目錄

王力平博士根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出以下參考方法，望廣大師生受益

前言...........................................2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法...................3

一、配方法...............................3

二、換元法...............................7

三、待定系數(shù)法...........................14

四、定義法...............................19

五、數(shù)學(xué)歸納法..........................23

六、參數(shù)法..............................28

七、反證法..............................32

八、消去法.............................

九、分析與綜合法.......................

十、特殊與一般法.......................

十一、類比與歸納法...................

十二、觀察與實(shí)驗(yàn)法...................

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想................35

一、數(shù)形結(jié)合思想........................35

二、分類討論思想........................41

三、函數(shù)與方程思想......................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想....................54

第三章高考熱點(diǎn)問題和解題策略................59

一、應(yīng)用問題............................59

二、探索性問題..........................65

三、選擇題解答策略......................71

四、填空題解答策略......................77

附錄.........................................

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析...................

二、兩套高考模擬試卷...................

三、參考答案……

32頁以后為公式大全

2

?，―?—

刖5

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一

個(gè)新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法

理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的

考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意

識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭

腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個(gè)方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等：

②數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和

演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想

等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可

以用文字和符號來記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思

想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、

處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，

數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作

性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常

在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得。

可以說，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是

提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)

基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與

綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函

數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)

策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再

現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對

方法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題

的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、兒何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

3

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、酉己方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知

和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添

項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知

中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲

線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a+b)2=a?+2ab+b2,將這個(gè)公

式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：

a2+b2=(a+b)2—2ab=(a—b)2+2ab；

b

a2+ab+b2=(a+b)2—ab=(a—b)2+3ab=(ad—)2+(----b)2；

22

a2+b2+c2+ab+bc+ca=-[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)2—2(ab—be—ca)=?,?

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

l+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)2；

x2H—=(xd—)2—2=(x-----)2+2；........等等。

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a“｝中，a]*a5+2a3*a5+a3-a7=25,則a3+a5=

2.方程x2+y2—4kx—2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.1<k<lB.k<+或k>lC.k￡RD.k=《或k=l

3.已知sin"a+cos4a=1,則sina+cosa的值為,

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log[(-2x?+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是o

2

A.(—O°,4]B.+O°)C.(一九曲D.

5.已知方程x2+(a-2)x+aT=0的兩根xj、X2,則點(diǎn)P(x]，x2)在圓x之+y2=4上，則實(shí)

數(shù)a=o

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a“Ea,,”=a,,J,將已知等式左邊后配方(a3+

a5)2易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x-a)2+(y-b)2=r2,解r2>0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2a+cos2a)2—2sin2acos2a=1,求出sinacosa,

然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3-JTL

II、示范性題組：

4

例1.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個(gè)長方體的一條對角

線長為_____。

A.26B.V14C.5D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則

，而欲求對角線長+3,將其配湊成兩已知式的組合形式

可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的長度

+yz+xz)

之和為24”而得,：《f2“(xy、?=11o

[4(x+y+z)=24

長方體所求對角線長為：yjx2+y2+z2=J(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=V62-11

=5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三

個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。

這也是我們使用配方法的一種解題模式。

例2.設(shè)方程x2+kx+2=0的兩實(shí)根為p、q,若(“)2+(幺)2W7成立，求實(shí)數(shù)k的取

qp

值范圍。

【解】方程x2+kx+2=0的兩實(shí)根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=2,

(P、2q、2/+/(p2+q2)2-2p2q2[(p+q)2-2pqY-2p2q2

qp(pqY(pg)2(pg)?

(k2_4y_8——

------一——<7,解得k<一可或o

4

又,；P、q為方程x2+kx+2=0的兩實(shí)根，/.A=k2—820即或kW—2V2

綜合起來，k的取值范圍是：一Ji6wkW—20或者2j^WkwJi。。

【注】關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“△”；已知方程有兩根

時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)

特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對討論，結(jié)果將

出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這

一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。

ah

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0,求(--),998+(一7尸998。

a+ba+b

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為(f)2+(f)+1=0,則￡=3(3為1的立方

bbb

虛根)；或配方為(a+b)2=abo則代入所求式即得。

【解】由a2+ab+b2=0變形得:(f)2+(f)+i=o,

bb

5

ar1bl—2

設(shè)3=7，則3~+3+l=0,口J知3為1的立方虛根，所以：一=一,3~=切'=1。

bcoa

又由a?+ab+bJ（）變形得：（a+b）2=ab,

所以（一^）1998+（_^）1998=（土）999+（￡）999=（q）999+（2）999=3999+

a+b6ababba

~co999=2o

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計(jì)算

表達(dá)式中的高次基。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

11IIQ?

