2.5.1直線與圓的位置關(guān)系

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學

習直線與圓的位置關(guān)系。

學生在初中的幾何學習中已經(jīng)接觸過直線與圓的位置關(guān)系，本章已經(jīng)學習了直線與圓的方程、點到直

線的距離公式、點與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容，因此本節(jié)課是對已學內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對

于后面學習直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標法不僅是研究幾

何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學方法。通過坐標系，把點和坐標、曲線和

方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。

政學目標與被心素善

課程目標學科素養(yǎng)

A.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線1.數(shù)學抽象：直線與圓的位置關(guān)系

與圓的位置關(guān)系.

2.邏輯推理：判斷直線與圓的位置關(guān)系

B.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)

3.數(shù)學運算：判斷直線與圓的位置關(guān)系

學問題與實際問題.

4.數(shù)學建模：直線和圓的方程解決實際問題

重占難占

重點：判斷直線與圓的位置關(guān)系

難點：直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題

課前發(fā)爸

多媒體

敢學過程

教學過程教學設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導(dǎo)學

“海上生明月，天涯共此時?！?，表達了詩人望月懷人的深厚情誼。在

海天交于一線的天際，一輪明月慢慢升起，先是探出半個圓圓的小腦

通過具體的情

袋，然后冉冉上升,和天際線相連，再躍出海面，越來越高,展現(xiàn)著迷人的

景，幫助學生回顧初

風采.

中幾何中學習過的

這個過程中，月亮看作一個圓，海天交線看作一條直線，月出的過直線與圓的位置關(guān)

程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.系，同時提出運用方

程思想解法問題的

在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系，

方法。

前面我們學習了直線的方程，圓的方程，已經(jīng)用方程研究兩條直線的

位置關(guān)系，下面我們未必用方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法，利用

直線和圓的方程通過定量計算研究直線與圓的位置關(guān)系。

二、探究新知

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

222

直線Ar+By+C=O(A,B不同時為0)與圓(上〃)+(y?b)(r>0)的位置關(guān)

系及判斷

位置關(guān)系相交相切相離

公共點理個二個等個

幾何法：設(shè)圓心到直線的

距離d=\Aa^Bb±C]_d<rd=rd>r

判y/A2+B-

定代數(shù)法：由

方/Az+By~i~C=0,

\(jr-a"+(y-6)2=r2

法△>0△二0△<0

消元得到一元二次方程

的判別式4

點睛：幾何法更為簡潔和常用.

22

1.直線3x+4y=5與圓x+>'=16的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切

C.相離D.相切或相交

解析:圓心到直線的距離為d=不為=1<4,所以直線與圓相交.

答案:A

三、典例解析

22

例1已知直線方程=0,圓的方程x+y-4x-2>'+1=0.

當“為何值時，直線與圓

(1)有兩個公共點；

(2)只有一個公共點；

通過典例解析，

(3)沒有公共點？

幫助學生進一步熟

思路分析:可聯(lián)立方程組，由方程組解的個數(shù)判斷，也可求出圓心到直

悉兩種基本方法，判

線的距離,通過與半徑比較大小判斷.斷直線與圓的位置

關(guān)系。發(fā)展學生數(shù)學

解:(方法1)將直線.電1=0代入圓的方程，化簡、整理，

運算，數(shù)學抽象和數(shù)

2222

得(1+團)x-2(/??+2/T?4-2)X+/W+4m+4=0.學建模的核心素養(yǎng)。

：Z=4m(3/n+4),?：當J>0,BPm>0或時，直線與圓相交，

即直線與圓有兩個公共點；

當/=0，即，〃=0或時,直線與圓相切，即直線與圓只有?個公共點；

當/<0,即2<〃7<0時,直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點.

(方法2)已知圓的方程可化為(“2)2+0-1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.

圓心(2,1)到直線znr-v-/M-l=0的距離4=用竽=用，

Vl+m2Vl+mz

當d<2,即m>0或4部直線與圓相交,即直線與圓有兩個公共點；

當d=2,即膽=0或次、時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；

當d>2,即T<，*<0時,宜線與圓相離，即直線與圓沒有公共點.

