山東省菏澤市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）2022-2023學(xué)年度高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為()A.7 B.8 C.15 D.322.在使用二分法計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為(1，2)，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來需要計(jì)算()次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值.A.2 B.3 C.4 D.53.已知，，，則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.2021年12月，考古工作者又公布了關(guān)于北京建城的一件重要文字證據(jù)。這次在琉璃河遺址新發(fā)現(xiàn)的銘文，不僅是A國建城最早的文字證據(jù)，更是北京建城最早的文字證據(jù).考古學(xué)家對(duì)現(xiàn)場文物樣本進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢驗(yàn)出碳14的殘留量約為初始量的69%.已知被測物中碳14的質(zhì)量M隨時(shí)間t(單位：年)的衰變規(guī)律滿足(表示碳14原有的質(zhì)量)，據(jù)此推測該遺址屬于以下哪個(gè)時(shí)期(參考數(shù)據(jù)：)()A.西周 B.兩漢 C.唐朝 D.元朝5.已知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集為()A. B.C. D.6.已知，，則()A. B. C. D.07.已知函數(shù)(，)的部分圖象如圖所示，且存在，滿足，則()A. B. C. D.8.已知函數(shù)，，且的最大值為，則的取值范圍是()A B. C. D.二、選擇題：共4小題，每小題5分，共20分，每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.9.下列化簡正確的是()A. B.C D.10.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且都有成立，，，，則下列說法正確的是()A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.函數(shù)在處取到最大值11.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于軸對(duì)稱，則下列說法正確的是()A.的最小正周期為B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為12.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.的最小值為10三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知是方程的根，若，，則__________．14.若關(guān)于的不等式的解集為，則的值為__________.15.若角的終邊落在直線上，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且，則________.16.定義其中表示中較大的數(shù).對(duì)，設(shè)，，函數(shù)，則(1)______；(2)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，的值域?yàn)榧希?(1)求；(2)若，求.18.已知函數(shù)，其中且．(1)若且函數(shù)的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值．(2)當(dāng)時(shí)，不等式在有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19.已知函數(shù)，其圖象中相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；(1)求出解析式；(2)將圖象向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，若方程在上有兩根，，求的值及的取值范圍.20.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)判斷單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；(3)若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車主要分三類：純電動(dòng)汽車、混合動(dòng)力電動(dòng)汽車和燃料電池電動(dòng)汽車.這3類電動(dòng)汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同的發(fā)展策略.中國的電動(dòng)汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽(柴)油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重新塑造全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產(chǎn)(百輛)，需另投入成本(萬元)，且；已知每輛車售價(jià)5萬元，由市場調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2022年的利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.22.如圖是一矩形濱河公園，其中長為百米，長為百米，的中點(diǎn)為便民服務(wù)中心.根據(jù)居民實(shí)際需求，現(xiàn)規(guī)劃建造三條步行通道、及，要求點(diǎn)、分別在公園邊界、上，且.(1)設(shè).①求步道總長度關(guān)于函數(shù)解析式；②求函數(shù)的定義域.(2)為使建造成本最低，需步行通道總長最短，試求步行通道總長度的最小值.2022-2023學(xué)年度高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為()A.7 B.8 C.15 D.32【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出，，求出交集，得到真子集個(gè)數(shù).【詳解】，，故，故集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：A2.在使用二分法計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為(1，2)，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來需要計(jì)算()次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二分法定義計(jì)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)閰^(qū)間的長度為，每次二等分都使長度變?yōu)樵瓉淼模稳≈虚g值后，區(qū)間的長度變?yōu)?，不滿足題意，次取中間值后，區(qū)間的長度變?yōu)?，滿足題意.故選：C3.已知，，，則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合臨界值進(jìn)行判斷即可.【詳解】，.故選：B.4.2021年12月，考古工作者又公布了關(guān)于北京建城的一件重要文字證據(jù)。這次在琉璃河遺址新發(fā)現(xiàn)的銘文，不僅是A國建城最早的文字證據(jù)，更是北京建城最早的文字證據(jù).