第二章信號分析的基本方法

2.1信號基礎(chǔ)2.2

確定信號的分析2.3

隨機信號2.4

信號通過線性系統(tǒng)

5/9/20241信號分析的基本方法2.1信號基礎(chǔ)2.1.1信號表示2.1.2信號分類

信號是信息的載體。人們必須對所獲得的信號進行分析和處理，才能得到其中的信息。5/9/20242信號分析的基本方法2.2確定信號的分析

一般說來，信號分析就是將（復(fù)雜）信號分解為若干簡單分量的疊加，并以這些分量的組成情況對信號特性進行考察。對信號進行分析的方法通常有兩類：時域分析和頻域（譜）分析。其中時域分析以波形為基礎(chǔ)，這里不詳細展開。頻域分析則將時域信號變換到頻域中進行分析，最基本的方法是將信號分解為不同頻率的余（正）弦分量的疊加，即利用傅里葉變換（級數(shù)）進行分析。

5/9/20243信號分析的基本方法2.2.1傅里葉級數(shù)與傅里葉變換2.2.2功率（能量）譜2.2.3時域抽樣信號和抽樣定理2.2.4相關(guān)函數(shù)

5/9/20244信號分析的基本方法2.1.1信號表示時域表示頻域表示5/9/20245信號分析的基本方法時域表示信號是隨時間變化的物理量（電、光、聲等），可以用函數(shù)解析式描述，也可表示為圖形（波形圖）。如余弦信號是一種非常簡單的信號，其函數(shù)解析式可以描述為：（2.1）5/9/20246信號分析的基本方法從中可以看到體現(xiàn)了信號的特征三個參數(shù)——幅度、角頻率

和相位

。其波形圖則如2.1所示。

5/9/20247信號分析的基本方法圖2.1余弦信號波形

5/9/20248信號分析的基本方法客觀存在的信號都是實數(shù)函數(shù)，但為了方便數(shù)學(xué)上的分析和處理，人們也常常用復(fù)數(shù)形式來表示這些信號。如式（2.1）的余弦信號也可表示成式（2.2）的復(fù)數(shù)形式：5/9/20249信號分析的基本方法（2.2）上述復(fù)數(shù)表示也同樣具有、、它們體現(xiàn)出信號變化的規(guī)律。三個參數(shù)，5/9/202410信號分析的基本方法復(fù)數(shù)（信號）的實部就是實信號

，即：（2.3）5/9/202411信號分析的基本方法頻域表示對余弦波而言，三個參數(shù)如能確定的話，函數(shù)或者波形就能唯一確定了。因此不妨考慮用如圖2.2所示的方式來表示上述余弦波。5/9/202412信號分析的基本方法圖2.2余弦信號的頻譜5/9/202413信號分析的基本方法圖2.2在新的坐標系（角頻率或頻率為橫軸，，振幅和相位為縱軸）中，以兩條線（甚至兩個點就夠了），表示了時域波形如圖2.1所示的信號，或者說，表示了信號所有的特征信息（頻率、幅度和相位）。這種表示法被稱為頻域表示，表示的結(jié)果叫做“頻譜”，對應(yīng)于振幅或者相位分別為幅度譜和相位譜。5/9/202414信號分析的基本方法上述正弦信號只有單一頻率，因此其頻譜只包含一根“線”（譜線），人們常稱其為“單色”信號。而在大多數(shù)應(yīng)用場合中，信號是由若干不同頻率的單色信號疊加而成的，稱為“復(fù)合”信號。從頻域角度看，復(fù)合信號的頻譜包含若干條甚至無數(shù)條譜線。如圖2.3所示。注：極端情況下，相鄰譜線足夠接近時，頻譜就可表示成連續(xù)的曲線了，原來分立的譜線于是簡化為曲線中的一個個點（詳見2.2.1）。5/9/202415信號分析的基本方法圖2.3復(fù)合信號與信號頻帶5/9/202416信號分析的基本方法考察某個信號的所有單色成分，這些成分覆蓋的頻率范圍，被形象地叫做“頻帶”。這個范圍的大小，就是“帶寬”——即頻帶寬度，如圖2.3所示。帶寬是衡量信號特性的一個重要指標。5/9/202417信號分析的基本方法頻率和幅度對信號而言通常比相位具有更重要的意義。以聲波信號為例：頻率小于20Hz時為次聲波，人耳通常聽不到，但聲強（與信號幅度有關(guān)）足夠大時，人可以感覺到；頻率在20Hz到20KHz之間時為聲波，能夠被人聽到；頻率大于20KHz時為次聲波，人無法聽見，其方向性好，因此在測量中具有重要的應(yīng)用價值。因此，在信號的頻域表示中，有時只使用幅度譜。

