第=1+1頁共sectionpages26頁第4章三角形章末拔尖卷【北師大版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023春·內(nèi)蒙古·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（

）A．AB=5，AC=6，∠A=50° B．AB=3，AC=4，∠C=30°C．∠A=60°，∠B=45°，∠C=75° D．AB=3，BC=4，AC=8【答案】A【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)根據(jù)三角形全等的判定方法可對(duì)A、B、C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；三角形的三邊的關(guān)系可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、AB=5，AC=6，∠A=50°，符合“SAS”，所以根據(jù)條件能畫出唯一△ABC，故此選項(xiàng)符合題意；B、AB=3，AC=4，∠C=30°，根據(jù)兩邊及一邊對(duì)角不能判定兩三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，根據(jù)三角相等不能能判定兩三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此選項(xiàng)不符合題意；D、AB=3，BC=4，AC=8，∵3+4<8，∴不滿足三角形三邊的關(guān)系，即三邊不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A.2．（3分）（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，則∠ADE的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠DAC=40°，最后利用垂線的定義可得∠AED=90°，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：∵∠B=40°，∴∠BAC=180°?40°?60°=80°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=40°．∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°?∠DAE=50°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂線的定義．熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，G是邊BC上任意一點(diǎn)，D、E、F分別是AG、BD、CE的中點(diǎn)，S△ABC=48，則SΔA．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答．【詳解】解：連接CD，如圖所示：∵點(diǎn)D是AG的中點(diǎn)，∴S△ABD∴S△ABD∴S△BCD∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴S△CDE∵點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴S△DEF故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等．4．（3分）（2023春·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依序?yàn)?、4、5、7，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值是（）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】若兩螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：①當(dāng)3、4在一條直線上時(shí)，三邊長為：5、7、7，此時(shí)最大距離為7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一條直線上；③當(dāng)4、5在一條直線上時(shí)，三邊長為：3、7、9，此時(shí)最大距離為9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一條直線上；綜上所述：最大距離為9．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，理解三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠1=∠2，在下列條件：①∠B=∠C；②∠BAD=∠CAD；③BD=CD；④AB=AC中，只補(bǔ)充一個(gè)就一定可以判斷△ABD≌△ACD的條件是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠ADB=∠ADC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法逐一判斷即可解答．【詳解】解：∵∠1+∠ADB=180°,∠2+∠ADC=180°,∠1=∠2，∴∠ADB=∠ADC，①∵∠B=∠C,AD=AD,∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴①符合題意；②∵∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴②符合題意；③∵BD=DC,AD=AD,∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴③符合題意；④∵AB=AC,AD=AD,∠ADB=∠ADC，SSA不能判斷△ABD≌△ACD，∴④不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解題的關(guān)鍵．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等．判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．6．（3分）（2023春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分別在邊BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分線與∠ADE的平分線交于點(diǎn)F，則A．54° B．60° C．66° D．72°【答案】B【分析】根據(jù)題意可知∠FBC=32∠C，設(shè)∠C=x，表示出∠ADE，根據(jù)角平分線的定義，可得∠EDF的度數(shù)，根據(jù)∠FDC=∠F+∠FBC【詳解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=1∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=3設(shè)∠C=x，則∠FBC=3∵∠EDC=24∴∠AED=x+24∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=3∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32∴∠F=60故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2023春·福建福州·七年級(jí)福建省福州延安中學(xué)?？计谀┤鐖D，在長方形網(wǎng)格中，每個(gè)小長方形的長為2，寬為1，A、B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形面積為2，則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)三角形ABC的面積為2，可知三角形的底邊長為4，高為1，或者底邊為2，高為2，可通過在正方形網(wǎng)格中畫圖得出結(jié)果．【詳解】C點(diǎn)所有的情況如圖所示：故選C.有4個(gè)點(diǎn).故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生閱讀圖象的能力，解決本題關(guān)鍵突破口是找準(zhǔn)與AB平行的兩條直線．8．（3分）（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)灌南縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖所示，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D//EB′//A．105° B．100° C．110° D．115°【答案】B【分析】延長C′D交AB′于H．利用全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)證明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解決問題．【詳解】解：延長C′D交AB′于H．∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′=∠B′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，∴∠C′AH=120°，∴∠C′+∠AHC′=60°，∴∠BFC=60°+40°=100°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2023春·安徽六安·七年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A=∠DEB=∠DEC，∠【詳解】解：∵△ADB≌△EDB≌∴∠A=∠DEB∵∠DEB+∠DEC∴∠DEC=90°，∴∠A=∠DEC∴∠ABC故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角的定義等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出∠DEC、∠10．（3分）（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，AB>AC，下列結(jié)論正確的是（

