第4章連續(xù)系統(tǒng)的頻域、復(fù)頻域分析第4章連續(xù)系統(tǒng)的頻域、復(fù)頻域分析對(duì)于連續(xù)信號(hào)、系統(tǒng)，利用系統(tǒng)頻域函數(shù)分析系統(tǒng)的方法，稱為頻域分析法或傅立葉變換法。用拉普拉斯變換進(jìn)行分析，是信號(hào)、系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，具有方便、快捷等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于一些特殊信號(hào)，無(wú)法使用傅立葉變換，而只能使用拉普拉斯變換才能完成分析。4.1連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析法LTI系統(tǒng)的頻域分析的內(nèi)容主要包括求出表征系統(tǒng)頻率特性的頻率響應(yīng)特征量和在頻域求解信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的輸出。利用系統(tǒng)頻域函數(shù)分析系統(tǒng)的方法，稱為頻域分析法或傅立葉變換法。4.1.1信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)

系統(tǒng)可以看作是一個(gè)信號(hào)處理器，當(dāng)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生兩種結(jié)果：輸出信號(hào)失真和不失真。系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用可分為兩類：一類是信號(hào)的傳輸；另一類是波形變換。

因此對(duì)系統(tǒng)的不同用途有不同的要求：信號(hào)的傳輸要求無(wú)失真?zhèn)鬏敚欢ㄐ巫儞Q（如濾波）則利用失真實(shí)現(xiàn)。4.1.1信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)1.基本信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)對(duì)周期信號(hào)：

，其基本信號(hào)為對(duì)非周期信號(hào)：

，，其基本信號(hào)為

傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。

在頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)椋èC∞，∞），而t=-∞時(shí)總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為。4.1.1信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)1.基本信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω基本信號(hào)時(shí)，其響是信號(hào)

與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積：（4.1.1）而上式積分正是的傅里變換，記為常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。即：（4.1.2）反映了響應(yīng)

的幅度和相位，代表了系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理結(jié)果。4.1.1信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)2.一般信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

同樣，一般信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)輸出的響應(yīng)在時(shí)域是該信號(hào)與系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)的卷積，在LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析中信號(hào)與系統(tǒng)的關(guān)系如圖4-1-1所示。圖4-1-1LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法2.一般信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

對(duì)于輸入信號(hào)

，系統(tǒng)的零狀態(tài)相應(yīng)等于輸入信號(hào)時(shí)域與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積積分，即（3.6.22）式表示的：如果和的傅里葉變換均存在，則由傅里葉變換的時(shí)域卷積定理可得：（4.1.3）其中稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻率響應(yīng)。

對(duì)于周期信號(hào)和非周期信號(hào)，頻域分析系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)都是適用的，時(shí)域分析和頻域分析之間的關(guān)系如圖4-1-2所示。4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法2.一般信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)因此，頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換與激勵(lì)的傅里葉變換之比，即：頻率響應(yīng)是一個(gè)復(fù)函數(shù)，極坐標(biāo)形式為：||是w的偶函數(shù)，θ(w)是w的奇函數(shù)。（4.1.4）其模||稱為幅度響應(yīng)、幅頻響應(yīng)（或幅頻特性）；其相角稱為相位響應(yīng)、相頻響應(yīng)（或相頻特性）。它反映了輸入序列的頻譜經(jīng)系統(tǒng)后所發(fā)生的變化規(guī)律。4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法例4-1-1描述某LTI系統(tǒng)的方程為(1)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；(2)當(dāng)輸入信號(hào)

時(shí)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：(1)在零狀態(tài)條件下，對(duì)方程兩端取傅立葉變換，得整理，得：

由上式得：兩邊取傅立葉逆變換，得：4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法(2)輸入信號(hào)

的傅立葉變換為：故將進(jìn)行傅里葉逆變換，求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法1.周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

根據(jù)疊加定理，周期性激勵(lì)信號(hào)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)，等于各諧波分量單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和。而各諧波分量單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)可由正弦穩(wěn)態(tài)電路向量法求解。角頻率為

