高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xEAox^CUAfxeCfjA<^>xA.

2.德摩根公式

Cu(AnB)=CUAUCLBQ(AUB)=CuAnCL,B.

3.包含關(guān)系

4n8=AoAUB=8<=>71cB<=>Cb.B^CyA

=AnG/=<D=G，AU6=R

4.容斥原理

card(AUB)=cardA+cardB-card{AQB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card^A^B}

-card(AC\B)~card(BAC)-card(CAA)+card{AABp|C).

5.集合{q,出,…《,}的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2”-1

個(gè)；非空子集有2"-1個(gè)；非空的真子集有2"-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一1般式/(x)=ax2+bx+c{aW0)；

(2)頂點(diǎn)式/(x)=a(x—//)2+MaH0)；

(3)零點(diǎn)式/(x)=a(x-X])(x-X2)(。豐0).

7.解連不等式N<"x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

N<“X)<Mo"(x)-M]"(x)-N]<0

M+N^M-N_f(x)-N

?!/(%)-；0

22M-f(x)

1

=—>------.

f（x）-NM-N

8.方程/（x）=0在出血）上有且只有一個(gè)實(shí)根,與/（占）/伏，）<0

不等價(jià)，前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地，方程

ax2+hx+c=0（aw0）有且只有一個(gè)實(shí)根在（占,女2）內(nèi)，等價(jià)于

/（占）/（左2）<0,或/化）=0且/<一?<^4^，或/（心）=0且

2a2

k、+k°b

----<-----<fk..

22cl

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/（》）=辦2+bx+c（aw0）在閉區(qū)間［p,q］上的最值只能在

--2處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得,具體如下:

（1）當(dāng)a>0時(shí)，若x=-：e[p,g]，則

2a

h

/（X）min=/（一?。?，/（X）ma*=max{/（P）J（4）}；

2a

X=一五右[p，q]，/（X）max=max{/（P），/（4）}，/⑼血=min{/（P）J⑷}?

（2）當(dāng)a〈o時(shí)，若x=-2e[p,q],貝！J/（x）min=min{/（p）,/（q）},若

x=_《q[p,q]，則/(x)max=max{/(p)J(q)},/(x)min=min{f(p1f(q)}.

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/(m)/(n)<0,則方程/(x)=0在區(qū)間(m,H)內(nèi)至少有

一個(gè)實(shí)根.

設(shè)/(X)=x2+px+q9貝(J

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(〃?,+8)內(nèi)有根的充要條件為/(m)=0

p2-4<y>0

或<p；

--->m

2

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(初〃)內(nèi)有根的充要條件為/(m)/(n)<0

7(?i)>0

/（?）>0

/（m）=0

或卜2_4g0或或*）=。

?/（?）>0[af（m）>0

P

m<---<n

[2

(3)方程/(x)=o在區(qū)間(-8,〃)內(nèi)有根的充要條件為/o?)<o

p2-4q>0

或<P?

---<m

2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(-00,+8)的子區(qū)間L(形如[a,夕],(-00,^],[a,+00)

不同)上含參數(shù)的二次不等式fM>0(/為參數(shù))恒成立的充要條

件是/(X,f)minNO(XCL).

⑵在給定區(qū)間(-oo,+oo)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式

f(x,f)N0G為參數(shù))恒成立的充要條件是fa,f)3<0(xeL).

a>0

(3)f(x)=a/+小+c>0怛成立的充要條件是“N0或

c>0

6Z<0

b2-4ac<0

12.真值表

Pq非P或P且

Pqq

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)也沒(méi)有

一個(gè)

都是不都是至多有至少有兩個(gè)

一個(gè)

大于不大于至少有〃至多有

個(gè)(〃-1)個(gè)

小于不小于至多有〃至少有

個(gè)(〃+1)個(gè)

對(duì)所有存在某

X，X9p或（7-ipJ§L「q

成立不成立

對(duì)任何存在某

X，，且4-或「q

不成立成立

14.四種命題的相互關(guān)系

逆命題

若q貝!JP

互

否

否命題逆否命題

若非P貝端豆遹若非q貝！J非P

15.充要條件

(1)充分條件：若p=q，貝！Jp是4充分條件.

