§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

【考試要求】1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實(shí)際意義2

掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.函數(shù)的單調(diào)性

⑴單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)閰^(qū)間如果Vxi，X2e/

定義當(dāng)無(wú)1＜X2時(shí)，都有色但運(yùn)b那么當(dāng)X1＜X2時(shí)，都有面）＞呢）,那么就

就稱函數(shù)大尤）在區(qū)間/上單調(diào)遞增稱函數(shù)/（X）在區(qū)間/上單調(diào)遞減

圖象

描述0^1x2~x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

（2）單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y="）在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格

的）單調(diào)性，區(qū)間I叫做y=/（x）的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/U）的定義域?yàn)椤?，如果存在?shí)數(shù)M滿足

(l)Vxez),都有(l)VxG。，都有心.啟〃;

條件

(2)3x0eD,使得"o)=M(.2)Bx0^D,使得"o)=M

結(jié)論M為八x）的最大值M為7（x）的最小值

【常用結(jié)論】

1.V%1，X2G/且X1WX2,

調(diào)遞增（減）.

2.在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù).

函數(shù)＞=/"）（/（尤）＞0或加）＜0）在公共定義域內(nèi)與＞=一於），尸白的單調(diào)性相反.

3.

4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)因?yàn)榘?3)<A2),則八x)在［—3,2］上是增函數(shù).(X)

⑵函數(shù)段)在(一2,3)上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一2,3).(X)

⑶若函數(shù)式龍)在區(qū)間(1,2］和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)1x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).(X

(4)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0,+°°).(X)

【教材改編題】

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.y—x2-1B.y—x3

C.y=2"D.>=一%+2

答案D

2.二在［3,4］上的最大值為()

A.2B.1C.1D.4

答案A

,.'y=~^+l在［3,4］上單調(diào)遞減，

.?.當(dāng)x=3時(shí)，y取得最大值，最大值為占+1=2.

3.函數(shù)於)是定義在［0,+8)上的減函數(shù)，則滿足式2L的尤的取值范圍是

答案I},I)

解析：兀0的定義域是［0,+8),

；.2x—120,即

又「/(X)是定義在［0,+8)上的減函數(shù)，

則x的取值范圍為管I).

-探究核心題型

題型一確定函數(shù)的單調(diào)性

命題點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷

例1(多選)下列函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=eK—e~xB.y=\xz—2x\

C.y=2x+2cosxD.y=y[^+x—2

答案AC

解析??萬(wàn)=^與y=—e=為R上的增函數(shù)，

???、=——?一，為R上的增函數(shù)，故A正確；

由y=4—2x|的圖象(圖略)知,B不正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,y'=2—2sin%20,

.?.y=2x+2cosx在(0,+8)上單調(diào)遞增，故C正確；

、=、密+九一2的定義域?yàn)?一8,—2]U[1,+°°),故D不正確.

命題點(diǎn)2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性

例2試討論函數(shù)兀i)=為(〃W0)在(一1,1)上的單調(diào)性.

解方法一設(shè)一1<X1<X2<1,

/尸/W"i+±），

危尸危2)=4+占)一M+9)

由于一

所以X2—Xl>0,X\一1<0,尤2—1<0,

故當(dāng)。>0時(shí)，於1)一於2)>0,即加1)次M),函數(shù)式X)在(一1,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)。<0時(shí)，危1)一加2)<0,即加1)勺3),函數(shù)式尤)在(-1,1)上單調(diào)遞增.

、、上,(ax)'(x—l)~ax(x-1)'a(x-l)—axa

萬(wàn)法二f'

當(dāng)a>0時(shí)，/(尤)<0,函數(shù)/(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時(shí)，/(尤)>0,函數(shù)式x)在(一1,1)上單調(diào)遞增.

思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法

(1)定義法;(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法.

跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)g(x)=?|x—1|+1的單調(diào)遞減區(qū)間為()

D.(-8,1U[l,+8)

C.[1,+8)

答案B

fx2—x+1,x21,

解析g(xf11+1=1+1+-畫出函數(shù)圖象，如圖所示,

根據(jù)圖象知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為仕，1

(2)函數(shù)八尤)=2一工J，的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[-1,+0°)B.(—8,-1)

C.(—8,0)D.(0,+8)

答案B

解析人x)=2一分解為y=2&和〃=-x2—2x兩個(gè)函數(shù)，y=2"在R上單調(diào)遞增，

u=—%2—2x=—(x+1)2+1在(一8,一1)上單調(diào)遞增，在[-1,+8)上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)八x)=2—2X在(—8,—1)上單調(diào)遞增.

