2023-2024年廣東新高考高二(上)數(shù)學(xué)期末模擬卷

一.選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)

1.(5分)已知直線的方程為尤-y+l=0,則該直線的傾斜角為()

A.-B.-C.—D.—

6436

【答案】B

【詳解】直線x-y+l=0的斜率6=1,

設(shè)其傾斜角為。(0飛。<180。)，

tan。=1,得。=%.

4

故選：B.

2.(5分)已知等差數(shù)列伍」中，a2+a7=18,則數(shù)列｛4｝的前8項和Sg等于()

A.42B.50C.72D.90

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列｛%｝中，a2+a7=18,

則$=(%+/)x8=(%+%)x8=18x8=72

'8-2-2~2~'

故選：C.

3.(5分)已知向量萬=(1,1,x),b*(-2,2,3),若(2"楊而=1,則x=()

A.-3B.3C.-1D.6

【答案】B

【詳解】向量用=(LLx),3=(-2,2,3),

則2%一行=(2,2,2%)-(-2,2,3)=(4,0,2尤-3),

(2a-byb=l,

貝!］一8+3(2%—3)=1,解得x=3.

故選：B.

22

4.(5分)運用微積分的方法，可以推導(dǎo)得橢圓與+2=1(°>6>0)的面積為萬湖.現(xiàn)學(xué)校附近停車場有一

ab

輛

車，車上有一個長為7加的儲油罐，它的橫截面外輪廓是一個橢圓，橢圓的長軸長為3m,短軸長為L8〃z,

則該儲油罐的容積約為0rg3.14)()

A.20m3B.30m3C.40m3D.50m3

【答案】B

【詳解】長為7〃z的儲油罐，它的橫截面外輪廓是一個橢圓，橢圓的長軸長為3m，短軸長為18”，

3

可得。=一，b=0.9,/?=7,

2

3

所以該儲油罐的容積：^Wi=3.14x-x0.9x7?30(m3).

故選：B.

5.(5分)已知A(2,-3),2(2,1),若直線/經(jīng)過點尸(0,-1),且與線段AB有交點，則/的斜率的取值范圍為

()

A.(-00,-2]|J[2,+00)B.[-2,2]

C.(-00,,+00)D.[-1,1]

【答案】D

【詳解】已知4(2,-3),2(2,1),若直線/經(jīng)過點尸(0,-1),且與線段有交點,

如圖所示：

則/的斜率的取值范圍為[-1,1].

故選：D.

6.(5分)如圖，在直三棱柱中，AAt=AC=BC,且AC_L8C,已知E為BC的中點，則異

面直線AC與所成角的余弦值為()

C3加D,巫

'1010

【答案】B

【詳解】在直三棱柱ABC—A瓦G中，AAi=AC=BC,且ACJ.BC,

以C為坐標(biāo)原點，以CA所在直線為x軸，C8所在直線為y軸，CG所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)例=AC=2C=2,又E為BC的中點，

則A(2，0,2),C(0,0,0),￡(0,0,2),E(0,1,0),

AC=(-2,0,-2),QE=(0,1,-2),

則異面直線AC與CE所成角的余弦值為：

c4_Vio

|cos〈不，印>|=5.吧

A

\\E\-\CXE\Vs-/55

7.(5分)已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足q=1,%+(-1)"%+1=1-,記數(shù)列｛%｝的前w項和為S“，貝1)邑023=(

)

A.506B.759C.1011D.1012

【答案】A

【詳解】由題思，可得S2023=+。2+…+。2023

=%+(<^2+%)+(〃4+%)+,,,+(〃2022+。2023)

242022

=1+(1---------)+(1---------)+.?.+(1---------)

202220222022

2022242022

=l+lx---------(-------+

2202220222022

1+2+…+1011

=1012-

ioii

1011x10121

=1012-

2Ion

=506.

故選：A.

