生命不息，學(xué)習(xí)不止。知識(shí)無(wú)涯，進(jìn)步無(wú)界!Shengmingbuxi,xuexibuzhizhishiwuya,jingbuwujie！第第頁(yè)第二十二章二次函數(shù)22．1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)22．1.1二次函數(shù)教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入(1)圓的半徑是r(cm)時(shí)，面積S(cm2)與半徑r(cm)之間的函數(shù)關(guān)系是__S＝πr2__．(2)一個(gè)邊長(zhǎng)為5cm的正方形，若它的邊長(zhǎng)增加xcm，則面積隨之增加ycm2，y關(guān)于x的函數(shù)解析式是__y＝x2＋10x__．(3)某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量．如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，y與x之間的函數(shù)關(guān)系是__y＝20x2＋40x＋40__．【歸納】形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫二次函數(shù)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：本處設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題，歸納解析式的特點(diǎn)，講解二次函數(shù)的定義．建議：?jiǎn)l(fā)學(xué)生歸納出解析式的特點(diǎn)．●類(lèi)比導(dǎo)入形如ax＋b＝0(a≠0)的方程叫做一元一次方程，令y＝ax＋b，則y＝ax＋b(a≠0)為一次函數(shù)．經(jīng)過(guò)上一章的學(xué)習(xí)，我們知道形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程叫做一元二次方程．如果我們令y＝ax2＋bx＋c，你會(huì)給y＝ax2＋bx＋c(a≠0)命名嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：從學(xué)生已經(jīng)熟悉的一元一次方程、一次函數(shù)出發(fā)，類(lèi)比導(dǎo)入二次函數(shù)．建議：注意“一次”和“二次”，從而類(lèi)比歸納．命題角度利用二次函數(shù)的概念求待定字母的值或取值范圍形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的式子是二次函數(shù)，需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①自變量x的最高次數(shù)是2；②二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.【例】(1)若函數(shù)y＝(m－1)x2＋3x＋1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則有(B)A．m≠0B．m≠1C．x≠0D．x≠1(2)若函數(shù)y＝(2－m)xm2－2是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值是__－2__.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．能結(jié)合具體情境體會(huì)二次函數(shù)的意義，理解二次函數(shù)的有關(guān)概念.2．能夠表示簡(jiǎn)單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系．▲重點(diǎn)結(jié)合具體情境體會(huì)二次函數(shù)的意義，掌握二次函數(shù)的有關(guān)概念．▲難點(diǎn)1．能通過(guò)生活中的實(shí)際問(wèn)題情境，構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系．2．重視二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中a≠0這一隱含條件．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．一次函數(shù)的一般形式：__y＝kx＋b(k≠0)__．2．正比例函數(shù)的一般形式：__y＝kx(k≠0)__．3．想一想：正方體六個(gè)面是全等的正方形，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，表面積為y，則y與x之間有什么關(guān)系呢？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們將能知道y與x的關(guān)系，并能用式子把它們之間的關(guān)系表達(dá)出來(lái)，下面就讓我們進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)．◆活動(dòng)2探究新知1．教材P28問(wèn)題1.提出問(wèn)題：(1)“n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽”，比賽的總場(chǎng)次是n(n－1)場(chǎng)，還是eq\f(1,2)n(n－1)場(chǎng)，為什么？(2)式子m＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n，m是n的函數(shù)嗎？為什么？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P28問(wèn)題2.提出問(wèn)題：(1)問(wèn)題中前后兩年的產(chǎn)量間存在怎樣的關(guān)系？(2)原產(chǎn)量為20t，一年后的產(chǎn)量是多少？?jī)赡旰蟮漠a(chǎn)量是多少？(3)對(duì)式子y＝20(1＋x)2，y是x的函數(shù)嗎？(4)教材中的函數(shù)①，②，③有什么共同特征？它們是一次函數(shù)嗎？它們應(yīng)該屬于幾次函數(shù)？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納我們把形如y＝__ax2＋bx＋c__(其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x是自變量，a為_(kāi)_二次項(xiàng)系數(shù)__，b為_(kāi)_一次項(xiàng)系數(shù)__，c為_(kāi)_常數(shù)項(xiàng)__．強(qiáng)調(diào)以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)關(guān)于自變量x的二次式必須是二次整式，即可以是二次單項(xiàng)式、二次二項(xiàng)式和二次三項(xiàng)式；(2)二次項(xiàng)的系數(shù)a≠0是定義中不可缺少的條件．若a＝0，b≠0，則它是一次函數(shù)．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1判斷函數(shù)y＝(x－2)(3－x)是否為二次函數(shù)？若是，寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，它是二次函數(shù)，它的二次項(xiàng)系數(shù)為－1，一次項(xiàng)系數(shù)為5，常數(shù)項(xiàng)為－6.例2已知函數(shù)y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常數(shù))，當(dāng)m為何值時(shí)：(1)函數(shù)是一次函數(shù)？(2)函數(shù)是二次函數(shù)？解：(1)當(dāng)m＝－3時(shí)，函數(shù)y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是一次函數(shù)；(2)當(dāng)m≠±3時(shí)，函數(shù)y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函數(shù)．例3某商店經(jīng)營(yíng)一種小商品，進(jìn)價(jià)為2.5元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷(xiāo)售單價(jià)是13.5元時(shí)，平均每天銷(xiāo)售量是500件，而銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降價(jià)x元，商店每天銷(xiāo)售這種小商品的利潤(rùn)是y元，請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍．解：降低x元后，所銷(xiāo)售的件數(shù)是(500＋100x)件，則y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11).練習(xí)1．教材P29練習(xí)第1，2題．2．下列說(shuō)法中，不正確的是(D)A．二次函數(shù)中，自變量的取值范圍一般是全體實(shí)數(shù)B．在圓的面積公式S＝πr2中，S是r的二次函數(shù)C．y＝eq\f(1,3)(x＋1)(2x－1)是二次函數(shù)D．在函數(shù)y＝2－eq\r(3)x2中，一次項(xiàng)系數(shù)為23．已知二次函數(shù)y＝1－2x－x2，其中二次項(xiàng)系數(shù)a＝__－1__，一次項(xiàng)系數(shù)b＝__－2__，常數(shù)項(xiàng)c＝__1__．4．已知兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系為y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之間是二次函數(shù)關(guān)系，求m的值．解：根據(jù)題意，得m2－2＝2且m－2≠0，解得m＝－2，即m的值為－2.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．請(qǐng)敘述二次函數(shù)的定義及一般形式．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：①解析式為整式；②自變量的最高次數(shù)為2；③二次項(xiàng)的系數(shù)不為0.3．自變量x的取值范圍為全體實(shí)數(shù)．1．作業(yè)布置(1)教材P41習(xí)題22.1第1，2題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思22.1.2二次函數(shù)y＝ax2的圖象和性質(zhì)教師備課素材示例●置疑導(dǎo)入如圖，你知道打籃球投籃時(shí)籃球運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)是什么嗎？你知道姚明投籃為什么那么準(zhǔn)嗎？用籃球投籃，觀察籃球的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)，思考分析投籃時(shí)籃球的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)有何規(guī)律，怎樣用數(shù)學(xué)規(guī)律來(lái)描述？【教學(xué)與建議】教學(xué)：對(duì)拋物線(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究新知的欲望．建議：課件展示投籃路徑，引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型．●歸納導(dǎo)入(1)在二次函數(shù)y＝x2中，y隨x的變化而變化的規(guī)律是什么？你想直觀地了解它的性質(zhì)嗎？(2)請(qǐng)你在圖中用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)y＝x2的圖象．觀察函數(shù)解析式y(tǒng)＝x2，選擇x的適當(dāng)值，并計(jì)算相應(yīng)的y值，完成下表：x…－3－2－10123…y＝x2…9410149…在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并用光滑曲線(xiàn)連接各點(diǎn)．【歸納】二次函數(shù)y＝x2的圖象是一條拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸．【教學(xué)與建議】教學(xué)：本節(jié)通過(guò)畫(huà)二次函數(shù)y＝x2的圖象，引入本節(jié)新課．建議：先留給學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖的時(shí)間，然后教師引導(dǎo)學(xué)生分析二次函數(shù)y＝x2的性質(zhì)．命題角度1拋物線(xiàn)的圖象和性質(zhì)拋物線(xiàn)y＝ax2的對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向、增減性、最值、開(kāi)口大小等．【例1】(1)拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,3)x2，y＝－3x2，y＝－x2，y＝2x2的圖象開(kāi)口最大的是(A)A．y＝eq\f(1,3)x2B．y＝－3x2C．y＝－x2D．y＝2x2(2)已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三點(diǎn)都在二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是__y1＞y2＞y3__．(用“＞”號(hào)連接)命題角度2二次函數(shù)y＝ax2的圖象及其性質(zhì)與幾何綜合此類(lèi)問(wèn)題利用拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)解決．