的激勵(lì)向量用和表示，系統(tǒng)響應(yīng)向量用表示，這種情況的系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)又可用響應(yīng)向量與激勵(lì)向量之比來(lái)定義，（4.1.4）式可表示為：（4.1.5）例4-1-2求周期性激勵(lì)信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

如圖4-1-3(a)所示方波電壓信號(hào)作用于(b)所示的RL電路，R=10W，L=10mH，試求電阻R上的穩(wěn)態(tài)電壓

。4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法解：首先將方波電壓源展開為傅里葉級(jí)數(shù)

可見(jiàn)激勵(lì)源諧波的頻率越高，激勵(lì)源諧波的振幅越小，5次諧波振幅只有基波的5%。因此，忽略其他更高次諧波對(duì)

的結(jié)果影響不大。(1)5V直流電壓源作用時(shí)，由于

，在直流穩(wěn)態(tài)條件下，電感相當(dāng)于短路，所以(2)基波電壓

作用時(shí)，為基波角頻率。由圖4-1-3(b)所示電路可得電路的系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)為電壓源的各次諧波分量分別為：......4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)在各諧波頻率上的值分別為電阻電壓

各次諧波代表向量分別為4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法相應(yīng)的可以寫出電阻電壓中各次諧波對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)分別為：最后可以利用疊加定理得到電阻上的電壓表達(dá)式4.1.2頻率響應(yīng)H(jw)與頻域分析法2.非周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

例4-1-3已知某連續(xù)系統(tǒng)的

，求輸入的零狀態(tài)響應(yīng)。解：輸入信號(hào)

的傅里葉變換為：再求得

的傅里葉變換為：然后求得零狀態(tài)響應(yīng)

的傅里葉變換：對(duì)進(jìn)行傅里葉反變換得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：4.1.3無(wú)失真?zhèn)鬏敃r(shí)域無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件：無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵妇€性系統(tǒng)輸出響應(yīng)的波形與輸入激勵(lì)的波形完全相同，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后可以不同，而沒(méi)有波形上的變化，如圖所示。用公式表示為：

（4.1.6）圖4-1-4時(shí)域無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

頻域無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件：對(duì)上述公式取傅里葉變換，并利用時(shí)移特性，可得其頻譜關(guān)系為：4.1.3無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)的要求是：要求幅度是與頻率無(wú)關(guān)的常數(shù)K，系統(tǒng)的通頻帶為無(wú)限寬。相位特性與

成正比，是一條過(guò)原點(diǎn)的負(fù)斜率直線。如圖4-1-5所示。不失真的線性系統(tǒng)其沖激響應(yīng)也是沖激函數(shù)。即，對(duì)的要求：圖4-1-5頻域無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)時(shí)，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。4.1.3無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

失真是指輸出波形相對(duì)輸入波形的樣子已經(jīng)發(fā)生畸變，改變了原有波形的形狀。通常失真又分為兩大類：一類是線性失真，另一類為非線性失真。

線性系統(tǒng)引起的信號(hào)失真由兩方面的因素造成：幅度失真：各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；相位失真：各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時(shí)間軸上的相對(duì)位置產(chǎn)生變化，但不產(chǎn)生新的頻率成分。而非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的非線性失真是指信號(hào)產(chǎn)生了新的頻率成分。4.1.4理想低通濾波器濾波器是指一個(gè)系統(tǒng)對(duì)于不同頻率成分的正弦信號(hào)進(jìn)行選擇，有的頻率分量可以通過(guò)，有的頻率分量予以抑制。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)

無(wú)失真?zhèn)鬏斠髠鬏斝盘?hào)時(shí)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。理想濾波器是指讓允許通過(guò)的頻率成分順利通過(guò)，而不允許通過(guò)的成分則完全被抑制掉。具有如圖4-1-6所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器，

