赤峰市高三年級3-20模擬考試試題

理科數(shù)學(xué)

2024.03

本試卷共23題，共150分，共8頁，考試用時120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一

并交回.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名，準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼條形碼區(qū)域內(nèi).

2.選擇題答案必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字

體工整，筆跡清楚.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知全集U=R,A=^x|0<x<ij-,8={x|lnx<l},貝()

A.(0,1)B.(l,e)C.[l,e)D.[e,4-oo)

2.棣莫弗公式(cosx+i-sinx)"=cos(〃x)+i-sin(〃x)(其中i為虛數(shù)單位)是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-

1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)"g+i-sing］在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若向量5與B滿足H+鼠且同=1,網(wǎng)=2,則向量方與B的夾角為()

A.—B.-C.-D.—

3366

4.命題“VxeR,3MeN*,〃〉/"的否定形式是()

22

A.VxeR,eN*,n<x.B.3xeR,3MeN\n<x

2

C.3xGR,eN*,n<x2.D.3xeR,\/neN*,n<x

5.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且周期7=6.若當xe[—3,0]時，/(x)=4\貝"(2024)=

()

11

A.4B.16C.—D.-

164

6.在下列四個圖形中，點尸從點。出發(fā)，按逆時針方向沿周長為/的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離

y與點P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點P所走的圖形是（）

7.正值元宵佳節(jié)，赤峰市“盛世中華?龍舞紅山”紀念紅山文化命名七十周年大型新春祈?；顒又?，有4名

大學(xué)生將前往3處場地B,C開展志愿服務(wù)工作.若要求每處場地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加

且只能去一處場地，則當甲去場地N時，場地8有且只有1名志愿者的概率為（）

321八63

A.—B.—C.—D.一

450115

8.如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的

22

另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面的題目：已知曲線C的方程為土+乙=1,其左、右焦點分別

2516

是《，鳥，直線/與橢圓C切于點P,且忸片|=2,過點尸且與直線/垂直的直線/'與橢圓長軸交于點

C.1:3D.1:4

9.已知△48C的三個內(nèi)角B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足2a+b=2ccos8,且

sinZ+sinB=l,則△NBC的形狀為（）

A.等邊三角形B.頂角為120。的等腰三角形

C.頂角為150。的等腰三角形D.等腰直角三角形

與加為偶數(shù)時

10.已知數(shù)列｛4｝滿足4-,若6=1，%的所有可能取值構(gòu)成集合則M中

3%+1,當a,為奇數(shù)時

的元素的個數(shù)是（）

A.7個B.6個C.5個D.4個

11.在直三棱柱4BC—481G中，各棱長均為2,M,N,P,。分別是線段ZC,4G，441，eq的中

點，點。在線段兒。上，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.三棱柱4BC-451G外接球的表面積為個B.BDLMQ

C.面A0ND.三棱錐。―Q5］N的體積為定值

22

12.已知尸是雙曲線C:0—々=1（?！?力〉0）的左焦點，過點尸的直線/與雙曲線C的一條漸近線垂

ab

——’1?

直，垂足為"，且直線/與雙曲線。的右支交于點N,若FM=—FN,則雙曲線。的漸近線方程為

4

（）

314

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±2xD.y=±-x

423

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.［一+j］的展開式中x的系數(shù)為

14.已知圓C:（x—2『+/=4,直線/:y=—x+1被圓C截得的弦長為

15.已知函數(shù)/（x）=/sin（0x+o）12〉0,0〉0,—J的部分圖象如圖所示，若將y=/（x）的圖

象向左平移機（機〉0）個單位長度后所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則加的最小值為

16.定義在（一1,1）上的函數(shù)/（x）滿足：對任意都有/（x）+/（y）=/x+t,且當

J+也

xe（O,l）時，/（x）＜0恒成立.下列結(jié)論中可能成立的有

①/（x）為奇函數(shù);

②對定義域內(nèi)任意而W/，都有西/（西）+》2/（》2）〉%/（》2）+》2/（不）；

③對內(nèi),%€(-1,0)，都有

]

④

i~+3z+1I

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛4｝,.在①數(shù)列｛4｝的前〃項和為Sn,Sn=2a“—2；②數(shù)列｛??｝的前n

w(?+l)

項之積為S“=2=(〃eN*),這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答(注：如果選擇多個條

件，按照第一個解答給分.在答題前應(yīng)說明“我選")

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)令b"=CL"+log2an,求數(shù)列[bn]的前n項和北.