5/9/202418信號分析的基本方法2.1.2信號分類1．按信號的性質(zhì)分2．按信號的自變量或函數(shù)取值分3．按信號的時間或頻率定義范圍分可以用多種方法對信號進行分類，以下是常見的三種方式：5/9/202419信號分析的基本方法按信號的性質(zhì)可分為確定（性）信號和隨機信號兩類：確定信號是指在相同的實驗條件下，能夠重復(fù)實現(xiàn)的信號。根據(jù)信號是否具有周期性，又有周期信號和非周期信號之分。隨機信號則是在相同的實驗條件下，不能夠重復(fù)的信號。5/9/202420信號分析的基本方法按信號的自變量或函數(shù)取值自變量多為時間，按照它的取值是否連續(xù)，可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。在此基礎(chǔ)上按照函數(shù)取值是否連續(xù)，常又分出模擬信號、抽（采）樣信號、量化信號、數(shù)字信號等，具體分類和特點可參見表2.1及圖2.4。有時也僅以函數(shù)取值進行分類，將上述模擬信號和抽樣信號統(tǒng)稱為模擬信號，將數(shù)字信號和量化信號統(tǒng)稱為數(shù)字信號。5/9/202421信號分析的基本方法表2.1信號分類自變量函數(shù)值信號分類連續(xù)（時間信號）連續(xù)模擬信號離散量化信號離散（時間信號）連續(xù)抽樣信號離散數(shù)字信號5/9/202422信號分析的基本方法圖2.4各種信號5/9/202423信號分析的基本方法按信號的時間或頻率定義范圍在有限的時間區(qū)間內(nèi)有定義，而在區(qū)間外為零，這類信號叫做時域有限信號，簡稱時限信號。矩形脈沖、正弦脈沖等信號都屬這種類型。而周期信號、指數(shù)信號、隨機信號等，則屬于時域無限信號。5/9/202424信號分析的基本方法若信號的所有頻率成分都局限在某個范圍之中，那么這個信號則屬于頻域有限信號，簡稱頻限信號。正弦信號、限帶白噪聲等都屬于這種類型。而沖擊函數(shù)、白噪聲、理想采樣信號等，則屬于頻域無限信號，他們的帶寬無限寬。5/9/202425信號分析的基本方法在信號理論中，時域和頻域之間存在著“對稱性關(guān)系”——時限信號在頻域上是無限信號，而頻限信號又對應(yīng)于時域無限信號。這種關(guān)系意味著一個信號不可能同時在時域和頻域上都是有限的。5/9/202426信號分析的基本方法2.2.1傅里葉級數(shù)與傅里葉變換傅里葉級數(shù)傅里葉變換5/9/202427信號分析的基本方法傅里葉級數(shù)形式一周期（為）信號可以表示為余（正）弦分量之和，即可記作如下（三角函數(shù)形式的）傅里葉級數(shù)：（2.4）5/9/202428信號分析的基本方法其中，5/9/202429信號分析的基本方法傅里葉級數(shù)形式二或者（2.5）其中，5/9/202430信號分析的基本方法這些分量可以直觀地表示成類似圖2.3的（實）頻譜。5/9/202431信號分析的基本方法歐拉公式推論根據(jù)歐拉公式可知：5/9/202432信號分析的基本方法傅里葉級數(shù)形式三因此傅里葉級數(shù)還可以表示成以下指數(shù)形式：（2.6）其中5/9/202433信號分析的基本方法需注意的是，各分量的系數(shù)是復(fù)數(shù)，可表示成如下形式：其中對應(yīng)于幅度，對應(yīng)于相位。5/9/202434信號分析的基本方法因此周期信號或者說它的各分量系數(shù)可由如圖2.5所示的（復(fù)）頻譜進行表征?？梢钥吹?，復(fù)頻譜除正頻率分量外，還包括負頻率分量。負頻率的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)運算（歐拉公式）的結(jié)果，并無物理意義。5/9/202435信號分析的基本方法圖2.5復(fù)頻譜(a)5/9/202436信號分析的基本方法圖2.5復(fù)頻譜(b)5/9/202437信號分析的基本方法頻譜分幅（度）譜和相（位）譜兩部分前者呈偶對稱，所有諧波分量的幅度（）都降為對應(yīng)實幅譜（）的一半；后者呈奇對稱，復(fù)譜與實譜的相位譜值相等。復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（對應(yīng)于復(fù)頻譜）是周期信號頻域分析的最基本方法。5/9/202438信號分析的基本方法【例2-1】【例2-1】試求圖2.6所示的周期矩形脈沖信號的頻譜。圖2.6周期矩形脈沖信號5/9/202439信號分析的基本方法解上述信號在（）一個周期內(nèi)可表示為：⑴展成三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)根據(jù)式（2.4）可得5/9/202440信號分析的基本方法注:其中