【例2】如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為O，平行于x軸的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性△AOB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)△AOB為直角三角形時(shí)，就稱(chēng)△AOB為該拋物線(xiàn)的“完美三角形”．求拋物線(xiàn)y＝x2的“完美三角形”的斜邊AB＝__2__．命題角度3綜合考查二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2的圖象，圖象特點(diǎn)及性質(zhì)由a決定，一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象是一條直線(xiàn)，圖象的特點(diǎn)及性質(zhì)由a，b共同決定．函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題可用方程解決．【例3】(1)二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝ax＋a在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))(2)拋物線(xiàn)y＝ax2與直線(xiàn)y＝bx＋2的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(m，4)，B(1，1)，則m＝__－2__．汽車(chē)前燈中的數(shù)學(xué)大家都知道汽車(chē)前照燈發(fā)出的光可以照亮車(chē)體前方的路況，使駕駛者可以在漆黑的夜晚安全地行車(chē)，保證視野清晰．如果你留心便會(huì)發(fā)現(xiàn)，汽車(chē)前燈后面的反射鏡呈拋物線(xiàn)的形狀．把拋物線(xiàn)沿它的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周，就會(huì)形成一個(gè)拋物面，這種拋物面形狀，正是我們熟悉的汽車(chē)前燈的反射鏡形狀，這種形狀使車(chē)燈既能夠發(fā)出明亮的、照射距離很遠(yuǎn)的平行光束，又能發(fā)出較暗的、照射距離較近的光線(xiàn)．我們都知道常規(guī)的前照燈主要由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成．明亮的光束是由位于拋物面形狀反射鏡焦點(diǎn)的光源射出的，燈泡位于拋物面的焦點(diǎn)上，燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射形成平行光束，再經(jīng)過(guò)配光鏡的散射、偏轉(zhuǎn)作用，以達(dá)到照亮路面的效果，這樣的燈光我們通常稱(chēng)為遠(yuǎn)光燈；而較暗的光線(xiàn)是由于光線(xiàn)的行進(jìn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸不平行，光線(xiàn)只能向上和向下照射，所以照射距離并不遠(yuǎn)，若把向上射出的光線(xiàn)遮住，車(chē)燈就只能發(fā)出向下的、射的很近的光線(xiàn)了．由上面可知，汽車(chē)大燈反射鏡射出的燈光是平行光束，汽車(chē)前燈的反光曲面與軸截面的交線(xiàn)是拋物線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可知，經(jīng)過(guò)反射鏡的反射，能夠沿著與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行的方向發(fā)射出去平行光線(xiàn)，反之，與拋物線(xiàn)的軸平行的光線(xiàn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面反射后，都聚集到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)上，這就是拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，它被廣泛應(yīng)用于探照燈、汽車(chē)前燈、拋物面天線(xiàn)等方面．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y＝ax2的圖象，理解拋物線(xiàn)的有關(guān)概念．2．掌握二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì)，能確定二次函數(shù)y＝ax2的解析式．3．經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程，學(xué)會(huì)合情推理．▲重點(diǎn)1．二次函數(shù)y＝ax2的圖象的畫(huà)法及性質(zhì)．2．能確定二次函數(shù)y＝ax2的解析式．▲難點(diǎn)1．用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y＝ax2的圖象，探索其性質(zhì)．2．能運(yùn)用二次函數(shù)y＝ax2的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是__一條經(jīng)過(guò)(0，b)的直線(xiàn)__．特別地，正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象是__過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)__．2．描點(diǎn)法畫(huà)出一次函數(shù)的步驟：分別為_(kāi)_列表__、__描點(diǎn)__、__連線(xiàn)__三個(gè)步驟．3．我們把形如__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__的函數(shù)叫做二次函數(shù)．◆活動(dòng)2探究新知1．教材P29～30.提出問(wèn)題：(1)同學(xué)們回想一下，一次函數(shù)的性質(zhì)是怎樣研究的？我們能否類(lèi)比研究一次函數(shù)性質(zhì)的方法來(lái)研究二次函數(shù)的性質(zhì)呢？如果可以，應(yīng)先研究什么？(2)對(duì)函數(shù)y＝x2，請(qǐng)完成下表：x…－3－2－10123…y＝x2……(3)請(qǐng)描繪出表中各點(diǎn)，畫(huà)出y＝x2的圖象；(4)你能說(shuō)說(shuō)二次函數(shù)y＝x2的圖象有哪些特征嗎？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P30例1.提出問(wèn)題：(1)你能在同一直角坐標(biāo)中畫(huà)出函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2與y＝2x2的圖象嗎？請(qǐng)完成下表并描點(diǎn)，進(jìn)而畫(huà)出各函數(shù)圖象；x…－4－3－2－101234…y＝eq\f(1,2)x2……x…－2－1.5－1－0.500.511.52…y＝2x2……(2)觀察所畫(huà)出的圖象，它們有哪些共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？(3)你能由此猜想并歸納出當(dāng)a＞0時(shí)，y＝ax2的圖象和性質(zhì)嗎？學(xué)生完成并交流展示．3．教材P31探究．提出問(wèn)題：(1)你能在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝－x2，y＝－eq\f(1,2)x2，y＝－2x2的圖象嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞寮埳蠂L試畫(huà)出它們的圖象；(2)你畫(huà)出的圖象與圖22.1－5中的圖象相同嗎？仔細(xì)觀察你所畫(huà)出的圖象，并思考這些拋物線(xiàn)有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？(3)你能總結(jié)歸納出當(dāng)a＜0時(shí)，y＝ax2的圖象和性質(zhì)嗎？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．二次函數(shù)y＝ax2的圖象是一條開(kāi)口向上或向下的拋物線(xiàn)．一般地，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象叫做拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c.2．一般地，拋物線(xiàn)y＝ax2的對(duì)稱(chēng)軸是__y軸__，頂點(diǎn)是__(0，0)__．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)的開(kāi)口__向上__，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最__低__點(diǎn)，|a|越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口__越小__；在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨x的增大而__減小__，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而__增大__．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)的開(kāi)口向__下__，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最__高_(dá)_點(diǎn)，|a|越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越__小__；在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨x的增大而__增大__，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而__減小__．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1已知函數(shù)y＝(m＋2)xm2＋2m－6是關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為最低點(diǎn)？(3)當(dāng)m為何值時(shí)，此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為最高點(diǎn)？解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－4，∴m的值為2或－4；(2)若函數(shù)圖象有最低點(diǎn)，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，∴m＋2＞0，解得m＞－2，∴m＝2；(3)若函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，∴m＋2＜0，解得m＜－2，∴m＝－4.例2二次函數(shù)y＝ax2與直線(xiàn)y＝2x－1的圖象交于點(diǎn)P(1，m).(1)求a，m的值；(2)寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式，并指出x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？解：(1)將點(diǎn)P(1，m)代入y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1).將點(diǎn)P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1；(2)二次函數(shù)的解析式為y＝x2，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大.練習(xí)1．教材P32練習(xí)．2．拋物線(xiàn)y＝3x2的開(kāi)口向__上__，對(duì)稱(chēng)軸是__y軸__，頂點(diǎn)坐標(biāo)是__(0，0)__；拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,4)x2的開(kāi)口向__下__，對(duì)稱(chēng)軸是__y軸__，頂點(diǎn)坐標(biāo)是__(0，0)__．3．拋物線(xiàn)y＝－x2上有兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，則y1__＜__y2.4．若點(diǎn)(x1，5)和點(diǎn)(x2，5)(x1≠x2)均在拋物線(xiàn)y＝ax2上，則當(dāng)y＝x1＋x2時(shí)，y的值是__0__．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．如何畫(huà)出函數(shù)y＝ax2的圖象？2．函數(shù)y＝ax2具有哪些性質(zhì)？1．作業(yè)布置(1)教材P41習(xí)題22.1第3，4題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思22.1.3二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象和性質(zhì)教師備課素材示例●情景導(dǎo)入許多橋梁都采用拋物線(xiàn)形設(shè)計(jì)，小明將他家鄉(xiāng)的彩虹橋按比例縮小后，繪制成如圖所示的示意圖，圖中的三條拋物線(xiàn)分別表示橋上的三條鋼梁，x軸表示橋面，y軸經(jīng)過(guò)中間拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)，左右兩條拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．