8.（5分）已知正方體ABC。-44G2的內(nèi)切球的表面積為左，P是棱BB]上一動點,當(dāng)直線G。與平面

AGP的夾角最大時，四面體D-AG尸的體積為（）

A.-B.-C.-D.-

4369

【答案】A

【詳解】建系如圖，?.?正方體的內(nèi)切球的表面積為不，

.??易得正方體的棱長為1,

???4（1,0,0）,G（0,1,0）,0（1,1,1）,設(shè)尸（0,0,t）,Ze[O,1],

qo=（1,0,1）,QA=（i,-i,o）,4?=（-i,o,r）,

設(shè)平面AGP的法向量為五=（x,y,z）,

…n-CA=x-y=0寸

則L，取力=?//），

n-=-x+tz=0

：.直線cp與平面AGP的夾角的正弦值為：

\QD-n\t+1互J(f+1)2

Icos<C\D,五>|=2

\QD\\n\血),2j+1~2\2t+]

令，+1=〃,,//G[0,1],WG[1,2],

V2I(t+i)2_V|I”2_7|

N2?+l―~2.12/—4〃+3―

令v=L?/we[1,2],ve[—,1],

u2

V2i_V2Ii_V2Ii1”

yuu2y33

，當(dāng)v=2,即_L=2,即,=工時，直線q。與平面AG尸的夾角的正弦值取得最大值，

31+1321"I

此時直線G。與平面AGP的夾角也最大，

當(dāng)直線G。與平面AG尸的夾角最大時，P為棱8月的中點,

此時平面4QP的法向量n=（；,：/），又殺=（1,0,1）,

點D到平面AGP的距離為IQDIIcos<QD,n>|=

1?1

又易知此時AP=GP=5-，AG=^2,

.?.△4￡尸的面積為；、后、導(dǎo)；=?，

此時四面體。-AGP的體積;x*xg=；,

二.多選題（共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選

對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.（5分）設(shè)｛3,b,a是空間一個基底，則下列選項中正確的是（）

A.若bLc,貝!

B.a+c,b+c,0+2一定能構(gòu)成空間的一個基底

C.對空間中的任一向量力，總存在有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,^p=xa+yb+zc

D.存在有序?qū)崝?shù)對，使得5=切+

【答案】BC

【詳解】對于A，a,b,不能得出N_L5,也可能是。、5相交不一定垂直，選項A錯誤;

對于3,假設(shè)向量方+B,b+c,1+0共面，則%+B=x(彼+5)+y(5+%),x、y&R,

化簡得(x+y)3=(l-x)B+(l-y)a,所以N、B、5共面，這與已知矛盾，所以選項8正確;

對于C,根據(jù)空間向量基本定理知，對空間任一向量p，總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),i$,p-xa+yb+zc,

選項C正確；

對于。，因為｛2,b,3｝是空間一個基底，所以。與3、E不共面，選項O錯誤.

故選：BC.

10.(5分)某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心尸為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地

點A(離地面最近的點)距地面千米，遠(yuǎn)地點2(離地面最遠(yuǎn)的點)距地面"千米，并且尸、A、B三

點在同一直線上，地球半徑約為E千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a、2b、2c,貝lj(

)

A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=+R)(n+R)

【答案】ABD

【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為。，短半軸為。，半焦距為c,則由題意可知：a-c-R=m,a+c-R=n,可

得a-c=in+R,所以A正確；a+c=R+n,所以2正確；

—TZHm+n?n-m

可得a=------+R,c=-----.

22

則/=/_/=(m+n+R)「(匕坊=(m+R)(”+R).

22

則6=J(〃z+R)(〃+R).所以。正確；

故選：ABD.

11.(5分)已知直線/:x-y+5=0,過直線上任意一點M作圓C:(X-3)2+V=4的兩條切線，切點分別為

A,B,則有()