(2)必要條件：若qnp,貝Ijp是4必要條件.

(3)充要條件：若p=q,且q=>p,貝!Jp是4充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦

然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

⑴設(shè)百6[a,—]%聲馬那么

(^-%2)[/(^)-/(%2)]>0。"：)二，"」>0o〃x)在上是增函

數(shù)；

(x,-x2)[/(x1)-/(x2)]<0?，㈤<°=/(X)在卜力]上是減函

X\~X2

數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果八x)>0,則/(%)為

增函數(shù)；如果八x)<0,則/(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/⑴和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，和

函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)y=/(〃)和〃=g(x)在其對(duì)應(yīng)

的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù))，=f[g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

二函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;

反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇

函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函

數(shù).

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+4)=/(-x-a);若函數(shù)

y=/(x+a)是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(r+a).

20.對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xeR),〃x+a)=/(D恒成立,則函數(shù)

/(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)3學(xué)；兩個(gè)函數(shù)y=/(x+G與y=/Q-x)的

圖象關(guān)于直線”3對(duì)稱.

2

21.若/(x)=-/(-x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)c|,。)對(duì)稱;

若/(x)=-/(%+?),則函數(shù)y=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22.多項(xiàng)式函數(shù)尸(x)=a"x"+a,"T+…+劭的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P3是奇函數(shù)oP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系

數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)o口幻的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系

數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱o/(a+x)=/(a-x)

of(2a-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=fM的圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱

<=>f(a+mx)=f(b-mx)

<=>f[a+h-mx)=f(mx)?

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

⑴函數(shù)y"(x)與函數(shù))，=/(一)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)

對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y^f(b-mx)的圖象關(guān)于直線

x=土改對(duì)稱.

2m

⑶函數(shù)y=/(x)和y=/T(X)的圖象關(guān)于直線y=X對(duì)稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移八上移b個(gè)單位，得到函數(shù)

y=/(x-a)+b的圖象；若將曲線/(x,y)=0的圖象右移a、上移b個(gè)

單位，得到曲線/(x-a,y-6)=0的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

/(a)=bo/T(b)=a.

27.若函數(shù)y=f(kx+b)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為

y=7[/-'(x)-M，并不是)，=[尸(丘+?,而函數(shù))，="T(Ax+b)是

k

y=："(x)-們的反函數(shù).

28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)/(x)=cx,f(x+y)=f(x)+/(>?),/(1)=C.

⑵指數(shù)函數(shù)/(x)=a*,/(x+y)=⑴=aH0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log,,X,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=l(a>0,a*1).

(4)幕函數(shù)/(x)=x",f(xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.

⑸余弦函數(shù)/(X)=COSX,正弦函數(shù)g(x)=sinx,

f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

XTO%

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則y(x)的周期T=a；

(2)/(x)=/(x+a)=O,

或/(x+a)=I(/(x)HO)，

/(x)

或/(x+a)=-；^(/(x)*O),

/W

或;+J/(x)-/"(x)=/(x+a),(/(x)e[0,1]),則/(x)的周期T=2a；

⑶小)d五匕(小"，則巾)的周期T=3a；

f(x)+f(x)

(4)/(X|+%2)=t2且

l-/(x,)/(x2)

f(a)=l(f(xi)-f(x2)*1,0<1x,-x21<2a),則/(x)的周期T=4a；

(5)/(x)+/(x+a)+/(x+2a)/(x+3a)+f(x+4a)

=f(x)f(x+a)f(x+2d)f(x+3a)f(x+4ci),則/(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=f(x)-f(x+a),則/(x)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

m?

