4.2指數(shù)函數(shù)

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性2了解指數(shù)增長型和指

數(shù)衰減型在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

知識梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=甯（a>0,且aWl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

思考為什么底數(shù)應(yīng)滿足。>0且aWl?

答案①當(dāng)aWO時，戶可能無意義；②當(dāng)。>0時，x可以取任何實(shí)數(shù)；③當(dāng)。=1時，〃=1

（■XdR）,無研究價值.因此規(guī)定>=優(yōu)中4>0,且。W1.

知識點(diǎn)二兩類指數(shù)模型

1.〉=M（心0）,當(dāng)。>1時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.

2.%>0）,當(dāng)0<.<1時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

-思考辨析判斷正誤

1.y=xYx>0）是指數(shù)函數(shù).（X）

2.y=</+2（a>。且aWl）是指數(shù)函數(shù).（X）

3.y=gx是指數(shù)衰減型函數(shù)模型.（V）

4.若危）=爐為指數(shù)函數(shù)，則。>1.（X）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、指數(shù)函數(shù)的概念

例1（1）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是.（填序號）

_（Tl\---

①y=2?（正尸；②丫=2門；③>=（卦；④、=3,；⑤、=如.

（2）若函數(shù)>=（序-3a+3>〃是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

答案⑴③（2）2

解析（1）①中指數(shù)式（也尸的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；②中丫=2廠1,指數(shù)位置不是x,

故不是指數(shù)函數(shù)；④中指數(shù)不是x,故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定

的值，故不是指數(shù)函數(shù)，故填③.

—3a+3=1,

(2)由y=(〃-3〃+3>〃是指數(shù)函數(shù)，可得八口二解得〃=2.

反思感悟判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法

⑴底數(shù)的值是否符合要求；

(2)"前的系數(shù)是否為1;

⑶指數(shù)是否符合要求.

跟蹤訓(xùn)練1(1)若函數(shù)y=/(2—是指數(shù)函數(shù)，貝!J()

A.〃=1或一1B.a—\

C.a=~lD.〃>0且aWl

答案C

解析因?yàn)楹瘮?shù))=層(2—〃尸是指數(shù)函數(shù)，

/=1,

所以<2~a>Q,解得a=~l.

2—a#1,

(2)若函數(shù)y=(2〃一3尸是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

答案2)U(2,+°°)

[2a—3>O,Q

解析由題意知"解得。書且42.

二、求指數(shù)函數(shù)的解析式、函數(shù)值

例2(1)已知函數(shù)人力是指數(shù)函數(shù)，且/(一1)=臂，則<3)=.

答案125

解析設(shè)危)=辦(。>0,且〃W1),

由/(—1)=殺得

1

a2=2=_=52,

2552

所以〃=5,即?x)=5%,所以13)=53=125.

(2)已知函數(shù)y=/(x),xeR,且式0)=3,]興=；，第=)，…，華〃￡N*,求函數(shù)y

J\y)LAU乙J\nU乙

=ya)的一個解析式.

解當(dāng)X增加1時函數(shù)值都以3的衰減率衰減，

函數(shù)八龍)為指數(shù)衰減型,

令共處=左弓)(左片0),

又八0)=3,:.k=3,

二抬尸3?8)七

反思感悟解決此類問題的關(guān)鍵是觀察出函數(shù)是指數(shù)增長型還是指數(shù)衰減型，然后用待定系

數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，再代入已知條件求解.

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)段)=優(yōu)+6(a>0,且aWl)經(jīng)過點(diǎn)(一1,5),(0,4),則大一2)的值為

答案7

f1

a~i+b=5,

解析由已知得解得'2

〃°+b=4,

b=3,

所以八幻=(；)+3,

所以六—2)=8)-2+3=4+3=7.

三、指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例3甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬人，甲城市人口的年自然增長率為1.2%,乙城

市每年增長人口1.3萬.試解答下面的問題：

(1)寫出兩城市的人口總數(shù)M萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵計(jì)算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

(3)對兩城市人口增長情況作出分析.

參考數(shù)據(jù)：(1+1.2%嚴(yán)仁1.127,(1+1.2%嚴(yán)心1.269,(1+1.2%產(chǎn)仁1.430.

解(1)1年后甲城市人口總數(shù)為

y甲=100+100XL2%=100X(l+1.2%)；

2年后甲城市人口總數(shù)為

y甲=100X(1+1.2%)+100X(1+1.2%)X1.2%=100X(1+1.2%)2；

3年后甲城市人口總數(shù)為

y甲=1OOX(1+1.2%)3；

x年后甲城市人口總數(shù)為y甲=100X(1+1.2%)工.

x年后乙城市人口總數(shù)為y乙=100+1.3x.