A.|M41長度的最小值為40-2

B.不存在點M使得為60。

C.當(dāng)|MC|?|AB|最小時，直線A3的方程為x-2y-l=0

D.若圓C與x軸交點為尸，Q,則亞?麗的最小值為28

【答案】BD

【詳解】由題知圓C的圓心為(3,0),半徑為廠=2,

因為圓心(3,0)到直線/:x-y+5=0的距離為〃=*=4四，所以|MC京=4日

對于A：

所以1跖^“=4〃5加2一/=2而，

對于8：假設(shè)存在點M使得為60。，如圖，則NAMC=30。，

故在RtAAMC中，|MC|=2r=4,

由A知|MC|,“加=4板>4,故矛盾，即不存在點M使得為60。，故2正確；

對于C：由于故四邊形的面積為加?毛電“陰

所以A8|=4|M4|,故當(dāng)最小時，|M41最小，由A選項知|M41“而=J|MC|丁-戶=2s,

此時MC，/,1//AB,即直線A2的斜率為1,由于直線x-2y-l=0的斜率為g,故C錯誤；

對于。：由題知尸(1,0),2(5,0),設(shè)M(x,x+5),

MP-MQ=(l-x,-x-5)-(5-x,-x-5)=(5-x)(l-x)+(x+5)2=2x2+4x+30=2(x+1)2+28>28,

當(dāng)且僅當(dāng)x=T時等號，故而?麗的最小值為28,故。正確.

故選：BD.

12.(5分)如圖，棱長為2的正方體A3CO-ABIG2中，E、F分別為棱42、44,的中點，G為面對

角線3。上一個動點，則()

A.三棱錐A-EFG的體積為定值

B.線段用C上存在點G,使平面MG//平面BDC]

C.當(dāng)函=；西時，直線EG與BQ所成角的余弦值為:

D.三棱錐4-EFG的外接球半徑的最大值為半

【答案】ACD

【詳解】對于A,VAl-EFG=VG-AlEF=--l-l-2=-,所以A正確；

323

對于B,若存在Ge線段用C,使平面EPG//平面BOGGe線段用C,因為平面4與。交平面EFG與平

面BDQ分別為NG與DM,

于是NG//DW,G應(yīng)在Cg的延長線上，所以2錯；

對于C,以在為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)M=j函時，則G§，2,|),￡(1,0,2)

8(2,2,0),G(0,2,2),所以的=(；,2,-1),BCl=(-2,0,2),所以cos〈函，

EGBCt-21

2

所以直線EG與3c所成角的余弦值為g,所以C正確；

對于。，當(dāng)G在C點時，三棱錐A-EPG外接球半徑最大，連接A。交E尸于點N,則N為￡尸的中點，

因為三角形AEF為直角三角形，所以外接球的球心在過點N且垂直于面A或7的直線N"上，NH與B、C交

于H,設(shè)球心為O,

如平面展開圖，設(shè)半徑OC=OA=R，因為ANugEFu]，AD=2四,所以CH=DN=喙,

所以O(shè)N=JOA；-4儲=*_(爭2,OH=V(9C2-CH2=卜_(半y,

由ON+OH=2,可得JR2-(爭2+*一考);=2,解得R=孚，所以。正確，

故選：ACD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）拋物線y=Y的焦點坐標(biāo)是.

【答案】（0一）

4

【詳解】???拋物線y=即￡=），

1p1

「.〃=一,—=一,

224

焦點坐標(biāo)是（0,；）,

故答案為：（O.;）.

14.（5分）過點尸（-2,3）作圓E:x2+y2_4x+2y=0的兩條切線，切點分別為M,N則直線MN的方程

為

【答案】4x-4y-7=0

【詳解】圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2y+(y+l)2=5,

設(shè)切點"(％,%),N(X2,女)，

則切點所在的切線方程為：(占一2)(x-2)+(%+l)(j+1)=5,(x2-2)(x-2)+(y2+1)(y+1)=5,

因為點尸在切線上，

所以(Xj—2)(—2—2)+(%+1)(3+1)=5>即—4(X]—2)+4(%+1)=5，—4(x2-2)+4(%+1)=5，

所以M,N在直線-4(尤-2)+4(y+l)=5上,

即MN的直線方程為4x-4y-7=0,

故答案為：4x-4y-7=0.

15.(5分)已知O為坐標(biāo)原點，直線/:y=fcv+r與橢圓C:鼻+2=l(a>b>0)交于A,8兩點，P為AB

ab

的中點，直線。尸的斜率為%.若-;〈我。<-},則橢圓的離心率的取值范圍為.

