2024屆陜西省高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考試題（一）

數(shù)學(xué)（理科）

考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題日的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.集合"={一2，T，°，2,3,4},3=1>0},則的子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.16D.2

2.若復(fù)數(shù)z滿足3z+4』=7+i,則|z+2i|=()

A1B.41C.V5D.4

3.已知向量a=(1,1)]=(4,5),則。—26=()

A.7130B.4V10C.3幣D.6E

x-y+l>0

4.若實(shí)數(shù)羽V滿足約束條件jx+y—2W0,則目標(biāo)函數(shù)z=3x—y的最大值是（）

y>0

A.4B.5C.6D.8

5.某校對(duì)全校的1000名學(xué)生的秋季體測(cè)得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100]分成5組,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)圖中信息（同組數(shù)據(jù)

取中間值），可知下列說法正確的是（）

B.a—0.004

C.平均成績(jī)?yōu)?2分

D.從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，其體測(cè)成績(jī)不小于70分的概率為0.6

sin(a+B)

6.已知一=2,cosdfsin/?=—,則sin(a+?)=()

sin6

1212

AB.-C.一D.

3393

19

7.“左=二”是"直線近一y+l+左=0與圓（x—2）2+（y—=4相切''的)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

n

8.已知數(shù)列｛4｝滿足E=〃+1,則%024=()

k=l21

A.2024B.2023C.4047D.4048

9.V%e[l,2],有l(wèi)nx+冬一120恒成立,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（)

X-

e

A.[e,+co)B.[1,+ce)C.—,+ooD.[2e,+oo)

2

兀（）的最小正周期為兀，將（力的圖象向左平移;個(gè)單位

10.函數(shù)/(x)=AsinCOXH----?>0,A>0y=/

4

長(zhǎng)度，得丁=且（元）的圖象，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.3=2

39

B.y=g（￡）的圖象關(guān)于直線x=1-兀對(duì)稱

8

f[x}-g(x)=Af(2x)

D.

11.已知拋物線。：丁=2庶（〃>0）的準(zhǔn)線方程為尸—1,A（-1,O）,p,。為C上兩點(diǎn)，且

AP=2Ae（2>l）,則下列選項(xiàng)簿誤的是（）

A.OPOQ=5B.APAQ>S

C.若2=2,則「@=半D.若％3=4a，則|P0=166

12.已知了（上0,且x>0時(shí)，/（2x）=cos2%-/（x）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.?。岛螅?/p>

B.當(dāng)％w^+左兀（左eZ）時(shí)，/（x）<2tanxf（2%）

c.若8⑴=三萼為常函數(shù)，則〃力=1在區(qū)間（0」）內(nèi)僅有1個(gè)根

兀sinx

9

D.若/⑴=1,則“8）（藥

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知己（x）=”“+2，x_0,若/（加）=29,則%=______.

［-3尤,x<0

14.x2（x—工］展開式中，必的系數(shù)為.

x2v2/tz2ab\

15.已知3為雙曲線C:—■=l（a>0,6>0）上一點(diǎn)，A—,—（c為半焦距）為雙曲線。的漸近線上

abcc）

一點(diǎn)，若ABx軸，|OB|=c,則雙曲線。的離心率為.

16.在以底面為等腰直角三角形的直三棱柱ABC-4與。1中，/為底面三角形斜邊5。上一點(diǎn)，且

AM-BC=0>AC=A4=1,P為線段BG上一動(dòng)點(diǎn)，則平面AMP截三棱柱所得截面面積的最大值

為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：60分.

17.冬季是甲流等呼吸道傳播疾病爆發(fā)的季節(jié)，某醫(yī)院的呼吸道內(nèi)科隨機(jī)抽查了近一個(gè)月來醫(yī)院化驗(yàn)血的4

B型血病人共200人，得到如下數(shù)據(jù).

