2024年陜西省西安市碑林區(qū)西北工大附中中考數(shù)學四模試卷

一.選擇題（共7小題，每小題3分，計21分.每小題只有一個選項是符合題意的）

1.（3分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.AB.2nC.-2D.1.5

3

2.（3分）下面是幾個幾何體的展開圖,其中能圍成棱錐的是（）

A

C.____________D.V

23

3.（3分）計算：（-3xy）*Axy=（）

A.-x3y4B.x3y4C.-x3y3D.x3y3

4.（3分）一副三角板如圖所示擺放，若直線?！?則N1的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

5.（3分）如圖，已知48是。。的弦。為。。上的一點，若NAOC=48°,則N84C的

度數(shù)為（）

C

A.14°B.24°C.30°D.42°

6.（3分）如圖，正比例函數(shù)（4W0）的圖象與矩形ABC。有公共點，BC=2,BC//x

軸（1,2）,則左的值可能是（）

244

7.（3分）如果三點A（-1,yi）,B（2,*）和C（6,*）在拋物線y=x1-6x+m的圖象

上，那么yi,”與丁3之間的大小關(guān)系是（）

A.yi<y2<ysB.y2<yi<y3C.y3<y2<yiD.y2<y3<yi

二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分）

8.（3分）比較大小：2A歷3（填”或

9.（3分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，對角線AC與AD的比值

為_______________________

10.（3分）分解因式：rr?+2r.nrn+mi,r=.

11.（3分）如圖，將等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=3&，APB1C

的面積是2,則平移的距離是.

12.（3分）如圖，及△AOB放置在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點A落在第一象

限，若N402=30°/,若反比例函數(shù)y=K（k#0）的圖象經(jīng)過點

13.（3分）如圖，在RtZXABC中，NC=90°,tanA=—＞。為AB的中點，E為AC邊上

3

一點，連接A'B,若AA，5。是直角三角形.

A

三、解答題（共13小題，計81分）

14.（5分）計算：+1+2sin60°?

r2（x-l）＞3x-3

15.（5分）解不等式組：＜x+2/x+3-

Ih（可￡

2

16.（5分）先化簡，再求值：I-1）+x二2'+1,其中彳=3.

《"2

x+2X-4

17.（5分）如圖，△ABC是OO的內(nèi)接三角形，AB是O。的直徑，請利用尺規(guī)作圖法，在

弧AC上求作點。使得/AOO=56°.（保留作圖痕跡，不寫作法）

18.（5分）如圖，在四邊形ABC。中，AC與8。交于點O,DFLAC,垂足分別為點E,F,

NBAC=NDCA.求證：四邊形A8C。是平行四邊形.

19.（5分）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，左、右空白處統(tǒng)稱為邊.一

般情況下，天頭長與地頭長的比是7：5,均為天頭長與地頭長的和的」一.某人要裝裱一

副對聯(lián)，寬為33cM.若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長.

裝裱后的寬天頭

III

京長

..±

——

清

明

裝

泉

月

——

裱

石

松

1后

2

0一邊

c的

上

m間

長

——

——

流

照

敗長

邊需"

33cm*

20.（5分）學校聯(lián)歡會上有一個“轉(zhuǎn)盤”游戲，用如圖所示的兩個均勻、可以自由轉(zhuǎn)動的

轉(zhuǎn)盤做游戲.游戲規(guī)則如下：A盤被分成面積相等的4個扇形，B盤中小的扇形區(qū)域所占

的圓心角是120°.分別任意旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，與B盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字相乘，如果乘積是4的

倍數(shù)，如果乘積是6的倍數(shù)，則小明贏得游戲.這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？用列表或樹狀

B盤

21.（6分）在學習解直角三角形以后，某班數(shù)學興趣小組的同學測量了旗桿的高度，如圖,

旗桿A8的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上,落在斜坡上的影長CO為4米,

AB±BC,且BC〃EF,同一時刻，斜坡CE的坡比為1：愿，旗桿的高度為多少米？（結(jié)

果保留根號）

A

30

B\C\\

FEN

22.（7分）近日，小米汽車St77驚艷上市，智能化和新能源越來越受到人們的追捧.為了

解某新能源汽車的充電速度，用快速充電器時，汽車電池電量yi（單位：%）與充電時

間x（單位：h）的函數(shù)圖象是折線ABC；用普通充電器時2（單位：%）與充電時間x

（單位：/?）的函數(shù)圖象是線段AZX根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）普通充電器對該汽車每小時的充電量為%.

（2）求yi與x的函數(shù)解析式，并寫出尤的取值范圍.

