20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊專題11函數(shù)的應(yīng)用（一）№考向解讀專題11函數(shù)的應(yīng)用（一）№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第三章函數(shù)的概念及性質(zhì)專題11函數(shù)的應(yīng)用（一）→?考點精析←函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)分段函數(shù)模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1，,f2x，x∈D2，,……，,fnx，x∈Dn))冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)1一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)的一般形式：，其定義域是R，值域是R．2二次函數(shù)模型的應(yīng)用①二次函數(shù)的一般形式是其定義域為R．②若，則二次函數(shù)在時有最小值；若，則二次函數(shù)在時有最大值．③建立二次函數(shù)模型解應(yīng)用題的步驟和建立一次函數(shù)模型解應(yīng)用題的步驟一樣：讀題，解題，建模，解答．3解決實際應(yīng)用問題①解決實際應(yīng)用問題的過程②解決實際應(yīng)用問題的步驟：第一步：閱讀理解，認真審題讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而把握住新信息．第二步：引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果．第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答．③函數(shù)模型的綜合應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用題是利用函數(shù)模型解決實際問題．在數(shù)學(xué)建模的過程中有若干個有著明顯區(qū)別的處理階段：第一階段，對于面臨的實際問題，我們首先需要認真審題，熟悉實際問題的背景知識，明確研究的對象和研究的目的．第二階段，辯識并列出與問題有關(guān)的因素，明確模型中需要考慮的因素以及它們在問題中的作用，以變量和參數(shù)的形式表示這些因素．第三階段，運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)上的技能技巧來描述問題中變量之間的關(guān)系，通常它可以用數(shù)學(xué)表達式來描述．第四階段，利用數(shù)學(xué)知識將得到的數(shù)學(xué)模型予以解答，求出結(jié)果．第五階段，解釋數(shù)學(xué)模型的結(jié)果．根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式，然后利用求函數(shù)最值的方法解決最大、最省等問題．求函數(shù)最值的常用方法有：①配方法；②判別式法；③換元法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤函數(shù)的單調(diào)性法等．→?題型突破←【題型一】一次函數(shù)1.據(jù)調(diào)查，某存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中電動車存車費是每輛一次0.3元，自行車存車費是每輛一次0.2元．若自行車存車數(shù)為x輛次，存車總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A．yx＋800(0≤x≤4000)B．yx＋1200(0≤x≤4000)C．yx＋800(0≤x≤4000)D．yx＋1200(0≤x≤4000)【答案】D【解析】因為自行車輛，所以電動車車輛，存車總收入，故選：D.2．(杭州新東方高中數(shù)學(xué)試卷388)某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價的一次函數(shù)，則這個函數(shù)解析式為_________．【答案】.【解析】設(shè)每件售價元時，售出件，設(shè)，因為，所以①，因為，所以②，解由①②組成的方程組得，，所以.由.故答案為：.【題型二】二次函數(shù)3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品萬件時的生產(chǎn)成本為(萬元)．一萬件售價為萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件．【答案】【解析】設(shè)利潤為，則，當(dāng)時，有最大值，故答案為：18.4．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤(萬元)與銷售時間(月)之間的關(guān)系(即前個月的利潤總和與之間的關(guān)系).根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題：(1)由已知圖象上的三點坐標(biāo)，求累積利潤(萬元)與時間(月)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求截止到第幾個月末公司累積利潤可達到萬元；(3)求第八個月公司所獲得的利潤.【答案】(1)；(2)第十個月；(3)利潤為萬元.【解析】(1)設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為.由題中函數(shù)圖象過點、、，得，解得，因此，所求函數(shù)關(guān)系式為；(2)把代入，得，整理得，，解得，因此，截止到第十個月末公司累積利潤可達到萬元；(3)第八個月公司所獲得的利潤為(萬元).因此，第八個月公司所獲得的利潤為萬元.【題型三】分段函數(shù)5．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品(百臺)，其總成本為G()(萬元)，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本)；銷售收入R()(萬元)滿足：，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律:(1)要使工廠有贏利，產(chǎn)量應(yīng)控制在什么范圍？(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使贏利最多？【答案】(1)產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺，小于820臺的范圍內(nèi)；(2)當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，贏利最多【解析】依題意，.設(shè)利潤函數(shù)為，則.(1)要使工廠有贏利，即解不等式，當(dāng)時，解不等式．即.∴∴，當(dāng)時，解不等式，得，∴，綜上所述，要使工廠贏利，應(yīng)滿足，即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺，小于820臺的范圍內(nèi)．