(shù)為2400，所以樣本容量．因?yàn)榈诹〗M的頻率為，所以第六小組的頻數(shù)是．由頻率之和為1，得，所以．因?yàn)轭l率分布直方圖中的滿足，所以．所以代入中，得，得，解得．所以．（2）①因?yàn)榍?組的頻率之比為，且現(xiàn)從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，所以在應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是．②由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值是．則故隨機(jī)變量的分布列為0123故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．5．（2023上·甘肅白銀·高三甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某商家2023年1月至7月商品的月銷售量的數(shù)據(jù)如下圖所示，若月份與商品的月銷售量存在線性關(guān)系.

(1)求月份與商品的月銷售量的回歸直線方程；(2)若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售量低于50的視為良好，記5分，月銷售量不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個(gè)月，用表示賦分之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：回歸直線方程，其中.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由題意先分別算出，，結(jié)合已知參數(shù)即可算出，，從而即可得解.（2）合格月有5個(gè)，其中記為5分的月份有3個(gè)，記為10分的月份有2個(gè)，由超幾何分布的概率公式即可求出分布列，進(jìn)一步得出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1），，，所以，，所以.（2）由題可知，合格月有5個(gè)，其中記為5分的月份有3個(gè)，記為10分的月份有2個(gè)，所以，所以的分布列為152025數(shù)學(xué)期望.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）火車晚點(diǎn)是人們在旅行過程中最常見的問題之一，針對這個(gè)問題，許多人都會打電話進(jìn)行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點(diǎn)率對每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對近8年（2015年~2022年）每年火車正點(diǎn)率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.60059243837.293.8(1)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；若預(yù)計(jì)2024年火車的正點(diǎn)率為，試估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；(2)根據(jù)顧客對火車站投訴的次數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)，該火車站這8年中有6年被評為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機(jī)抽取3年，記其中評價(jià)“良好”的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，【答案】(1)，20次；(2)分布列見解析，.【分析】（1）應(yīng)用最小二乘法求回歸直線，再代入估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)題意寫出的可能取值，應(yīng)用超幾何概率公式求對應(yīng)概率，即得分布列，進(jìn)而求期望.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，所以，所以；當(dāng)時(shí)，代入，得到，所以2024年顧客對該市火車站投訴的次數(shù)約為20次.（2）由題意，服從超幾何分布，可取0，1，2，，，，012所以.2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.(1)設(shè)其中兩只小鼠中在對照組中小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）對照組：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3實(shí)驗(yàn)組：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：合計(jì)對照組實(shí)驗(yàn)組合計(jì)（ii）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)分布列見解析，期望為1(2)（i），列聯(lián)表見解析；（ⅱ）有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求分布列，進(jìn)而可得期望；（2）（i）直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)及填寫二聯(lián)表即可；（ⅱ）利用卡方公式及對照表計(jì)算即可.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）由所給數(shù)據(jù)可知40只小鼠體重的中位數(shù)為，填二聯(lián)表如下：合計(jì)對照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ⅱ）由上表及卡方公式可知:，所以有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.3．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學(xué)?？计谀┮阎凶觾?nèi)有大小相同的10個(gè)球，其中紅球有個(gè)，已知從盒子中任取2個(gè)球都是紅球的概率為.(1)求的值；(2)現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)球，記取出的球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）結(jié)合組合知識利用古典概型概率公式列方程求解即可；（2）由題意得到隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，分別求出概率，寫出分布列，求出的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）已知盒子內(nèi)有大小相同的10個(gè)球，其中紅球有個(gè)，因?yàn)閺暮凶又腥稳?個(gè)球都是紅球的概率為，所以，所以，所以，解得或（舍去）；（2）由題意可能的取值為0，1，2，3，則，，，，故的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為.4．（2023·全國·模擬預(yù)測）為落實(shí)節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取型和型設(shè)備各臺，得到如下頻率分布直方圖．