稱為截止角頻率，即在全部頻帶范圍內(nèi)，幅頻特性應(yīng)為一常數(shù)，相頻特性應(yīng)為一過(guò)原點(diǎn)的直線，斜率為。圖4-1-6理想低通濾波器4.1.4理想低通濾波器該濾波器對(duì)低于的頻率成分無(wú)失真地傳輸，而高于的頻率成分完全抑制。使信號(hào)通過(guò)的頻率范圍[-]之內(nèi)部分稱為通帶，阻止信號(hào)通過(guò)的頻率范圍（-)之外部分叫阻帶。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：（4.1.8）它可以看作是寬度為2的門函數(shù):（4.1.9）2.理想低通濾波器的沖激響應(yīng)：

由于沖激響應(yīng)

是頻域響應(yīng)函數(shù)的傅里葉逆變換，因而可得理想濾波器的沖激響應(yīng)為：根據(jù)傅立葉變換得：（4.1.10）4.1.4理想低通濾波器2.理想低通濾波器的沖激響應(yīng)：圖4-1-7理想低通濾波器的沖激響應(yīng)

理想低通濾波器的沖激響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)波形的對(duì)照，波形的峰值比輸入延遲了

，同時(shí)可看出沖激響應(yīng)在之前就出現(xiàn)了，這在物理上是不滿足因果關(guān)系的，因?yàn)檩斎胄盘?hào)是在時(shí)刻才加入的，因而理想濾波器實(shí)際上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。4.1.4理想低通濾波器3.理想濾波器的沖激響應(yīng)從時(shí)域卷積分析方法可以推導(dǎo)出理想濾波器的階躍響應(yīng)：（4.1.11）經(jīng)推導(dǎo)，可得（4.1.12）其中，稱為正弦積分如圖4-1-8所示。4.1.4理想低通濾波器3.理想濾波器的沖激響應(yīng)圖4-1-8函數(shù)特點(diǎn)4.1.4理想低通濾波器4.物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件LTI系統(tǒng)是否為物理可實(shí)現(xiàn)，時(shí)域與頻域都有判斷準(zhǔn)則。就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在

時(shí)必須為0，即也就是說(shuō)響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。就頻域特性而言，若系統(tǒng)的幅頻特性

滿足平方可積，即（4.1.16）且滿足（4.1.17）上述兩個(gè)條件稱為“佩利(Paley)—維納(Wiener)”準(zhǔn)則。4.1.5連續(xù)系統(tǒng)頻域分析的方法連續(xù)系統(tǒng)頻域分析，求出頻率響應(yīng)函數(shù)即可得到系統(tǒng)的響應(yīng)。頻率響應(yīng)一般有以下的求法：1.直接對(duì)沖激響應(yīng)進(jìn)行傅立葉變換，H(jw)=F[h(t)]。2.從輸入激勵(lì)、輸出響應(yīng)求出轉(zhuǎn)移函數(shù)，H(jw)=Y(jw)/F(jw)：由微分方程求響應(yīng)，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。也可以由電路直接求出響應(yīng)。例4-1-4由微分方程求頻率響應(yīng)某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=f(t)，求時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換，得：j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)則由于←→，故有取傅立葉逆變換得：4.1.5連續(xù)系統(tǒng)頻域分析的方法例4-1-5由電路直接求出低通濾波電路的H(jw)、系統(tǒng)響應(yīng)幅和頻特性。如圖4-1-10所示，由一個(gè)電阻和一個(gè)電容組成的一個(gè)最簡(jiǎn)單、最基本的RC低通濾波電路，R=1MΩ，C=1uF，若激勵(lì)電壓為單位階躍函數(shù)ε(t)，以Uc(t)為輸出，求其響應(yīng)y(t)。解：系統(tǒng)輸入電壓

是交流激勵(lì)信號(hào)，信號(hào)從電容兩端輸出，所以輸出電壓，畫出電路時(shí)域模型如圖4-1-11所示，電路頻域模型如圖4-1-12所示。圖4-1-12圖4-1-11（1）輸出電壓