【另解】由a?+ab+b2=0變形得：（￡）2+（/）+1=0,解出色二二二」后,化

bba2

ab

成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式（;）999+（一）"9后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于

ba

-1±V3Z

只是未一=|—聯(lián)想到3時(shí)進(jìn)行解題。

-1±V3z

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時(shí).，還可由a2+ab+b2=0解出：a=——b,

直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的

計(jì)算。

HI、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=（x—a）2+（x—b）2（a、b為常數(shù)）的最小值為。

A.8B.他一方）2C.片+〃D.最小值不存在

22

2.a、B是方程x2—2ax+a+6=0的兩實(shí)根，則+（BT）?的最小值是

A.一華B.8C.18D.不存在

3.已知x、yWR.,且滿足x+3y—1=0,則函數(shù)t=2'+8,有。

A.最大值2血B.最大值也C.最小值2后B.最小值也

22

4.橢圓x2—2ax+3y2+a2—6=0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x+y+4=0上，則a=。

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡：2Vl-sin8+J2+2cos8的結(jié)果是。

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.設(shè)％和F2為雙曲線片一y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足NF|PF2=90°,

4

則△%PF2的面積是。

7.若x>-l,則f(x)=x2+2x+_L的最小值為。

X+]

8.已知生<3<a<2Ji,cos(a-P)=,sin(a+P),求sin2a的值。(92

24135

年高考題)

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+C,給^m>n(m<n),且滿足A2[(m+n)2+m2n2]+2A[B設(shè)二)

—Cmn]+B2+C2=0。

6

①解不等式f(x)〉O；

②是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使當(dāng)te(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0?若不存在，說出理由；若存

在，指出t的取值范圍。

4422

10.設(shè)s>l,t>l,mGR,x=log.,t+log,s,y=logvt+log,s+m(logst+log,s),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。

二、換元法

7

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這

叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研

究對象，將問題移至新對象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡

單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，

隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和

推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方

程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或

者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過

變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4*+2,—220,先變形為設(shè)2*=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ?/p>

一元二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知

識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y=6+J匚[的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)XGEO.I],設(shè)X=

sin2a,ae[0,問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主

要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x2+y2=C(r>0)

時(shí)，則可作三角代換x=rcos。、y=rsin?；癁槿菃栴}。

Ss

均值換元，如遇到*+丫=5形式時(shí)，設(shè)x=g+t,y=]—t等等。

我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍

的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中

71

的t>0和aG[0,—]o

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x2+l)=logq(4-x")(a>l),則f(x)的值域是o

3.已知數(shù)列｛a“｝中，aj=—1,a〃+1?=a〃+]—，則數(shù)列通項(xiàng)a〃=。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足X?+2xy—1=0,則x+y的取值范圍是。

1+3、

5.方程=3的解是_______________o

1+3

x+,

6.不等式log2(2、-1)-log2(2-2)〈2的解集是o

產(chǎn)1

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=t￡、歷],則丫=萬+1-5，對稱軸t=-1,

當(dāng)t=0，ym,x=g+&；

2小題:設(shè)X:+l=t則f(t)=loga[-(t-D?+4],所以值域?yàn)?一8,log/]；

8

3小題：已知變形為」-----L=-1,設(shè)b則b]=—1,b=-1+(n—1)(T)

aa

n+in%

=-n,所以a=---；

nn

4小題：設(shè)x+y=k,則x2—2kx+l=0,△=4k?—420,所以k21或kW—1；

、91

5小題：設(shè)3"=y,則3y~+2y—1=0,解得y=§,所以x=—1；

6小題：設(shè)log2(2"—1)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y〈l,所以(log21,log??)。