經(jīng)過(guò)測(cè)算，中間拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y＝－eq\f(1,40)x2＋10.你能計(jì)算出中間拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)離橋面的高度嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)拋物線(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的導(dǎo)入，增加對(duì)拋物線(xiàn)y＝ax2＋k(a≠0)初步的了解和認(rèn)識(shí)．建議：引導(dǎo)學(xué)生觀察并分析二次函數(shù)的圖象．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)二次函數(shù)y＝2x2的圖象是__拋物線(xiàn)__，它的開(kāi)口向__上__，頂點(diǎn)坐標(biāo)是__(0，0)__，對(duì)稱(chēng)軸是__y軸__，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨x的增大而__減小__，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而__增大__，二次函數(shù)y＝2x2在x＝__0__時(shí)，取得最__小__值，其最__小__值是__0__．(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出二次函數(shù)y＝2x2和y＝2x2＋2的圖象.先讓學(xué)生回顧畫(huà)二次函數(shù)圖象的步驟，列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)，再畫(huà)出二次函數(shù)y＝2x2和y＝2x2＋2的圖象．①列表：教師給出表格，學(xué)生填表．x…－1.5－1－0.500.511.5…y＝2x2…4.520.500.524.5…y＝2x2＋2…6.542.522.546.5…②描點(diǎn)：用表格中的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行描點(diǎn)；③連線(xiàn)：用平滑的曲線(xiàn)順次連接各點(diǎn)，得到二次函數(shù)y＝2x2和y＝2x2＋2的圖象．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)問(wèn)題(1)的設(shè)置，對(duì)二次函數(shù)y＝2x2的圖象與性質(zhì)進(jìn)行回顧，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系．建議：通過(guò)問(wèn)題(2)的設(shè)置，根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的學(xué)習(xí)方法，類(lèi)比學(xué)習(xí)新知識(shí)二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象和性質(zhì)．命題角度1拋物線(xiàn)y＝ax2＋k(a≠0)的圖象和性質(zhì)拋物線(xiàn)y＝ax2＋k的對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向和大小、頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)的增減性、最值等．【例1】(1)拋物線(xiàn)y＝x2＋1的圖象大致是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))(2)對(duì)于二次函數(shù)y＝－2x2＋3的圖象，下列說(shuō)法中不正確的是(B)A．開(kāi)口向下B．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝－3C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)D．x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小(3)拋物線(xiàn)y＝x2＋1的最小值是__1__．命題角度2二次函數(shù)y＝ax2＋k(a≠0)的圖象的平移規(guī)律當(dāng)k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)y＝ax2向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到拋物線(xiàn)y＝ax2＋k；當(dāng)k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)y＝ax2向下平移|k|個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到拋物線(xiàn)y＝ax2＋k.【例2】(1)把拋物線(xiàn)y＝－2x2向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線(xiàn)是(C)A．y＝－2(x＋1)2B．y＝－2(x－1)2C．y＝－2x2＋1D．y＝－2x2－1(2)將二次函數(shù)y＝x2＋3的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是__y＝x2－1__．命題角度3二次函數(shù)y＝ax2＋k(a≠0)的實(shí)際應(yīng)用解決拋物線(xiàn)形問(wèn)題，一般是先建立平面直角坐標(biāo)系，把已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出二次函數(shù)的解析式．【例3】小迪同學(xué)以二次函數(shù)y＝2x2＋8的圖象為靈感設(shè)計(jì)了一款杯子，如圖為杯子的設(shè)計(jì)稿．若AB＝4，DE＝3，則杯子的高CE＝__11__．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．能畫(huà)出二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象．2．掌握二次函數(shù)y＝ax2與y＝ax2＋k的圖象之間的聯(lián)系．3．掌握二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象及其性質(zhì)．▲重點(diǎn)1．二次函數(shù)y＝ax2與y＝ax2＋k的圖象之間的聯(lián)系．2．二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象及其性質(zhì)．▲難點(diǎn)二次函數(shù)y＝ax2＋k的性質(zhì)的基本應(yīng)用．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．畫(huà)函數(shù)圖象利用描點(diǎn)法，其步驟為_(kāi)_列表__、__描點(diǎn)__、__連線(xiàn)__．2．二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象是一條__拋物線(xiàn)__，當(dāng)a>0時(shí)，它的開(kāi)口向__上__，對(duì)稱(chēng)軸是__y軸__，頂點(diǎn)坐標(biāo)是__(0，0)__；在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨x的增大而__減小__，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而__增大__；當(dāng)x＝__0__時(shí)，y取最__小__值．當(dāng)a<0時(shí)又會(huì)有什么變化呢？◆活動(dòng)2探究新知教材P32例2.提出問(wèn)題：(1)觀察圖22.1－6，圖中紅色、藍(lán)色拋物線(xiàn)分別是哪一個(gè)函數(shù)的圖象？中間黑色虛線(xiàn)拋物線(xiàn)又是哪一個(gè)函數(shù)的圖象？(2)學(xué)生們觀察圖象，回答：①拋物線(xiàn)y＝2x2＋1與y＝2x2－1的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)各是什么？②拋物線(xiàn)y＝2x2＋1，y＝2x2－1與拋物線(xiàn)y＝2x2有什么位置關(guān)系？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．拋物線(xiàn)y＝ax2與y＝ax2＋k的區(qū)別和聯(lián)系：函數(shù)解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸開(kāi)口方向增減性y＝ax2(a≠0)(0，0)y軸當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向__上__；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向__下__．當(dāng)a＞0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而__減小__，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而__增大__；當(dāng)a＜0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而__增大__，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而__減小__．y＝ax2＋k(a≠0)(0，k)2.二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象可由拋物線(xiàn)y＝ax2的圖象向上或向下平移__|k|__個(gè)單位長(zhǎng)度得到．當(dāng)k＞0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2向__上__平移__k__個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)y＝ax2＋k；當(dāng)k＜0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2向__下__平移__－k__個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)y＝ax2＋k.◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1指出下列函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及最值．(1)y＝－eq\f(1,3)x2＋4；(2)y＝2x2－3.解：(1)y＝－eq\f(1,3)x2＋4的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)，當(dāng)x＝0時(shí)，有最大值y＝4；(2)y＝2x2－3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3)，當(dāng)x＝0時(shí)，有最小值y＝－3.例2直接寫(xiě)出符合下列條件的拋物線(xiàn)y＝ax2－1的函數(shù)解析式：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，2)；(2)與y＝eq\f(1,2)x2的開(kāi)口大小相同，方向相反；(3)當(dāng)x的值由0增加到2時(shí)，函數(shù)值減少4.解：(1)y＝eq\f(1,3)x2－1；(2)y＝－eq\f(1,2)x2－1；(3)y＝－x2－1.例3能否適當(dāng)?shù)厣舷缕揭茠佄锞€(xiàn)y＝eq\f(1,5)x2，使得到的新圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，－2)？若能，請(qǐng)你求出平移的方向和距離；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：設(shè)平移y＝eq\f(1,5)x2的圖象后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，－2)的圖象的函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,5)x2＋k，則有－2＝eq\f(1,5)×52＋k，解得k＝－7，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，－2)的函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,5)x2－7，即把拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,5)x2向下平移7個(gè)單位長(zhǎng)度．練習(xí)1．教材P33練習(xí)．2．對(duì)于二次函數(shù)y＝－eq\f(3,5)x2＋3，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(B)A．最大值為3B．圖象與y軸沒(méi)有交點(diǎn)C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大D．其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)3．已知拋物線(xiàn)y＝4x2＋2上有兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜0，則y1與y2的大小關(guān)系是(C)A．y1＜y2B．y1＝y(tǒng)2C．y1＞y2D．無(wú)法確定4．拋物線(xiàn)y＝ax2＋c向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)y＝－3x2＋2，則a＝__－3__，c＝__4__．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象和性質(zhì)．