稱為抽樣函數(shù)，是信息系統(tǒng)研究中的重要函數(shù)之一。

5/9/202441信號分析的基本方法因此，周期矩形信號的三角形式的傅里葉級數(shù)為5/9/202442信號分析的基本方法⑵展成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)根據(jù)式（2.6）可得5/9/202443信號分析的基本方法其中：其幅度譜和相位譜分別如圖2.8所示。5/9/202444信號分析的基本方法圖2.8周期矩形脈沖信號復(fù)頻譜5/9/202445信號分析的基本方法圖2.8周期矩形脈沖信號復(fù)頻譜5/9/202446信號分析的基本方法頻譜特點分析⑶頻譜特點分析1.離散譜無窮多個分量對應(yīng)于無窮多條譜線，譜線間的離散間隔為基頻，幅度隨諧波階次的增高以抽樣函數(shù)規(guī)律衰減。5/9/202447信號分析的基本方法2.譜零點帶寬譜圖中的點，為譜零點。從圖2.8中可見，第一個譜零點的位置在，即包絡(luò)函數(shù)（抽樣函數(shù)）的第一個“過零點”。5/9/202448信號分析的基本方法頻譜中高頻分量（幅度）的迅速衰減，使得信號的大部分能量（約占總量的90%）集中在第一個零點內(nèi)的各頻率分量上，也就是說，信號的大部分信息是由這些分量攜帶的。5/9/202449信號分析的基本方法人們常將這一頻率范圍，稱為（譜零點）帶寬。這意味著在允許一定失真的條件下，可以讓通信系統(tǒng)只傳輸內(nèi)的分量，舍棄其他的高頻成分。5/9/202450信號分析的基本方法3.時域參數(shù)對頻譜的影響時域參數(shù)主要包括：信號幅度、信號周期和脈沖寬度。信號幅度對頻譜的特性影響不大。由于譜間隔為，另外，所以當增大時，譜線間隔會變密，而譜的幅度5/9/202451信號分析的基本方法會減小。極端情況下，若，周期函數(shù)轉(zhuǎn)換為非周期函數(shù)，這時離散頻譜將成為連續(xù)頻譜，分量幅值趨于無窮小。5/9/202452信號分析的基本方法由于，當增大時，帶寬減小，減小時，增大。這反映了一個普遍的規(guī)律：時域上壓縮（減?。?，頻域上展寬（增大），反之也成立?？紤]一個極端情況，若，即矩形脈沖變成沖擊函數(shù)，則，頻譜的高階諧波分量不衰減，成為5/9/202453信號分析的基本方法所謂的白色譜，參見3.3.2。另外，根據(jù)，當增大時，增大，減小也減小，這與能量守恒定律相吻合。5/9/202454信號分析的基本方法傅里葉變換與反變換非周期信號指那些維持一段時間便不再重復(fù)出現(xiàn)的信號。對非周期信號進行頻域分析的一般思路是：周期信號的頻譜在時的極限，就變?yōu)榉侵芷谛盘柕念l譜，相應(yīng)的變換為傅里葉變換，簡稱傅氏變換。5/9/202455信號分析的基本方法傅里葉變換為：（2.6）的物理意義是非周期信號的頻譜，它有兩個不同于周期信號頻譜的特點，其一是連續(xù)譜，其二是密度譜，它對應(yīng)于頻譜密度的概念，即單位頻率上頻譜分量的大小。5/9/202456信號分析的基本方法另外，一般為復(fù)數(shù)，也可寫成。傅里葉變換可由信號求其頻譜，即由時域向頻域變換，而傅里葉反（逆）變換則相反，可以在知道頻譜的前提下，反過來求原信號，即由頻域向時域變換。5/9/202457信號分析的基本方法傅里葉反變換為：（2.7）和之間的關(guān)系可以簡單表示成：（2.8）5/9/202458信號分析的基本方法雙向的箭頭表明了兩個方向的變換：向右的代表傅里葉變換，向左的代表傅里葉反變換。表2.3給出了一些常見信號的傅里葉變換對。（略去）5/9/202459信號分析的基本方法2.2.2功率（能量）譜頻譜是在頻域中描述信號特征的主要方法之一。除此以外，功率（能量）譜也是很常用的工具，用于表示信號的功率（能量）在頻域中隨頻率變化的情況，對研究信號的功率（能量）分布以及確定信號所占帶寬等有著非常重要的意義。5/9/202460信號分析的基本方法2.2.2功率（能量）譜1．能量信號和功率信號2．能量譜3．功率（密度）譜4．能量脈寬與帶寬5/9/202461信號分析的基本方法1．能量信號和功率信號信號在電阻上消耗的（歸一化）能量定義為（2.9）如果信號滿足以下兩個條件：①隨時間衰減；②是非周期（時限）信號，則信號的能量是有限的，稱為能量信號，其平均功率為零。5/9/202462信號分析的基本方法而其他信號諸如周期信號、非周期但不衰減的信號以及隨機過程等，它們的能量無窮大，但平均功率卻有限，故稱為功率信號。5/9/202463信號分析的基本方法2．能量譜可以證明：（2.12）其中體現(xiàn)了信號能量隨頻率變化的情況，稱為能量密度譜，簡稱能量譜或能譜。