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

直線與圓的位置關(guān)系反映在三個方面：

一是點到直線的距離與半徑大小的關(guān)系；

二是直線與圓的公共點的個數(shù)；

三是兩方程組成的方程組解的個數(shù).

因此，若給出圖形，可根據(jù)公共點的個數(shù)判斷;若給出直線與圓的

方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法，幾何法計算量小，代數(shù)法可一同求出

交點.解題時可根據(jù)條件作出恰當?shù)倪x擇.

22

例2過點A(4,-3)作圓C:(x-3)+(>,-1)=1的切線，求此切線的方程.

思路分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率，

進而求出切線方程.

22

解:因為(4-3)+(-3-1)=17>1,所以點A在圓外.

在典例分析和練

(1)若所求切線的斜率存在,設(shè)切線斜率為k,

習中掌握求圓的切

則切線方程為y+3=&(A4).

線方程的方法，即:

因為圓心C(3,l)到切線的距離等于半徑,半徑為1,代數(shù)法與幾何法。發(fā)

展學生邏輯推理，直

所以啤普(=1,即〃2+1,

觀想象、數(shù)學抽象和

數(shù)學運算的核心素

所以爐+弘+16=正+1.解得.所以切線方程為)，+3=1(A4),

88

養(yǎng)。

即15x+8)，-36=0.

(2)若直線斜率不存在，

圓心C(3,l)到直線x=4的距離也為1,

這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x=4.

綜上，所求切線方程為15x+8)'-36=0或x=4.

22

變式探究過點Q(3,0)作圓x+y=4的切線，求此切線方程.

解:容易判斷點Q(3,0)在圓外.設(shè)切線的方程為廠心-3),

即Ax-y-3A=0.乂圓的圓心為(0,0),半徑為2,

所以熹=2,解得上學，

vl+kz5

所以所求切線方程為產(chǎn)空(》-3).

切線方程的求法

1.求過圓上一點P(x°,)o)的圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率

匕則由垂直關(guān)系，切線斜率為力由點斜式方程可求得切線方程.若k=0

或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y^b或x=a

2.求過圓外一點Pa。,)，。)的圓的切線時，常用幾何方法求解

設(shè)切線方程為丫-穌=%。5),即fcr-j/Xo+y;。,由圓心到直線的距離等于

半徑，可求得&，進而切線方程即可求出.但要注意,此時的切線有兩條，

若求出的％值只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，可通過數(shù)

形結(jié)合求出.

22

例3求直線/:3x+y-6=0被圓C:x+y-2y-4=0截得的弦長.

思路分析:解法一求出直線與圓的交點坐標,解法二利用弦長公式，解

法三利用幾何法作出直角三角形，三種解法都可求得弦長.

解法一由'；6=0-得交點A(1,3),B(2,0),

+yz-2y-4=0,

故弦AB的長為|4B|=J(2-1)2+(0-3)2=V10.

,(3x+y-6=0,

解法二由2,20/

2y-4=0n,

消去)，，得/-3x+2=0.

設(shè)兩交點A,B的坐標分別為A(Xim),B(X2,)2),

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得M+X2=3/rX2=2..：

2z

|AB|=J(%2-X1)2+(y2-yi)=N10[(^1+X2)-4x1x2]=

J1OX(32-4x2)=VTo,

即弦AB的長為au.

解法三圓C-^+y^-lyA-O可化為/+。-1y=5,

其圓心坐標(0,1),半徑片西，

點(0,1)到直線/的距離為"=黑等=零,

V3Z+1Z2

所以半弦長為等=必不=J詆2一嚕

所以弦長|A8|=，IU.

求直線與圓相交時弦長的兩種方法

(1)幾何法:如圖①，直線/與圓C交于A,8兩點，設(shè)弦心距為"，圓的半徑

為r,弦長為|明,則有(")2+心=/，即|A8|=2VF中.