2．二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象與二次函數(shù)y＝ax2的圖象之間的關(guān)系．1．作業(yè)布置(1)教材P41習(xí)題22.1第5題(1)；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思第2課時(shí)二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象和性質(zhì)教師備課素材示例●情景導(dǎo)入如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓的示意圖，它們是兩條拋物線(xiàn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，AB∥x軸，AB＝4cm，最低點(diǎn)C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm，則右輪廓線(xiàn)DFE的函數(shù)解析式為(C)A．y＝eq\f(1,4)(x＋3)2B．y＝－eq\f(1,4)(x＋3)2C．y＝eq\f(1,4)(x－3)2D．y＝eq\f(1,4)(x－4)2【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)情景問(wèn)題的導(dǎo)入，增加對(duì)拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2的初步了解和認(rèn)識(shí)．建議：對(duì)其中一個(gè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行講解，讓學(xué)生明白該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上．●類(lèi)比導(dǎo)入(1)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2，y＝－eq\f(1,2)x2－1的圖象，并回答：①兩條拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②說(shuō)出它們所具有的公共性質(zhì)．(2)你能說(shuō)出二次函數(shù)y＝2(x－1)2的圖象與二次函數(shù)y＝2x2的圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？這兩個(gè)函數(shù)的圖象之間有什么關(guān)系？(3)導(dǎo)入課題：二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象和性質(zhì)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)類(lèi)比二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2＋k的圖象和性質(zhì)，為探索二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象和性質(zhì)奠定基礎(chǔ)．建議：引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖探究特殊二次函數(shù)[如y＝x2，y＝(x＋1)2和y＝(x－1)2]的圖象，總結(jié)出一般規(guī)律．命題角度1拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2的圖象和性質(zhì)拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向及函數(shù)的增減性和最值等．【例1】(1)對(duì)于函數(shù)y＝4(x－3)2，下列說(shuō)法正確的是(C)A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)B．對(duì)稱(chēng)軸是y軸C．當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大D．有最小值3(2)拋物線(xiàn)y＝－2(x－1)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸分別是(B)A．(－1，0)，直線(xiàn)x＝－1B．(1，0)，直線(xiàn)x＝1C．(0，1)，直線(xiàn)x＝－1D．(0，1)，直線(xiàn)x＝1命題角度2二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象的平移二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右平移h個(gè)單位長(zhǎng)度得y＝a(x－h(huán))2，向左平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，得y＝a(x＋h)2(h＞0).【例2】把拋物線(xiàn)y＝3x2向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線(xiàn)的解析式為_(kāi)_y＝3(x－4)2__；將拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,3)(x－4)2向__左__平移__4__個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝－eq\f(1,3)x2.命題角度3二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象和性質(zhì)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用a，h對(duì)二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象的影響及k，b對(duì)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象的影響解題．【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－x－1和二次函數(shù)y＝－eq\f(3,2)(x－1)2的圖象大致是(A)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．能畫(huà)出二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象．2．了解拋物線(xiàn)y＝ax2與拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2的聯(lián)系．3．掌握二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象特征及其簡(jiǎn)單性質(zhì)．▲重點(diǎn)1．掌握二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象及性質(zhì)．2．二次函數(shù)y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2的圖象之間的聯(lián)系．▲難點(diǎn)運(yùn)用二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．畫(huà)函數(shù)圖象利用描點(diǎn)法，其步驟為_(kāi)_列表__、__描點(diǎn)__、__連線(xiàn)__．2．二次函數(shù)y＝x2＋3的圖象是一條__拋物線(xiàn)__，它的開(kāi)口向__上__，對(duì)稱(chēng)軸是__y軸__，頂點(diǎn)坐標(biāo)是__(0，3)__；在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨x的增大而__減小__，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而__增大__；當(dāng)x＝__0__時(shí)，y取最__小__值．◆活動(dòng)2探究新知1．教材P33探究．提出問(wèn)題：(1)拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2與y＝－eq\f(1,2)(x－1)2的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)各是什么？?jī)蓲佄锞€(xiàn)的開(kāi)口大小有什么關(guān)系？(2)拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2與y＝－eq\f(1,2)(x－1)2之間有什么關(guān)系？學(xué)生完成并交流展示．2．若拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2的頂點(diǎn)是(－3，0)，它是由拋物線(xiàn)y＝－2x2平移得到的，則a，h的值各是多少？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2(a≠0)的圖象性質(zhì)：開(kāi)口方向：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向__上__，當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向__下__；頂點(diǎn)是__(h，0)__，對(duì)稱(chēng)軸是__x＝h__；最值：當(dāng)a>0時(shí)，有__最小值y＝0__，當(dāng)a<0時(shí)，有__最大值y＝0__；增減性：當(dāng)a>0且x>h時(shí)，y隨x的增大而__增大__，x<h時(shí)，y隨x的增大而__減小__；當(dāng)a<0且x>h時(shí)，y隨x的增大而__減小__，x<h時(shí)，y隨x的增大而__增大__．2．y＝ax2和y＝a(x－h(huán))2的圖象有如下關(guān)系：y＝ax2eq\o(→,\s\up7(h>0，向右平移h個(gè)單位),\s\do5(h<0，向左平移|h|個(gè)單位))y＝a(x－h(huán))2.3．由拋物線(xiàn)y＝ax2的圖象通過(guò)平移得到y(tǒng)＝a(x－h(huán))2的圖象，左右平移的規(guī)律是(四字口訣)__左加右減__．4．對(duì)于二次函數(shù)的圖象，只要|a|相等，則它們的形狀__相同__，只是__開(kāi)口方向__不同，且|a|越大，開(kāi)口__越小__．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1試說(shuō)明：分別通過(guò)怎樣的平移，可以由拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,5)x2得到拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,5)(x＋4)2和y＝eq\f(1,5)(x－4)2.解：將拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,5)x2向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,5)(x＋4)2，向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,5)(x－4)2.例2已知二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2，當(dāng)x＝2時(shí)有最大值，且此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－3)，求此二次函數(shù)的解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大．解：依題意，得h＝2，∴y＝a(x－2)2.∵點(diǎn)(1，－3)在拋物線(xiàn)上，∴a＝－3，∴y＝－3(x－2)2，當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大．練習(xí)1．教材P35練習(xí)．2．在下列二次函數(shù)中，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為x＝－2的是(A)A．y＝(x＋2)2B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2D．y＝2(x－2)23．已知點(diǎn)A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三點(diǎn)都在拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為_(kāi)_y3＜y1＜y2__．4．已知一拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x2＋3的形狀相同，開(kāi)口方向相反，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－5，0)，根據(jù)以上特點(diǎn)，試寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的解析式．解：∵所求的拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x2＋3的形狀相同，開(kāi)口方向相反，∴其二次項(xiàng)系數(shù)是eq\f(1,2).又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－5，0)，∴所求拋物線(xiàn)的解析式為y＝eq\f(1,2)(x＋5)2.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象和性質(zhì)．2．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象和二次函數(shù)y＝ax2的圖象之間的關(guān)系．