5/9/202464信號分析的基本方法式（2.12）被稱為帕斯瓦爾定律，它表明：對能量有限的信號而言，在時域上積分得到的信號能量與頻域上積分得到的結(jié)果相等，也就是說信號的總能量等于頻域內(nèi)各頻率分量的連續(xù)和，符合能量守恒定律。5/9/202465信號分析的基本方法能量譜和傅里葉幅度譜之間存在簡單的關(guān)系。顯然，能量譜是一個實偶函數(shù)，因此信號能量也可簡化表示為（2.13）5/9/202466信號分析的基本方法【例2-2】【例2-2】若已知矩形脈沖信號的頻譜為，求如圖2.9(a)所示矩形脈沖頻譜的第一個零點內(nèi)所含的能量。圖2.9(a)5/9/202467信號分析的基本方法圖2.9(b)脈沖信號頻譜5/9/202468信號分析的基本方法圖2.9(c)脈沖信號能量譜5/9/202469信號分析的基本方法解畫出脈沖的頻譜如圖2.9(b)所示，繼而畫出其能量譜如圖2.9(c)所示，第一個過零點在處，則區(qū)域中的能量為5/9/202470信號分析的基本方法令即，則有5/9/202471信號分析的基本方法3．功率（密度）譜對周期性功率信號而言，平均功率為（2.14）其中是周期信號的功率譜，它對應(yīng)于各頻率分量的功率。式（2.14）是關(guān)于周期信號的帕斯瓦爾定律，其意義請同學(xué)們參照非周期信號的相關(guān)定律自行解釋。5/9/202472信號分析的基本方法類似于能量信號，非周期功率信號對應(yīng)的是功率譜密度，常記作，也是關(guān)于的偶函數(shù)。5/9/202473信號分析的基本方法4．能量脈寬與帶寬利用上述能量公式，可以確定一些雖然衰減但持續(xù)時間很長的非周期脈沖信號的有效脈沖寬度以及帶寬。5/9/202474信號分析的基本方法有效脈寬有效脈寬定義為：集中了脈沖中絕大部分能量的時間段，即（2.15）其中是指時間間隔內(nèi)的能量與信號總能量的比值，一般取0.9以上。5/9/202475信號分析的基本方法信號帶寬所有信號的能量或功率的主要部分往往集中在一定頻率范圍之內(nèi)，這個頻率范圍通常用信號的帶寬來描述。能量譜和功率譜為定義信號帶寬提供了有效的方法。根據(jù)實際系統(tǒng)的不同，信號帶寬有不同的定義。常用的定義方法有以下幾種：5/9/202476信號分析的基本方法能量與信號總能量之比為的頻段，一般取0.9以上；能量譜或功率譜從最大值下降3dB（為0.707倍）處所對應(yīng)的頻率間隔，習慣上被稱為“3dB帶寬”；繪制與能量譜或功率譜等高等面積的矩形，矩形的寬度被稱為“等效矩形帶寬”。5/9/202477信號分析的基本方法2.2.3時域抽樣信號和抽樣定理測控系統(tǒng)（如傳感器）能提供的原始信號多是連續(xù)信號，必須經(jīng)過離散化才能交由計算機作進一步處理。時域抽樣（采樣、取樣）指時間上的離散化，也就是每隔一定時間間隔提取原始信號的瞬間值，得到“抽樣信號”（參見表2.1）。相等的抽樣間隔對應(yīng)于“均勻抽樣”，否則就是“非均勻抽樣”。5/9/202478信號分析的基本方法1.理想抽樣2.實際抽樣3.時域抽樣定理5/9/202479信號分析的基本方法1.理想抽樣可以用一個如圖2.10所示的理想模型（沖激抽樣、理想抽樣）來研究抽樣過程。抽樣脈沖是脈寬為零的單位沖激信號，其頻譜是周期性的。5/9/202480信號分析的基本方法圖2.10(a)5/9/202481信號分析的基本方法圖2.10(b)5/9/202482信號分析的基本方法圖2.10(c)5/9/202483信號分析的基本方法可以看到，理想抽樣信號的頻譜是原連續(xù)信號頻譜的周期性延拓，延拓周期為抽樣頻率，也就是在周期性沖激函數(shù)頻譜各條譜線的位置上，按比例對原信號頻譜進行復(fù)制。5/9/202484信號分析的基本方法2.實際抽樣實際的抽樣過程通常是用電子開關(guān)來實現(xiàn)的，如圖2.11所示，電子開關(guān)每隔一定時間接通一次，每次接通時間為（這個值不可能為零）。