患甲未患甲

流流

A型血6535

2型血7525

(1)以頻率估計(jì)概率，根據(jù)上表，分別估計(jì)A型血中患甲流和8型血中不患甲流的概率;

(2)能否有99%把握認(rèn)為血型與是否患甲流有關(guān)系？

n(ad-be)?

其中〃=a+b+c+d.

(a+))(c+d)(a+c)(b+d)

P&>0)0.100.010.001

k02.7066.63510.828

18.在.ABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為。，"c且AccosA+"cosC=a。且〃>b>c.

(1)證明：b2=ac^

(2)若Z?=2,sinB=，求a+c的值.

4

19.在棱錐P—A5CD中，上4,平面A3CD,四邊形A3CD為平行四邊形.BC=3,CD=1,

AP=4，CP=2瓜

(1)求^P-ABCD；

(2)求二面角。—PC—5的正弦值.

2

20.已知橢圓C:5=l（a〉6〉0）的上頂點(diǎn)為￡（0,1），且經(jīng)過點(diǎn)

a春

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn)［（）,一；的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，判斷.EMN的形狀并給出證明.

21.證明下列兩個(gè)不等式：

（1）；

e

（2）e*-x+xln（-x）＜3.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

22.在直角坐標(biāo)系犬0y中，曲線。的參數(shù)方程為〈一（%為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正

［y=t+2,

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為P+3COS，+4sin，=0.

（1）求曲線。的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上一點(diǎn)（—3,2）到曲線上一動(dòng)點(diǎn)距離的范圍.

［選修4-5：不等式選講］（10分）

23.（1）解不等式|2x|+|x—2］＜5；

（2）若|2工一2卜|2工+4＜a?對(duì)任意xeR恒成立，求々的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.集合{,B{x|c］＞0},則AcB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.16D.2

【答案】A

【解析】

【分析】求出的元素個(gè)數(shù)九，再由2"求解即可.

【詳解】由題意可得5=卜|耳2},

所以AcB={3,4},共兩個(gè)元素，

所以其子集的個(gè)數(shù)為2?=4.

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)z滿足3z+4』=7+i,則|z+2i|=()

A.1B.72C.V5D.4

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)2=1+何(％,丁€11),利用復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的模的公式求解.

【詳解】解：設(shè)z=x+yi(x,yeR),

則3z+4z=3x+3yi+4x-4yi=7%-yi=7+i，

解得x=l,y=-l,故z=l—i,則|2+2i|=JL

故選：B.

3.已知向量a=(l,l),b=(4,5),貝|?一24=()

A.7130B.4710C.3不D.6vH

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件，求出&-2b=(-7,-9),再利用模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍=(1,1)1=(4,5),所以d-2)=。,1)一2(4,5)=(-7,—9),

得到卜-2b\=，(—7)2+(—9『=啊,

故選：A.

\v-y+l>0

4.若實(shí)數(shù)%，丁滿足約束條件<x+y—2<0,則目標(biāo)函數(shù)z=3x—y的最大值是()

y>0

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，作出其可行域如圖中陰影部分，發(fā)現(xiàn)當(dāng)y=3x-z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，在y軸上截距最小,

此時(shí)Z取得最大值.

【詳解】根據(jù)題意，作出其可行域如圖中陰影部分，由z=3x-y,

得y=3x-z,作出直線y=3x,并平移該直線，發(fā)現(xiàn)當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),

在y軸上截距最小，此時(shí)z取得最大值.

x+y-2=0[x=2,、/

由’得c，所以A2,0，所以2晞=6?

y=n01y=u

故選：c.

5.某校對(duì)全校的1000名學(xué)生的秋季體測(cè)得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]分成5組,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)圖中信息(同組數(shù)據(jù)

B.a=0.004

C.平均成績(jī)?yōu)?2分

D.從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，其體測(cè)成績(jī)不小于70分的概率為0.6

【答案】B

【解析】

【分析】由眾數(shù)的定義判斷A；根據(jù)所有矩形的面積和為1,求出。的值，從而判斷B；求出平均數(shù)判斷C；

求出成績(jī)不小于70分的概率判斷D.