1．作業(yè)布置(1)教材P41習(xí)題22.1第5題(2)；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思第3課時(shí)二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和性質(zhì)教師備課素材示例●情景導(dǎo)入一個(gè)運(yùn)動(dòng)員打高爾夫球，如果球的飛行高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)解析式為y＝－eq\f(1,50)(x－25)2＋12，那么高爾夫球在飛行過(guò)程中所能達(dá)到的最大高度是多少？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)高爾夫球運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)問(wèn)題的引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣，從而導(dǎo)入新課．建議：為了研究y＝－eq\f(1,50)(x－25)2＋12這一類(lèi)函數(shù)的圖象，可以在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)y＝－(x＋1)2－1的圖象．●置疑導(dǎo)入由前面的知識(shí)我們知道，函數(shù)y＝－x2的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函數(shù)__y＝－x2－1__的圖象；函數(shù)y＝－x2的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函數(shù)__y＝－(x＋1)2__的圖象，那么函數(shù)y＝－x2的圖象如何平移，才能得到函數(shù)y＝－(x＋1)2－1的圖象呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)二次函數(shù)y＝2x2與二次函數(shù)y＝－2x2－1和y＝－2(x＋1)2的圖象之間的平移關(guān)系的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生在回顧舊知識(shí)的同時(shí)產(chǎn)生對(duì)函數(shù)y＝－2(x＋1)2－1圖象與性質(zhì)的探索欲望．建議：依次提出問(wèn)題，引入新知．命題角度1二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象與性質(zhì)確定拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2＋k的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)的增減性和最值．【例1】(1)二次函數(shù)y＝(x＋2)2－1的圖象大致為(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))(2)已知A(1，y1)，B(－eq\r(2)，y2)，C(－2，y3)在函數(shù)y＝a(x＋1)2＋k(a＞0)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是__y2＜y3＜y1__．(用“＜”號(hào)連接)命題角度2二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象的平移拋物線(xiàn)的平移簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是左加右減，上加下減．平移的方向、距離要根據(jù)h，k的值來(lái)確定．【例2】(1)若由拋物線(xiàn)y＝－5(x＋6)2－2平移得到y(tǒng)＝－5x2，則必須(B)A．先向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度B．先向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度C．先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度D．先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度(2)拋物線(xiàn)y＝－(x＋1)2＋4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是__(－1，4)__，將拋物線(xiàn)y＝－(x＋1)2＋4向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線(xiàn)是__y＝－(x＋1)2__，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線(xiàn)是__y＝－x2__．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象．2．掌握拋物線(xiàn)y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2＋k之間的平移規(guī)律．3．依據(jù)具體問(wèn)題情境建立二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.▲重點(diǎn)二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象及其性質(zhì)．▲難點(diǎn)1．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k與y＝ax2(a≠0)的圖象之間的平移關(guān)系．2．通過(guò)對(duì)圖象的觀察，分析規(guī)律，歸納性質(zhì)．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．填空：函數(shù)開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值y＝2x2向上y軸或x＝0(0，0)最小值0y＝－x2＋2向下y軸或x＝0(0，2)最大值2y＝3x2－5向上y軸或x＝0(0，－5)最小值－5y＝0.5(x－6)2向上x(chóng)＝6(6，0)最小值0y＝－8(x＋4)2向下x＝－4(－4，0)最大值02.把拋物線(xiàn)y＝－2x2向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線(xiàn)是(A)A.y＝－2(x＋1)2B．y＝－2(x－1)2C.y＝－2x2＋1D．y＝－2x2－1◆活動(dòng)2探究新知1．教材P35例3.提出問(wèn)題：(1)函數(shù)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1的圖象與函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2的圖象有什么關(guān)系？函數(shù)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1有哪些性質(zhì)？(2)請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1的圖象，并將它與函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2和y＝－eq\f(1,2)x2－1的圖象作比較，拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1可以由拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x2經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？根據(jù)圖象，你能指出這個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？(3)請(qǐng)依據(jù)上述問(wèn)題中的發(fā)現(xiàn)，說(shuō)說(shuō)拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2＋k是由拋物線(xiàn)y＝ax2(a≠0)通過(guò)怎樣的平移而得到的？你能由此歸納出y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象的性質(zhì)嗎？學(xué)生完成并交流展示．2．已知點(diǎn)A(1，y1)，B(－eq\r(2)，y2)，C(－2，y3)在函數(shù)y＝a(x＋1)2＋k(a＞0)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是什么？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．一般地，拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2＋k與y＝ax2形狀__相同__，位置__不同__．把拋物線(xiàn)y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2＋k.平移的方向、距離要根據(jù)__h，k__的值決定．2．思考：(1)拋物線(xiàn)y＝a(x－h(huán))2＋k有如下特點(diǎn)：①當(dāng)a＞0時(shí)，開(kāi)口向__上__；當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口向__下__；②對(duì)稱(chēng)軸是x＝__h__；③頂點(diǎn)坐標(biāo)是__(h，k)__；(2)從二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象可以看出：如果a＞0，當(dāng)x＜h時(shí)，y隨x的增大而__減小__，當(dāng)x＞h時(shí)，y隨x的增大而__增大__；如果a＜0，當(dāng)x＜h時(shí)，y隨x的增大而__增大__，當(dāng)x＞h時(shí)，y隨x的增大而__減小__．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1對(duì)于拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋3，下列結(jié)論：①拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下；②對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1；③頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，3)；④當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。渲姓_的結(jié)論有(C)A.1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)例2把二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)(x＋1)2－1的圖象．(1)試確定a，h，k的值；(2)指出二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).解：(1)原二次函數(shù)的解析式為y＝eq\f(1,2)(x＋1－2)2－1－4，即y＝eq\f(1,2)(x－1)2－5，∴a＝eq\f(1,2)，h＝1，k＝－5；(2)它的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－5).練習(xí)1．教材P37練習(xí)．2．若拋物線(xiàn)y＝(x－m)2＋(m＋1)的頂點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍是(B)A．m＞1B．m＞0C．m＞－1D．－1＜m＜03．已知點(diǎn)A(4，y1)，B(eq\r(2)，y2)，C(－2，y3)都在函數(shù)y＝(x－2)2－1的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是__y3＞y1＞y2__．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和性質(zhì)．2．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和二次函數(shù)y＝ax2的圖象之間的關(guān)系.1．作業(yè)布置(1)教材P41習(xí)題22.1第5題(3)；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思22.1.4二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)教師備課素材示例●情景導(dǎo)入多媒體演示：橋梁的兩根鋼纜的實(shí)物情景，如圖所示．若橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線(xiàn)形狀，右側(cè)拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y＝0.03x2－0.9x＋10，你能求出鋼纜最低點(diǎn)到橋面的距離嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)橋梁的鋼纜呈拋物線(xiàn)形的實(shí)際問(wèn)題的導(dǎo)入，增加對(duì)拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c初步的了解和認(rèn)識(shí)．建議：為了研究y＝0.03x2－0.9x＋10這一類(lèi)函數(shù)的圖象，可以在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖象．●置疑導(dǎo)入(1)你能說(shuō)出函數(shù)y＝－2(x－1)2＋2圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？