(2)10年、20年、30年后，甲、乙兩城市人口總數(shù)(單位：萬人)如表所示.

10年后20年后30年后

甲112.7126.9143.0

乙113126139

（3）甲、乙兩城市人口都逐年增長，而甲城市人口增長的速度快些，呈指數(shù)增長型，乙城市人

口增長緩慢，呈線性增長.從中可以體會到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異.

反思感悟解決有關(guān)增長率問題的關(guān)鍵和措施

（1）解決這類問題的關(guān)鍵是理解增長（衰減）率的意義：增長（衰減）率是所研究的對象在“單位時

間”內(nèi)比它在“前單位時間”內(nèi)的增長（衰減）率，切記并不總是只和開始單位時間內(nèi)的比較.

（2）具體分析問題時，應(yīng)嚴(yán)格計(jì)算并寫出前3?4個單位時間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)

律后，再概括為數(shù)學(xué)問題，最后求解數(shù)學(xué)問題即可.

（3）在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型

表示，通?？梢员硎緸閥=N（l+p）工（其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間）的形式.

跟蹤訓(xùn)練3中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議認(rèn)為，到2020年全面建成小康

社會，是我們黨確定的“兩個一百年”奮斗目標(biāo)的第一個百年奮斗目標(biāo).全會提出了全面建

成小康社會新的目標(biāo)要求：經(jīng)濟(jì)保持中高速增長，在提高發(fā)展平衡性、包容性、可持續(xù)性的

基礎(chǔ)上，到2020年國內(nèi)生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，產(chǎn)業(yè)邁向中高端水

平，消費(fèi)對經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)明顯加大，戶籍人口城鎮(zhèn)化率加快提高.

設(shè)從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%.下面給出了依據(jù)“到2020年

城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番”列出的關(guān)于p的四個關(guān)系式：

①（l+p%）X10=2；

②（l+p%）io=2；

③10（i+p%）=2；

@l+10Xp%=2.

其中正確的是（）

A.①B.②C.③D.④

答案B

解析已知從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%.

則由到2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，可得：（1+p%嚴(yán)=2；

正確的關(guān)系式為②.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

----------------------------------------N------------

1.下列函數(shù)：

①y=2.3*；②y=3#i；③y=3*；@y=xi.

其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①中，3,的系數(shù)是2,故①不是指數(shù)函數(shù)；

②中，y=3#i的指數(shù)是x+1,不是自變量x,故②不是指數(shù)函數(shù)；

③中，y=3*,3工的系數(shù)是1,指數(shù)是自變量x,且只有3"一項(xiàng)，故③是指數(shù)函數(shù)；

④中，中底數(shù)為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù).

所以只有③是指數(shù)函數(shù).故選B.

2.若函數(shù)y=（加一加一1）?蘇是指數(shù)函數(shù)，則相等于（）

A.—1或2B.-1

C.2D.1

答案C

fm2-1=1,

解析依題意，有八口一，

解得機(jī)=2（舍機(jī)=—1）,故選C.

3.如表給出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（）

X-2-10123

11

141664

y164

A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型

C.指數(shù)函數(shù)模型D.幕函數(shù)模型

答案c

解析觀察數(shù)據(jù)可得y=4t

4.某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，現(xiàn)有2個這樣的細(xì)胞，分裂

尤次后得到細(xì)胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=2xB.y=2x~1

C.y=2xD.j=2r+1

答案D

解析分裂一次后由2個變成2X2=2?（個），分裂兩次后變成4X2=23（個），…，分裂x次后

變成>=2工+1（個）.

5.八勸為指數(shù)函數(shù)，若兀0過點(diǎn)（-2,4）,則胭-1））=.

答案!

解析設(shè)y（x）=〃（4>o且〃wi）,

所以八-2）=4,相2=4,解得〃=3，

所以y（x）=[J]x,

所以八一1）=弓

-課堂小結(jié)

1.知識清單：

（1）指數(shù)函數(shù)的定義.

（2）指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

2.方法歸納：待定系數(shù)法.

3.常見誤區(qū)：易忽視底數(shù)a的限制條件：a>0且oWl.

課時對點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

X基礎(chǔ)鞏固

1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（

①y=（￡h；

②y=〃（a>0,且〃W1）；

③y=-

④尸眇T

A.0B.1C.3D.4

答案B

解析由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確.

2.若函數(shù)段）=（1一3）爐是指數(shù)函數(shù)，則的值為（）

A.2B.-2C.-2^2D.2巾

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)為0是指數(shù)函數(shù)，

所以3=1,所以a=8,

所以>（x）=8x,f82=2y[2.