【詳解】對(duì)A,由題意知人數(shù)最多的在[70,80)組，則眾數(shù)為75,A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由14+0.04+0.05+4+5JxlO=1,得〃=0.004故B正確;

對(duì)C,元=55x0.004x10+65x0.04x10+75x0.05x10+85x0.004x10+95x0.002x10=71,故C錯(cuò)；

對(duì)D,從該校學(xué)生中任選一人，成績(jī)不小于70分的概率尸=(0.05+0.004+0.002)x10=0.56.故D錯(cuò).

故選：B.

sin3+尸)

6.已知丁-=2,cosasin/3=—,則sin(a+/7)=()

sin(a-B)6

2

D.

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得sinacos￡=；,結(jié)合兩角和的正弦公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

sin(a+〃).

【詳解】由一^---萬=2，可得sin(a+歹)=2sin(a—4)=>3cosasin^=sinacos尸，

因?yàn)閏osasin/?=’，所以sinacos￡='，

62

112

所以sin(o+/?)=sincircos[3+cosasin/?=—+—=j.

故選：B.

17

7.“左=《”是"直線區(qū)一y+l+左=0與圓(x—2『+(y—3『=4相切”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

12

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出左=0或女=?,從而確定答案.

【詳解】圓(x—2)2+(y—3)2=4是以(2,3)為圓心，半徑為2的圓,

所以點(diǎn)（2,3）到直線近一，+1+左=0的距離為J~匕=2,

y/c+iQ/C+1

12

解得左=0或左=￡,

1o

故'左=1”是“直線近—y+1+左=0與圓（x—2）2+（y—3）2=4相切”的充分不必要條件.

故選：A.

8.已知數(shù)列｛4｝滿足￡詈7=〃+1,貝1]。2024=()

A-i2k—1

A.2024B.2023C.4047D.4048

【答案】C

【解析】

【分析】利用數(shù)列的通項(xiàng)和前”項(xiàng)和公式求解.

【詳解】解：由題意可得卬+3+%++'^="+1,

352n—l

當(dāng)〃=1時(shí)，q=2；

當(dāng)時(shí)，卬+&+生++其」=〃，

1352n-3

兩式相減得，^=1,即4=2"-1.

2n-l

2/=1,

綜上所述，4=<

2n-l,n>2.

所以。2024=4047,

故選：C.

9.Vxe[l,2],有Inx+彳—120恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（)

e

A.[e,+00)B.[1,+00)C.-,+ooD.[2e,+oo)

2

【答案】C

【解析】

【分析】參變分離可得/inx+Y在1中,2]上恒成立，令〃（x）=r21nx+%2,XG[1?2],利用導(dǎo)數(shù)

求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】因?yàn)閂xw[l,2],有Inx+W—1NO恒成立，

X

所以a之—必如工+必在x?i,2]上恒成立，

令=-*Inx+x?,XG[1,2],

則/z,(x)=-2xlnx-x+2x=-2xlnx+x=x(-21nx+l),

令"(X)=O,得x=疵,當(dāng)時(shí)，〃'(尤)>0,故〃(％)(L&)上單調(diào)遞增，

當(dāng)XG(、6,2)時(shí),y(x)<0,故〃(x)在(6,2)上單調(diào)遞減,

則〃(尤卜〃(6)=5,

ee)

所以。之一，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為—,+℃.

212J

故選：C.

10.函數(shù)/(司=45由15+：｝0〉0,4〉0)的最小正周期為兀，將y=/(x)的圖象向左平移;個(gè)單位

長(zhǎng)度，得y=g(x)的圖象，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()

A.co=2

39

B.y=g(x)的圖象關(guān)于直線工=—兀對(duì)稱

8

C.f(x)-g(x)=Af[2x)

D./(x)-g(x)<|A2

【答案】C

【解析】

【分析】由周期公式可得g=2,從而判斷A；由圖象的平移法則可得g(x)=Acos[2x+；],解出對(duì)稱

軸，再代入x=型兀，判斷左wZ是否成立，從而判斷B；根據(jù)題意可得/(%)g(x)=:A2cos?〈〈A?,

822

4f(2x)=A2-sin^4x+^^1-A2cos4x,從而判斷C,D.