(2)時，故當(dāng)時，有最大值3.6.而當(dāng)時，所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，贏利最多.6.國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)不超過30，游客需付給旅行社飛機票每張900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止.旅行社需付給航空公司包機費每團15000元.(1)寫出飛機票的價格y(單位：元)關(guān)于人數(shù)x(單位：人)的函數(shù)關(guān)系式；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？【答案】(1)；(2)當(dāng)每團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤.【解析】(1)由題意，得即.(2)設(shè)旅行社獲利S(x)元，則，即因為S(x)＝900x－15000在區(qū)間(0,30]上為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝30時，S(x)取最大值12000元，又S(x)＝－10(x－60)2＋21000在區(qū)間(30,75]上，當(dāng)x＝60時，S(x)取得最大值21000.故當(dāng)每團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤.【題型四】基本不等式7.(多選)某公司一年購買某種貨物900噸，現(xiàn)分次購買，若每次購買x噸，運費為9萬元/次，一年的總儲存費用為4x萬元，要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則下列說法正確的是()A．時費用之和有最小值 B．時費用之和有最小值C．最小值為萬元 D．最小值為萬元【答案】BD【解析】一年購買某種貨物900噸，若每次購買x噸，則需要購買次，運費是9萬元/次，一年的總儲存費用為萬元，所以一年的總運費與總儲存費用之和為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)時，一年的總運費與總儲存費用之和最小為萬元，故選：BD8.經(jīng)市場調(diào)查，新街口某新開業(yè)的商場在過去一個月內(nèi)(以30天計)，顧客人數(shù)(千人)與時間(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足()，人均消費(元)與時間(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足(1)求該商場的日收益(千元)與時間(天)(，)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該商場日收益的最小值(千元)．【答案】(1)；(2)千元【解析】(1)根據(jù)該商場的日收益=顧客人數(shù)×人均消費的錢數(shù)得w(t)與t的解析式；(2)根據(jù)第一問得到w(t)為分段函數(shù)，分別求出各段的最值，第一段運用基本不等式求出最值，第二段是一個遞減的一次函數(shù)求出最值比較即可(1)(2)時，單調(diào)遞增，最小值在處取到，；時，單調(diào)遞減，最小值在時取到，單調(diào)遞減，最小值在時取到，則最小值為，由，可得最小值為．答：該商場日收益的最小值為千元．→?專題精練←1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發(fā)，路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑的路程多C．甲比乙先到達終點 D．甲、乙兩人的速度相同【答案】C【解析】結(jié)合已知條件可知，甲乙同時出發(fā)且跑的路程都為，故AB錯誤；且當(dāng)甲乙兩人跑的路程為時，甲所用時間比乙少，故甲先到達終點且甲的速度較大，故C正確，D錯誤.故選：C.2．（多選題）（2022·全國·高一課時練習(xí)）y(km)與時間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D．當(dāng)0≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為y＝x【答案】BD【解析】在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學(xué)家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯誤；當(dāng)0≤x≤30時，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.故選：BD3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，函數(shù)，在時的解析式等價于.根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱作出函數(shù)在上的大致圖像如圖所示，觀察圖像可知，要使，，則需滿足，解得.故選：B.4．(2021·臨朐縣實驗中學(xué)高一月考)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三二稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤，問本持金幾何？”其意思為：今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤，則此人總共持金()A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】C【解析】設(shè)總共持金斤,再根據(jù)過5關(guān)后剩斤列式計算即可.由題得.即故選：C5.(2021·全國高一課時練習(xí))某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售輛該品牌車的利潤(單位：萬元)分別為和.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()A．90萬元 B．60萬元 C．120萬元 【答案】C【解析】設(shè)公司在甲地銷售輛，則在乙地銷售輛，公司獲利為，∴當(dāng)或10時，最大，為120萬元.故選C.6.(2021·浙江)用一段長為的鐵絲圍成一個矩形模型，則這個模型的最大面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)矩形模型的長和寬分別為，，則，，由題意可得，所以，所以矩形菜園的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)矩形菜園的長和寬都為時，面積最大，為．故選：．7．(3.4函數(shù)的應(yīng)用【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊限時作業(yè))如圖，有一長米，寬米的矩形地塊，物業(yè)計劃將其中的矩形建為倉庫，要求頂點在地塊對角線上，分別在邊上，其他地方建停車場和路，設(shè)米.