18.(12分)2024年甲辰龍年春節(jié)來臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一

條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況.隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，

質(zhì)量的分組區(qū)間為(495,505],(505,515],(535,545],由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值了;

(2)由樣本估計總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值J服從正態(tài)分布N(〃,1.252),

其中〃近似為(1)中的樣本平均值了，計算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標值42519.75的概率；

(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)丫為質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量，求丫的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：若匕?N(x,/),則尸(〃-cr<JW”+cr)70.6827,

尸(〃一2(7<JW〃+2(7)q0.9545,尸(〃一3cr<JW〃+3cr)合0.9973.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=(』+a—11/.

(1)當a=l時，求曲線y=/(x)在點處的切線方程;

(2)當a=2時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上只有一個極值點，求a的取值范圍.

20.(12分)已知正方體ZBCD-4B1GA,棱長為2.

(1)求證：4。，平面48Q1.

(2)若平面a〃平面48］。］,且平面a與正方體的棱相交，當截面面積最大時，在所給圖形上畫出截面圖

形(不必說出畫法和理由)，并求出截面面積的最大值.

(3)在(2)的情形下，設(shè)平面a與正方體的棱48、BB「gG交于點E、F、G,當截面的面積最大

時，求二面角R—EE—G的余弦值.

21.(12分)已知拋物線尸：/=2/(0<P<5)上一點0的縱坐標為4,點0到焦點廠的距離為5.過點

F做兩條互相垂直的弦AB、CD,設(shè)弦AB、CD的中點分別為M、N.

(1)求拋物線P的方程.

(2)過焦點廠作EG，跖V,且垂足為G,求|OG|的最大值.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第

一題計分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標號涂黑.

22.選修4-4：坐標與參數(shù)方程(本題滿分10分)：

x=2cosa

已知在平面直角坐標系X。中，曲線G的參數(shù)方程為《廠(。為參數(shù))，曲線。2的參數(shù)方程為

［y=V3sina

v.（。為參數(shù)，兀＜。＜2兀）.

y=4+sin。

（i）求曲線G的普通方程；

（2）已知M,N分別是曲線。，G上的動點，求的最小值.

23.選修4-5:不等式選講（本題滿分10分）

已知函數(shù)/（x）=|x-m|.

（1）當加=2時，求不等式/（幻24-卜+1|的解集；

（2）若/（X）?2M—|x+U恒成立，求加的取值范圍.

赤峰市高三年級3.20模擬考試試題

理科數(shù)學(xué)答案

2024.03

一、選擇題:

題號123456789101112

答案CBACBDADBBCD

二、填空題：

13.8014.V1415.-16.①③④

6

解答題：

17.解：（1）選①，當〃=1時，ax-2ax—2,即q=2

當〃22時，S〃=2%—2①

%=2%-2②

a

①一②得：%=2%-2%「即工=2

%

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列

所以4=2"

選②，當〃=1時，%=S]=2,即q=2

QO2n(n+l)n(n-l)

當心2時，=即%=2^—^=2"

"T22

當〃=1時，q=2符合上式.

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列

所以%=2"

(2)因為〃=%+log2%，所以"=2"+〃，

所以7；=⑵+2?+…2")+(1+2+…+〃)

2(1-2")〃(〃+1)

T=2"+i—2+^^

〃2

18.解(1)由頻率分布直方圖可知，

?.?質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品的頻率為5x0.07+5x0.05+5x0.01=0.65,

二質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量為40x0.65=26(件)

x=10x(500x0.015+510x0.020+520x0.035+530x0.025+540x0.005)=518.5

(2)由題意可得〃=元=518.5,<7=1.25

則—cr+cr)=P(517.25<J<519.75)?0.6827,

則該批產(chǎn)品質(zhì)量指標值J2519.75的概率：

PC>519.75)=\0(517.25；1V519.75)=0”865

(3)根據(jù)用樣本估計總體的思想，從該流水線上任取一件產(chǎn)品，

該產(chǎn)品的質(zhì)量超過515克的概率為生=巨=0.65

4020

所以，從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看作二項分布.