圖①

(2)代數(shù)法:如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩

22

交點分別是A(xi,yi),B(X2,y2),則\AB\-J(Xi-x2)+(yi-y2)=

VT+Fki-^I=Ji忑|)，「聞(直線I的斜率左存在).

肝

圖②

跟蹤訓練1已知直線/經(jīng)過直線2x-y-3=0和4片3卜5=0的交點，且

與直線x+y-2-O垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)若圓C的圓心為點(3,0),直線/被該圓所截得的弦長為2V2，求圓

C的標準方程.

解:⑴由己知得：￡^5=】。解得

.：兩直線交點為(2,1).

設(shè)直線1的斜率為k7：7與x+y-2=0垂直,.:&=1,

VI過點(2,1),.：/的方程為y-l=x-2,即x-y-l=0;

(2)設(shè)圓的半徑為7?，依題意，

通過與直線與圓

圓心(3,0)到直線x-y-}=0的距離為登=V2,

位置關(guān)系的應(yīng)用問

題，提升學生數(shù)學建

則由垂徑定理得產(chǎn)=(a產(chǎn)+(e)2=4,."=2,

模，數(shù)形結(jié)合，及方

.:圓的標準方程為(X-3)2+V=4.程思想，發(fā)展學生邏

輯推理，直觀想象、

例3.如圖，臺風中心從4地以每小時20千米的速度向東北方向(北

數(shù)學抽象和數(shù)學運

偏東45。)移動，離臺風中心不超過300千米的地區(qū)為危險區(qū)域.城市8

算的核心素養(yǎng)。

在4地的正東400千米處.請建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，解決以下問

題：

(1)求臺風移動路徑所在的直線方程；

(2)求城市8處于危險區(qū)域的時間是多少小時？

----B

【解析】(1)以B為原點，正東方向為x軸建立如圖所示的平面直角

坐標系

f

-r—fc

則臺風中心4的坐標是(-400,0),臺風移動路徑所在直線斜率為：k=

tan45°-1

???臺風移動路徑所在的直線方程為：y=x+400

(2)以B為圓心，300T米為半徑作圓，圓和直線丁=光+400相交

于4,&兩點，則臺風中心移到4時，城市B開始受臺風影響(危險區(qū))，

直到&時，解除影響

???點B到直線y=x+400的距離：d=200企

2210

\ArA2\=2^300-(200V2)=200，又詈=(小時)

B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間是10小時

三、達標檢測

22通過練習鞏固本

1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)+(y+l)=9的位置關(guān)系是()

節(jié)所學知識，通過學

A.過圓心B.相切

生解決問題，發(fā)展學

C.相離D.相交但不過圓心生的數(shù)學運算、邏輯

推理、直觀想象、數(shù)

解析:圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離介叫磊坦=小

學建模的核心素養(yǎng)。

答案:D

22

2.若直線x+y+m=O與圓x+y=加相切，則m的值是()

A.0或2B.2C.V2D.&或2

解析：/直線x+y+m=O與圓x2^y2=m相切，,：圓心。(0,0)到直線的距

離居=解得根=2(舍去0).故選B.

答案:B

3.經(jīng)過點M(2,l)作圓x+；=5的切線，則切線的方程為_________.

解析:易知點M在圓上，所以M為切點，切點和圓心連線斜率k=1,

則切線斜率為2切線方程為y-1=-2(x-2),

BP2A?+y?5=0.

答案:2x+y?5=0

22

4直.線y=x+\與圓x+y+2y-3=0交于AyB兩點，則|A8|=__________.

解析:圓的方程可化為1+&+1)2=4,故圓心C(0,-l),半徑r=2,

圓心到直線產(chǎn)x+1的距離仁也浮=V2,

所以弦長依8|=2。產(chǎn)M2=2V^=2企.

答案：2夜

5.如圖所示，一座圓拱(圓的一部分)橋，當水面在圖位置m時，拱頂

離水面2m,水面寬12m,當水面下