3.下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)a>0且aWl）的模型的是（）

A.豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射開始到信號彈到達(dá)最高點(diǎn)，信號彈的高度與時間的關(guān)系（不

計(jì)空氣阻力）

B.我國人口年自然增長率為1%時，我國人口總數(shù)與年份的關(guān)系

C.如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么此人騎車的平均速度。與時間t的函數(shù)關(guān)系

D.信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系

答案B

解析A中的函數(shù)模型是二次函數(shù)；

B中的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)；

C中的函數(shù)模型是反比例函數(shù)；

D中的函數(shù)模型是一次函數(shù).故選B.

4.據(jù)報(bào)道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%,若每年以相同的衰減率呈指數(shù)衰減，按

此規(guī)律,設(shè)2019年的湖水量為m,從2019年起，經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為()

X

A.0.950

X

B.y=(l—0.150)m

C.0.950m

D.y=(]-0.150x)m

答案C

解析方法一設(shè)每年的衰減率為4%,

貝U(q%)5°=0.9,

1

所以q%=0.9否，

X

所以x年后的湖水量y=0.950m.

方法二設(shè)每年的衰減率為q%,

1

則(1-4%嚴(yán)=0.9,所以夕％=1—0.9%，

1X

所以>=/"?[1—(1—0.950)]x=0.950m.

5.下列函數(shù)圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是()

答案C

解析A為一次函數(shù)；B為反比例函數(shù)；D為二次函數(shù)；選項(xiàng)C的圖象呈指數(shù)衰減，是指數(shù)

衰減型函數(shù)模型，故選C.

2

6.已知函數(shù)無)一優(yōu)~j~+3(a>0且a旦1),右八1)=4,則7(—1)=■

答案o

2

解析由式1)=4得〃=3,把x=-1代入"%)=3工_]+3得到1—1)=0.

7.若函數(shù)/)=(層一2。+2)(〃+1廠是指數(shù)函數(shù)，貝IJ4=.

答案1

“2—2〃+2=1,

解析由指數(shù)函數(shù)的定義得上+1>。，解得4=1.

、〃+1W1,

8.已知某種放射性物質(zhì)經(jīng)過100年剩余質(zhì)量是原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的這種物質(zhì),

經(jīng)過x年后剩余質(zhì)量為y,則x,y之間的關(guān)系式是.

X

答案>=0.9576100

解析設(shè)質(zhì)量為1的物質(zhì)1年后剩余質(zhì)量為“，

則*=0.9576.

1

所以a=0.9576而，

X

所以y=〃=0.9576而.

517

9.已知函數(shù)危)=2%+26+”,且11)=5，12)=不求〃，Z?的值.

5=2+2*

解由題意得

^=22+22fl+*

2一1=2叫

即

2-2=22*

a-\-b——1,a——l

所以解得

2a~\~b=-26=0.

10.有一種樹栽植5年后可成材.在栽植后5年內(nèi)，該種樹的產(chǎn)量年增長率為20%,如果不

砍伐，從第6年到第10年，該種樹的產(chǎn)量年增長率為10%,現(xiàn)有兩種砍伐方案：

甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.

乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后過5年再砍伐一次.

請計(jì)算后回答：10年內(nèi)哪一個方案可以得到較多的木材？

解設(shè)該種樹的最初栽植量為a,甲方案在10年后的木材產(chǎn)量為yi=a(l+20%)5(l+10%)5

=a(1.2Xl.l)5^4.01a.

乙方案在10年后的木材產(chǎn)量為

刃=2a(1+20%)5=2。1.25^4.98。

yi—>2=4.014—4.98〃v0,

因此，乙方案能獲得更多的木材.

g綜合運(yùn)用

11.已知函數(shù)#%）=<1—X2，①則/&6））等于（）

2,xWO,v

11

4B-c-4--

A.4D.4

答案B

解析（￡）=1—42=1—3=—2,

%））=/（_2）=2-2="

12.某股民購買一公司股票10萬元，在連續(xù)十個交易日內(nèi)，前5個交易日，平均每天上漲

5%,后5個交易日內(nèi)，平均每天下跌4.9%,則股民的股票盈虧情況（不計(jì)其他成本，精確到

元）為（）

A.賺723元B.賺145元

C.虧145元D.虧723元

答案D

解析由題意得10義（1+5%）5乂（1—4.9%）5

=^10X0.99277=9.9277；

100000-99277=723,

故股民虧723元，故選D.

13.若函數(shù)y=（蘇一5m+5）（2—吊,是指數(shù)函數(shù)，且為指數(shù)增長型函數(shù)模型，則實(shí)數(shù)加=

答案1

m2—5m+5=1,

解析依題意知<m解得根=1（舍加=4）.

，-可>1,

14.已知函數(shù)9）為指數(shù)函數(shù)且/（—1）=害，則負(fù)一2）=，財(cái)-D）=.

答案?