(1)an=-；——(.a>Ojn,ne9且〃>1).

yJaH,

竺i

n

(2)a=—Ca>0,m,〃GN*9且〃>1).

31.根.的性質(zhì)

(1)(標(biāo))〃=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，\[a"-a;

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，"=1小卜"2°.

32.有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-as=ar+x(a>O,r,seQ).

(2)(ar)s=ars{a>O,r,swQ).

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>O,reQ).

注：若a>O,p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則a0表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上

述有理指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)嘉都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

log?N=bo/=N(a>0,awl,N>0).

34.對(duì)數(shù)的換底公式

log“NJ。"N(“〉o,且〃工1,〃？〉o,且〃？#],N〉0).

log,,,a

推論logb"=—log“b(a〉0,且a〉1,m,n>0,且m^l,nw1,

"m

N>0).

35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWLM>0,N>0,貝!J

(1)log“(MN)=log“M+log“N；

⑵l°g〃*=l°g〃加Tog.N；

(3)log?M"=nlog“M(neR).

2

36.設(shè)函數(shù)/(x)=logm(ar+bx+c)(a0),記A=/-4ac.若f｛x｝的

定義域?yàn)镽,則。>0,且A<0；若〃尤)的值域?yàn)镽,則a>0,且A20.

對(duì)于〃=0的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0,b>0,x>0,x^—,則函數(shù)y=log“r(》x)

a

(1)當(dāng)a>b時(shí),在(0-)和(L+00)上y=log“、3)為增函數(shù).

aa

,(2)當(dāng)a<b時(shí),在(0」)和(L+8)上y=log?3)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)及〉〃z>l，p>0，a>0且owl，貝U

(1)logw+/,(n+P)<log,,,n.

(2)log,,mlog?n<log/.

38.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間X

的總產(chǎn)值y,有y=N(l+p)*.

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

1(數(shù)列｛"“｝的前n項(xiàng)的和為s.=%+々+…+.

[S,,一S“T，〃N2

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=a1+(〃-l)d=M+q-d(neN*);

其前n項(xiàng)和公式為

〃(q+a“),n(n-l)

s,=---!----=na,+------cl

n2'2

d2/1

=—?+(a(~~d}八n.

22

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

a?=4q"TeN");

q

其前n項(xiàng)的和公式為

S"=J1-q

叫,q=\

nal,<7=1

42.等比差數(shù)列{%}：I=qa“+d,q=b(qwO)的通項(xiàng)公式為

b+(n一l)d,q=1

a“=<bq"+(d-b)qi-d；

其前n項(xiàng)和公式為

l）d,（q=1）

43.分期付款（按揭貸款）

每次還款x=黑陪元（貸款a元,〃次還清，每期利率為b）.

（1+Z?）-1

44.常見(jiàn)三角不等式

（1）若xe（吟，貝(Jsinx<x<tanx?

⑵若xw(O,g,則l<sinx+cosx4>/5.

(3)lsinxl+lcosxl>l.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sinf)

sin2^+cos2^=l9tan----，tan0-cotO=1.

cos。

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

.冊(cè)兀、(-l)2sin^,（n為偶數(shù)）

sin(—+6z)=<一

2

(-1)cosa,（n為奇數(shù)）

（n為偶數(shù)）

尸兀、(-docosa,

CPS(——+a)=<（n為奇數(shù)）

(-1)2sina,

47.和角與差角公式

sin(a土夕)=sinacos0±cosasin(3；

cos(a±B)=cosacos,干sinasinp；

/,c、tancr±tan/?

tan(6z±J3)=------------.

1+tancrtanP

sin(a+/7)sin(a-/7)=sin2a-sin2/?(平方正弦公式)；

cos(a+/?)cos(a—/?)=cos2a-sin2p.

asina+bcosa=Jq2+〃sin(a+0)(輔助角°所在象限由點(diǎn)(〃力)的

象限決定，tan^=-).

