數(shù)學(xué)與生活-數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與生活之?dāng)?shù)學(xué)與學(xué)習(xí)在我們學(xué)習(xí)的過程中，我們會碰到諸如學(xué)習(xí)的效率、如何選課、如何合理安排學(xué)習(xí)等問題，另外還會碰到在新的問題背景下合理解決新問題，下面我們對這些問題舉例說明.一、好題賞析1．雷達(dá)圖也稱為網(wǎng)絡(luò)圖、蜘蛛圖，是一種能夠直觀地展示多維度的類目數(shù)據(jù)對比情況的統(tǒng)計(jì)圖.下圖是小明、小張和小陳三位同學(xué)在高一一學(xué)年六科平均成績雷達(dá)圖，則下列說法錯誤的是（）A．綜合六科來看，小明的成績最好，最均衡B．三人中，小陳的每門學(xué)科的平均成績都是最低的C．六門學(xué)科中，小張存在偏科情況D．小陳在英語學(xué)科有較強(qiáng)的學(xué)科優(yōu)勢2．華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)?經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在上的函數(shù)，對于，令，若存在正整數(shù)使得，且當(dāng)時，，則稱是的一個周期為的周期點(diǎn).給出下列四個結(jié)論正確的是（

）A．若，則存在唯一個周期為1的周期點(diǎn)；B．若，則存在周期為2的周期點(diǎn)；C．若，則不存在周期為3的周期點(diǎn)；D．若，則對任意正整數(shù)，都不是的周期為的周期點(diǎn).二、小試牛刀3．中國古代的貴族教育體系，開始于公元前1046年的周王朝，周王官學(xué)要求學(xué)生掌握的六種基本才能禮、樂、射、御、書、數(shù).某中學(xué)為了傳承古典文化，開設(shè)了六種選修課程，要求每位學(xué)生從中選擇3門課程，扎西同學(xué)從中隨機(jī)選擇3門課程，則他選中“御”的概率為（

）A． B． C． D．4．2020年3月，中共中央國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，提出“把勞動教育納入人才培養(yǎng)全過程，貫通大中小學(xué)各學(xué)段，貫穿家庭?學(xué)校?社會各方面，與德育?智育?體育?美育相融合，緊密結(jié)合經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展變化和學(xué)生生活實(shí)際，積極探索具有中國特色的勞動教育模式”.貴州省某學(xué)校結(jié)合自身實(shí)際，推出了《職業(yè)認(rèn)知》《家政課程》《田地教育》《手工制作》《種植技術(shù)》五門勞動課程，要求學(xué)生從中任選兩門進(jìn)行學(xué)習(xí)，經(jīng)考核合格后方能獲得相應(yīng)學(xué)分.已知甲?乙兩人進(jìn)行選課，則僅有一門課程相同的概率為（

）A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，為原點(diǎn)，以為始邊，為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為，，則.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)的乘方公式：.則（

）A． B．C． D．6．高三模擬考試常常劃定的總分各批次分?jǐn)?shù)線，通過一定的數(shù)學(xué)模型，確定不同學(xué)科在一本、二本等各批次“學(xué)科上線有雙分”的分?jǐn)?shù)線．考生總成績達(dá)到總分各批次分?jǐn)?shù)線的稱為總分上線；考生某一單科成績達(dá)到及學(xué)科上線有雙分的稱為單科上線．學(xué)科對總分的貢獻(xiàn)或匹配程度評價有很大的意義．利用“學(xué)科對總分上線貢獻(xiàn)率”和“學(xué)科有效分上線命中率”這兩項(xiàng)評價指標(biāo)，來反映各學(xué)科的單科成績對考生總分上線的貢獻(xiàn)與匹配程度，這對有效安排備考復(fù)習(xí)計(jì)劃具有十分重要的意義．某州一診考試劃定總分一本線為465分，數(shù)學(xué)一本線為104分，某班一小組的總分和數(shù)學(xué)成績?nèi)绫?，則該小組“數(shù)學(xué)學(xué)科對總分上線貢獻(xiàn)率、有效分上線命中率”分別是（

）（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位有效數(shù)字）A．41.7%，71.4% B．60%，71.4%C．41.7%，35% D．60%，35%7．中國科學(xué)院院士吳文俊在研究中國古代數(shù)學(xué)家劉徽著作的基礎(chǔ)上，把劉徽常用的方法概括為“出入相補(bǔ)原理”：一個圖形不論是平面的還是立體的，都可以切割成有限多塊，這有限多塊經(jīng)過移動再組合成另一個圖形，則后一圖形的面積或體積保持不變利用這個原理，解決下面問題：已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時的解析式為，則函數(shù)在的圖象與直線圍成封閉圖形的面積是（