，即為阻抗與容抗的分壓，則該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(jw)為：圖4-1-10（4.1.18）4.1.5連續(xù)系統(tǒng)頻域分析的方法（2）由于，則輸出響應(yīng)的頻譜函數(shù)為：由于

的取樣性質(zhì)，并把第2項(xiàng)展開，得則（3）輸出電壓V0與輸入電壓Vi的電壓比（即幅度增益gam）為：4.1.5連續(xù)系統(tǒng)頻域分析的方法由于系統(tǒng)輸入電壓就是交流激勵(lì)信號(hào)，輸出電壓，根據(jù)（4.1.18）式，有

電阻R=1MΩ，電容C=1μF，RC=1。畫出這個(gè)濾波器振幅與頻率的關(guān)系圖。

解：振幅使用semilogy命令繪制對(duì)數(shù)標(biāo)度頻率響應(yīng)。相位的取值范圍小，可以使用線性標(biāo)度，用semilogx來(lái)畫相位響應(yīng)圖。

程序代碼如下：R=1000000;C=1.0E-6;%10kohms,1uFf=1:100;w=2*pi*f;res=1./(1+j*w*R*C);gam=abs(res);phase=angle(res);subplot(2,1,1);semilogy(f,gam);title('幅度響應(yīng)');xlabel('(Hz)');ylabel('AmplitudeRatio');gridon;subplot(2,1,2);semilogx(f,phase);title('相位特性');xlabel('(Hz)');ylabel('Phase(rad)');gridon;4.1.5連續(xù)系統(tǒng)頻域分析的方法

得到的結(jié)果如圖4-1-12所示，可見(jiàn)在低頻部分增益較大，高頻部分電壓衰減的多。圖4-1-12低通濾波電路的頻率響應(yīng)4.2拉普拉斯變換4.2.1拉普拉斯變換的產(chǎn)生和發(fā)展

傅里葉變換分析法在信號(hào)分析和處理等方面是十分方便和有效的，如分析諧波成分、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、波形失真、采樣、濾波等，傅立葉變換是一種非常重要的變換方法。在應(yīng)用這一方法時(shí)，信號(hào)

必須滿足狄里赫利條件。但在工程實(shí)際中存在一定的局限性。

十九世紀(jì)末，英國(guó)工程師亥維賽德(O.Heaviside,1850~1925)發(fā)明了算子法，很好地解決了電力工程計(jì)算中遇到的一些基本問(wèn)題，但缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證。后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace，1749~1825)在著作中對(duì)這種方法給予嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義。于是這種方法便被取名為拉普拉斯變換（LT：LaplaceTransform），簡(jiǎn)稱拉氏變換“LT”。4.2.2拉普拉斯變換的定義1.拉普拉斯變換的定義

我們將傅里葉變換推廣為拉普拉斯變換，引入拉普拉斯變換的概念。根據(jù)傅里葉變換的定義可知：（4.2.1）如果給信號(hào)乘以實(shí)指數(shù)函數(shù)（即衰減因子），再對(duì)其取傅里葉變換。（4.2.2）根據(jù)式（4.2.1），則有

（4.2.3）4.2.2拉普拉斯變換的定義式（4.2.3）與式（4.2.2）構(gòu)成了一組新的變換對(duì)，稱為雙邊拉普拉斯（Laplace）變換。

在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析中，往往分析開關(guān)動(dòng)作后系統(tǒng)的響應(yīng)，不失一般性，設(shè)開關(guān)在t=0時(shí)刻的動(dòng)作，由此得出單邊拉普拉斯變換對(duì)定義為：（4.2.4）4.2.2拉普拉斯變換的定義2.拉普拉斯變換的特點(diǎn)

單邊拉普拉斯變換與雙邊拉普拉斯變換的收斂域不同，雙邊拉氏變換要和收斂域一起，才能和原函數(shù)一一對(duì)應(yīng)。如果不特別強(qiáng)調(diào)，則討論的都是單邊拉氏變換。單邊拉氏變換下限為0-，這樣考慮到0時(shí)刻可能發(fā)生沖激。對(duì)因果信號(hào)，單邊拉普拉斯變換與雙邊拉普拉斯變換相同。3．收斂域的特點(diǎn)