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa?

cos2a=cos2or-sin2a=2cos2a—1=l-2sin2a.

2tana

tan2a=

1-tan2a

49.三倍角公式

sin3。=3sin6—4sii?。=4sin8sin(3-9)sin(y+9).

cos3。=4cos30-3cos9=4cos0COS(y-6)COS(y+9)

6八3tan-tan30八/)八、/萬(wàn)八、

tan30------------------=tan0tan(-----0)tan(—+。)?

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(/x+e),xWR及函數(shù)y=cos(a)x+(/)),xeR(A,a,e為

常數(shù)，且AWO,3>0)的周期7=紅；函數(shù)y=tanOx+°),

co

x^k7U+—,kGZ(A,3,0為常數(shù)，且AWO,3>0)的周期T=—.

2co

51.正弦定理

上=±=」=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

h2=c~+a1-2cacosB；

c2-cr+b2-2abcosC.

53.面積定理

(1)S=-ah=-bh=—ch(%為、也分別表不a、b、C邊上的

22b2

高).

(2)S=-tz/?sinC=—Z?csinA=—casing.

222

22

(3)SA(MB=^yl(\OA\\OB\)-(OAOB).

54.三角形內(nèi)角和定理

在aABC中,有A+8+C=;r=C=〃一(A+B)

=G=ZL-A±^=2C=27-2(A+B).

222

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinx=a=x=+arcsin〃(ZeZ,la\<\).

cosx=aox=2k九±arccosa(keZ,lal<l).

tanx=a=>x=k7r+arctana(kGZ,ae/?).

特別地,有

sina=sin/=a=%乃+(—1)”/?(女GZ).

cosa=cosp<=>a=Ikjr±GZ).

tana=tan/=>a=攵乃+隊(duì)kGZ).

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<l)oxe(2k萬(wàn)+arcsina,2k兀+乃一arcsina),keZ.

sinx<a(\a\<l)<=>xe(2k/r一萬(wàn)一arcsina,2k冗+arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<l)<=>xe(2k/r-arccosa,2&乃+arccosa),keZ.

cosx<a(\a\<l)<^>xe(2上乃+arccosa,2上乃+2〃一arccosd).keZ.

tanx>a(aG/?)=>xG(k兀+arctana,k7i+與,keZ.

JI

tanx<a(ae/?)^>xG(k兀,k兀+arctana\keZ.

2

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、u為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(Ua)-(Au)a;

(2)第一分配律：(X+ii)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b.

58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(2(a),b=2(a,b)=Aa,b=a?(4b);

(3)(a+b)?c=a,c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這

一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1、入2,使得@=入冏+

入2?2.

不共線的向量ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=a，y),b=(x2，%)，且b*0,則ab(b^O)^>xty2-x2yt=0.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)"一

a,b=|a||b|cos0.

61.a?b的幾何意義

數(shù)量積a*b等于a的長(zhǎng)度lai與b在a的方向上的投影Iblcos

9的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=(X］，M),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2).

(2)設(shè)a=(X］，M),b=(x2,y2),則a-b=a_孫,_%)?

(3)設(shè)A(X［,?),B(x2,y2),貝!J48=。6-。A=(》2-芯,乃一耳).

(4)設(shè)a=(x,y),4eR,貝！J丸a=(4x,2y).

(5)設(shè)a=a，/),b=(X2，y2)，則a?b=(x1x2+y,y2).

63.兩向量的夾角公式

cos0=-F=^7=^(華區(qū)，y,),b=(々，為))?

+.收+y；

64.平面兩翅期巨離公式

dAB=\AB\=yl^B-AB

22

=7(-v2-x,)+(y2-y1)(A(X1,%),B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(w，yj,b=(x2，%)，且b#o,則

A||b<=>b-Aaoxty2-x2yt=0.

alb(a*0)=a?b=0=XiX2+x%=0.