(2)函數(shù)y＝－2(x－1)2＋2的圖象與函數(shù)y＝－2x2的圖象有什么關(guān)系？(3)函數(shù)y＝－2(x－1)2＋2具有哪些性質(zhì)？(4)不畫(huà)出圖象，你能直接說(shuō)出函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？(5)你能畫(huà)出函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖象，并說(shuō)明這個(gè)函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：講解函數(shù)圖象之間的關(guān)系，把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，通過(guò)頂點(diǎn)式研究一般式的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．建議：引導(dǎo)學(xué)生將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k.命題角度1二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象及其性質(zhì)考查拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)的增減性及最值等．【例1】(1)如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于點(diǎn)A(－1，0)和B(3，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－2)，觀察圖象回答下列問(wèn)題：①AB＝__4__；②當(dāng)x＝__1__時(shí)，y的值最小，最小值是__－2__；③當(dāng)x＜__－1__或x＞__3__時(shí)，y＞0；④當(dāng)x__＜1__時(shí)，y隨x的增大而減小．(2)點(diǎn)A(2，y1)，B(3，y2)是二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象上兩點(diǎn)，則y1與y2大小關(guān)系為y1__＜__y2.(選填“＞”“＜”或“＝”)(3)拋物線(xiàn)y＝－x2＋6x－5的對(duì)稱(chēng)軸是__x＝3__．命題角度2二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的平移一般要把二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c化成頂點(diǎn)式，再根據(jù)拋物線(xiàn)的平移規(guī)律解題．【例2】(1)將拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到新拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為(D)A.y＝eq\f(1,2)(x－8)2＋5B．y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋5C.y＝eq\f(1,2)(x－8)2＋3D．y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋3(2)拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)y＝a(x－3)2－1，且平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，平移后的拋物線(xiàn)是__y＝2(x－3)2－1__．命題角度3二次函數(shù)與其圖象上的點(diǎn)的關(guān)系借助二次函數(shù)圖象上的某特殊點(diǎn)(比如x取0，1，－1，2，－2等)滿(mǎn)足函數(shù)解析式來(lái)解決．【例3】(1)已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c，若－b＋c＝0，則它的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(C)A.(－1，－1)B．(1，－1)C．(－1，1)D．(1，1)(2)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx－1(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，則代數(shù)式1－a－b的值為(B)A.－3B．－1C．2D．5(3)如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)過(guò)點(diǎn)(－1，0)，(0，2)，且頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)M＝4a＋2b＋c，則M的取值范圍是__－6＜M＜6__．命題角度4利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性解題利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可以求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷增減性或利用增減性求字母系數(shù)的取值范圍，求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式等．【例4】已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：x…－11245…y…m1pnm…則m與n的大小關(guān)系正確的是(A)A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．無(wú)法確定命題角度5a，b，c的符號(hào)與拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c的關(guān)系①a的符號(hào)決定拋物線(xiàn)開(kāi)口方向；②a，b的符號(hào)共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置；③c的符號(hào)決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置．【例5】(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝bx2＋a的大致圖象可以是(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))(2)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，有下列4個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②3a＋c＞0；③a＋eq\f(b,2)＋eq\f(c,4)＞0；④6a－b＋c＞0.其中正確的結(jié)論有__①③__．(填序號(hào))高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象．2．掌握用圖象或通過(guò)配方確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．3．掌握二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)．▲重點(diǎn)用二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．▲難點(diǎn)通過(guò)配方將二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并得到其性質(zhì)．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．你能說(shuō)出函數(shù)y＝－4(x－2)2＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)及其性質(zhì)嗎？解：開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，1)，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)y隨x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)y隨x的增大而增大．當(dāng)x＝2時(shí)，有最大值1.2．函數(shù)y＝－4(x－2)2＋1的圖象與函數(shù)y＝－4x2的圖象有什么關(guān)系？解：函數(shù)y＝－4(x－2)2＋1的圖象是由函數(shù)y＝－4x2的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．◆活動(dòng)2探究新知1．教材P37思考．提出問(wèn)題：(1)把二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式；(2)寫(xiě)出二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)畫(huà)出y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖象；(4)觀察圖象，回答：①拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,2)x2如何平移得到拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21?②二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的y隨x的增減性如何？學(xué)生完成并交流展示．2．不畫(huà)出圖象，你能直接說(shuō)出函數(shù)y＝－x2＋2x－3的圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？提出問(wèn)題：(1)你能用上面的方法討論二次函數(shù)y＝－x2＋2x－3的圖象和性質(zhì)嗎？(2)思考函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開(kāi)口方向有什么關(guān)系？這個(gè)值與函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系？(3)你能由此總結(jié)歸納出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象和性質(zhì)嗎？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．如何畫(huà)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象？一般地，先用配方法求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)：y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)，則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為_(kāi)_x＝－eq\f(b,2a)__，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))__．2．思考并完成下表：函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)開(kāi)口方向a＞0，開(kāi)口__向上__a＜0，開(kāi)口__向下__對(duì)稱(chēng)軸__x＝－eq\f(b,2a)__頂點(diǎn)坐標(biāo)__(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))__最大(小)值當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，y最小值＝__eq\f(4ac－b2,4a)__當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，y最大值＝__eq\f(4ac－b2,4a)__增減性當(dāng)x＜－eq\f(b,2a)時(shí)，y隨x的增大而__減小__；x＞－eq\f(b,2a)時(shí)，y隨x的增大而__增大__x＜－eq\f(b,2a)時(shí)，y隨x的增大而__增大__；x＞－eq\f(b,2a)時(shí)，y隨x的增大而__減小__◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1求二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(5,2)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸．解：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝1.例2把拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x2，求原來(lái)的拋物線(xiàn)的解析式.解：拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x2先向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x2＋6，再將拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x2＋6向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)(x＋4)2＋6，即y＝－eq\f(1,2)x2－4x－2.練習(xí)1．教材P39練習(xí)．2．已知二次函數(shù)y＝2x2－mx＋8，當(dāng)x＜－3時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞－3時(shí)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝1時(shí)，y的值為_(kāi)_22__.