題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小

例3(2023?成都模擬)已知函數(shù)/U)為R上的偶函數(shù)，對(duì)任意XI，x2e(-oo,0),均有(為一

11

尤2)IXxi)—人尤2)]<0成立，若a="n柩，b=/(33),c=/(/),貝|a,b,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

答案B

解析：對(duì)任意Xl,X2￡(—°°,0),

均有(Xl—》2)網(wǎng)1)一/(X2)k0成立，

.??此時(shí)函數(shù)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減，

力3是偶函數(shù),

二當(dāng)xd(0,+8)時(shí)，段)單調(diào)遞增,

1

又兀0=產(chǎn)在xe(o,+8)上單調(diào)遞增，

1,

又0<lny［2<l,

：.\n42<^<y,

ii__

???于①),

即a<c<b.

命題點(diǎn)2求函數(shù)的最值

%2—2

例4函數(shù)兀v)=-^—ln(4—x)在［1,3］上的最大值為.

7

答案3

X2—2?

解析y=x=x—］在［1,3］上單調(diào)遞增,

y=ln(4—x)在［1,3］上單調(diào)遞減，

???治)在［1,3］上單調(diào)遞增，

9—27

***Ax)max=犬3)=—一—0=)

命題點(diǎn)3解函數(shù)不等式

例5已知函數(shù)於)=自*一log2(x+2),若加-2)>3,則。的取值范圍是.

答案(0,1)

解析由本)=曰'—log2(x+2)知，

/(x)在定義域(一2,十8)上是減函數(shù)，

且人T)=3,

由於—2)>3,得憑/—2)次—1),

［a-2<—1,

［a—2>—2,

解得0<a<l.

命題點(diǎn)4求參數(shù)的取值范圍

''是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

ax-1,x<\

A(0,§B.(0,|C.(0,1)D.(0,1］

答案B

{^^2—X］

,'1'是定義在R上的增函數(shù)，

ax~1,x<l

2

所以Ja>0,解得

—2a與a—1,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,|.

思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解

決.

(2)求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“尸，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.

(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))

或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2023?蘭州模擬)設(shè)函數(shù)兀0='則滿足不等式;(2x—

〔log2X,x>2,

1)<2的解集是()

C.(|,2]D.(-8,I)

答案D

解析函數(shù)兀0的圖象如圖所示，

由圖可知，函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增,

因?yàn)檠?)=2,

所以五2尤-1)<2等價(jià)于五2%—1)勺(4),

故2x—1<4,即x弓.

(2)若函數(shù)/尤)=二二1在(a,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

答案[1,2)

._X+Q—3x-1~\~a—2,a—2

解析#v、%/)=---V-----I=-----v----I----=1+--V---I

,.?/(X)在(〃，+8)上單調(diào)遞增,

a—2<0,

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是（）

A.y=，B.y=x

C.y=—亞D.y=：

答案B

解析y=/在（一8,0]上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

y=x在R上為增函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；

y=—/在[0,+8）上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

y=!在（一8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

2.函數(shù)式x）=—|x—2|的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（—8,2]B.[2,+8）

C.[0,2]D.[0,+8）

答案B

%—2,x22,

解析:尸卜一2尸

、一x+2,x<2,

???函數(shù)y=|x—21的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,2],單調(diào)遞增區(qū)間為[2,+8）,

???加）=一伙一2|的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+8）.

2/+3

3.若函數(shù)應(yīng)0=彳￥，則火龍）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(—8,3]B.(2,3)

C.(2,3]D.[3,+0°)

答案C

2/+3,1

斛析犬助=竹區(qū)=2+4，

?\/(x)e(2,3].

fe*-e無(wú)，x>0,

4.（2023?南通模擬）已知函數(shù)式元）=,''若（?=5°叫&=log32,c=log20.9,則有

（）

A.加）/匕）次c）

B.膽）次①次c）

C.加）次。）43

D.4c）次a）/b）

答案A

解析因?yàn)閥=F是增函數(shù)，y=er是減函數(shù)，

所以犬尤）=己一er在（0,+8）上單調(diào)遞增，且於）>0.

又兀0=—/在（-8,0]上單調(diào)遞增，且兀t）WO,

所以黃幻在R上單調(diào)遞增.

又c=log20.9<0,0<&=log32<1,tz=5001>l,

即a>b>c,所以為a）>Ab）>fic）.