（3）若將該汽車電池電量從10%充至80%,快速充電器比普通充電器少用多長時間？

23.（7分）清朝康熙年間編校的《全唐詩》包含四萬多首詩歌，逾三百萬字，是后人研究

唐詩的重要資源.小云利用統(tǒng)計知識分析《全唐詩》中李白和杜甫作品的風格差異.下

面給出了部分信息：

a.《全唐詩》中，李白和杜甫分別有896和1158首作品；

b.二人作品中與“風”相關(guān)的詞語頻數(shù)統(tǒng)計表如表：

詞語春風東風清風悲風秋風北風

頻數(shù)

詩人

李白7224286268

杜甫1946103014

詩歌中就會出現(xiàn)一次該詞語(結(jié)果取整數(shù))，而杜甫最常使用的詞語是；

(3)李白常用“風”表達喜悅，而杜甫常用“風”表達悲傷.請你通過分析說明與“風”

有關(guān)的詞語在李白的詩歌中更常見還是在杜甫的詩歌中更常見.

24.(8分)如圖，AB為。。的直徑，點C和點。為O。上異側(cè)的兩點，點E在。C延

長線上，連接BE

(1)求證：BE是的切線；

(2)若點C為所的中點，BC=6,的半徑為5.求AF的長.

25.(8分)如圖，拋物線Ci：y=-+以+c與無軸交于&(-4,0)和2(2,0),與y

2

軸的交于C.

(1)求拋物線。的表達式；

(2)以點。為位似中心，在尤軸上方將△ABC放大為原來的2倍后得到aA'B'C,

且B'C和△ABC的位似比是2：1,B,C的對應(yīng)點分別為A',夕，8'，C'

三點的拋物線記為C2.在拋物線C2上是否存在點P和點Q,使得四邊形ABPQ是平行四

邊形？若存在，求出點尸和點。的坐標，請說明理由.

26.（10分）（1）如圖①，在四邊形48c。中，/BAD=NBCD=90°，/ABD=30°，過

點A作AC的垂線交CD的延長線于點E.求生

DE

（2）炎熱的夏天即將到來，水上樂園成為親子游玩的好去處.某開發(fā)公司將在一片淺水

湖建造一個大型的水上樂園，并同時開發(fā)三條水上商業(yè)步行街.如圖②，其中A,B,D

是三條步行街的入口.AC,OC分別是通向水上樂園C的三條步行街（三條街道寬度相

同）.根據(jù)儀器測量8。的長約（&WE），ZAB￡）=30°,ZADB=45°.同時根據(jù)設(shè)

計要求還要滿足/8CD=75°.由于招商類型與環(huán)境設(shè)計的不同，8c段每月平均每千米

的租金收入是萬元，使得三條步行街每月的租金總收入最大.若存在，求出每月

租金總收入的最大值，請說明理由.

圖①

2024年陜西省西安市碑林區(qū)西北工大附中中考數(shù)學四模試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題，每小題3分，計21分.每小題只有一個選項是符合題意的）

1.（3分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.-1B.2nC.-2D.1.5

3

【解答】解：1,8.5是分數(shù)，它們都是有理數(shù)；

3

2n是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；

故選：B.

2.（3分）下面是幾個幾何體的展開圖，其中能圍成棱錐的是（）

【解答】解：選項A,折疊后得到圓錐.

選項8,折疊后得到三棱柱.

選項C,折疊后得到正方體.

選項折疊后得到四棱錐.

故選：D.

(-8X-y)?(x6,x)?(y*y3)

o

故選：A.

4.（3分）一副三角板如圖所示擺放，若直線〃〃兒則N1的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【解答】解：過點B作〃小

*：a//b,

：.MN//a//b,

：.Z1=ZNBA,/NBE=/CEB,

???ABEC是等腰直角三角形，

AZBEC=45°,

:?/NBE=45°,

???△ABF直角三角形，NAB尸=60°,

AZABF=ZABN+ZNBE=Z1+45°=60°,

.*.Z8=15°,

5.（3分）如圖，已知AB是。0的弦，。為OO上的一點，若NAOC=48°,則NA4C的

度數(shù)為（）

C

A.14°B.24°C.30°D.42°

【解答】解：連接。2,

C

"：OA=OB,OC±AB,

：.ZAOC=ZBOC=48°,

：.ZBAC=AZBOC=24°,

2

故選：B.

6.（3分）如圖，正比例函數(shù)"WO）的圖象與矩形ABC。有公共點，BC=2,BC"x

軸（1,2）,則％的值可能是（）

244

【解答】解：：點A的坐標為（1,2）,BC=4,

：.C（3,1）,

把點A的坐標代入y=kx得k=4,

把點C的坐標代入y=kx得k=—,

3

...正比例函數(shù)尸質(zhì)"/7）的圖象與矩形A8C。有公共點，則/_4代7,

故選：C.