II、示范性題組：

例L實(shí)數(shù)x、y滿足4x?—5xy+4y2=5(①式),設(shè)S=x?+y2,求----F——

“max口min

的值。(93年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想到cos2a+sin2a=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)

x-4scosa

r-,代入①式求S__和S僦的值。

y=7Ssina

x=cosa

【解】設(shè)代入①式得：4S—5S?sinacosa=5

y=4ssina

10

解得s=

8-5sin2a

101010

T〈sin2Q〈l:.3W8-5sin2a<13—w---------w—

138-5sina3

11313168

+=---1---=

Smin

max1010To5

8s—10

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由Sin2a—的有界性而求，即解不等

8s—10

式：I—「IW1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”。

【另解】由S=x?+y2,設(shè)x2=]+t,y2=——t,tG,y],

則xy=±Nz----r代入①式得：4S±5^—---r=5,

移項(xiàng)平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

39s2—160S+100W0解“,得：一10WSW一10

133

9

?__1_?__1_=_3_?_13_=_16=_8

.?S3Smin1010105

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x?+y2與三角公

式cos2a+sin2a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問

題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x?+y2而按照均值換元的思路，設(shè)

x2=￡+t、y2=￡-t,減少了元的個(gè)數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種

22

方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量X、y時(shí)，可以設(shè)x

=a+b,y=a—b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y

=a-b,代入①式整理得3a2+13b2=5,a2G[0,1],WS=(a-b)2+(a+b)2=

10202100再求^一十1」一的值。

2(a2+b2)——F——a2r

1313umaxumin

11V2

例2.AABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,------1------=-------,求

cosAcosCcosB

A-C

cos-的值。(96年全國理)

2

【分析】由已知"A+C=2B"和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得

A+C=120°A=60°+a

；由“A+C=120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè)《,再代入可求

8=60°C=60°一a

A-C

cosa即cos---

2

A+C=120°

【解】由△ABC中已知A+C=2B,可得＜

6=60°

A=60°+a

由A+C=120°,設(shè)＜,代入已知等式得:

C=60°一a

1111]______

-------+++

cosAcosCcos(60°+a)cos(60°-a)1V3.

-cosa-八sma

22

1cosaCOSar-

—=-----T=-2V2,

I323

1V3.Cs2(ZS，n2

-cosa+—sina4°-4acosa--

224

V2A-CV2

解得:COSa=——,即：COS------

2~T

10

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以-----+-----=--------

cosAcosCcosB

——2,設(shè)------——+m,----------V2-m,

cosAcosC

所以cosA=----j=----,cosC=---『----,兩式分別相加、相減得:

72+m72—m

A+CA-CA-C2V2

cosA+cosC=2cos-----cos------=cos------=―;----,

222m2-2

A+CA-CA-C2m

cosA—cosC=—2sinsin=~V3sin

222m1-2

A-C2m2V2A-CA-C

即：sin，代入sin2+cos2=1整理

2V3(w2-2)'團(tuán)2—222

A-C2V2V2

得：3m4—16m—12=0,解出m2=6,代入cos

2m2-22

【注】本題兩種解法由“A+C=120°”、—^=—2啦”分別進(jìn)行均值

cosAcosC

換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由己知想到均值換元外，還要求對

三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由A+C=

11行L

2B,得A+C=120°,B=60°。所以-----+------=--------=-2J2,B|JcosA+cosC

cosAcosCcosB

=-2V2cosAcosC,和積互化得:

4+CA-CA-CV2r-

2cos-----cos-=-----V2[cos(A+C)+cos(A-C),即cos-----=------J2cos(A-C)

2222

V21-?A—C1—?A-CA-CI—

=--------A/2(2COS-----------1),整理得：4v2cos*■-------F2cos--------3。2=0,

2222

“,A-CV2

解得：COS---=--

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a之的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=t，則[-V2,V2],由(sinx+cosx)2