考古學(xué)家對(duì)現(xiàn)場文物樣本進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢驗(yàn)出碳14的殘留量約為初始量的69%.已知被測物中碳14的質(zhì)量M隨時(shí)間t(單位：年)的衰變規(guī)律滿足(表示碳14原有的質(zhì)量)，據(jù)此推測該遺址屬于以下哪個(gè)時(shí)期(參考數(shù)據(jù)：)()A.西周 B.兩漢 C.唐朝 D.元朝【答案】A【解析】【分析】由題意知，利用指對(duì)互化求解的值.【詳解】由題意知，所以，故，距今時(shí)間大約為，故推測該遺址屬于西周時(shí)期.故選：A.5.已知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意判斷函數(shù)在上為增函數(shù)，，作出函數(shù)大致圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求得的解集.【詳解】奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則函數(shù)大致圖像如圖所示：由，得或，則或，所以或,即的解集為,故選:A．6.已知，，則()A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】由以及誘導(dǎo)公式求出，再利用兩角和的正弦公式、二倍角公式以及同角公式將化為的形式，代入即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以或，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D7.已知函數(shù)(，)的部分圖象如圖所示，且存在，滿足，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圖象確定函數(shù)的周期及特殊點(diǎn)，求得函數(shù)的解析式，由確定關(guān)系，代入結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】由圖象可得，即，所以，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，由，得，由，結(jié)合圖象可得，，所以，所以.故選：C.8.已知函數(shù)，，且的最大值為，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的最大值問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成問題，借助函數(shù)的單調(diào)性求最值，從而得出a的取值范圍.【詳解】由題意可知，，即，且，∴，，即.∴，(當(dāng)時(shí)也成立)，令，，，，則，∵，且∴由，可得，即，又在上單調(diào)遞增，∴，∴.故選：A．二、選擇題：共4小題，每小題5分，共20分，每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.9.下列化簡正確的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】AB選項(xiàng)，利用余弦半角公式計(jì)算；C選項(xiàng)，逆用正切和角公式計(jì)算；D選項(xiàng)，利用得到，變形得到.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且都有成立，，，，則下列說法正確的是()A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.函數(shù)在處取到最大值【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)是上的偶函數(shù)，則利用平移得到其對(duì)稱軸為，故可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)不等式則得到函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合其對(duì)稱性得到其在上單調(diào)性，則得到其在的最值情況，即可判斷AD選項(xiàng)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)對(duì)進(jìn)行化簡，再結(jié)合其單調(diào)性和對(duì)稱性即可判斷三者大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，則將其向右平移1個(gè)單位得到，則對(duì)稱軸由變?yōu)?，故函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；又由對(duì)任意，且都有成立，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則所以函數(shù)在上為增函數(shù)，根據(jù)其對(duì)稱軸為所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在處取得最小值，故A,D錯(cuò)誤；，，，又由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，易知，所以即.故選：BC.11.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于軸對(duì)稱，則下列說法正確的是()A.的最小正周期為B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】先利用輔助角公式化簡，再通過圖像平移求得新的函數(shù)，從而利用關(guān)于軸對(duì)稱求得，由此得到的解析式，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可對(duì)選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】因?yàn)?，所以把的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像，因關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，即，，又因?yàn)?，所以，，?duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，又因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，若函數(shù)在上存在最大值，由選項(xiàng)C可知，在上單調(diào)遞增，且，即在時(shí)取得最大值，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.的最小值為10【答案】ACD【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，根據(jù)對(duì)稱性得到，根據(jù)圖像得到，，根均值不等式得到最值，變換，根據(jù)基本不等式得到最值，得到答案.詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，A正確；，，B錯(cuò)誤；，化簡得到，，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，此時(shí)僅有三個(gè)根，所以等號(hào)不成立，，C正確；，即，即，，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知是方程的根，若，，則__________．【答案】2【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即得解【詳解】設(shè)函數(shù)，由于都在單調(diào)遞增，故為上增函數(shù)，故函數(shù)在至多存在一個(gè)零點(diǎn)，且，，所以，所以．故答案為：214.