66.線段的定比分公式

設(shè)4(和月)，P2(x2,y2),P(x,y)是線段《6的分點(diǎn)，4是實(shí)數(shù)，且

月A=2班，貝！J

X]+/tx

X------2'■”’’"

.1+2o而=。6+捫鳥(niǎo)

_V]+4>21+幾

y=~~.：-

1+丸

=麗=函+(1T)砧(Z=y-'y).

67.三角形的重心坐標(biāo)公式”

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(xi，y)、B(X2,y2)>C(x3,y3),IJJlJ

△ABC的重心的坐標(biāo)是G盧+々+4X+&+%).

33

68.點(diǎn)的平移公式

x=x+hx=x-h--：——:

<<=><<=>0P=OP+PP.

y=y+k[y=y-k

注：圖形F”任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形廣上的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為尸(x,y),且港的坐標(biāo)為(力,A).

69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

(1)點(diǎn)P(x,y)按向量a=(/z,A)平移后得到點(diǎn)P(x+/2,y+k).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(〃,口平移后得到圖象C,

則C.的函數(shù)解析式為y=/(17)+k.

(3)圖象c按向量a=e,A)平移后得到圖象c,若c的解析式

y=f(x),則C'的函數(shù)解析式為y=f(x+h)-k.

(4)曲線C：f*,y)=O按向量a=(/a)平移后得到圖象C,則C

的方程為f(xi,y-&)=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=e,k)平移后得到的向量仍然為

m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為MBC所在平面上一點(diǎn)，角A,8,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,"c,

則

(1)。為A48c的外心o次2=巫2=無(wú)二

(2)。為zviBC的重心<=>3+而+瓦=6.

(3)。為的垂心o與?礪=/灰=人.》.

(4)。為ZV1BC的內(nèi)心04面+6而+C反=0.

(5)。為A48C的ZA的旁心=b赤+c反.

71.常用不等式：

(1)a,beR=a2+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).

(2)癡(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào)).

2

(3)a3+b}+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|a|-|Z>|<|a+Z?|<|a|+|Z?|.

72.極值定理

已知都是正數(shù)，則有

(1)若積X)；是定值p,則當(dāng)X=y時(shí)和x+y有最小值20；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積盯有最大值人.

4

推廣已知X,yER，則有(x+y)?=(x-y)2+2xy

(1)若積孫是定值,則當(dāng)lx-yl最大時(shí),lx+yl最大；

當(dāng)Ix-yI最小時(shí)，Ix+yI最小.

(2)若和lx+yl是定值，則當(dāng)lx-yl最大時(shí)，I孫I最??；

當(dāng)lx-yl最小時(shí)，Ixyl最大.

73.一1兀二次不等式af+bx+c>0(或<0)(aHO,A=/-4ac>0),如

果。與ax2+hx+c同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果。與ax2++c異

號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之

<x<x2<?(X-Xj)(x-X2)<0(Xj<x2);

x<xv>x2O)(X-X2)>0(Xj<x2).

74.含有絕對(duì)值的不等式一

當(dāng)a>0時(shí)，有

<〃<=>x<a<^>-a<x<a.

或x<—a.

75.無(wú)理不等式

/W>0

(1)"(X)>Jg(x)=<gW>0

f(x)>g(x)

/(x)>0

/W>0

(2)J/(x)>g(x)o.g(x)>0或,

g(x)<0

/U)>[g(x)]2

/(x)>0

(3)J/(x)<g(x)o,g(x)>0.

/3)<-

76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

⑴當(dāng)a>l時(shí)，

afM>asM<=>f(x)>g(x)；

7(x)>0

log“/(x)>log“g(x)o<g(x)>0.

f(x)>g(x)

⑵當(dāng)0<a<l時(shí)，

afM>asM<=>/(x)<g(x)；

fW>0

log“/(x)>log.g(x)=<g(x)>0

J(x)<g(x)

77.斜率公式

k=X——(<(X]，M)、RG，%))?

x2-xt

78.直線的五種方程

(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)-y,=k(x-x1)(直線/過(guò)點(diǎn)4(%,%)，且斜率為A)

(2)斜截式y(tǒng)=kx+b(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點(diǎn)式七―L(y產(chǎn)必)(耳(%,％)、P(x,y)

%一必々一玉222

(X|HW)).

