第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念,體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.理解區(qū)間的概念,并且能夠利用區(qū)間表示集合.第1課時函數(shù)的概念知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究情境導(dǎo)入設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么就說y是x的函數(shù).其中x叫自變量,y叫因變量.這是初中時,我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)的概念.探究:根據(jù)以上函數(shù)的概念,對于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(x,y),(1)若y=1,x∈R,y是否是x的函數(shù)?答案:(1)是.(2)若x=1,y∈R,y是否是x的函數(shù)?答案:(2)不是.1.函數(shù)的有關(guān)概念(1)一般地,設(shè)A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的

一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有

的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做

,

的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.(2)函數(shù)的三要素.一個函數(shù)的構(gòu)成要素為:

、

和

.思考1:(1)函數(shù)的定義域內(nèi)最少有幾個元素?函數(shù)的值域內(nèi)最少有幾個元素?提示:(1)1個;1個.(2)函數(shù)y=f(x)圖象與直線x=1有幾個公共點?知識探究任意提示:(2)0或1.唯一確定函數(shù)值函數(shù)值定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間

.{x|a<x<b}開區(qū)間

.{x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間

.{x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間

.{x|x≥a}—[a,+∞){x|x>a}—(a,+∞){x|x≤a}—(-∞,a]{x|x<a}—(-∞,a)R—(-∞,+∞)[a,b]2.區(qū)間的概念設(shè)a,b是兩個實數(shù),且a<b.(a,b)[a,b)(a,b]思考2:集合{x|a≤x≤b}與區(qū)間[a,b]有什么區(qū)別?提示:集合{x|a≤x≤b}中,當(dāng)a>b時,表示空集;當(dāng)a=b時,表示單元素集合{a};當(dāng)a<b時,表示由不小于a且不大于b的所有實數(shù)組成的集合,即{x|a≤x≤b,a<b}.區(qū)間[a,b]本身隱含a<b,只表示{x|a≤x≤b,a<b}.師生互動·合作探究探究點一函數(shù)概念的理解解析:①在對應(yīng)關(guān)系f下,A中不能被3整除的數(shù)在B中沒有數(shù)與它對應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).②在對應(yīng)關(guān)系f下,A中的數(shù)在B中有兩個數(shù)與之對應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).③在對應(yīng)關(guān)系f下,A中的數(shù)(除去5與-5外)在B中有兩個數(shù)與之對應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).⑤A不是數(shù)集,所以不能確定y是x的函數(shù).④⑥顯然滿足函數(shù)的概念,y是x的函數(shù).故選D.方法總結(jié)判斷某一對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的步驟:(1)A,B為非空數(shù)集.(2)A中任一元素在B中有元素與之對應(yīng).(3)B中與A中元素對應(yīng)的元素唯一.滿足上述三條,則對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.解析:(1)對于A,A中取0,在B中沒有0對應(yīng),故A錯誤;對于B,C,根據(jù)函數(shù)的定義,B,C正確;對于D,A不是數(shù)集,故D錯誤.故選BC.解析:(2)根據(jù)函數(shù)的定義可得A,D正確,而C是一對多,B是定義域內(nèi)3沒有對應(yīng),不符合函數(shù)的定義.故選AD.(2)(多選題)給出下列四個對應(yīng),其中構(gòu)成函數(shù)的是(

)探究點二創(chuàng)建函數(shù)關(guān)系的問題情境方法總結(jié)(1)分析條件中的函數(shù)解析式,確定其函數(shù)類型、定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.(2)從現(xiàn)實生活中尋找和構(gòu)建合適的問題情境,必要時,可適當(dāng)限制x的取值范圍.(3)既要描述情境,又要描述情境中的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.探究點三區(qū)間概念的理解[例3]將下列集合用區(qū)間以及數(shù)軸表示出來:(1){x|x<2};解:(1){x|x<2}可以用區(qū)間表示為(-∞,2);用數(shù)軸表示如圖①所示.(2){x|x=0或1≤x≤5};解:(2){x|x=0或1≤x≤5}可以用區(qū)間表示為{0}∪[1,5];用數(shù)軸表示如圖②所示.[例3]將下列集合用區(qū)間以及數(shù)軸表示出來:(3){x|x=3或4≤x≤8};解:(3){x|x=3或4≤x≤8}用區(qū)間表示為{3}∪[4,8];用數(shù)軸表示如圖③所示.(4){x|2≤x≤8,且x≠5};解:(4){x|2≤x≤8,且x≠5}用區(qū)間表示為[2,5)∪(5,8];用數(shù)軸表示如圖④所示.[例3]將下列集合用區(qū)間以及數(shù)軸表示出來:(5){x|3<x<5}.解:(5){x|3<x<5}用區(qū)間表示為(3,5);用數(shù)軸表示如圖⑤所示.方法總結(jié)區(qū)間是集合的一種表示形式,它只能用來表示連續(xù)的數(shù)集,用區(qū)間表示數(shù)集的方法:(1)左端點值小于右端點值.(2)兩端點之間用逗號“,”隔開.(3)含端點值的一端用中括號,不含端點值的一端用小括號.(4)以“-∞”“+∞”為區(qū)間的一端時,該端必須用小括號.(5)涉及多個區(qū)間的表示時,用并集符號“∪”連接.答案:(1)D

(2)用區(qū)間表示下列集合:{x|x>-1}=

,{x|2<x≤5}=

,{x|x≤-3}=

,{x|2≤x≤4}=

,{x|-3≤x<0或2≤x<4}=

.