圖2.115/9/202485信號分析的基本方法圖2.12示意了這個過程的時域、頻域變化?？梢钥吹?，抽樣信號的頻譜也是原信號頻譜的“周期性復(fù)制”，只是復(fù)制受到抽樣函數(shù)（矩形脈沖的頻譜特性）的限制。5/9/202486信號分析的基本方法圖2.12(a)5/9/202487信號分析的基本方法圖2.12(b)5/9/202488信號分析的基本方法圖2.12(c)注：實際應(yīng)用中還有其他的抽樣形式，如平頂抽樣等。

5/9/202489信號分析的基本方法3.時域抽樣定理抽樣是對原始信號一種常見的處理方式，雖然這樣的處理會舍去信號在抽樣間隔中的波形，但抽樣定律告訴我們：只要滿足一定的條件，抽樣過程也能保全原信號的所有特征，也就是說，能由抽樣信號無失真地恢復(fù)原始信號。5/9/202490信號分析的基本方法低通抽樣定理一個頻帶限制在內(nèi)的連續(xù)信號，如果抽樣頻率大于或等于，則可以由抽樣序列無失真地重建（恢復(fù)）原始信號。5/9/202491信號分析的基本方法實際中遇到的許多信號是帶通信號。信號的頻帶限制在范圍內(nèi)，若帶寬，則信號稱為帶通信號。5/9/202492信號分析的基本方法帶通抽樣定理對帶通信號而言，若抽樣頻率滿足（2.16）則可以由抽樣序列無失真地重建恢復(fù)原始信號。5/9/202493信號分析的基本方法其中

為不超過的最大正整數(shù)。

可知，而則在到之間變動。此時的抽樣頻率低于低通抽樣定律的要求。5/9/202494信號分析的基本方法2.2.4相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)常被用來衡量波形之間關(guān)聯(lián)或相似的程度。5/9/202495信號分析的基本方法兩個能量信號

、之間的互相關(guān)函數(shù)定義為（2.17）5/9/202496信號分析的基本方法類似地，若它們是功率信號，則互相關(guān)函數(shù)則定義為:（2.18）5/9/202497信號分析的基本方法互相關(guān)函數(shù)的重要特性(1)若對所有，若，則兩個信號互不相關(guān)（似）；當時，但；；5/9/202498信號分析的基本方法互相關(guān)函數(shù)的重要特性(2)示兩信號在無時差時的相關(guān)性，其值越大，表示信號之間越相似。在實際使用時，常用由其進行歸一化處理之后，所得的歸一化相關(guān)系數(shù)來衡量兩個函數(shù)的相似程度。若，表明兩函數(shù)完全不相似；若，表明兩函數(shù)完全相似。