雙邊拉普拉斯變換只有在式（4.2.2）存在時(shí)才成立，使該式存在的所有s值的集合稱為拉普拉斯變換

的收斂域（regionofconverge，簡(jiǎn)記為ROC）。例4-2-1求雙邊拉普拉斯變換。（1）因果信號(hào)：（2）反因果信號(hào)：（3）求雙邊信號(hào)

的雙邊拉普拉斯變換。4.2.2拉普拉斯變換的定義解：（1）將代入到式（4.2.2）式，有

對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)

時(shí)，其雙邊拉普拉斯變換存在，其收斂域如圖4-2-1(a)所示。(a)4.2.2拉普拉斯變換的定義解：（2）將

代入到式（4.2.2）式，有

對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)

時(shí)，其雙邊拉普拉斯變換存在，其收斂域如圖4-2-1(b)所示。

(b)4.2.2拉普拉斯變換的定義解：

（3）X3(s)的雙邊拉普拉斯變換為X1(s)+X2(s)，則當(dāng)

時(shí)，其收斂域?yàn)榈囊粋€(gè)帶狀區(qū)域，如圖4-2-1(c)所示。當(dāng)時(shí)，X1(s)和X2(s)沒(méi)有共同的收斂域，因而X3(s)不存在。(c)收斂域的特點(diǎn)如下：（1）收斂域?yàn)闂l狀，平行于軸；（2）收斂域不包含拉氏變換有理式的極點(diǎn)；（3）為有限區(qū)間的函數(shù)，而且Ｓ平面中至少有一點(diǎn)使拉氏變換收斂，則收斂域?yàn)槿矫?；?）為右邊函數(shù)收斂域在的右邊；（5）為左邊函數(shù)收斂域在的左邊；（6）為雙邊信號(hào)收斂域?yàn)闂l狀。4.2.3單邊拉普拉斯變換(4.2.5)(4.2.5)式即為單邊拉普拉斯變換的定義式，其中

稱為的單邊拉普拉斯變換(或象函數(shù))，稱為的單邊拉普拉斯逆變換(或原函數(shù))。單邊拉普拉斯變換的逆變換為

(4.2.6)4.2.4常見(jiàn)信號(hào)的拉普拉斯變換1.單位階躍信號(hào)已知信號(hào)

，根據(jù)拉普拉斯變換的定義：當(dāng)s的實(shí)部

時(shí)，，故：2.沖激函數(shù)例4-2-2

沖激函數(shù)的拉普拉斯變換求

的拉普拉斯變換。解：>>symst;>>x=dirac(t);>>Xs=laplace(x)結(jié)果為：Xs=14.2.4常見(jiàn)信號(hào)的拉普拉斯變換3.指數(shù)函數(shù)例4-2-3

指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換求

的拉普拉斯變換，其中a為任一實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。解：>>symsta;>>x=exp(-a*t);>>Xs=laplace(x)結(jié)果為：Xs=1/(a+s)，即：（4.2.11）4.斜坡函數(shù)即（4.2.13）4.2.4常見(jiàn)信號(hào)的拉普拉斯變換5.正弦信號(hào)、余弦信號(hào)>>symstw;>>x=sin(w.*t);>>X=laplace(x)X=w/(s^2+w^2)

正弦信號(hào)（4.2.14）余弦信號(hào)>>symstw;>>x=cos(w.*t);>>X=laplace(x)X=s/(s^2+w^2)（4.2.15）4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3.1線性設(shè)

和的拉普拉斯變換分別為和，即則有：（4.3.1）a1和a2是任意常數(shù)，與傅里葉變換的線性性質(zhì)一樣，拉普拉斯變換也包含齊次性與可加性。證明：4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3.1線性例4-3-1線性性質(zhì)應(yīng)用應(yīng)用線性性質(zhì)求