(1)將使用壽命超過小時(shí)和不超過小時(shí)的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷使用壽命是否超過小時(shí)與型號有沒有關(guān)聯(lián)，說明理由．型號使用壽命合計(jì)超過小時(shí)不超過小時(shí)型型合計(jì)(2)用分層抽樣的方法從使用壽命不超過小時(shí)的型和型設(shè)備中共抽取臺，再從這臺設(shè)備中隨機(jī)抽取臺，設(shè)其中型設(shè)備有臺，求的分布列和．(3)現(xiàn)有一項(xiàng)工作需要臺同型號設(shè)備同時(shí)工作小時(shí)才能完成，工作期間若設(shè)備損壞，則立即更換同型號設(shè)備（更換設(shè)備的時(shí)間忽略不計(jì)）．型和型設(shè)備每臺的價(jià)格分別為萬元和萬元，型和型設(shè)備每臺每小時(shí)分別耗電度（度千瓦時(shí)）和度，電價(jià)為元/度．用頻率估計(jì)概率，只考慮設(shè)備的成本和電費(fèi)，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備？說明理由．附：，其中．【答案】(1)列聯(lián)表見解析；使用壽命是否超過小時(shí)與型號無關(guān)，理由見解析(2)分布列見解析；(3)應(yīng)選擇型設(shè)備，理由見解析【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖可計(jì)算得到列聯(lián)表所需數(shù)據(jù)，由此可得，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定抽取的型設(shè)備的臺數(shù)，進(jìn)而確定的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望值；（3）估算出需更換的型設(shè)備的數(shù)量，從而計(jì)算出使用型設(shè)備的總費(fèi)用，比較費(fèi)用大小即可得到結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可補(bǔ)全列聯(lián)表如下：型號使用壽命合計(jì)超過小時(shí)不超過小時(shí)型型合計(jì)提出零假設(shè)：使用壽命是否超過小時(shí)與型號無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為成立，即使用壽命是否超過小時(shí)與型號無關(guān)．（2）由分層抽樣定義知：抽取的型設(shè)備有臺，抽取的型設(shè)備有臺，則所有可能的取值為，；；；的分布列為：.（3）由頻率分布直方圖中的頻率估計(jì)概率知：型設(shè)備每臺更換的概率為，臺型設(shè)備估計(jì)要更換臺；型設(shè)備每臺更換的概率為，臺型設(shè)備估計(jì)要更換臺．則選擇A型設(shè)備的總費(fèi)用（萬元）；選擇型設(shè)備的總費(fèi)用（萬元），，應(yīng)選擇型設(shè)備.5．（2023·全國·高二課堂例題）一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率：【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）由題意，摸出20個(gè)球，采用有放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，；采用不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布，可寫出分布列．（2）利用統(tǒng)計(jì)軟件可以計(jì)算出兩個(gè)分布列具體的概率值，進(jìn)而可算得，進(jìn)行比較可判斷.【詳解】（1）對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此，X的分布列為：，，1，2，…，20．.對于不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布，X的分布列為：，，1，2，…，20．.（2）利用統(tǒng)計(jì)軟件可以計(jì)算出兩個(gè)分布列具體的概率值（精確到0.0001），如下表所示．kk00.000040.00001110.070990.0637610.000490.00015120.035500.0266720.003090.00135130.014560.0086730.012350.00714140.004850.0021740.034990.02551150.001290.0004150.074650.06530160.000270.0000660.124410.12422170.000040.0000170.165880.17972180.000000.0000080.179710.20078190.000000.0000090.159740.17483200.000000.00000100.117140.11924樣本中黃球的比例是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)上表，計(jì)算得有放回摸球：．不放回摸球：．因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些．兩種摸球方式下，隨機(jī)變量X分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布．雖然這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖（下圖）看，超幾何分布更集中在均值附近．

6．（2022上·上海嘉定·高二?？计谥校┮阎?5張卡牌由5張紅卡、10張其它顏色卡組成，混合后分3輪發(fā)出，每輪隨機(jī)發(fā)出5張卡．(1)求事件“第1輪無紅色卡牌”的概率；(2)求事件“第1輪有至少3張紅色卡牌”的概率；(3)求事件“每輪均有紅色卡牌”的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）應(yīng)用組合數(shù)，結(jié)合古典概型的概率求法求；（2）應(yīng)用組合數(shù)，結(jié)合互斥事件的加法公式求；（3）討論第一輪有紅牌1、2、3張，對應(yīng)第二輪出現(xiàn)紅牌可能張數(shù)的概率和，即可求.【詳解】（1）由題意，“第1輪無紅色卡牌”的概率.（2）由題意，“第1輪有至少3張紅色卡牌”的概率.（3）要使每輪都有紅色卡牌，有如下情況：第一輪抽到1張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張、3張，此時(shí)每輪都有紅牌的概率為，第一輪抽到2張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張，此時(shí)每輪都有紅牌的概率為，第一輪抽到3張紅牌，則第二輪紅牌有1張，此時(shí)每輪都有紅牌的概率為，綜上，3輪中“每輪均有紅色卡牌”的概率.7．（2022·北京·景山學(xué)校校考模擬預(yù)測）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)0.20(2)的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(3)5【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程，能求出的值，進(jìn)而估計(jì)出概率；（2）先按比例抽取人數(shù)，由題意可知此分布列為超幾何分布，即可求出分布列；（3）求出的式子進(jìn)行判斷.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，，所以日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.20；（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時(shí)間在，內(nèi)的學(xué)生中抽?。喝耍F(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.（3），理由如下：由頻率分布直方圖得學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)最大.8．（2020·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某省年開始將全面實(shí)施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個(gè)等級，各等級人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級轉(zhuǎn)換賦分．（1）某校生物學(xué)科獲得等級的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：原始分9190898887858382轉(zhuǎn)換分10099979594918886人數(shù)11212111現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請解決下列問題：①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分等級的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求取得最大值時(shí)的值．附：若，則，．【答案】（1）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）①69分；②．【分析】（1）寫出隨機(jī)變量的所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布求出的每個(gè)值對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（2）①設(shè)該劃線分為，由求出.由，得.由題意，又，故，故，即可求出；②由題意，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式，求出，代入不等式組，即求的值.【詳解】（1）隨機(jī)變量的所有可能的取值為.由題意可得：，，，，隨機(jī)變量的分布列為數(shù)學(xué)期望．（2）①設(shè)該劃線分為，由得，令，則，由題意，，即，，，，，，取．②由①討論及參考數(shù)據(jù)得，即每個(gè)學(xué)生生物統(tǒng)考成績不低于分的事件概率約為，，．由即解得，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力，屬于較難的題目．9．（2020·安徽安慶·統(tǒng)考二模）某小區(qū)為了加強(qiáng)對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在（單位：）的概率是多少？②若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于時(shí)，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.【答案】（1）①；②詳見解析；（2）.【解析】（1）事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在，”發(fā)生的概率為．①記事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在，”為，利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率求解即可．②隨機(jī)變量所有可能的取值為0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．（2）每天對甲類物資的購買量平均值，求出從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為，判斷，通過若戶的可能性最大，列出不等式組，求解即可．【詳解】（1）由題意，事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在”發(fā)生的概率為.①記