5/9/202499信號分析的基本方法當和為同一信號時，則互相關(guān)函數(shù)“變”為自相關(guān)函數(shù)。對能量信號而言，其自相關(guān)函數(shù)與能量譜密度互為傅里葉變換，記作。5/9/2024100信號分析的基本方法對功率信號而言，其自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度互為傅里葉變換，記作。該關(guān)系通常被稱為維納－辛欽（Wiener-Khintchine）關(guān)系。注：自相關(guān)函數(shù)和譜密度之間的關(guān)系，給譜密度的求解提供了另一條途徑，即先求信號的自相關(guān)函，然后再取其傅里葉變換即可。5/9/2024101信號分析的基本方法2.3隨機信號隨機信號在數(shù)學(xué)上稱為隨機過程。隨機信號的分析方法可以借鑒確定信號分析。5/9/2024102信號分析的基本方法2.3.1隨機變量2.3.2隨機過程2.3.3隨機過程的統(tǒng)計特性2.3.4平穩(wěn)隨機過程2.3.5高斯過程2.3.6窄帶隨機過程5/9/2024103信號分析的基本方法隨機變量的概率分布函數(shù)是的取值小于或等于的概率，即（2.19）在許多問題中，采用概率密度函數(shù)比采用概率分布函數(shù)更方便。概率密度函數(shù)被定義為概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5/9/2024104信號分析的基本方法概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)之間的關(guān)系可表述為：位于區(qū)間內(nèi)的概率是概率密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分，即（2.20）5/9/2024105信號分析的基本方法圖2.13概率密度函數(shù)5/9/2024106信號分析的基本方法若考慮兩個隨機變量、，定義二維隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)為，即小于或等于同時小于或等于的聯(lián)合概率。5/9/2024107信號分析的基本方法類似于單個（一維）隨機變量，可定義二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（2.21）假設(shè)聯(lián)合概率分布函數(shù)處處連續(xù)，且偏導(dǎo)存在并處處連續(xù)。5/9/2024108信號分析的基本方法隨機變量的主要數(shù)字特征包括數(shù)學(xué)期望（均值）和方差等。（2.22）（2.23）5/9/2024109信號分析的基本方法反映了隨機變量取值的集中位置，有時也用表示；表示的取值相對于均值的“離散程度”，也常常表示為。5/9/2024110信號分析的基本方法2.3.2隨機過程如果連續(xù)不斷地進行實驗，那么在任一瞬間，都相應(yīng)地得到一個隨機變量，此時的實驗結(jié)果就是一個隨機過程，即在時間上不斷出現(xiàn)的隨機變量集合，或者說是一個隨機的時間函數(shù)。5/9/2024111信號分析的基本方法隨機過程兼有隨機變量和時間函數(shù)的特點，就某一瞬間來看，它是一個隨機變量，就它的一個樣本來看，則是一個時間函數(shù)。如圖2.14所示。5/9/2024112信號分析的基本方法圖2.14隨機過程的樣本函數(shù)5/9/2024113信號分析的基本方法如，對通信機的輸出噪聲進行連續(xù)的觀察，觀察結(jié)果將是一個時間函數(shù)波形，但具體波形是無法預(yù)見的，它可能是圖2.14所示的、、等等，所有這些可能結(jié)果的集合就構(gòu)成了隨機過程。每一個可能的波形，稱為隨機過程的一個實現(xiàn)或樣本函數(shù)。在一次觀察中，隨機過程一定取一個樣本，然而究竟取哪一個樣本，則帶有隨機性。

5/9/2024114信號分析的基本方法2.3.3隨機過程的統(tǒng)計特性1．數(shù)學(xué)期望2．方差3．自相關(guān)函數(shù)5/9/2024115信號分析的基本方法1．數(shù)學(xué)期望隨機過程的數(shù)學(xué)期望定義為（2.24）其中為在某個給定瞬間所對應(yīng)的隨機變量的概率密度函數(shù)，下標“1”表示“一維”，即只涉及一個隨機變量。