）A．AB?AD>CB?CD B．AB?AD=CB?CDC．AB?AD<CB?CD D．AB?AD與CB?CD的大小關(guān)系不確定【答案】A【分析】先通過在AB上截取AE=AD，得到一對(duì)全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊相等，再利用三角形的三邊關(guān)系和等量代換即可得到A選項(xiàng)正確．【詳解】解：如圖，在AB上取AE=AD，∵對(duì)角線AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在ΔACD和ΔACE中，AD=AE∠BAC=∠DAC∴ΔACD?ΔACE(SAS)，∴CD=CE，∵BE>CB?CE，∴AB?AD>CB?CD．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義和三角形的三邊關(guān)系，要求學(xué)生能根據(jù)已知條件做出輔助線構(gòu)造全等三角形，并能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到不同線段之間的關(guān)系，利用三角形三邊關(guān)系判斷大小，解決本題的關(guān)鍵是牢記概念和公式，正確作輔助線構(gòu)造全等三角形等．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2023春·湖北十堰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：小米的作法如下：請(qǐng)回答：小米的作圖依據(jù)是【答案】有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【詳解】試題分析：由作圖過程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定△ODC≌△O′D′C′，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠O=∠O′．解：由作圖過程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，在△DOC和△D′O′C′中，，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），∴∠O=∠O′．故答案為有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．考點(diǎn)：作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)．12．（3分）（2023春·四川成都·七年級(jí)校考期中）若a，b，c分別為三角形的三邊，化簡：a?b?c+b?c?a+【答案】?a+b+3c【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到a，b，c相關(guān)代數(shù)式與0的關(guān)系，去絕對(duì)值求解即可．【詳解】解：∵a，b，c分別為三角形的三邊，∴a+b>c，a+c>b，b+c>a，∴c?a+b>0，b?c?a<0，a?b?c<0，∴原式=?a+b+c+a+c?b+c?a+b=?a+b+3c，故答案為：?a+b+3c．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，去絕對(duì)值及整式的加減，解題關(guān)鍵是根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到a，b，c相關(guān)代數(shù)式與0的關(guān)系．13．（3分）（2023春·重慶榮昌·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了∠1和∠2，則∠1+∠2=度．【答案】135【分析】作輔助線，使△ADB為等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形△DFB≌△BEC，可得到∠DBF=∠2，利用等角代換即可得解．【詳解】解：如圖，連接AD、BD，∠ADB=90°，AD=BD=BC，∠DAB=∠DBA=45°，由圖可知，在△DFB和△BEC中，DF=BE∠DFB=∠BEC=90°∴△DFB≌△BECSAS∴∠DBF=∠2，∵∠DBA=45°，∴∠1+∠2=∠1+∠DBF=180°?45°=135°，故答案為：135．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中求兩角和，構(gòu)造全等三角形，利用等角代換是解題關(guān)鍵．14．（3分）（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果三角形中任意兩個(gè)內(nèi)角∠α與∠β滿足2α?β=60°，那么我們稱這樣的三角形為“斜等邊三角形”．在銳角三角形ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等邊三角形”，則∠ABC=．