27c

【詳解】解：因?yàn)門=—=兀，解得①=2,故A正確；

CD

4?C兀兀4-71

g(x)=Asin=Asin|2%H---1—|=T4cos|21H—

I24)(4

兀k_l39

所以對(duì)稱軸為2%+]=k7i(k￡Z)=>%=兀，代入%=后-兀，得左=10,

2-8

即左￡Z成立，則B正確;

sin2尤+加s2x+：=#sin4"撲)c°s4x?#

f(x)g(x)=A2

：卜所以錯(cuò)，對(duì).

Af(2%)=A2-sin4x+2cos4x,CD

4

故選：C.

11.已知拋物線。：丁2=2/”（〃>0）的準(zhǔn)線方程為尸—1,A（-l,0）,p,Q為C上兩點(diǎn)，且

AP=2A2（2>1）,則下列選項(xiàng)傕誤的是（）

A.OPOQ=5B.APAQ>8

C.若2=2,則「@=浮D.若S&QO=4逝,則|PQ|=166

【答案】C

【解析】

【分析】求得拋物線C:/=4x,設(shè)直線PQ：x=9—1,聯(lián)立方程組求得x+%=由，丁/%=4,結(jié)合

向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可得判定A正確；由AP?AQ=6+七匹〉6+gx%，可判定B正確；由

AP=2AQ,\PQ\=^-,可判定C錯(cuò)誤；結(jié)合弦長(zhǎng)公式和面積公式，可判定D正確.

【詳解】由拋物線。：丁2=2加（0>0）的準(zhǔn)線方程為1=—1,可得—]=一1,解得，=2,

所以拋物線Uy?=4x,

設(shè)直線尸Q:x=》-1,且尸，Q4,為，

I4JI4）

聯(lián)立方程組|x1"'一1'整理得y2—40+4=0,

y=4x

則八二:^/一：^〉。，解得/〉1，且%+%=47,丁「%=4,

由0P00=（口％）+y%=1+4=5,所以A正確；

16

由APAQ=（L）+%：%+]+%%=6+，1：/2〉6+3弘%=8，所以B正確；

當(dāng)；1=2時(shí)，由AP=2AQ,可得％=2%,

則乂=20,%=血或X=—2應(yīng)，%=—血，所以「。|=浮，所以C錯(cuò)誤；

由SpQO=\SPOA-S°04|=3，|%_%|=3,J（X+V2）2_4X?%=2,1—1=40,

解得仁±3,所以|%一%|=8后，則=%|=16?，所以D正確.

IM

故選：c

12.已知〃上0,且*>0時(shí)，f（2x）=cos2x-f（x）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.?。?1]

B.當(dāng)%wg+左兀（丘Z）時(shí)，/（x）<2tanxf（2%）

c.若/父=：,g（x）=M0為常函數(shù)，則/（尤）=1在區(qū)間（0,1）內(nèi)僅有1個(gè)根

兀sinx

7

D.若/⑴=1,貝廳⑻〈萬

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合/（x）=cos21/g,可判定A錯(cuò)誤；由函數(shù)〃x）=（l+tan2x）/（2x）,結(jié)

合l+t/x^tanx，可判定B錯(cuò)誤；由g(制=立勇，求得/(%)=里/，令"(x)=x—sinx(xNO),

sin%x

?2

利用導(dǎo)數(shù)求得〃(x"〃(o),得至進(jìn)而可判定C錯(cuò)誤；由/⑻<(cos2cos1)2,令cos21=f,

X

可得了(8)<42f—l)2；再令—利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到I,可判定

D正確.