,曰LTI

=l+2sinx?cosx得：sinx?cosx=-----，八，

2-72<\/2

f(x)=g(t)=——(t—2a)2+—(a>0),tG[-^2,V2]-j

時(shí)，取最小值：-2a?—2j^a一二

2

當(dāng)2a2J^B■寸，t=V2,取最大值：-2a之+2a—2；

11

當(dāng)O<2aW0時(shí)，t=2a,取最大值：-。

2

1V2

-(0<a<-)

f(x)的最小值為一2a?—2&a—萬，最大值為，

,r1叵。

—2a+2-\l2a——(a>

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的

內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。

換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(tc[-V2,V2])與sinx+cosx對應(yīng)，否則將會(huì)出

錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置

關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值

和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)

化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

例4.設(shè)對所于有實(shí)數(shù)x,不等式x2log24(色+。)+2xlog22",+log2

aa+14a-

恒成立，求a的取值范圍。(87年全國理)

【分析】不等式中式g,4("+1)、log2-^->log,三項(xiàng)有何聯(lián)系?進(jìn)行對數(shù)

式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。

.,2a,4(a+1)8(a+1)a+1

[解】設(shè)log---T=t，貝Ulog-------=log2-----3+log——=3一

2a+\2a2a2~2a

2a(a+1)~a+1

log,7=3-t,log,■~5=21og~一2t,

tz+14a~22a

代入后原不等式簡化為(3-t)x2+2tx-2t>0,它對一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以:

-3-r>0fz<32a

：.t<0即log,----<0

△=4b+8f(3—f)<0[f<0或/>6'a+\

2a“,

0<----<1,解得0<a<l。

61+1

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)

4(fl+1)

元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og2、log24、10g2四?三項(xiàng)之間的聯(lián)系。

aa+lz4a2

在解決不等式恒成立問題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運(yùn)算十分熟練。

一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對所給的

已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。

0cos20sin20

.tjsin0cos10-X

例5.已知-----，且，I0(②式)，求一的值。

3(/+y2)

xy%yy

12

一、sin0cos0

【解】設(shè)------=-------=k,貝ljsin0=kx,cos。=ky,且sin20+cos28=

xy

2

yX

k2(x2+y2)=l,代入②式得:即:7

x2y23(x2+y2)3xy

10

設(shè)27=t,則t+1=3,解得：t=3或=.?.±=±6或土￡

yf33y3

xsin0_cos20

【另解】由一=-----=tg0,將等式②兩邊同時(shí)除以——2—，再表示成含tg。的

ycosox

式子：l+tg40=(l+fg2j)x----—=—tg20,設(shè)tg20=t,則3t2—10t+3=0,

3(1+:)3

tg0

；?t=3或g,

解得一=±或土~T~o

y3

sin0cos0

【注】第一種解法由2-----=-------而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。

%y

xsin9

第二種解法將已知變形為一=——不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tgo,再進(jìn)行換元和變形。兩

ycosu

種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

例6.實(shí)數(shù)x、y滿足=1，若x+y—k>0恒成立，求k的范圍。

"9J'16

22

【分析】由己知條件(xc-1)+(y[+/1)=1，可以發(fā)現(xiàn)它與a?、+b2、=l有相似之處，于

916

是實(shí)施三角換元。

—

【解】由^(x—-1-)~--1--(-y—+—l)~=1,設(shè)一x^=1cos。，—y—+1=sin0,

91634

x=1+3cos9

即：代入不等式x+y-k>0得：

y=-l+4sin9

3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos9+4sin9=5sin(。+W)

所以k<-5時(shí)不等式恒成立。

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等式恒

成立的問題，再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般

地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有

關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。

13

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax+by

+00(a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€ax+by+c=O所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。

此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點(diǎn)始終

位于平面上x+y-k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x+y-k=O

在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，

22

方程組〈fl6(x-l)+八9(,y+l)=144有相等的一組實(shí)

x+y—&=0

數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以k〈-3時(shí)原不

等式恒成立。

m>鞏固性題組:

1.已知f(xD=lgx(x>0),則f(4)的值為。

A.21g2B.Ilg2C.21g2D.件

33

2.函數(shù)y=(x+l)'+2的單調(diào)增區(qū)間是

A.[一2,+8)B.[-1,+8)D.(-8,+8)C.(-CO,-1]

3.設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差d=l,且S=145,則a,+a+a+

l0035+a99的值為

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x?+4y2=4x,則x+y的范圍是_______________。