7.（3分）如果三點A（-1,yi）,B（2,*）和。（6,*）在拋物線-6x+m的圖象

上，那么yi,”與"之間的大小關(guān)系是（）

A.yi<y2<y?）B.y2<yi<y3C.y3<y2<yiD.y2<y3<yi

【解答】解：???拋物線y=/-6x+m的開口向下，對稱軸是直線尤=--L,

6a

???當％V3時，y隨x的增大而減小，”）關(guān)于稱軸是直線％=2的對稱點是（0,*）,

-7<0<2,

?\y8<J3<yi,

故選：D.

二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分）

8.（3分）比較大?。豪?lt;3（填“>”、"=”或

【解答】解：：2&=收，3=炳,

.?.272<3,

故答案為：V.

9.（3分）如圖，在正六邊形ABCZJEF中，對角線AC與的比值為一

【解答】解：：六邊形A8C0EF為正六邊形,

/.ZACD=90",ZADC=60°,

在RtAACD中，

sinZADC=sin60°=至=返.

AD2

/.對角線AC與AD的比值為1.

2

故答案為：返.

5

10.（3分）分解因式：療+2毋加+m〃2=M（加+〃）2.

［解答］解：m3+2m4n+m?2,

=m（m2+3mn+??2）,

=m（m+n）2.

11.（3分）如圖，將等腰直角△ABC沿8C方向平移得到△AiBiCi,若BC=3&，△P8C

的面積是2,則平移的距離是

【解答】解：由題意可知△PB1C是等腰直角三角形,

.1

??萬PB「PC=2，

:,PB7=PC=2,

2226

由勾股定理得，B1C=JVPBDR+PC=V7+2=2近，

：BC=8加，

BBJ=BC-B7C=3V2-7V2=V2）

即平移的距離是遙，

故答案為：V2.

12.（3分）如圖，放置在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點A落在第■象

限，若/AOB=30°2V3.若反比例函數(shù)y=&（k卉0）的圖象經(jīng)過點4二如一.

在RtZkOAC中，ZAOB=30°,

：.OA=2AC=2a,

由勾股定理得：OC=7UN-hc2=aa,

.,.點A的坐標為（a,疾a）,

?反比例函數(shù)y=K（k卉0）的圖象經(jīng)過點AM，

X

.".k—a'y/^a—yfSa2,

在RtZXOAB中，ZAOB=30°,

tanZAOB=-^-,

OB

.,.AB=OA,tanZAOB=6cftan30o=g,

8

VRtAAOB的面積為2?,

...且4小。4=2我，

2

gpAxZ2/l_a?8a=2V3?

23

?*.a5—3,

:.k=M43M.

故答案為：2M.

13.（3分）如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,anA=—＞。為A8的中點，E為AC邊上

t3

一點，連接A'B,若AA'8D是直角三角形—生

【解答】解：：NC=90°,43=10,

.'.^k=tanA=A,

AC3

.-.BC=AAC,

3

''-AB=VAC2+BC2=^AC2+(^-AC)2=-|AC=1。，

；.AC=6,BC=A,

3

；D為AB的中點，

：.AD=BD=1AB=3,

2

由翻折得A'D=AD=BD,

'：△A/BD是直角三角形，ZDA'B=/DBA',

.../A'DB=90°,且只存在這一種情況，

AZA'DA=90°,

?.ZADE=ZA'DE=1ZA'DA=45°,

2

作所LAO于點R則NO在'=NA尸E=90°,

：.ZFED=ZFDE=45°,

:.DF=EF,

?.?EF=sinA=BC=J-=4,AFAC=A=3

AEAB105AEAB105

DF=EF=^.AE^.AE,

55

.".AAE+A,

55

解得AE=空，

7

故答案為：25.

三、解答題（共13小題，計81分）

14.(5分)計算：+(蔣)1+2sin60°,

【解答】解：^/12+(3+2sin60°

=2V§+(-2)+2X與

=2V6-2+V3

=473-2.

，2(x-l)>3x-3

15.(5分)解不等式組：,x+2x+3.

I—+1

’2(x-l)〉7x-3①

【解答]解：,x+2<x+3+g②'

63

解①得：X<1,

解②得：x<6,

???不等式組的解集為：x<4.

16.(5分)先化簡，再求值：(2x+l_])+x,x+l其中x=3.

x+2X2-4

2

【解答】解：(2x+l-1)+x予+1

2

x+5X-3

=2x+l-(x+5)」(x-l)?

x+2(x+2)(x-2)

=x-4.（x+2）（乂-6）

x+2（x-1）2

=x-5

x-1'

當x=3時，原式=生2=」.