(4)截距式日+9=13、b分別為直線的橫、縱截距，

ab

a、6w0)

(5)一般式4x+6)，+c=0(其中A、B不同時(shí)為0).

79.兩條直線的平行和垂直

⑴若/1:y=%/+4,Z2:y=k2x+b2

①4II4=&]=&,A。b?;

②4±Z2<=>kJ?=—1?

⑵若/j:AjX+8]y+C]=0,4：+8,y+C2=0,且Al、A2>Bl、B2

都不為零，

①4必03=芻工6；

12

A282c2

②I、u=44+4為=0；

80.夾角公式

(1)tana=1攵2一%

1+k2kl

(/i：y=&x+仇，l2-.y=k2x+b1,k}k2^-\)

4%

(2)tana=1

Aj4+B]

(l,:Alx+Bly+Cl=0,l2:A2x+B2y+C2^0,A,A2+BlB2w0)?

直線時(shí)，直線，1與4的夾角是會(huì)

81.4到4的角公式

（l）tana--~.

1+^,

(lt:y=klx+bl,l2:y=k2x+t>2,/c,k2^-l)

B2—A)B]

(2)tana

4A,+B]

》

(，i：A[X+B]y+G=0,，2：A：+B2y+C2—QA]A0+#：0)?

直線/±2時(shí)，直線，i到4的角是會(huì)

82.四種常用直線系方程

（1）定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)《（為,%）的直線系方程為

>-九=4（》-X0）（除直線x=%）,其中％是待定的系數(shù)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

穌（入0，%）的直線系方程為A（x-xo）+B（y-yo）=O,其中A,6是待定的系

數(shù).

（2）共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線

4:Ax+4y+G=。，4：+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為

（41》+8］）,+。|）+/1（4》+82），+。2）=0（除4），其中人是待定的系數(shù).

（3）平行直線系方程：直線y=kx+b中當(dāng)斜率k一定而b變

動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與直線Ax+5y+C=0平行的直線

系方程是Ax+8），+/l=0（人0）,人是參變量.

（4）垂直直線系方程：與直線Ax+6y+C=0（AHO,BHO）

垂直的直線系方程是Bx-Ay+2=0,入是參變量.

83.點(diǎn)到直線的距離

<1=IA［+'"+CI（點(diǎn)pa。,%）,直線/：Ax+為+C=0）.

VA2+B2

84.Ax+6），+C>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ax+8y+C=0,貝?。軦x+6y+C〉0或<0所表示的平面區(qū)

域是：

若”0,當(dāng)8與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的上方的區(qū)域;

當(dāng)B與Ax+By+C異號(hào)時(shí)，表示直線/的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在

上，異號(hào)在下.

若8=0,當(dāng)A與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的右方的區(qū)域;

當(dāng)A與Ax+8y+C異號(hào)時(shí)，表示直線/的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)

在右，異號(hào)在左.

85.(2+4》+孰)(42%+房》+。2)〉0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(4x+B/+G)(A2X+B2y+G)=0(448也。0),則

(4%+4)，+6)缶2%+82)，+。2)>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

(+8[y+C)(4]++。2)〉。所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(4%+外+6)缶2%+82)，+。2)<。所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+￡2-4F>0).

(3)圓的參數(shù)方程f=a+rcosO.

y=b-^-rsin0

(4)圓的直徑式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圓的直

徑的端點(diǎn)是A(X]，x)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

(1)過(guò)點(diǎn)AQ，X),B(X2,%)的圓系方程是

(x-xj(x—々)+(>一%)(丁一為)+%(》一%)(%一％)一(丁一%)(王一苫2)]=0

!