若關(guān)于的不等式的解集為，則的值為__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系列出滿足的條件，解得答案.【詳解】由一元二次不等式的解集知，方程有相等的實(shí)數(shù)根1，所以，解得，故答案為：1．15.若角的終邊落在直線上，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且，則________.【答案】【解析】【分析】由題可得，，然后利用三角函數(shù)的定義可得，，即得.【詳解】由角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，得，又，∴，因?yàn)榻堑慕K邊落在直線上，所以角只能是第三象限角．記P為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)，則，即，又，解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，所以，解得，即，所以.故答案為：.16.定義其中表示中較大的數(shù).對(duì)，設(shè)，，函數(shù)，則(1)______；(2)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意把代入，，求出，的值即可得到答案.(2)首先分類討論得到，從而得到在上單調(diào)遞增，再解不等式即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，所以，.所以，即.(2)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.若，則，解得或，若，則，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，故在上單調(diào)遞增.所以，則，解得.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧希闹涤驗(yàn)榧希?(1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出集合且，，得到交集；(2)計(jì)算出，，求出并集.【小問1詳解】由題意可得，解得且，∴函數(shù)的定義域且，∵對(duì)任意，，所以，∴函數(shù)的值域，∴；【小問2詳解】，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍?，所以，所?18.已知函數(shù)，其中且．(1)若且函數(shù)的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值．(2)當(dāng)時(shí)，不等式在有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)將代入函數(shù)得出解析式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，分類討論和時(shí)在的單調(diào)性，由此確定最大值，即可解出實(shí)數(shù)a的值．(2)由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，再由對(duì)數(shù)單調(diào)性可得，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出不等式右邊的最大值，即可得到m的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，解得當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，解得，不符合題意，舍去綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為.【小問2詳解】要使在上有意義，則，解得由，即，因?yàn)?，所以即，得，令，，記，?duì)稱軸為，若不等式在有解，則在有解即，即綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為19.已知函數(shù)，其圖象中相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；(1)求出的解析式；(2)將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，若方程在上有兩根，，求的值及的取值范圍.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】(1)根據(jù)條件相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為得到周期從而求出，再根據(jù)對(duì)稱軸是及求出，從而得到的解析式；(2)根據(jù)平移變換得到，再通過整體代換，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到有最小值及對(duì)應(yīng)的自變量的值，即可求的值及的取值范圍.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象相鄰的對(duì)稱中心之間的距離為，所以，即周期，所以，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，所以，，即，，因?yàn)椋?，所以函?shù)的解析式為；【小問2詳解】解：將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，所以，當(dāng)時(shí)，，,當(dāng)時(shí)，有最小值且關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)榉匠淘谏嫌袃筛?，，所以，，即的取值范?20.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)判斷單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；(3)若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)；證明見解析(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得.(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證得的單調(diào)性.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化簡題目所給不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【小問1詳解】由于是定義在上的奇函數(shù)，所以.此時(shí)有，是定義在上的奇函數(shù)，【小問2詳解】在上遞增，理由如下：任取,，其中，所以，所以上遞增.【小問3詳解】，，所以對(duì)任意恒成立，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.21.世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車主要分三類：純電動(dòng)汽車、混合動(dòng)力電動(dòng)汽車和燃料電池電動(dòng)汽車.這3類電動(dòng)汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同的發(fā)展策略.中國的電動(dòng)汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽(柴)油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重新塑造全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產(chǎn)(百輛)，需另投入成本(萬元)，且；已知每輛車售價(jià)5萬元，由市場調(diào)