則矩形的面積關(guān)于的函數(shù)解析式為_________.【答案】【解析】在直角中，所以，∴，∴，所以矩形的面積關(guān)于的函數(shù)解析式為.8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）現(xiàn)在有紅豆、白豆各若干粒.甲乙兩人為了計算豆子的粒數(shù)，選用了這樣的方法：第一輪甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當(dāng)紅豆取完時，白豆還剩粒；第二輪，甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當(dāng)白豆取完時，紅豆還剩粒.則紅豆和白豆共有________粒.【答案】【解析】設(shè)紅豆有粒，白豆有粒，由第一輪結(jié)果可知：，整理可得：；由第二輪結(jié)果可知：，整理可得：；當(dāng)時，由得：（舍）；當(dāng)時，由得：（舍）；當(dāng)時，由得：，，即紅豆和白豆共有粒.故答案為：.9．(2020·全國高一課時練習(xí))某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．旅游點規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租所有自行車的日凈收入．(日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費用后的所得)(1)求函數(shù)的解析式；(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？【答案】(1)；(2)日租金定為元時，日凈收入最多，為元.【解析】(1)由題知：當(dāng)時，，令，解得，因為，所以，.當(dāng)時，，，.所以.(2)當(dāng)，且時，為增函數(shù)，所以元.當(dāng)，且時，，當(dāng)時，元.綜上所述，當(dāng)每日自行車日租金定為元時，日凈收入最多，為元.10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2.(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？【解析】（1）依題意：可設(shè)，，∵，，∴，.（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元，依題意得：，即，令，則，，則，，所以當(dāng)，即萬元時，收益最大，萬元.11．(2021·阜新市第二高級中學(xué)高一期末)通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,專家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的注意力著老師講課時間的變化而變化,講課開始時,學(xué)生的興趣激增;中間有一段時間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時間t(分鐘)的變化規(guī)律\left(f(t)越大,表明學(xué)生注意力越集中),經(jīng)過實驗分析得知：(1)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中?能持續(xù)多少分鐘?(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學(xué)生的注意力更集中?(3)一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，教師能否在學(xué)生達到所需的狀態(tài)下講授完這道題目?【答案】(1)講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘；(2)講課開始25分鐘時，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中；(3)經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達到所需要的狀態(tài)下講授完這道題.【解析】(1)當(dāng)0<t?10時,f(t)=?t2+24t+100=?(t?12)2+244是增函數(shù),且f(10)=240；當(dāng)20<t?40時,f(t)=?7t+380是減函數(shù)，且f(20)=240.所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘．(2)f(5)=195,f(25)=205，故講課開始25分鐘時，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中．(3)當(dāng)0<t?10時,f(t)=?t2+24t+100=180，則t=4；當(dāng)20<t?40時,令f(t)=?7t+380=180，t≈28.57，則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時間28.57?4=24.57>24，所以，經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達到所需要的狀態(tài)下講授完這道題．12．（2022·全國·高一專題練習(xí)）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？【解析】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故該當(dāng)每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.（2）不獲利，設(shè)該單位每個月獲利為S元，則，因為，則，故該當(dāng)單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.13．（2022·河南·范縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為元，出廠單價定為元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低元，但實際出廠單價不能低于元.(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰好降為41元？(2)設(shè)一次訂購量為個，零件的實際出廠單價為元，寫出函數(shù)的表達式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價成本）【解析】(1)設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為元時，一次訂購量為個，則.(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.(3)設(shè)工廠獲得的利潤為元，則，即銷售商一次訂購個零件時，該廠獲得的利潤是元.14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系