YX

【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)/(2X)=COS2^(X),可得/(X)=COS2,?/

X

因?yàn)?<cos2^Vl,所以/(%)</，所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B中，由/(2X)=COS2^(X),可得〃X)="：")，x^—+kn,keZ,

cosx2

又由/(%)=(1+tan2x)f(2x),且l+tai?%之2tanx，

所以/(%)22tan4(2x),所以B錯(cuò)誤;

714_17171:<1，g(x)=E4^

對(duì)于C中，由/

/一5，貝

兀sinx

兀

m/、4x2-cos2xf(%)/、n7

則8缶)=4sin2，-g(、)'g兀

=1'

4

?2

717171

則gg=g1,可得g(H=l,貝丫(》)=軍白

~TX

A(x)=x-sinx(x>0),則//(x)=1—cosx2O恒成立，可得丸(1)?/2(0)=0,

?2

所以x?sinx(x?0),所以2?<1,即/(x)=l在區(qū)間(0,1)內(nèi)無實(shí)根，所以c錯(cuò)誤;

X

對(duì)于D中，"8)=cos24/(4)=cos24cos22-cos21/(1)=(cos4-cos2cosl)2<(cos2cosl)2,

4cos2l=^可得〃8)v《2-1)2；再令0(。=《2，—爐，te14[

則9’（。=⑵—丁+射⑵―1）=⑵—1）（67—1）,令°,⑺=0,可得"、或.=；,

因?yàn)樗院瘮?shù)—在（；［）單調(diào)遞減，

（］\1422

所以Z=0、6=方，所以7（8）<有成立，所以D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：

1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍;

2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

無3+2X>0

13.已知/（尤）={'~，若/（m）=29,則機(jī)=________.

［一3羽x<0

【答案】3或----

3

【解析】

【分析】分根20和mvO分別代入函數(shù)，解出即可.

【詳解】當(dāng)相之。時(shí)，m3+2=29,解得根=3；

29

當(dāng)根v0時(shí)，—3m=29，解得m-----.

3

故答案為：3或----.

3

x6的系數(shù)為

【答案】28

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式，賦值求出〃=2,求解f的系數(shù)即可.

（x—工］展開式的通項(xiàng)公式為—=C；（-l）r?°-2r,

【詳解】

10-2r=6,得廠=2,可得/的系數(shù)為C：（―行=28.

故答案為：28

2

22（>74J、

15.已知8為雙曲線。:斗-斗=1（。>0,6>0）上一點(diǎn)，A—（c為半焦距）為雙曲線C的漸近線上

abyccJ

一點(diǎn)，若ABx軸，|OB|=c,則雙曲線。的離心率為

【答案】V2

【分析】先求出點(diǎn)8坐標(biāo)，再根據(jù)|O同=c列式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)夕（4，七），由ABx軸可得力=的,，/

42r2

|八72aab

又\OB\=c,..a+/+下-

4222

又少2=02—1a2c2+a+a(c-a)=c\

整理可得21=c2,.^.c的離心率e

故答案為：72.

16.在以底面為等腰直角三角形的直三棱柱ABC-中,M為底面三角形斜邊上一點(diǎn)，且

AMBC^O<AC=A4]=1,P為線段BG上一動(dòng)點(diǎn)，則平面AMP截三棱柱所得截面面積的最大值

為.

【答案】也

2

【解析】

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得截面的三種情況，即可比較截面大小，可知求截面四邊形4WS的面積

即可，根據(jù)面積公式可得s=Lj/+,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.

2V4

【詳解】分如下三種情況，①如圖1,延長(zhǎng)"P交用G于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作用G的垂線交AC于點(diǎn)S,連

接AS,則四邊形AAWS為所求截面;

②如圖2,延長(zhǎng)MP交瓦G于點(diǎn)N],過點(diǎn)N]作用G的垂線交4用于點(diǎn)S],連接AS],則四邊形

AMAQi為所求截面;

③如圖3,延長(zhǎng)交8用于點(diǎn)N2,連接AN2,則三角形AMN2為所求截面.