Inx+2x,尤>0,

5.（多選）已知函數(shù),/（x）=<2則下列結(jié)論正確的是（）

A.八元）在R上為增函數(shù)

B.八e）42）

C.若汽勸在（a,a+1）上單調(diào)遞增，則aW-l或a20

D.當(dāng)尤可一1,1]時(shí),式尤）的值域?yàn)閇1,2]

答案BC

解析易知危）在（一8,0],（0,+8）上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤，B正確;

若/（X）在（a,a+1）上單調(diào)遞增，

則aNO或a+lWO,

即a〈一l或a20,故C正確；

當(dāng)xe[—l,0]時(shí)，危）W[1,2],

當(dāng)xe（0,l]時(shí)，式尤）e（—8,2],

故當(dāng)天e[—1』]時(shí)，y（x）e（—8,2],故D錯(cuò)誤.

6.（多選）已知函數(shù)兀v）=x—，（aW0）,下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)a>0時(shí)，式x）在定義域上單調(diào)遞增

B.當(dāng)a=—4時(shí)，加0的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,—2）,（2,+8）

C.當(dāng)a=—4時(shí)，犬尤）的值域?yàn)椋ㄒ?,-4]U[4,+8）

D.當(dāng)。>0時(shí)，/）的值域?yàn)镽

答案BCD

解析當(dāng)a>0時(shí)，fix）=x—^,

定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+°°）.

../X）在（一8,0）,（0,+8）上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

又當(dāng)尤一一8時(shí)，/（X）——8,

當(dāng)x一（r時(shí)，犬尤）一+8,

的值域?yàn)镽,故D正確；

4

當(dāng)。=-4時(shí)，J[x）=x+~,

由其圖象（圖略）可知，B,C正確.

7.函數(shù)人口二%2-6|尤|+8的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案（-8,-3],[0,3]

I%2—6尤+8,龍20,

解析由題意得函數(shù)yu）=L,,,°

L^r+ox+8,x<0,

當(dāng)時(shí)，函數(shù)人工）：%2—6x+8的單調(diào)遞減區(qū)間為[0,3],

當(dāng)xvO時(shí)，函數(shù)1%）=/+61+8的單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,—3],

年一6x+8,x>0,

綜上，函數(shù)人x）=2-IQ八的單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,-3],[0,3].

[x十6x十8,x<0

8.已知命題p：“若人尤）勺（4）對(duì)任意的xd（0,4）都成立，則式x）在（0,4）上單調(diào)遞增”.能說(shuō)明

命題p為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

\~x,0<x<4,

答案y（x）=（x—1）2,xG（0,4）（答案不唯一，如心）=1只要滿足題意即可）

[Lx=4,

解析由題意知，

J（x）=（x-1）2,尤e（0,4）,

則函數(shù)大X）的圖象在（0,4）上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，

當(dāng)x=i時(shí)，函數(shù)值最小，且勺（4）,滿足題意，

所以函數(shù)/）=0—1）2,尤G（0,4）可以說(shuō)明命題。為假命題.

9.已知函數(shù)於）=x|x—4].

（1）把/（X）寫成分段函數(shù)，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)/（X）的大致圖象；

（2）寫出函數(shù)式x）的單調(diào)遞減區(qū)間.

解（1次^）=小一4|

Jf—4x,尤》4,

（4X—X2,x<4,

函數(shù)圖象如圖所示.

(2)由(1)中函數(shù)的圖象可知，函數(shù)4r)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,4).

2

10.已知函數(shù)大尤)=。一四萬(wàn).

(1)求/0)的值;

(2)探究負(fù)尤)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

2

解(1求0)=a—1.

(2)?r)在R上單調(diào)遞增.證明如下：

??V(x)的定義域?yàn)镽,

...任取Xl,X2GR且無(wú)1<%2,

222?(2西一

則五方)一加2)=a---------a+------=-------------,

2』+12*+1(1+2』)(1+2力

,.4=2工在R上單調(diào)遞增且xi<X2,

/.0<2%1<2*,

...2f-2*<o,2再+1>0,2為+1>0.

即兀⑴勺但).

.?JU)在R上單調(diào)遞增.

立綜合提升練

11.若函數(shù)/(x)=ln(ax—2)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,+8)B.(2,+8)

C.(0⑵D.[2,+8)

答案D

解析在函數(shù)加)=ln(czx-2)中，令"="一2,函數(shù)y=lna在(0,+8)上單調(diào)遞增，

而函數(shù)/U)=ln(ax—2)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則函數(shù)〃=辦一2在(1,+8)上單調(diào)遞增，且

fa>0,

Vx>l,ax—2>Q,因此《解得a'2,

[a-2^0,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為[2,+8).

12.設(shè)函數(shù)穴均=記°22—V+5,則兀C)的單調(diào)遞增區(qū)間為,不等式兀C—1)<5的解集

為.

答案(0,+8)(0,1)U(1,2)

解析由題意得八x)的定義域?yàn)?一8