<^(x-x,)(x-x2)+(y->1)(y-y2)+A(?x+Z?y+c)=0,其中ax+by+c=Q是直

線AB的方程,人是待定的系數(shù).

(2)過(guò)直線/：4x+6)，+C=0與圓C：》2+/+6+4+/=0的交點(diǎn)

的圓系方程是x?+V+￡)x+4+尸+幾⑷+By+C)=0,入是待定的系

數(shù).

(3)過(guò)圓&:V+y+Qx+Ej+G=o與圓

22

G：x+y+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓系方程是

222

x+y+Z)[X+E]y+K+〃￡+y+D2x+E2y+F2)=0,X是待定的系數(shù).

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系---

點(diǎn)P(Xo，y°)與圓(x-a)2+(y—b)2=/的位置關(guān)系有三種

22

若d=\l(a-x())+(h-y0),貝！J

點(diǎn)P在圓外；d=ro點(diǎn)P在圓上；d<ro點(diǎn)P在圓

內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+8y+C=0與圓(x-a)2+(y-h)2=尸的位置關(guān)系有三種:

d>r=相離<=>A<0；

d=r0相切<=>△=()；

d<r。相交<=>A>0.

其中華絲g.

JA2+B2

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為01,02,半徑分別為n,口，|oa|=d

d〉八+弓=外離o4條公切線；

d="+弓=外切<=>3條公切線；

|r(-r2\<d<r1+r2o相交o2條公切線；

d=M-$o內(nèi)切o1條公切線；

0cdeh-々|=內(nèi)含o無(wú)公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓x2+y2+Dx+Ey+F-0.

①若已知切點(diǎn)(%,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

丫+°(/+幻+鳳為+田/_()

xXoxX++vy()y+-+------+r-u?

當(dāng)(x。,%)圓外時(shí)，々/+%)，+2產(chǎn)+生產(chǎn)+歹=0表示過(guò)

兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程.

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-％=/-%)，再利用相

切條件求k,這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的

切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為y=kx+h9再利用相切條件

求b,必有兩條切線.

(2)已知圓爐+為“.

①過(guò)圓上的〃(小,打)點(diǎn)的切線方程為工。》+%〉=產(chǎn);

②斜率為k的圓的切線方程為y^kx±r\J\+k2.

92.橢圓￡+1=1(“〉b〉0)的參數(shù)方程是?=R.

ah[y=/?sin，

22

93.橢圓=+與=1(。>b>0)焦半徑公式

a~b

22

\PFt\=e（x+—）,|PF2|=e（--x）.

94.橢圓的的內(nèi)外部

2222

（1）點(diǎn)P（x0,y。）在橢圓0+和=l（a>力>0）的內(nèi)部O4+普<1.

abab

2222

（2）點(diǎn)Pa。,），。）在橢圓0+a=13>/,〉0）的外部。毛+普〉1.

ab-ab

95.橢圓的切線方程

22

⑴橢圓++%=1（“〉6>0）上一點(diǎn)P（x0,y°）處的切線方程是

ab

筆+誓=1.

a'b~

22

（2）過(guò)橢圓下3■=l（a〉b〉0）外一點(diǎn)P（x。,％）所引兩條切線的

切點(diǎn)弦方程是“'

9+軍—1

22

（3）橢圓=+*=1（4>》>0）與直線版+為+。=0相切的條件是

Q~b"

A24Z2+B2/?2=c2.

22

96.雙曲線十/1（?>o,b>o）的焦半徑公式

22

|P用=le（x+幺）1,\PF2\=\e（--—x）\.

97.雙曲線的內(nèi)外部

22

（1）點(diǎn)P（x。，%）在雙曲線^-2r=1（fl>0,/,>0）的內(nèi)部

。看火>1

0-7—r>1?

a2b2

22

（2）點(diǎn)p（x。,打）在雙曲線鼻-與=1（。>00>0）的外部

a~b~

2?

