2023-2024學年岳陽市高一數學（下）期中考試卷（考試時間120分鐘，試卷滿分150分）2024.5注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊，必修第二冊第六章至第八章8.4.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在復平面內，復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設集合，則（

）A． B． C． D．3．已知向量不共線，向量，則（

）A． B． C． D．124．如圖，表示水平放置的根據斜二測畫法得到的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則中邊上的高為（

）A．2 B．4 C． D．5．已知函數的最小正周期為，則圖象的一個對稱中心的坐標為（

）A．B．C． D．6．若，則（

）A． B． C． D．7．永豐文塔位于湖南省雙峰縣城永豐鎮(zhèn)，修建于清朝同治年間，巍巍七層文塔，塔形呈六角形，塔底用高達五尺八寸的青條石奠基，永豐文塔與雙峰書院遙相呼應，象征雙峰文運昌隆．如圖，某測繪小組為了測量永豐文塔的實際高度，選取了與塔底在同一水平面內的兩個測量基點，現(xiàn)測得，在點測得塔頂A的仰角為，則塔高（

）（取，）A． B． C． D．8．已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點，該圓錐內切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在高為3的正三棱臺中，，且上底面的面積為，則（

）A．直線與異面B．直線與異面C．正三棱臺的體積為D．正三棱臺的體積為10．已知復數則（

）A．的虛部為 B．C．為實數 D．為純虛數11．如圖，在梯形中，分別在線段上，且線段與線段的長度相等，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為18C．的最大值為 D．的面積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．在復數范圍內，方程的解集為．13．已知向量，若，則；若，則．14．若函數恰有4個零點，則的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知的內角的對邊分別為，且．(1)證明：為鈍角三角形．(2)若的面積為，求．16．已知函數．(1)證明：的定義域與值域相同．(2)若，，，求m的取值范圍．17．如圖，在高為2的正三棱柱中，是棱的中點．(1)求該正三棱柱的體積；(2)求三棱錐的體積；(3)設為棱的中點，為棱上一點，求的最小值．18．如圖，在梯形中，，，，，在線段上．

(1)若，用向量，表示，；(2)若AE與BD交于點F，，，，求的值．19．在中，．(1)證明：為的重心．(2)若，求的最大值，并求此時的長．1．A【分析】利用復數的運算法則、幾何意義即可得出．【詳解】在復平面內，復數=∴復數所對應的點（1，1）位于第一象限．故選：A．【點睛】本題考查了復數的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．2．D【分析】先化簡集合A，再根據集合的并集運算求解.【詳解】由，解得，，又，所以．故選：D.3．B【分析】由向量共線定理知，，再根據平面向量基本定理，對應系數相等即可求得.【詳解】因為不共線，，所以，即，即，解得.故選：B.4．B【分析】還原的原圖，中邊上的高為，即可得出答案.【詳解】還原的原圖，如圖所示，直觀圖中的點分別對應原圖中的點，直觀圖中的軸、軸分別對應原圖中的軸、軸．因為，所以，則，即中邊上的高為4．故選：B.5．D【分析】由最小正周期可求，可得，利用，可求對稱中心的坐標.【詳解】由，得，所以．令，則，當時，，所以圖象的一個對稱中心的坐標為．故選：D.6．A【分析】由指數函數和對數函數的單調性即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，又，所以．故選：A.7．D【分析】根據題意在中利用正弦定理可得，進而結合直角三角形分析求解.【詳解】在中，由正弦定理得，則，因為在點測得塔頂A的仰角為，所以．故選：D.8．A【分析】根據題意，利用內切圓的性質，求得圓錐的底面半徑和高，結合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設內切球與PA相切于點，因為，所以，由內切球的表面積為，可得球的半徑，則圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，所以該圓錐的體積.故選：A.9．BC【分析】由異面直線的定義可判斷A，B；求出正三棱臺的體積可判斷C，D.【詳解】對于A，直線與相交，A錯誤；對于B，因為平面，平面，平面，所以平面直線與異面，B正確；對于C、D，因為正三棱臺下底面的面積為，所以正三棱臺的體積，C正確，D錯誤．故選：BC.10．ABD【分析】借助復數四則運算計算出復數后，結合共軛復數定義、復數概念與模長公式計算即可得.【詳解】對A：，，則的虛部為，故A正確；對B：，故B正確；對C：，不是實數，故C錯誤；對D：，是純虛數，故D正確．故選：ABD.11．BCD【分析】利用坐標法，以A為原點建立坐標系，寫出相關點坐標，得到相關向量的坐標，利用向量的坐標運算，再求解二次函數最值即可判斷各個選項.【詳解】如圖，以點A為坐標原點建立平面直角坐標系，設，則，對于A,B，，故A錯誤，B正確；對于C，，當時，取得最大值，且最大值為，故C正確；對于D，的面積，當時，取得最大值，且最大值為，故D正確．故選：BCD.12．【分析】在復數范圍內解方程即可得出答案.【詳解】由，得或，即或．故答案為：.13．##【分析】由垂直向量的坐標表示可求出的值；再由向量的夾角公式可得，解方程可得出答案.【詳解】若，則，所以．若，則，得，所以（舍去）或，故．故答案為：；.14．【分析】由二倍角的正弦和余弦公式化簡，令，得，根據的范圍求出的范圍，由三角函數的性質可得，解不等式即可得出答案.【詳解】，令，得．若，則，依題意可得，解得．故答案為：.15．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理即可證明；（2）由三角形的面積公式可得，再由余弦定理可得，解方程即可求出.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，所以為鈍角，故為鈍角三角形．（2）解：因為的面積，所以．由（1）知，所以，由余弦定理，得，結合，解得．16．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由具體函數的定義域可得，解不等式即可求出的定義域，再結合對數函數的單調性即可求出的值域.（2）設，則，分別求出，即可得出答案.【詳解】（1）證明：由，得，所以的定義域為．，因為在上單調遞增．所以，所以的值域為，所以的定義域與值域相同．（2）解：由（1）知在上單調遞增，所以當時，．設，當，即時，取得最小值，且最小值為．因為，，，所以，即m的取值范圍為．17．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由正三棱柱的體積公式求解即可；（2）由的體積等于，分別求出的體積代入即可得出答案.（3）將側面繞旋轉至與側面共面，如圖所示,當三點共線時，取得最小值，求解即可.【詳解】（1）因為，所以．（2）因為，，所以（3）將側面繞旋轉至與側面共面，如圖所示．當三點共線時，取得最小值，且最小值為．18．(1)，；(2)．【分析】（1）根據圖形關系及平面向量線性運算法則計算可得；（2）依題意可得，根據數量積的運算律及定義得到方程，求出，再判斷即可.【詳解】（1）依題意，．（2）因為，所以，所以．因為，所以，所以，即，解得或．連接交于，因為，所以，所以，則．因為在線段上，所以，故．

19．(1)證明見解析；(2)最大值為，【分析】（1）設，分別為，，的中點，利用向量的加法與三角形中線的性質，證出，，由共線定理可得為三條中線的交點，即可證明；（2）分別在三角形中進行余弦定理，證出，從而設，由兩角和的