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸的確定：(1)當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c容易配方時(shí)，可采用配方法來(lái)確定頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)當(dāng)a，b，c比較復(fù)雜時(shí)，可直接用公式來(lái)確定：拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－eq\f(b,2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a)).2．解決二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的平移問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先將它化為y＝a(x－h(huán))2＋k形式后進(jìn)行．1．作業(yè)布置(1)教材P41習(xí)題22.1第6，7題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思第2課時(shí)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式教師備課素材示例●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)回顧1：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟：①設(shè)一次函數(shù)的解析式；②列方程組求待定系數(shù)；③將所求系數(shù)值代回原函數(shù)解析式．(2)回顧2：二次函數(shù)的解析式有如下幾種形式：一般式：__y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)__；頂點(diǎn)式：__y＝a(x－h(huán))2＋k(a，h，k為常數(shù)，a≠0)__．強(qiáng)調(diào)：當(dāng)頂點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)解析式為_(kāi)_y＝ax2(a為常數(shù)，a≠0)__．(3)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(1，0)，(2，0)和(0，2)三點(diǎn)，你能求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)一次函數(shù)解析式求法的回顧，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系．建議：提出問(wèn)題“由幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定二次函數(shù)的解析式”，再探究用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．●情景導(dǎo)入如圖，某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線(xiàn)形(曲線(xiàn)AOB)的薄殼屋頂．它的拱寬AB為4m，拱高CO為0.8m．施工前要先制造建筑模板，怎樣畫(huà)出模板的輪廓線(xiàn)呢？eq\o(\s\up7(),\s\do5(方案一))eq\o(\s\up7(),\s\do5(方案二))eq\o(\s\up7(),\s\do5(方案三))【教學(xué)與建議】教學(xué)：建立不同的平面直角坐標(biāo)系，尋找求二次函數(shù)解析式的最佳方法．建議：總結(jié)求二次函數(shù)解析式的方法：(1)當(dāng)已知拋物線(xiàn)上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c；(2)當(dāng)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k；(3)當(dāng)已知拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2).命題角度1用一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)求二次函數(shù)的解析式已知拋物線(xiàn)上任意三點(diǎn)，可選用一般式求二次函數(shù)的解析式．【例1】(1)已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，B(4，5)，C(0，－3)，則拋物線(xiàn)的解析式為_(kāi)_y＝x2－2x－3__；(2)已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，－eq\f(7,4))，點(diǎn)B(1，eq\f(1,4))，則此二次函數(shù)的解析式為_(kāi)_y＝x2＋x－eq\f(7,4)__．命題角度2用頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(a，h，k為常數(shù)，a≠0)求二次函數(shù)的解析式已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式．【例2】(1)若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，且拋物線(xiàn)過(guò)(0，3)，則二次函數(shù)的解析式是(C)A．y＝－(x－2)2－1B．y＝－eq\f(1,2)(x－2)2－1C．y＝(x－2)2－1D．y＝eq\f(1,2)(x－2)2－1(2)拋物線(xiàn)的形狀、開(kāi)口方向與y＝eq\f(1,2)x2－4x＋3相同，頂點(diǎn)為(－2，1)，則拋物線(xiàn)的解析式為(C)A．y＝eq\f(1,2)(x－2)2＋1B．y＝eq\f(1,2)(x＋2)2－1C．y＝eq\f(1,2)(x＋2)2＋1D．y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2＋1(3)已知二次函數(shù)當(dāng)x＝－1時(shí)有最小值－4，且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－3，則二次函數(shù)解析式為_(kāi)_y＝x2＋2x－3__．命題角度3用交點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)求二次函數(shù)的解析式已知拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，通常選擇交點(diǎn)式．【例3】(1)已知一拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)是A(3，0)，B(－1，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2，9)，則該拋物線(xiàn)的解析式是__y＝－3x2＋6x＋9__；(2)已知拋物線(xiàn)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是－eq\f(1,2)和3，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－3，則該拋物線(xiàn)的解析式為_(kāi)_y＝2x2－5x－3__．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式．2．熟練地根據(jù)二次函數(shù)的不同性質(zhì)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馕鍪剑攸c(diǎn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．▲難點(diǎn)由條件靈活選擇解析式類(lèi)型．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，3)，該函數(shù)解析式是__y＝3x__．2．在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l過(guò)(1，3)和(3，1)兩點(diǎn)，求直線(xiàn)l的函數(shù)解析式．解：設(shè)直線(xiàn)l的函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0).把(3，1)，(1，3)代入上式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝1，,k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝4.))∴直線(xiàn)l的函數(shù)解析式為y＝－x＋4.3．一般地，函數(shù)解析式中有幾個(gè)獨(dú)立的系數(shù)，我們就需要相同個(gè)數(shù)的獨(dú)立條件才能求出函數(shù)解析式．例如：我們確定正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)只需要一個(gè)獨(dú)立條件；確定一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)需要兩個(gè)獨(dú)立條件．如果要確定二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的解析式，需要幾個(gè)條件呢？◆活動(dòng)2探究新知1．教材P39探究．提出問(wèn)題：(1)回憶一下用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的一般步驟．求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的解析式的關(guān)鍵是什么？(2)如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(－1，10)，(1，4)，(2，7)三點(diǎn)，同學(xué)們能仿照求一次函數(shù)的解析式的步驟求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？(3)解三元一次方程的方法是什么？學(xué)生完成并交流展示．2．已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，過(guò)原點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的解析式.提出問(wèn)題：(1)圖象頂點(diǎn)為(h，k)的二次函數(shù)的解析式是什么？如果頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，那么求解析式的關(guān)鍵是什么？(2)如何設(shè)解析式？(3)如果已知頂點(diǎn)坐標(biāo)和一點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式的一般步驟是什么？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．求二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，需要求出__a，b，c__的值．由已知條件(如二次函數(shù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))列出關(guān)于__a，b，c__的方程組，求出__a，b，c__的值，就可以寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式．2．利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式時(shí)，一般可以分以下幾種情況：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)為y＝ax2；(2)對(duì)稱(chēng)軸是y軸(或頂點(diǎn)在y軸上)，可設(shè)為y＝ax2＋k；(3)頂點(diǎn)在x軸上，可設(shè)為y＝a(x－h(huán))2；(4)拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)為y＝ax2＋bx；(5)已知頂點(diǎn)(h，k)時(shí)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k；(6)已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)時(shí)，可設(shè)一般式為y＝ax2＋bx＋c；(7)已知拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)時(shí)，可設(shè)交點(diǎn)式為y＝a(x－x1)(x－x2).◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)(1，1)，(－1，4)，(0，3)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c.∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)(1，1)，(－1，4)，(0，3)三點(diǎn)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,a－b＋c＝4，,c＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝－\f(3,2)，,c＝3，))∴二次函數(shù)的解析式為y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋3.例2已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c.∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)(0，2)，(1，0)，(2，0)三點(diǎn)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝0，,c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3，,c＝2.))∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2－3x＋2.練習(xí)1．教材P40練習(xí)第1，2題．2．已知函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象頂點(diǎn)是(1，3)，則b，c的值是(B)A．b＝2，c＝－2B．b＝2，c＝2C．b＝－2，c＝2D．b＝－2，c＝－23．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為_(kāi)_y＝x2＋2x－5__．4．已知二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，函數(shù)的最大值為－6，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－8)，求此二次函數(shù)的解析式．解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－1)2－6.∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(2，－8)，∴a(2－1)2－6＝－8，解得a＝－2，∴此二次函數(shù)的解析式為y＝－2(x－1)2－6.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．熟練掌握求二次函數(shù)解析式的基本方法．2．靈活選擇方法求解析式．1．作業(yè)布置(1)教材P42習(xí)題22.1第10，11題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思22.2二次函數(shù)與一元二次方程教師備課素材示例●情景導(dǎo)入某火車(chē)站欲建造一個(gè)圓形噴水池，如圖，點(diǎn)O表示噴水池的水面中心，OA表示噴水柱子，水流從點(diǎn)A噴出，按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，每一股水流在空中的路線(xiàn)都可以用y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋eq\f(7,8)來(lái)描述，那么水池的半徑最少要多少米，才能使噴出的水流不至于落到池外？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)噴水池的實(shí)際問(wèn)題的探究，建立二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的模型，導(dǎo)入新課．建議：幫助學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題．●置疑導(dǎo)入如圖，二次函數(shù)y＝x2－3x＋2的圖象，根據(jù)圖象回答：(1)當(dāng)x＝__1或2__時(shí)，y＝0；(2)觀察圖象，方程x2－3x＋2＝0的根是__x1＝1，x2＝2__；(3)二次函數(shù)y＝x2－3x＋2與一元二次方程x2－3x＋2＝0之間有什么關(guān)系？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)二次函數(shù)圖象問(wèn)題的導(dǎo)入，增加對(duì)二次函數(shù)y＝x2－3x＋2與一元二次方程x2－3x＋2＝0之間關(guān)系的聯(lián)系．建議：引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根的聯(lián)系．命題角度1根據(jù)二次函數(shù)圖象解一元二次方程根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定一元二次方程的根．【例1】(1)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是(A)A．x1＝－3，x2＝1B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3D．x＝－2eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解為_(kāi)_x1＝0，x2＝2__．命題角度2根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷b2－4ac(或其他代數(shù)式)的取值范圍能根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況求與待定系數(shù)相關(guān)的代數(shù)式的取值范圍(比如b2－4ac)，有時(shí)候還會(huì)考查當(dāng)x＝1(或x＝－1)時(shí)，代數(shù)式a＋b＋c(或a－b＋c)的值．【例2】(1)如圖，若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B(－1，0)，有下列結(jié)論：①二次函數(shù)的最大值為a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④當(dāng)y＞0時(shí)，－1＜x＜3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(B)A．1B．2C．3D．4(2)已知拋物線(xiàn)y＝kx2＋2x－1與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為_(kāi)_k＞－1且k≠0__．命題角度3根據(jù)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)情況求待定字母(或代數(shù)式)的值(或取值范圍)根據(jù)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的函數(shù)解析式構(gòu)造出一元二次方程，再利用一元二次方程的根解決相關(guān)問(wèn)題．【例3】(1)對(duì)于題目“一段拋物線(xiàn)L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)與直線(xiàn)l：y＝x＋2有唯一公共點(diǎn)，若c為整數(shù)，確定所有c的值．”甲的結(jié)果是c＝1，乙的結(jié)果是c＝3或c＝4，則(D)A．甲的結(jié)果正確B．乙的結(jié)果正確C．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D．甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確(2)如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2與直線(xiàn)y＝bx＋c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－2，4)，B(1，1)，則關(guān)于x的方程ax2＝bx＋c的解是__x1＝－2，x2＝1__．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．知道二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．2．能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．▲重點(diǎn)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之間的聯(lián)系，利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．▲難點(diǎn)一元二次方程根的情況與二次函數(shù)圖象與x軸位置關(guān)系的聯(lián)系．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．若一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，(1，0)，則方程kx＋b＝0的解是__x＝1__．2．一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，則方程kx＋b＝－3的解是__x＝－2__．3．對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)y取一個(gè)確定值時(shí)，它就變成了一個(gè)一元二次方程，由此可知一元二次方程與二次函數(shù)有著密切的關(guān)系．那么，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之間到底有怎樣的關(guān)系呢？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們將能解決這個(gè)問(wèn)題．◆活動(dòng)2探究新知1．教材P43問(wèn)題．提出問(wèn)題：(1)小球的飛行高度能否達(dá)到15m，20m，20.5m？就是要判斷哪一個(gè)一元二次方程是否有解？(2)請(qǐng)將函數(shù)h＝20t－5t2化成頂點(diǎn)式，并解釋小球飛行高度能否達(dá)到15m，20m，20.5m；(3)為什么小球飛行高度達(dá)到15m有兩個(gè)時(shí)間，而飛行高度達(dá)到20m只有一個(gè)時(shí)間，請(qǐng)從方程和函數(shù)角度分別給出解釋?zhuān)?4)請(qǐng)結(jié)合本問(wèn)題談?wù)劧魏瘮?shù)與一元二次方程的關(guān)系．學(xué)生完成并交流展示．2．教材P44思考．提出問(wèn)題：(1)由圖22.2－2可以看出拋物線(xiàn)y＝x2＋x－2與x軸有幾個(gè)公共點(diǎn)？它們的橫坐標(biāo)分別是什么？當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是多少？由此得出方程x2＋x－2＝0的根為多少？(2)由圖22.2－2可以看出拋物線(xiàn)y＝x2－6x＋9與x軸有幾個(gè)公共點(diǎn)？公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x為多少時(shí)，函數(shù)值是0？由此得出方程x2－6x＋9＝0的根為多少？(3)由圖22.2－2可以看出拋物線(xiàn)y＝x2－x＋1與x軸有沒(méi)有公共點(diǎn)？由此得出方程x2－x＋1＝0的根如何？(4)你能由此總結(jié)歸納出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么關(guān)系嗎？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可得如下結(jié)論：(1)如果拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，那么當(dāng)x＝x0時(shí)，函數(shù)值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根；(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)．這對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三種情況：無(wú)實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1教材P46例．例2如圖，已知直線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x與拋物線(xiàn)y＝－eq\f(1,4)x2＋6交于A，B兩點(diǎn)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)－eq\f(1,4)x2＋6＞－eq\f(1,2)x的解集為_(kāi)_________；(3)－eq\f(1,4)x2＋6＜－eq\f(1,2)x的解集為_(kāi)_________．解：(1)A(6，－3)，B(－4，2)；(2)－4＜x＜6；(3)x＜－4或x＞6例3二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象信息回答問(wèn)題：(1)寫(xiě)出方程ax2＋bx＋c＝0的兩根；(2)寫(xiě)出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；(3)寫(xiě)出方程ax2＋bx＋c＝2.5的兩根；(4)寫(xiě)出不等式ax2＋bx＋c＜2.5的解集；(5)若方程ax2＋bx＋c＋1－k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．解：(1)x1＝0，x2＝4；(2)x＜0或x＞4；(3)x1＝－1，x2＝5；(4)－1＜x＜5；(5)k＞－1.練習(xí)1．教材P47習(xí)題22.2第1，2題．2．下列拋物線(xiàn)中，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的是(A)A．y＝3x2－9x＋3B．y＝2x2－4x＋12C．y＝x2－6x＋9D．y＝5x2－3x＋93．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c為常數(shù))一個(gè)解的范圍是(C)x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.264．若二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋k的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一個(gè)解為x1＝3，另一個(gè)解為x2＝__－1__，不等式－x2＋2x＋k＜0的解集為_(kāi)_x＜－