【答案】g,1)

【詳解】設(shè)A(玉，y),B(X2,%)，P(x0，%)，

貝=%0=A±^,yo=A±A,

-x222

22

所以治=&=之土21,所以線=21rzq，

x0x1+x2%一x2

將A,B兩點坐標(biāo)代入橢圓方程可得：<

兩式作差可得：立二3+"『=。，

ab

0。="一為:=￡,則-然-與<」，

所以加

%-%a4〃3

3

即2〉4>-,所以』<l-e2<3,即?l<e2<2,

4a233443

所以工V6

<e<——,

23

i圓的離心率的取值范圍為(g,半).

所以推

為:j，)-

故答案

16.（5分）在棱長為1的正方體ABCO-AACiR中，M,N分別是AO,8出的中點，動點尸在底面正

方形ABC。內(nèi)（包括邊界），若百尸//平面AMN,則CP長度的最大值為.

【答案】叵

4

【詳解】如圖，以正方體的頂點A為原點，AB,AD,A4,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

c

則A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0),4(。，0，1)，瓦(I,0，1)，C(l,1,1),

q(0,1,1),M(0,0),N(l,0,1),

動點尸在底面正方形ABC。內(nèi)(包括邊界)，則設(shè)P(x,y,z),且x,ye[0,1],

則肝=(x-l,y,-1),設(shè)平面AMN的法向量為五=(a,b,c),

——1——■1

A,N=(1,0,-),AtM=(0,-,-1),

a—c—0

2,取c=2,則平面AMN的法向量力=(1,4,2),

-b-c=0

、2

因為qP//平面4MN,所以肝?力=x—l+4y—2=0,即％+4y—3=0,

貝lj%=-4y+3e[0,1],所以

222I94

則ICP?=7(^-i)+(y-i)+o=而72-18y+5=17(y——y9+—,

1717

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)y=!時，|CP|=L,y=3時，|。尸|=姮＞,，

22442

所以CP長度的最大值為姮.

4

故答案為：叵.

4

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.（10分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過坐標(biāo)原點。和點4（3,6）.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過點尸(4,4)與圓C相切的直線方程.

【答案】(1)(X-2)2+/=4；(2)x=4或3尤-4y+4=0

【詳解】(1)根據(jù)題意，圓C的圓心C在無軸上，設(shè)其坐標(biāo)為(a,0),圓C的半徑為廠，

又由圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點。和點A(3,V3).

r=\a\,則有/=(a-3y+(0-,

解可得。=2,

則，=2,

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(％-2)2+y2=4,

(2)根據(jù)題意，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2y+y2=4,

若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=4,與圓C相切，符合題意；

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y-4=A;(x-4),即Ax-y+4-4k=0,

若直線/與圓C相切，且有12"4--|=2,

解可得：k=—,

4

又由直線經(jīng)過點(4,4),則直線I的方程為3%-4y+4=0.

故直線/的方程為％=4或3x—4y+4=0.

18.(12分)已知數(shù)列a｝為等差數(shù)列,S“是其前n項和，且S3=15,q+/=16.數(shù)列也,｝中，々=1,

(neN*).

(1)分別求數(shù)列｛為｝,｛〃,｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛%+4｝的前〃項和7；.

【答案】(1)an=3n-l；2=(；)"，(2)+

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因為S3=q+%+/=15，4+4=16.

所以3a2=15,2%=16,所以〃2=5，/=8，

所以公差d=%—%=3，所以首項q=%—d=2,

所以數(shù)列｛an｝的通項公式為4=4+(〃-l)d=2+3(幾-1)=3〃-1,

數(shù)列電｝中，伉=1,b〃+i=；bn(neN*),

所以數(shù)列｛2｝是首項為1,公比為;的等比數(shù)列，

所以4=g)"T.

(2)數(shù)列｛〃〃+1｝的刖幾項和Tn=4+%+…+。〃+4+么+…+”〃

_/i(2+3?-l)1-4r

2

=3〃；+"+2_(；)"-.