解析:(2)集合{x|x>-1}表示大于-1的所有實數(shù),可用開區(qū)間表示為(-1,+∞);集合{x|2<x≤5}表示大于2,且小于等于5的所有實數(shù),可用左開右閉區(qū)間表示為(2,5];集合{x|x≤-3}表示小于等于-3的所有實數(shù),可用左開右閉區(qū)間表示為(-∞,-3];集合{x|2≤x≤4}表示大于等于2,且小于等于4的所有實數(shù),可用閉區(qū)間表示為[2,4];集合{x|-3≤x<0或2≤x<4}表示大于等于-3,且小于0的實數(shù)和大于等于2,且小于4的實數(shù),因此,該集合可用兩個左閉右開區(qū)間的并集表示為[-3,0)∪[2,4).答案:(2)(-1,+∞)

(2,5]

(-∞,-3]

[2,4]

[-3,0)∪[2,4)探究點四一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域、值域[例4](1)已知函數(shù)f(x)=-2x+3的值域為[-5,5],則它的定義域為(

)A.[-5,5] B.[-7,13]C.[-4,1] D.[-1,4](1)解析:由函數(shù)f(x)=-2x+3的值域為[-5,5]可知-5≤3-2x≤5,解得-1≤x≤4.故選D.答案:(2,8](3)已知二次函數(shù)y=x2-2x-3.分別求x∈R,x∈[-1,2],x∈[1,+∞)時,函數(shù)的值域.(3)解:因為y=x2-2x-3=(x-1)2-4,所以當(dāng)x∈R時,y≥-4.所以函數(shù)值域為[-4,+∞).當(dāng)x∈[-1,2]時,函數(shù)圖象如圖①所示.由于x=-1時,y=0,此時函數(shù)的值域為[-4,0].當(dāng)x∈[1,+∞)時,函數(shù)圖象如圖②所示.由于x=1時,y=-4,故函數(shù)的值域為[-4,+∞).方法總結(jié)(1)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的值域可根據(jù)函數(shù)的定義域,結(jié)合不等式的性質(zhì)(或畫出函數(shù)圖象)求解.(2)二次函數(shù)的值域應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)圖象求解.答案:(1)D

解析:(2)因為函數(shù)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,故二次函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,因為x≥2,所以當(dāng)x=2時,函數(shù)取得最小值為2,函數(shù)沒有最大值,故函數(shù)的值域為[2,+∞).故選D.答案:(2)D答案:(3)[1,2]1.以下從M到N的對應(yīng)關(guān)系表示函數(shù)的是(

)當(dāng)堂檢測B解析:A中,M中元素0,在N中無對應(yīng)的元素,不滿足函數(shù)的定義;B中,M中任一元素,在N中都有唯一的元素與之對應(yīng),滿足函數(shù)的定義;C中,M中任一元素,在N中都有兩個對應(yīng)的元素,不滿足函數(shù)的定義;D中,M中元素0,在N中無對應(yīng)的元素,不滿足函數(shù)的定義.故選B.2.已知函數(shù)f(x)=2x+1,x∈{x∈N|-1≤x≤3},則函數(shù)f(x)的值域為(

)A.{-1,1,3,5,7} B.{1,3,5,7}C.[-1,7] D.[1,7]B解析:因為函數(shù)f(x)=2x+1,x∈{x∈N|-1≤x≤3}={0,1,2,3},所以f(x)的值域為{1,3,5,7}.故選B.3.(多選題)下列函數(shù)定義域和值域相同的是(

)ACD4.若函數(shù)f(x)=x2-4x+1在定義域A上的值域為[-3,1],則區(qū)間A不可能為(

)A.[0,4] B.[2,4]C.[1,4] D.[-3,5]D解析:因為函數(shù)f(x)=x2-4x+1的圖象是開口向上的拋物線,以直線x=2為對稱軸,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x∈[0,4]時,函數(shù)最小值為f(2)=-3,最大值為f(0)=f(4)=1,得函數(shù)值域為[-3,1];當(dāng)x∈[2,4]時,函數(shù)最小值為f(2)=-3,最大值為f(4)=1,得函數(shù)值域為[-3,1];當(dāng)x∈[1,4]時,函數(shù)最小值為f(2)=-3,因為f(1)=-2<f(4)=1,所以最大值為f(4)=1,得函數(shù)值域為[-3,1];當(dāng)x∈[-3,5]時,最小值f(2)=-3,最大值為f(-3)=22,得函數(shù)值域為[-3,22].根據(jù)以上的討論可得區(qū)間A不可能為[-3,5].故選D.備用例題[例2]

(多選題)若函數(shù)y=x2-4x-4的定義域為[0,m],值域為[-8,-4],則實數(shù)m的值可能為(

)A.2 B.3 C.4 D.5解