故，質(zhì)量超過515克的件數(shù)y可能的取值為0,1,2,且y?上

13k2-k

.?.p(Y=k)=C：xIX，左=0」,2

20

：.尸(y=o)=c；xI=—=0.352=0.1225,

41400

137QI13i2_169

p(y=l)=c*X—X—=—=0.455,P(Y=2)=C；x0.4225，

2202020020

：.Y的分布列為

Y012

P4991169

400200400

499116913

y的均值為E(y)=0xf二+1XN^+2X2=1.3或者E(y)=2xU=1.3

40020040020

19.解(1)：當a=l時，/(%)=—,則八x)=e'(\T)

XX

所以，/(l)=e,r(l)=0,

故當a=l時，曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程為y—e=0,即^=6.

(X+1)e

(2)當a=2時，/(x)=f-+lje',該函數(shù)的定義域為{x|xw0},

JC

(x+2)xex-(x+l)ex_(x2+x-l)ex

/'(x)

x2X2

或x〉正1

由/即—1>0,解得

22

/

因此，當a=2時，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為—00,—,+00

k7

2v

—F6Z—1j,,r((a-l)x+x-l)e

(3)法I：因為/(x)=貝！Jf(x)=[—+ex

2

xXX

令g(x)=(a-1)/+X-1,因為函數(shù)/(x)在(0,1)上有且只有一個極值點,

則函數(shù)g(x)在(0,1)上有一個異號零點，

當a=l時，對任意的xe(O,l),g(x)=x—1<0恒成立，無零點，故不符合題意;

當a>l時，函數(shù)g(x)=(a—l)/+x—1在(0/)上單調(diào)遞增,

因為g(O)=—1<0,只需g(l)=a—1〉0,故。>1符合題意;

當。<1時，函數(shù)g(x)的圖象開口向下，對稱軸為直線x=—2(1])〉0,

因為g(O)=—1<0,只需g(l)=a—l〉O,故。<1不符合題意，舍去

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是(1,+8).

法n：令(Q-1)/+X—1=0

則a—1=二一,有根.

x~x

令/=工e(1,+oo)

x

設(shè)g?)=/-t

由題意可知a—1〉0

:.a>\

20.證明：(1)連接4。，AB

因為Z5CD—451cl2是正方體，所以8C,平面N8814,因為Ngu平面,所以5。，2片

又因為四邊形是正方形，所以45,48],

因為48nBe=8,所以平面45C,

因為4Cu平面45C,所以同理：4cBi

又因為481口5]2=片，所以4C,平面4BQ1.

(2)截面圖形為如圖所示的六邊形

根據(jù)題意知截面面積最大時，圖形是邊長為友的正六邊形，

所以最大的截面面積為S=6x』x后x0xsin6O°=3G

2

(3)因為平面a〃平面48Q1，所以當截面ENG的面積最大時，E、F、G分別是棱48、BB「四?！康?/p>

中點，以。為原點建立如圖所示空間直角坐標系

2(0,0,2),￡(2,1,0),F(2,2,l),G(l,2,2)

設(shè)平面口斯的一個法向量是力=(須,必/1),

---?---?[n-D.E=2x,+y.-2z.=0

2￡二(2』,—2),。尸二(2,2,—l),」1711

n-Dp=2再+2%一句=0

令再=3,則弘=—2,4=2,n=(3,—2,2)

設(shè)平面GE尸的一個法向量是應(yīng)=(%,外,Z2),而=(0,1,1),FG=(-1,0,1)

.--?

m?EF=%+Zo=0

<__>,令％2=1，貝！J%=—1,z2=l,則成=(1,—1,1)

m?FG=-x2+z2=0

/_n-m3xl+(-2)x(-l)+lx27751

cos(n.m)=,-7=i-i==-----

、/\nr[\m\新+J2'+2.Jp+(_])2+]251

設(shè)二面角A—EE—G的平面角為6,由圖知6為銳角，所以cosd=￡p,

所以二面角A-￡尸-G的余弦值為

21.解：(1)由題可知，4?=225—三

解得,2=2或2=8(舍)

所以，拋物線P的方程為V=4x

(2)設(shè)直線4B:x=叼+1,5(%2,72)，

f(x=my+lz_0

2

聯(lián)，可得y-Amy-4=0,則得%+%=4加，+x2=4m+2,

y=4x

.-.M(2ffl2+l,2ffl),同理N(±+l,-工］

\mm)

①機=±1時，|OG|=3

②當機K±1時，

c2

2mH——

:.lMN:y-2m=------《-(x-2掰2-1)

2m2—