5/9/2024116信號分析的基本方法圖2.15隨機過程的數(shù)學(xué)期望5/9/2024117信號分析的基本方法反映了隨機過程瞬時值的數(shù)學(xué)期望隨時間變化的規(guī)律，是隨機過程各個樣本的統(tǒng)計平均函數(shù)。圖2.15中較細的線表示隨機過程的若干樣本函數(shù)，較粗的曲線則表示數(shù)學(xué)期望。5/9/2024118信號分析的基本方法2．方差隨機過程的方差定義為（2.25）描述隨機過程在任意瞬間偏離其數(shù)學(xué)期望的程度。5/9/2024119信號分析的基本方法3．自相關(guān)函數(shù)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)可定義為（2.26）其中是該隨機過程的二維概率密度函數(shù)。5/9/2024120信號分析的基本方法自相關(guān)函數(shù)描述了隨機過程在兩個不同瞬間、的取值之間的相關(guān)程度。5/9/2024121信號分析的基本方法2.3.4平穩(wěn)隨機過程隨機過程分為平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的兩類。簡單地說，如果隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律不隨時間變化，則為平穩(wěn)隨機過程，否則為非平穩(wěn)隨機過程。5/9/2024122信號分析的基本方法對平穩(wěn)隨機過程而言，數(shù)學(xué)期望和方差都是與時間無關(guān)的常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只是時間間隔的函數(shù)，與選擇的時間起點無關(guān)。5/9/2024123信號分析的基本方法上述關(guān)系通常表示為：（2.27）（2.28）（2.29）注：在工程實踐中，人們常常直接用數(shù)學(xué)期望、方差、自相關(guān)函數(shù)三個數(shù)字特征是否滿足上述特點，來（狹義地）定義一個隨機過程是否平穩(wěn)。5/9/2024124信號分析的基本方法平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)也服從維納－辛欽關(guān)系，即它們互為傅里葉變換對：（2.30）5/9/2024125信號分析的基本方法許多平穩(wěn)隨機過程都具有一個非常重要的性質(zhì)：在固定時刻所有樣本的統(tǒng)計規(guī)律和單一樣本在長時間內(nèi)的統(tǒng)計特性一致，即各個統(tǒng)計平均值等于任何一個樣本的相應(yīng)時間平均值。具有這種性質(zhì)的平穩(wěn)隨機過程被稱為各態(tài)歷經(jīng)（或各態(tài)遍歷）的隨機過程。