的拉普拉斯變換。解

：由于

，根據(jù)歐拉公式，利用線性性質(zhì)，得正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為：（4.3.2）4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3.1線性例4-3-2已知信號(hào)，求其象函數(shù)。解：因?yàn)?/p>

，根據(jù)拉普拉斯變換的線性性質(zhì)可得（4.3.3）4.3.2微分特性1.時(shí)域微分：時(shí)域微分性質(zhì)：若則

（4.3.4）例4-3-3

微分性質(zhì)應(yīng)用應(yīng)用微分性質(zhì)求

的拉普拉斯變換。解

：由于

，則（4.3.8）4.3.2微分特性2.s域微分：若

，則（4.3.10）重復(fù)運(yùn)用上述結(jié)果，還可得（4.3.11）例4-3-5求函數(shù)

的象函數(shù)。解：因?yàn)閯t利用復(fù)頻域微分性質(zhì)得（4.3.12）4.3.3積分特性1.時(shí)域積分若

，則（4.3.13）若

為因果信號(hào)，則g(0-)=0，積分的拉普拉斯變換為（4.3.14）可推廣至多重積分：（4.3.15）4.3.3積分特性2.復(fù)頻域積分若

，則（4.3.18）例4-3-7求函數(shù)

的象函數(shù)。解：由于

，利用s域積分性質(zhì)得（4.3.19）4.3.4移位特性1.時(shí)域移位（時(shí)移特性）若

，則（4.3.21）例4-3-9設(shè)，求，和的拉普拉斯變換。解：由常用拉普拉斯變換對(duì)可知：，，根據(jù)延時(shí)性質(zhì)可得：（4.3.22）（4.3.23）（4.3.24）4.3.4移位特性2.s域移位（頻移特性）（4.3.26）該性質(zhì)說(shuō)明，

乘以的拉普拉斯變換，相當(dāng)于把的變換的s置換為s+a。例4-3-11移位性質(zhì)應(yīng)用

求

的拉普拉斯變換。解：

根據(jù)s域移位性質(zhì)和正弦函數(shù)的拉普拉斯變換有：（4.3.27）4.3.5初值定理和終值定理

初值定理和終值定理常用于由X(s)直接求

和，而不必求出原函數(shù)1.初值定理

設(shè)函數(shù)

不含d(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，即X(s)為真分式，若X(s)為假分式化為真分式。則（4.3.29）2.終值定理若

當(dāng)t→∞時(shí)存在，并且，Re[s]>s0，s0<0，則（4.3.30）4.3.6卷積定理1.時(shí)域卷積定理若

和的拉普拉斯變換分別為和，即則有：（4.3.31）

該性質(zhì)表明，兩時(shí)域信號(hào)的卷積對(duì)應(yīng)的拉普拉斯變換是兩信號(hào)拉普拉斯變換的乘積。2.復(fù)頻域卷積定理若

，則（4.3.32）4.3.7尺度變換性質(zhì)若

，即（4.3.33）其中a為正實(shí)常數(shù)。

例4-3-16已知因果信號(hào)

的象函數(shù)為

，求的象函數(shù)。解：因?yàn)?/p>

，且由尺度變換性質(zhì)，得由時(shí)移性質(zhì)，得再由復(fù)頻移特性，可得（4.3.34）4.4拉普拉斯反變換應(yīng)用拉普拉斯變換法求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，根據(jù)已知的激勵(lì)信號(hào)求其像函數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中還需要把處理后的像函數(shù)再變換為時(shí)間信號(hào)函數(shù)，這就是拉普拉斯反變換。根據(jù)（4.2.4）式的定義有：常用的拉普拉斯反變換方法有如下幾種：1.傳統(tǒng)方法（1）查表法。（2）利用拉氏變換的基本性質(zhì)。（3）部分分式法。（4）留數(shù)法：圍線積分法。2.數(shù)值計(jì)算方法4.4.1查表法例4-4-1求時(shí)間信號(hào)函數(shù)