圖1圖2圖3

顯然①②中的截面面積均大于或等于③中的截面面積，故只需考慮①②中的情況，易知①②中的情況相同,

故只需考慮情況①即可.

/

在①中，易知SN〃AM,AMJ.MN,設(shè)￡N=x0<x<

則SN=x,2W=J1+

所以所求截面面積

上單調(diào)遞增,

故答案為：叵

2

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：60分.

17.冬季是甲流等呼吸道傳播疾病爆發(fā)的季節(jié)，某醫(yī)院的呼吸道內(nèi)科隨機(jī)抽查了近一個(gè)月來醫(yī)院化驗(yàn)血的4

8型血病人共200人，得到如下數(shù)據(jù).

患甲未患甲

流流

A型血6535

B型血7525

(1)以頻率估計(jì)概率，根據(jù)上表，分別估計(jì)A型血中患甲流和8型血中不患甲流的概率;

(2)能否有99%的把握認(rèn)為血型與是否患甲流有關(guān)系？

附：K=-―――y――,其中〃=a+/?+c+d

(a+b)^c+d)(a+c)(b+d)

尸(片>0)0.100.010.001

k。2.7066.63510.828

【答案】(1)0.65,0.25；

(2)沒有99%的把握認(rèn)為血型與是否患甲流有關(guān)系.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)直接可以求出；

(2)先算出4的值，然后和6.635比較大小.

【小問1詳解】

由題表中數(shù)據(jù)可知，A型血中患甲流的概率為旦=0.65,

100

25

B型血中不患甲流的概率為——=0.25.

100

【小問2詳解】

g200x(65x25-75x35)250

K=------------------------------------=—?2.381>

100x100x140x6021

因?yàn)?.381<6.635,

所以沒有99%的把握認(rèn)為血型與是否患甲流有關(guān)系。

18.在ABC中，角A,5c所對(duì)的邊分別為a,/?,c且Z>ccosA+a方cosC=ac且a>>>c.

(1)證明：b2=aa

(2)若Z?=2,sinB=>求a+c的值.

4

【答案】(1)證明見解析

⑵372

【解析】

cos/Acos\1

【分析】(1)根據(jù)題意，等式兩邊同除以必C,得到-----+-----二不，結(jié)合余弦定理，即可得證；

acb

3

(2)由(1)/=ac=4,求得cos5=—,利用余弦定理列出長(zhǎng)，的/+/=10,聯(lián)立方程組，結(jié)合

4

(tz+c)2-a1+C1+2ac,即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)閎ecosA+abcosC=ac,

等式兩邊同除以曲c,可得54+竺2=!，

acb

1人在—丁中j曰b2+/一〃2〃2+/__/72]匕匚r、i,2

由余弦定理得-----------+-----------=一，可得——二一，所以從二戊?.

labclabcbabcb

【小問2詳解】

由(1)知一2=，

因?yàn)閆?=2,所以/?2=〃C=4,sinB=,

4

又因?yàn)椤?gt;>>C,所以Be[。,]],可得cos3=Jl—sidB=：,

在,ABC中，由余弦定理得〃=a2+c2—2accos3,即4=/+°2一6，

"2o

Cl+C—10,\2r,、

聯(lián)立方程組《，可得(a+c)-="+c2+2ac=18,

因?yàn)閍+c>0,所以a+c=342-

19.在棱錐P—ABCD中，上4,平面A3CD,四邊形A3CD為平行四邊形.BC=3,CD=1，

AP=4，CP=2瓜

(1)求Vp-ABC?；

(2)求二面角?！狿C—5的正弦值.

【答案】(1)延

3

⑵巫.

19

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面位置關(guān)系，結(jié)合勾股定理，利用四棱錐體積公式，可得答案；

(2)由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量，利用夾角公式，可得答案.

小問1詳解】

平面ABCD,且ACu平面ABCD,.,.K4LAC.