）A． B． C． D．8．某數(shù)學(xué)研究小組在研究牛頓三叉戟曲線時通過數(shù)學(xué)軟件繪制出其圖象（如圖），并給出以下幾個結(jié)論，則正確的有（

）A．函數(shù)的極值點(diǎn)有且只有一個B．當(dāng)時，恒成立C．過原點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有2條D．若，則的最小值為9．丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號為______.①函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”；②函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為；③函數(shù)在為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.10．球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等面都有廣泛的應(yīng)用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點(diǎn)，經(jīng)過這三個點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點(diǎn)N，P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為________；若，則球面的面積為________．11．年遼寧、廣東、河北、湖北、湖南、江蘇、福建、重慶等八省市將全部采用“”的新高考模式．“”指的是語文、數(shù)學(xué)、外語，這三門科目考試參加統(tǒng)一高考，由教育部考試中心統(tǒng)一命題，以原始成績計(jì)入考生總成績；“”指的是物理和歷史中的一科，考生必須從物理和歷史兩個科目中選擇一科，由各省自主命題，以原始成績計(jì)入考生總成績．為了讓考生更好的適應(yīng)新高考模式，某省幾個地市進(jìn)行了統(tǒng)一的高考適應(yīng)性考試．在所有入考考生中有人選考物理，考后物理成績(滿分分)服從正態(tài)分布．（1）分別估計(jì)成績在和分以上者的人數(shù)；（運(yùn)算過程中精確到，最后結(jié)果保留為整數(shù)）附1：，，．（2）本次考試物理成績服從正態(tài)分布．令，則，若本次考試物理成績的前劃定為優(yōu)秀等級，試估計(jì)物理優(yōu)秀等級劃線分大約為多少分？附2：若，則．12．《中國詩詞大會》是中央電視臺最近推出的一檔有重大影響力的大型電視文化節(jié)目，今年兩會期間，教育部部長陳寶生答記者問時就給予其高度評價.基于這樣的背景，某中學(xué)積極響應(yīng)，也舉行了一次詩詞競賽.組委會在競賽后，從中抽取了部分選手的成績（百分制）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出了圖1的頻率分布直方圖和圖2的莖葉圖（但中間三行污損，看不清數(shù)據(jù)）.（1）求樣本容量和頻率分布直線方圖中的，的值；（2）分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中，男生有人，現(xiàn)從該組抽取人“座談”，寫出基本事件空間并求至少有名男生的概率.參考答案：1．B【分析】由雷達(dá)圖體現(xiàn)的三人的成績分布依次判斷各個選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，小明各科成績都處于較高分?jǐn)?shù)段且圖形最均衡，由此可知小明成績最好，最均衡，A正確；對于B，小陳的英語平均成績是三人中最高的，B錯誤；對于C，小張數(shù)學(xué)平均成績?yōu)闈M分，化學(xué)接近滿分，但物理和英語成績均為三人中最低，可知小張存在偏科情況，C正確；對于D，小陳的英語平均成績是三人中最高且接近滿分，D正確.故選：B.2．AD【分析】由周期點(diǎn)的定義，可得直線與存在交點(diǎn)．分別對選項(xiàng)分析，結(jié)合函數(shù)的最值和函數(shù)值的符號，可得結(jié)論．【詳解】解：對于，令，2，3，，若存在正整數(shù)使得，且當(dāng)時，，則稱是的一個周期為的周期點(diǎn)．對于①，若為周期為1的周期點(diǎn)，，故A正確；對于②，若為周期為2的周期點(diǎn)，則解得,，但，解得所以不存在在周期為2的周期點(diǎn)，故B錯誤；對于③，當(dāng)時，易見有兩個周期點(diǎn)；當(dāng)時，即，可得時，周期點(diǎn)有4個，同理，時，周期點(diǎn)有8個，故③錯誤；對于④，，所以，即，所以不是周期點(diǎn)，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了周期點(diǎn)的概念，解題的關(guān)鍵是緊扣定義進(jìn)行計(jì)算即可.3．C【分析】利用組合原理，分別求得隨機(jī)3門課程的總數(shù)，再計(jì)算出選“御”的種類數(shù)，即可求得概率.【詳解】隨機(jī)選擇3門課程的數(shù)目為，選“御”的種類數(shù)為，則選中“御”的概率為，故選：C.4．D【分析】求出兩人各選2門課程的方法數(shù)，再計(jì)算僅有一門相同的方法數(shù)（方法是先選一門相同的課程，然后兩人各選一門不相同的課程），由概率公式計(jì)算概率．【詳解】甲?乙兩人進(jìn)行選課的總方法數(shù)為，僅有一門相同的方法數(shù)為，所求概率為．故選：D．5．B【分析】根據(jù)題中所給棣莫弗定理，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂砷δザɡ砜傻茫?，故選：B6．A【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科對總分上線貢獻(xiàn)率、學(xué)科有效分上線命中率的定義，結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解【詳解】由圖表知雙過線人數(shù)為5人，單過線人數(shù)為7人，總分過線人數(shù)為12人；“數(shù)學(xué)學(xué)科對總分上線貢獻(xiàn)率”為，“學(xué)科有效分上線命中率”為，故選：A．7．C【分析】根據(jù)題設(shè)“出入相補(bǔ)原理”，結(jié)合函數(shù)在的圖象與直線圍成封閉圖形的特征及其對稱性，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，移補(bǔ)圖形可得矩形即可求面積.【詳解】由題意知：關(guān)于對稱，而，且，，∴在，、及的圖象如下，∴將所圍成的圖形在x軸下半部分陰影區(qū)域分成兩部分相補(bǔ)到x軸上半部分陰影區(qū)域，可得到圖示：由x軸、y軸、、所圍成的矩形的面積，∴函數(shù)在的圖象與直線圍成封閉圖形的面積為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的對稱性及端點(diǎn)值，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及“出入相補(bǔ)原理”，可將所圍成的圖形轉(zhuǎn)化為由x軸、y軸、、所圍成的矩形.8．ABD【分析】由確定極值點(diǎn)的個數(shù)（可由圖象得極值點(diǎn)個數(shù)），判斷A，由絕對值的性質(zhì)判斷B，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，判斷C，由得，然后表示出，用換元法求得最小值后判斷D．【詳解】，＝0，，，極值點(diǎn)有且只有一個，A正確；（實(shí)際上，由圖象知函數(shù)的極值點(diǎn)有且只有一個）時，，B正確；，設(shè)切點(diǎn)為，則，又切線過原點(diǎn)，所以，即，，，只有一個切點(diǎn)，過原點(diǎn)的切線只有1條，C錯；，且，則，，，設(shè)，，，，，當(dāng)時，，遞減，時，，遞增，所以，所以的最小值為，此時．D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值．在求過某點(diǎn)的切線方程時，一般要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，寫出切線方程，利用切線所過的點(diǎn)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，得切線方程．9．①②【分析】根據(jù)題干中給出的定義逐項(xiàng)檢驗(yàn)后可得正確的選項(xiàng).【詳解】的導(dǎo)函數(shù)，，故在上恒成立，所以函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，所以①正確；的導(dǎo)函數(shù)，，由可得，解得，所以函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為，所以②正確；的導(dǎo)函數(shù)，，因?yàn)闉樯系摹皣?yán)格凸函數(shù)”，故在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以③不正確.所以正確命題為：①②.故答案為：①②.10．