98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

22

（1）若雙曲線方程為二-a=1n漸近線方程：

ab

22

-y--y=U<=>y=±—x?

aba

⑵若漸近線方程為丫=±'0A90n雙曲線可設(shè)為

aab

—a27b72=人■

2222

(3)若雙曲線與二-々=1有公共漸近線，可設(shè)為二一4二九

abab~

(九>o,焦點(diǎn)在x軸上，x<o,焦點(diǎn)在y軸上).

99.雙曲線的切線方程

22

⑴雙曲線1-*=1(4〉0力〉0)上一點(diǎn)尸(后,%)處的切線方程是

礦b.

3%)'_1

a2b2

22

(2)過(guò)雙曲線-與=r〉。力>。)外一點(diǎn)PCw。)所引兩條切線

a~b~

的切點(diǎn)弦方程是

a2b2

(3)雙曲線U=l(a〉0")與直線Ax+為+C=0相切的條件

是A?/—.4.

100.拋物線y2=2px的焦半徑公式

拋物線y2=2px(p>0)焦半徑|?？?%+勺

點(diǎn)弓玄"be|CD|=X|+-^+x2+——%i+x2+p?

2

101.拋物線y2=2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(3,%：^P(2pf2,2p/成

2P

P(XQ。)，其中y：=2px「

102.二次函數(shù)y=ax2^bx+c=a(x^—)2+”二("0)的圖象是拋

2a4a

物線：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3與Q);(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

2a4a

(―2,4“c"+l)；(3)準(zhǔn)線方程是y=4“c-

2a4a4a

103.拋物線的內(nèi)外部

2

⑴點(diǎn)P(x0,九)在拋物線y=2Px(p>0)的內(nèi)部oy2<2Px(p>0).

點(diǎn)POo，%)在拋物線y2=2px(p>0)的外部oy2>2px(p〉0).

(2)點(diǎn)尸(x0,y。)在拋物線/=_2px(p>0)的內(nèi)部

0y2<-2px(p>0).

點(diǎn)P(Xo，%)在拋物線y2=-2px(p〉0)的外部<=>y2>-2px(p>0).

(3)點(diǎn)2(/，坊)在拋物線x?=2py(p〉0)的內(nèi)部ox?<2py(p〉0).

點(diǎn)尸(入0，>0)在拋物線/=2py(p>0)的外部0/>2py(p>0).

(4)點(diǎn)P(x0,y。)在拋物線犬=2〃>5〉0)的內(nèi)部<=>x2<2py(p>0).

點(diǎn)尸(入0，%)在拋物線=-2py(p>0)的外部=爐>-2py(p〉0).

104.拋物線的切線方程

⑴拋物線儼=2px上一點(diǎn)P(x。,%)處的切線方程是

yoy=P(x+xo).

(2)過(guò)拋物線/=2px外一點(diǎn)P(x。,％)所引兩條切線的切點(diǎn)弦

方程是為y=p(x+Xo).

(3)拋物線y2=2px(p〉0)與直線Ax+力+C=0相切的條件是

pB2=2AC.

105.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線系方程

⑴過(guò)曲線工(x,y)=0,力。,〉)=0的交點(diǎn)的曲線系方程是

工(x,y)+也(x,y)=0(4為參數(shù)).

22

(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程-+/=1,其中

cT-7kh-k7

k<max{tz2,Z?2}.當(dāng)k>min{tz2,/?2}時(shí)，表示橢圓；當(dāng)

min{a2,b2}<k<max{a2,/72}時(shí)，表不雙曲線.

106.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式網(wǎng)=Ja-獷+⑶-

或

22

[A8]=[(1+k)?-x)2=1X]-x21Jl+tan?a=1)j-y21y/l+cota(弦端

點(diǎn)A(XQJB(X"2),由方程+；消去y得到ax1+bx+c=0,

F(x,y)=0

△〉0,a為直線