注：通信系統(tǒng)中所遇到的信號和噪聲一般都可視為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程。5/9/2024126信號分析的基本方法因此對各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程而言，只要對一個樣本進行分析計算，便可得知整個隨機過程的統(tǒng)計特性，這樣就給分析和測量帶來了方便。5/9/2024127信號分析的基本方法例如只要用直流電表測出直流成分，就得到有關(guān)隨機過程的數(shù)學(xué)期望；在隔斷了直流成分后用均方根電表測得其均方根（均方差開平方），即該隨機過程的。5/9/2024128信號分析的基本方法2.3.5高斯過程高斯過程又稱正態(tài)隨機過程，是一種普遍存在的重要隨機過程。高斯過程是指維分布都服從高斯分布的隨機過程。5/9/2024129信號分析的基本方法為簡單起見，維分布的具體表達式不進行討論，這里只給出高斯過程的一維概率密度函數(shù)：（2.31）可以看到，這對應(yīng)于一個眾所周知的正態(tài)分布，如圖2.16所示。5/9/2024130信號分析的基本方法圖2.16正態(tài)分布的概密函數(shù)5/9/2024131信號分析的基本方法2.3.6窄帶隨機過程窄帶隨機過程是指這樣的隨機過程：頻譜被限制在離開零頻率相當遠的某個中心頻率附近一個窄的頻帶上。在通信系統(tǒng)中，許多實際的信號和噪聲，例如無線廣播系統(tǒng)中的中頻信號及噪聲，都滿足“窄帶”假設(shè)。5/9/2024132信號分析的基本方法5/9/2024133信號分析的基本方法窄帶信號的頻譜如圖2.17(a)所示，設(shè)中心頻率為，信號帶寬為，窄帶信號滿足的條件。如果在示波器上觀察這個過程一個樣本的波形，如圖2.17(b)示意，可以看到信號的包絡(luò)和相位是相對緩慢變化的。5/9/2024134信號分析的基本方法5/9/2024135信號分析的基本方法窄帶隨機過程可表示為：（2.32）5/9/2024136信號分析的基本方法為了使用方便，還可將式（2.32）展開為：（2.33）其中、分別被稱為同相分量和正交分量。5/9/2024137信號分析的基本方法由上述表達式可以看出，的統(tǒng)計特性與、或、的統(tǒng)計特性之間存在特定關(guān)系?？梢宰C明，對一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程而言，其同相分量和正交分量也是平穩(wěn)高斯過程，且均值為零、方差與原過程相同。5/9/2024138信號分析的基本方法2.4信號通過線性系統(tǒng)2.4.1時域卷積定理和系統(tǒng)對信號的作用2.4.2隨機過程通過線性系統(tǒng)5/9/2024139信號分析的基本方法2.4.1時域卷積定理和系統(tǒng)對信號的作用

時域卷積定理指出：若