【分析】先證明“如果確定球面三角形的三個大圓所成的二面角分別為，則球面三角形的面積為，其中為球的半徑”，再根據(jù)題設(shè)條件求出二面角的大小，從而可求球面面積的大小.【詳解】現(xiàn)證明一個結(jié)論：如果確定球面三角形的三個大圓所成的二面角分別為，則球面三角形的面積為，其中為球的半徑.證明：如圖，設(shè)為關(guān)于球心的對稱點(diǎn)，則均為球面上的點(diǎn)，且均為直徑，我們用表示球面三角形的面積.設(shè)，，，則，同理，.所以，而，故，又，故.若P，Q在赤道上，因?yàn)闉闃O點(diǎn)且，故，故確定球面三角形的三個大圓所成的二面角均為，故球面面積為.若，則，同理.過作的垂線，垂足為，連接，則，因?yàn)椋?，故，而，故，故且故，而為三角形?nèi)角，故，故的大小為，故根據(jù)對稱性可知確定球面三角形的三個大圓所成的二面角均為，故球面三角形的面積為.故答案為：，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：球面三角形的計(jì)算問題，可根據(jù)球的對稱性合理轉(zhuǎn)化，另外注意與球面有關(guān)的計(jì)算的關(guān)系，注意利用空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的性質(zhì)定理將空間中的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化平面幾何的計(jì)算問題.11．（1）成績在的人數(shù)約為人，分以上的人數(shù)約為684人；（2）63分．【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)該劃線分為，再根據(jù)可得，進(jìn)而可知進(jìn)行求解即可【詳解】解：（1）正態(tài)分布，故均值為55，，又所以成績在的人數(shù)約為人由正態(tài)分布曲線的對稱性可得：，則所以估計(jì)分以上的人數(shù)約為人（2）設(shè)該劃線分為，由得，令由題意因?yàn)?，，所以所以，所?2．（1），；；（2）基本事件空間見解析，.【分析】（1）根據(jù)區(qū)間的樣本數(shù)為