已知像函數(shù)，求時(shí)間信號(hào)函數(shù)。解：已知：查表得：根據(jù)拉普拉斯變換的時(shí)移特性

，有MATLAB程序?yàn)椋?gt;>symsstXx;>>X=1/s^2+2*exp(-s)/s^2+exp(-2*s)/s^2;>>x=ilaplace(X)x=t+2*heaviside(t-1)*(t-1)+heaviside(t-2)*(t-2)4.4.2部分分式法通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成簡(jiǎn)單的有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)。1.為有理真分式

利用部分分式展開法將

分解成n個(gè)部分分式，其每一項(xiàng)都可歸為常用信號(hào)的象函數(shù)表達(dá)，從而得到相應(yīng)的原函數(shù)。根據(jù)極點(diǎn)的不同類型，可將展開成下述三種情況。（1）A(s)=0，具有N個(gè)單實(shí)根（2）A(s)=0有r重根（3）A(s)=0，具有共軛復(fù)根2.為有理假分式3.采用MATLAB展開多項(xiàng)式4.5連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法在LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析中，拉普拉斯（Laplace）變換是一種非常重要的變換方法，是求解線性常微分方程常用的一種數(shù)學(xué)工具。線性連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析的基本方法，是把系統(tǒng)的輸入信號(hào)分解為基本信號(hào)est之和，其數(shù)學(xué)描述就是輸入與響應(yīng)的拉普拉斯變換和逆變換。4.5.1常見(jiàn)電路和元器件的復(fù)頻域模型1.電阻元件2.電感元件3.電容元件4.基本運(yùn)算器的時(shí)域和s域模型

基本運(yùn)算器包括數(shù)乘器、加法器和積分器，其時(shí)域和s域模型如圖4-5-4所示。4.5.2系統(tǒng)復(fù)頻域模型

RLC系統(tǒng)是基本的LTI系統(tǒng)，由線性時(shí)不變電阻、電感、電容和線性受控源、獨(dú)立電源組成的線性時(shí)不變系統(tǒng)。RLC系統(tǒng)復(fù)頻域模型的建立和分析的基礎(chǔ)，是基爾霍夫定律（KCL、KVL）和R、L、C元件電流電壓關(guān)系(VAR)的復(fù)頻域形式。1.KCL、KVL的復(fù)頻域形式KCL和KVL的時(shí)域形式分別為：（4.5.9）2.RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法

若把RLC系統(tǒng)中的激勵(lì)和響應(yīng)都用其象函數(shù)表示，R、L、C元件用其復(fù)頻域的模型表示，就得到系統(tǒng)的復(fù)頻域模型。

在復(fù)頻域中，RLC系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系是關(guān)于s的代數(shù)方程。

利用拉普拉斯變換法分析電路步驟為：(1)首先將電路中元件用其s域模型替換，將激勵(lì)源用其象函數(shù)表示，得到整個(gè)電路的s域模型；(2)應(yīng)用所學(xué)的各種電路的分析方法對(duì)s域模型列s域方程、求解；(3)得到待求響應(yīng)的象函數(shù)以后，通過(guò)拉普拉斯逆變換得到響應(yīng)的時(shí)域解。4.5.2系統(tǒng)復(fù)頻域模型例4-5-1求如圖4-5-5所示電路系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：由于系統(tǒng)函數(shù)H(s)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)是一對(duì)s變換，因此對(duì)H(s)求拉氏逆變換即可求得h(t)，這比在時(shí)域求解微分方程要簡(jiǎn)便的多。根據(jù)如圖4-5-5所示電路可得到s域模型如圖4-5-6所示。圖4-5-5RLC電路圖4-5-6RLC電路的s域模型

設(shè)其初始狀態(tài)為0，根據(jù)電路的s域模型，可直接寫出電路的系統(tǒng)函數(shù)：由此得到?jīng)_激響應(yīng)為：4.5.