19.(12分)如圖，在四面體A8CD中，平面BCD,M是A。的中點，尸是8M的中點，點。在線

段AC上，且4Q=3QC.

(1)求證：尸。//平面8。；

(2)^DA=DB=DC=4,ZBDC=90°,求AC與平面BQW所成角的余弦值.

【答案】⑴見解析；⑵4

【詳解】(1)證明：過尸作PS//MZ),交BD于S,過。作QR//MD,交CD于R,連接RS,

???PS//MD,P是8/的中點,

;.S是BD的中點，S.PS=-MD,

2

???QR/1MD,AQ=3QC,M是4。的中點，

:.QR=；AD=；MD,

:.QRIIPS,且QR=PS,四邊形PQRS為平行四邊形，PQ//SR,

???尸。仁平面BCD,SRu平面BCD,

尸。//平面BCD.

(2)以。為坐標(biāo)原點，DB,DC,ZM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,4),8(4,0,0),C(0,4,0),P(2,0,1),Q(0,3,1),

則就=(-4,0,2),MQ=(Q,3,-1),AC=(0,4,-4),

設(shè)平面2QM的一個法向量為元=(無，y,z),

則(_.,取y=2,得行=(3,2,6),

n?MQ=3y-z=0

設(shè)AC與平面BQW所成角為。，

\AC-n\277

則sin。=

\AC\-\n\7

則AC與平面BQM所成角的余弦值為：cos0=（停了=浮.

2

20.（12分）記直線/:y=fcr為曲線E:x?-'=l（x?l,y》。）的漸近線.若A（L。），過A作x軸的垂線交/于

點片，過用作y軸的垂線交E于點4,再過人作x軸的垂線交/于點與…依此規(guī)律下去，得到點列A,4,

…，4和點列4，與，…，B”,"為正整數(shù).記立的橫坐標(biāo)為%,1041=2.

（1）求數(shù)列｛2｝的通項公式；

（2）證明：t段+8）4＞（2川+5/7+2）冊（磋2）.

k=\

【答案】（1）2=衍4；（2）見解析

2

【詳解】（1）由直線/：＞=區(qū)為曲線E：/-±=l（尤＞,y20）的漸近線，

4

可得直線/的方程為y=2x,

可得4（1,0）,4（1,2）,4（夜，2）,B2（V2,2V2）,4（百，20）,耳（百，26），

4(2,2?,司(2,4),

貝！J4=1,<7,=y/2,a3=V3,tz4=2=,an=-4n；

4=1,b2=V6,b3=V1T，仇=V16，,bn=-4；

(2)證明：運用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(鬣+8)%=(54+4)加，

當(dāng)〃=2時，原不等式的左邊=9+14亞，右邊=20后，由9<6后，則原不等式成立；

設(shè)〃=4(左》2)時，9+1472+...+(5k+4)&>(2/+5k+2)&，

當(dāng)"=左=1時，9+14夜+…+(5左+4)々+(5k+9)VTF1>[2.k2+5k+2)4+(5k+9)s/k+l,

要證原不等式成立，即證(2k2+5k+2)五+(5k+9)VI+1>[2(左+1)2+5(k+1)+2]VI+1,

上式化為(2k2+5k+2)五>(242+4QJETI，即為(2k+1)(左+2)&>2k*+2)VI+1，

即為（2左+1）4>2旌歷工1,兩邊平方可得4犬+4/+%>4犬+4/，該不等式顯然成立,

所以〃=k+1時，原不等式也成立.

所以+8)以>(2/+5〃+2)人(心2).

k=l

21.（12分）已知圓□:/+丁=4上的動點M在x軸上的投影為N,點c滿足CN=JMN.

-2

（1）求動點C的軌跡方程C；

（2）過點P（l,0）的直線/與C交于A,2兩個不同點，求AOAB面積的最大值.

【答案】（1）二+反=1；（2）男

422

【詳解】（1）設(shè)C（x,y）,動點由CN=汽-MN,可得根=X，n=41y,

...河(相，〃)在圓口：/+〉2=4上,...m2+