人教2019A版選擇性必修二4.1數(shù)列的概念(2)第四章

數(shù)

列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列遞推公式的含義,會(huì)用遞推公式解決有關(guān)問題.(邏輯推理)2.會(huì)利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前小測(cè)例4.圖中的一系列三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在圖中4個(gè)大三角形中，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

典例解析

概念解析通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別通項(xiàng)公式直接反映了an與n之間的關(guān)系,即已知n的值,就可代入通項(xiàng)公式求得該項(xiàng)的值an;遞推關(guān)系則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系,要求an,需將與之聯(lián)系的各項(xiàng)依次求出.

一、數(shù)列的遞推公式1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,小試牛刀1.數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.點(diǎn)睛(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必須注意它成立的條件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若當(dāng)n=1時(shí),a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)采用分段表示,即概念解析二、數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和√××小試牛刀3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,當(dāng)n=1時(shí),2×1-1=1,故a1不適合②式.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為分析:由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值.典例解析

由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法

根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)算即可.另外,解答這類問題時(shí)還需注意:若已知首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式;若已知末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3,且a1=0,則此數(shù)列的第5項(xiàng)是(

)A.15 B.255 C.16

D.63解析:因?yàn)閍1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟蹤訓(xùn)練例2若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-2n2+10n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1=-2+10=8=-4×1+12.此時(shí)滿足an=-4n+12,∴an=12-4n.典例解析變式探究：試求本例中Sn的最大值.又∵n∈N*,∴當(dāng)n=2或n=3時(shí),Sn最大,即S2或S3最大.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練答案:C當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2.已知數(shù)列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,則實(shí)數(shù)m等于(

)A.0 B.C.2 D.5解析:由題意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,答案:B3.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n2+25n,則數(shù)列{an}的各項(xiàng)中最大項(xiàng)是(

)A.第4項(xiàng)

B.第5項(xiàng)

C.第6項(xiàng)

D.