【答案】55°【分析】根據(jù)新定義的“斜等邊三角形”的特點(diǎn)分情況分析，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：△ABD是“斜等邊三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A?∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A?∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD?∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD?∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等邊三角形”，①2∠C?∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C?∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD?∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD?∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；當(dāng)（1）①成立時(shí)，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三個(gè)角中不滿足“斜等邊三角形”的定義，不符合題意；當(dāng)（1）②成立時(shí)，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA?∠A=60°，∴△ABC是“斜等邊三角形”，符合題意；同理得：符合題意的只有∠ABC=55°，故答案為：55°【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理，理解題意，進(jìn)行分情況分析是解題關(guān)鍵．15．（3分）（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E是△ABC外一點(diǎn)，D是AE上一點(diǎn)，AC=BC=BE，DA=DB，∠EBD=∠CBD，∠C=70°，則∠BED的度數(shù)為．【答案】35°【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，連接DC，證明△ACD=△BCDSSS，可得∠ADC=12∠DCB=35°，再證明【詳解】解：連接DC，∵DA=DBCA=CB∴△ACD=△BCDSSS∴∠DCB=∠ACD=1在△BED和△BCD中，BD=BD∠EBD=∠CBD∴△BED≌△BCDSAS∴∠BED=∠DCB=35°，故答案為：35°．16．（3分）（2023春·江西贛州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是∠BAC的角平分線，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，連接AD、BD、CD，∠ADB＝150°，∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°，則線段CD的長度為．【答案】3【分析】在AB上截取AE=AC，證明△ADE和△ADC全等，再證BDE是等腰三角形即可得出答案.【詳解】在AB上截取AE=AC∵AD是∠BAC的角平分線∴∠EAD=∠CAD又AD=AD∴△ADE≌△ADC(SAS)∴ED=DC，∠ADE=∠ADC∵∠ADB＝150°∴∠EDB+∠ADE=150°又∵∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°∴∠ABD+∠DBC+∠ADC=180°即∠ABD+∠ADC=150°∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED即BE=CD又AB=8，AC=5CD=BE=AB-AE=AB-AC=3故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的綜合，解題關(guān)鍵是利用截長補(bǔ)短法作出兩個(gè)全等的三角形.三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023春·河南安陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm

(1)求AD的長；(2)求△ACE和△ABE周長的差．【答案】(1)AD的長度為4.8cm(2)△ACE和△ABE的周長的差是2【分析】（1）根據(jù)S△ABC=1（2）將△ACE和△ABE的周長分別表示出來，作差即可.【詳解】（1）解：∵∠BAC=90°，AD是邊BC上的高，∴12∴AD=AB?ACBC=6×810（2）∵AE為BC邊上的中線，∴BE=CE，∴△ACE的周長?△ABE的周長=(AC+AE+CE)?=AC?AB=8?6=2(cm即△ACE和△ABE的周長的差是2cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中的一些重要線段：三角形的高和三角形的中線，熟練掌握利用面積法求三角形的高是解題的關(guān)鍵.18．（6分）（2023春·河南洛陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)BD，請(qǐng)判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】AB+BC+AC＞2BD，理由見解析【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可求解．【詳解】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系．關(guān)鍵是熟悉三角形兩邊之和大于第三邊的知識(shí)點(diǎn)．19．（8分）（2023春·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠B，∠C均為銳角且不相等，線段AD是△ABC中BC邊上的高，AE是△ABC的角平分線．

(1)如圖1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度數(shù)；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，則∠C=______；(3)F是射線AE上一動(dòng)點(diǎn)，C、H分別為線段AB，BC上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將△BGH沿著GH折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)F處，如圖2所示，請(qǐng)直接寫出∠1，∠2與∠B的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)20°(2)x?20(3)∠1+∠2=2∠B【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BAC=80°，則∠BAE=12∠BAC=40°，再求出∠BAD=180°?∠B?∠ADB=20°（2）根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得∠BAD=90°?x°，進(jìn)而得出∠BAE=100°?x°，再根據(jù)角平分線的定義得出∠BAC=2∠BAE=200°?2x°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（3）連接BF，根據(jù)三角形的外角定理得出∠1+∠2=∠B+∠GFH，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠B=∠GFH，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?70°?30°=80°，∵AE是△ABC的角平分線．∴∠BAE=1∵線段AD是△ABC中BC邊上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°?∠B?∠ADB=180°?70°?90°=20°，∴∠DAE=∠BAE?∠BAD=40°?20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，線段AD是△ABC中BC邊上的高，∴∠BAD=90°?∠B=90°?x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°?x°+10°=100°?x°，∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠BAE=200°?2x°，∴∠C=180°?∠B?∠BAC=180°?x°?200°?2x°故答案為：x?20°（3）解：連接BF，

∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折疊所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為180°，直角三角形兩個(gè)銳角互余．20．（8分）（2023春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)的不同單元樓，他們想要測量小華家所在單元樓AB的高度，首先他們?cè)趦蓷潌卧獦侵g選定一點(diǎn)E，然后小明在自己家陽臺(tái)C處看點(diǎn)E的視角為∠HCE．小華站在E處眼睛F看AB樓端點(diǎn)A的視角為∠AFG．發(fā)現(xiàn)∠HCE與∠AFG互余，已知CH∥BD∥GF，BG=EF=1.5米，BE=GF=CD=20米，BD=50米．求單元樓AB的高度．

【答案】單元樓AB的高為31.5米．【分析】根據(jù)已知條件，證明△AGF與△EDC全等，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)再進(jìn)行計(jì)算即可得出．【詳解】由題意得：∠AGF=∠EDC=90°，∴∠CED+∠ECD=90°，∵CH∥BD，∴∠HCE=∠CED，∵∠HCE+∠AFG=90°，∴∠ECD=∠AFG，∵BE=GF=CD=20（米），∴FG=CD=20（米），∴△AGF≌△EDCASA∴AG=ED=BD?BE=50?20=30（米），∴AB=AG+BG=31.5（米），∴單元樓AB的高為31.5米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及俯角仰角的知識(shí)，證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，延長AD到M，使DM=AD，連接BM．

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）圖1中AC與BM的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．【初步應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【探究提升】（3）如圖3，AD是△ABC的中線，過點(diǎn)A分別向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB,AF=AC，延長DA交EF于點(diǎn)P，判斷線段EF與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）AC=BM，AC//BM；（2）2<AD<10；（3）EF=2AD，AD⊥EF，理由見解析【分析】（1）證△MDB≌△ADC，得AC=BM，∠MBD=∠ACD，再由平行線的判定即可得出（2）延長AD到M，使得DM=AD，連接BM，由（1）可知：△MDB≌△ADC，得BM=AC=8，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長AD到M，使得DM=AD，連接BM，由（1）可知：△MDB≌△ADC，得BM=AC，由AC=AF，可證BM=AF，再證△ABM≌△EAF，得AM=EF，∠E=∠BAM，則EF=2AD，然后由平角∠EAP+∠BAM=90°，再由∠E=∠BAM，得∠EPA=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如下圖1，

，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，BD=CD∴△MDB≌△ADC，∴AC=BM，∴AC∥BM，∴AC與BM的數(shù)量關(guān)系是AC=BM，位置關(guān)系是AC∥BM；（2）如下圖2，延長AD到M，使得DM=AD，連接BM，

由（1）可知：△MDB≌△ADC，∴BM=AC=8，在△ABM中，AB?BM<AM<AB+BM，∴12?8<AM<12+8，即4<AM<20，∴2<AD<10；（3）如下圖3，延長AD到M，使得DM=AD，連接BM，

由（1）可知：△MDB≌△ADC，∴BM=AC，∵AC=AF，∴BM=AF，∵∠C=∠DBM，∴AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM=180°，∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠FAC=90°，∴∠BAC+∠EAF=180°，∴∠ABM=∠EAF，在△ABM和△EAF中，AB=EA∠ABM=∠EAF∴△ABM≌△EAF，∴AM=EF，∠E=∠BAM，∵AD=DM，∴AM=EF=2AD，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAM=90°，∵∠AEF=∠BAM，∴∠EAP+∠E=90°，∴∠EPA=90°，即AD⊥EF，∴EF=2AD，AD⊥EF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、倍長中線法、三角形的三邊關(guān)系、平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．22．（8分）（2023春·四川內(nèi)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小正方形的邊長為1，ΔABC為格點(diǎn)三角形．(1)如圖①，ΔABC的面積為；(2)在圖②中畫出所有與ΔABC全等，且只有一條公共邊的格點(diǎn)三角形．

【答案】(1)6;(2)見解析【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面積減去四周三個(gè)直角三角形的面積，列式計(jì)算即可得解；（2）分三種情況討論：分別以AC,AB,BC為公共邊，作與余下兩邊相等的三角形，看是否符合題意即可．【詳解】解：（1）4×4?12×2×2-1（2）如圖

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是作圖-應(yīng)用設(shè)計(jì)、全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（8分）（2023春·廣東惠州·七年級(jí)廣東惠陽高級(jí)中學(xué)初中部校考期中）