在Rt^PAC中，AC=yJPC2-AP2=272>

在△C4B中，AB2+AC2=1+8=9=BC2,

，C4J_AB,S四邊形抽⑺=45-AC=2V5,

X4X2

!1ADBLCiyD=-3V2=-3.

【小問2詳解】

由(1)知AB、AP,AC兩兩互相垂直.

以A為原點(diǎn)，AB，AP,AC所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(1,0,0),C(0,0,2A/2),D(-1,0,2A/2),尸(0,4,0),則加「(1,0,0),CP=(0,4,-272),

底=(1,0,-20),

設(shè)“2=(%,%,zj,〃=(%,%，Z2)分別為平面CDP與平面BCP的法向量，

m-DC=0再=0

則《得,K八令Z[=五,得必=1,所以機(jī)=倒』,、歷）為平面COP的一個(gè)法

m?CP=O4%-2丁22]=0

向量.

nCP-04y2—2A/2Z2=0

則<，得<I-令Z2=正，得々=4,%=1，所以“=（4,1,為平面CBP的

n-CB-0[x2-2y/2z2-0

一個(gè)法向量.

I\m-n\3由

設(shè)二面角?！狿C—3的平面角為氏則|cosp=|cosn,771i|—J______L-____________

\m\\n\73x719~19~

sin3=A/1-COS26>=生W，，二面角?！狿C—3的正弦值為上叵.

1919

>

2

Yy

20.已知橢圓°：下+1（。>6〉0）的上頂點(diǎn)為石（0,1）,且經(jīng)過點(diǎn)

ab2

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn)[（）,一；的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，判斷一EMN的形狀并給出證明.

r2

【答案】（1）—+/=1；

2

（2）為直角三角形，證明見解析

【解析】

【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)和點(diǎn)在橢圓上代入標(biāo)準(zhǔn)方程解出即可;

12k

（2）設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示出《，再求出石M=（%,%—1）和

口二一?7^，

EN=（X2,J2-1）,利用向量垂直的坐標(biāo)表示證明即可.

【小問1詳解】

丫2

由題意知匕=1，所以橢圓方程為\+>21,

a"

代入點(diǎn)1,，解得儲(chǔ)=2,

丫2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為乙+/=1.

2

【小問2詳解】

為直角三角形，證明如下:

設(shè)直線=g,N(x”力),

71

y=kx——，

3

聯(lián)立2并消去y得(9+18左2)尤2—12區(qū)—16=0.易知A〉o.

X21

1+y=，

12k

則

16

又因?yàn)?(%,%—1),EN=(x2,y2-1),

xx

EM-EN=X1X2+(%—1)(%一1)=i2+|卅一

-164kI2k16八

=(1+用?

9+——=0,

9+18左239+18/9

所以EM,石N,故.項(xiàng)W為直角三角形.

21.證明下列兩個(gè)不等式：

(1)-xln(-x)>；

e

(2)eA-%+xln(-%)<3.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【解析】

得到/(x)2=-g,證畢;

【分析】(1)求出定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性,

(2)令/z(x)=e-T-x+.rln(-x)(x<0),二次求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)得到

'("Lax=丸(％)=6為—Xo+'lMfo),且e~二一皿一不)，同構(gòu)變形得到=—e%,故々(占卜焉―？叫,

結(jié)合XOQT,-J得到答案.

【小問1詳解】

證明：令/■(x)=—xln(—x),易得其定義域?yàn)?/p>

尸(x)=+-x(-l)=-ln(-x)-l.

—x

令盟x)>0,得T<x<0,此時(shí)函數(shù)/(%)單調(diào)遞增,

令r(x)<o,得％<,，此時(shí)函數(shù)八工)單調(diào)遞減，

e

所以/(x)271—：］=一：,故原不等式得證.

【小問2詳解】

證明：令/z(x)=e，一x+xln(-x)(xvO),

則”(%)=e*+In(-x).

當(dāng)工<—1時(shí),弦(x)=e*+ln(-x)>0.

當(dāng)一1<XVO時(shí)，令0(％)=〃(％),貝！!”(<)=