方法技巧專(zhuān)題練1訓(xùn)練2三角形中的三種重要線(xiàn)段的應(yīng)用第十三章

三角形中的邊角

關(guān)系、證明與命題12345678109

類(lèi)型1在綜合圖形中找三角形的高1．如圖，已知AB⊥BD于點(diǎn)B，AC⊥CD于點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)E.△ADE的邊DE上的高為_(kāi)_______，邊AE上的高為_(kāi)_______．返回1應(yīng)用三角形的高的應(yīng)用ABDC

類(lèi)型2對(duì)三角形高的判斷2．如圖，△ABC三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，則△ABH的三條高分別是________，________，________，而這三條高所在直線(xiàn)相交于點(diǎn)____.返回AEBDHFC類(lèi)型3求與高相關(guān)的線(xiàn)段問(wèn)題3．如圖，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC邊上的高AD＝4.(1)求△ABC的面積及AC邊上的高BE的長(zhǎng)；

(2)求AD

：BE的值．(1)因?yàn)镾△ABC＝

BC?AD＝×4×4＝8，所以S△ABC＝

AC?BE＝×5×BE＝8，所以BE＝.(2)AD：BE＝4：＝解：返回4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G.試說(shuō)明：DE＋DF＝BG.類(lèi)型4說(shuō)明與高相關(guān)的線(xiàn)段問(wèn)題點(diǎn)撥5

連接AD，因?yàn)镾△ABC＝S△ABD＋S△ADC，

所以

AC·BG＝

AB·DE＋

AC·DF.

又因?yàn)锳B＝AC，

所以DE＋DF＝BG.解：返回“等面積法”是數(shù)學(xué)中很重要的方法，而在涉及垂直的線(xiàn)段的關(guān)系時(shí)，常將線(xiàn)段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系來(lái)解決.點(diǎn)撥：返回類(lèi)型1求與中線(xiàn)相關(guān)的線(xiàn)段問(wèn)題5．如圖，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線(xiàn)，AB＝

6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°，試求：2應(yīng)用三角形中線(xiàn)的應(yīng)用返回(1)AD的長(zhǎng)；(2)△ABE的面積；(3)△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差．解：(1)因?yàn)镾△ABC＝

AB·AC，S△ABC＝

BC·AD，

所以AB·AC＝BC·AD，即6×8＝10×AD，

所以AD＝4.8cm.(2)S△ABE＝

BE·AD＝×BC·AD＝××10×4.8＝12(cm2)．(3)由題易知CE＝BE，所以C△ACE－C△ABE＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8

－6＝2(cm)．返回類(lèi)型2求與中線(xiàn)相關(guān)的面積問(wèn)題6．(中考?廣東)如圖，△ABC的三邊的中線(xiàn)AD，BE，CF的公共點(diǎn)為G，且AG

：GD＝2：1，若S△ABC＝12，求圖中陰影部分的面積．返回因?yàn)锳G

：GD＝2：1，所以AG

：AD＝2：3，所以S△ABG＝S△ABD.又因?yàn)镾△ABD＝

S△ABC，所以S△ABG＝×S△ABC＝S△ABC，所以S△BGF＝S△ABG＝S△ABC＝×12＝2.同理可得S△CGE＝2，所以圖中陰影部分的面積為4.解：返回類(lèi)型1三角形角平分線(xiàn)定義的直接應(yīng)用7．(1)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)是邊BC上的三點(diǎn)，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE為角平分線(xiàn)的三角形有

________________；

3應(yīng)用三角形的角平分線(xiàn)的應(yīng)用△ABC和△ADF(2)如圖，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝

∠4＝15°，計(jì)算∠3的度數(shù)，并說(shuō)明AE是△DAF的角平分線(xiàn)．解：因?yàn)锳E平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因?yàn)椤?＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.

所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因?yàn)椤?＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3＝15°.所以AE是△DAF的角平分線(xiàn)．返回類(lèi)型２

三角形的角平分線(xiàn)與高線(xiàn)相結(jié)合求角的度數(shù)8．如圖，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交

BC于點(diǎn)E.

(1)∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大?。?/p>

(2)若∠B<∠C，則2∠EAD與∠C－∠B是否相等？若相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．返回(1)因?yàn)椤螧＝30°，∠C＝70°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.因?yàn)锳E是角平分線(xiàn)，所以∠EAC＝?∠BAC＝40°.因?yàn)锳D是高，∠C＝70°，所以∠DAC＝90°－∠C＝20°.所以∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝40°－20°＝20°.解：(2)相等．理由：由(1)知，

∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝

∠BAC－(90°－∠C)．①

把∠BAC＝180°－∠B－∠C代入①，

整理得∠EAD＝∠C－∠B，

所以2∠EAD＝

∠C－

∠B.返回類(lèi)型３

求三角形兩內(nèi)角平分線(xiàn)的交角度數(shù)9．如圖，在△ABC中，BE，CD分別為其角平分線(xiàn)且交于點(diǎn)O.

(1)當(dāng)∠A＝60°時(shí)，求∠BOC的度數(shù)；

(2)當(dāng)∠A＝100°時(shí)，求∠BOC的度數(shù)；

(3)當(dāng)∠A＝α?xí)r，求∠BOC的度數(shù)．(1)因?yàn)椤螦＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.

因?yàn)锽E，CD為△ABC的角平分線(xiàn)，

所以∠EBC＋∠DCB＝

∠ABC＋

∠ACB

＝

(∠ABC＋∠ACB)＝60°，

所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)

＝180°－60°＝120°.解：(2)因?yàn)椤螦＝100°，所以∠ABC＋∠ACB＝80°.因?yàn)锽E，CD為△ABC的角平分線(xiàn)，所以∠EBC＋∠DCB＝40°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.(3)因?yàn)椤螦＝α，

所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.

因?yàn)锽E，CD為△ABC的角平分線(xiàn)，

所以∠EBC＋∠DCB＝90°－α，

所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝

180°－＝90°＋α.返回類(lèi)型４

與平行線(xiàn)結(jié)合求相關(guān)線(xiàn)段位置與數(shù)量關(guān)系10．如圖，若AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥AB.

(1)若DF∥AC，EF交AD于點(diǎn)O.試問(wèn)：DO是否為△DEF的角平分線(xiàn)？并說(shuō)明理由；

(2)若DO是△DEF的角平分線(xiàn)，試探索DF與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(1)DO是△DEF的角平分線(xiàn)，理由如