3-62

17.（5分）如圖，△ABC是。0的內(nèi)接三角形，A5是。。的直徑，請利用尺規(guī)作圖法，在

弧AC上求作點。使得NAOO=56°.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【解答】解：TAB是。。的直徑,

AZACB=90°,

VZA=34°,

AZABC=56°.

如圖，作NA0Q=NA3C,

18.（5分）如圖，在四邊形A3C。中，AC與5。交于點O,DFLAC,垂足分別為點F,

ZBAC=ZDCA.求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

【解答】證明：

：.AB//CD,

9：BELAC,DF±AC,

???NBEA=/DFC=90°,

在△ABE與△CD尸中，

2BAE=NDCF

'ZBEA=ZDFC-

BE=DF

AABE^/\CDF(AAS),

：.AB=CD,

四邊形ABCD是平行四邊形.

19.（5分）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，左、右空白處統(tǒng)稱為邊.一

般情況下，天頭長與地頭長的比是7：5,均為天頭長與地頭長的和的」一某人要裝裱一

12

副對聯(lián)，寬為33cm若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長.

裝裱后的寬天頭

歲長

-一一-

▲-

--

-清

裝明

泉

..裱

后月

1.

2石

的邊一-一邊

0.

c

長

m.

.上間

.

.流,昭、、、

1

J-

一?長

33cm

邊bi」

【解答】解：設(shè)天頭長7x5,則地頭長

根據(jù)題意得，3X(33+2x)=(7x+6x)+120

解得尤=3,

3X3=21（cm）,

答：邊的寬為3aw,天頭長為21c優(yōu).

20.（5分）學校聯(lián)歡會上有一個“轉(zhuǎn)盤”游戲，用如圖所示的兩個均勻、可以自由轉(zhuǎn)動的

轉(zhuǎn)盤做游戲.游戲規(guī)則如下：A盤被分成面積相等的4個扇形，8盤中小的扇形區(qū)域所占

的圓心角是120。.分別任意旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，與B盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字相乘，如果乘積是4的

倍數(shù)，如果乘積是6的倍數(shù)，則小明贏得游戲.這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？用列表或樹狀

圖說明你的理由.

A盤B盤

【解答】解：這個游戲?qū)﹄p方公平，理由如下:

列表如下：

A轉(zhuǎn)盤1254

B轉(zhuǎn)盤

58101520

55101520

76121824

由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，小明贏得游戲的結(jié)果有4種，

小紅贏得游戲的概率=工=工，小明贏得游戲的概率=-￡=」，

123123

小紅贏得游戲的概率=小明贏得游戲的概率，

.?.這個游戲?qū)﹄p方公平.

21.（6分）在學習解直角三角形以后，某班數(shù)學興趣小組的同學測量了旗桿的高度，如圖,

旗桿AB的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上,落在斜坡上的影長CO為4米,

AB±BC,>BC//EF,同一時刻，斜坡CE的坡比為1：弧,旗桿的高度為多少米？（結(jié)

【解答】解：作。G_LAF于G,CHLDG于H,

則四邊形BGHC為矩形，

:.BG=CH,GH=BC=6,

設(shè)CH=x米，

?..斜坡CE的坡比為1：R

:.DH=MX,

由勾股定理得，CH2+DH5=CD2,即7+(JWx)2=48,

解得，x=2,

則8G=CH=2,DH=3M，

:.DG=GH+HD=6+8如,

在RtzXAGD中，tanA=1^,

AG

則AG=U-=6jV，

tanA

：.AB=AG-BG=6如+4,

答：旗桿的高度為(673+4)米.

22.（7分）近日，小米汽車S。驚艷上市，智能化和新能源越來越受到人們的追捧.為了

解某新能源汽車的充電速度，用快速充電器時，汽車電池電量ji（單位：%）與充電時

間x（單位：/z）的函數(shù)圖象是折線ABC；用普通充電器時2（單位：%）與充電時間x

（單位：/I）的函數(shù)圖象是線段AD根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）普通充電器對該汽車每小時的充電量為30%.

（2）求”與x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍.

（3）若將該汽車電池電量從10%充至80%,快速充電器比普通充電器少用多長時間？

【解答】解：(1)由題意可知：

普通充電器對該汽車每小時的充電量為：(100%-10%)4-3=30%,

故答案為：30；

(2)當0WxW5.5時

設(shè)線段A8的解析式為竺=履+6(左W7),

代入(0,10),70)

fb=10,

lO.6k+b=70，

解得：尸20.

lb=10

.,.yi=120x+10；

當0.4<xWL5時，

設(shè)線段BC的解析式為x+b'W=0),

代入(0.5,70),100)

fo.5k，+b，=70,

15.5kz+b'=100,

解得=30,

lb'=55

.??yi=30x+55,

J120x+10(0<x<6.5)

二泗與尤的函數(shù)解析式為yi=

[30x+55(0.7<x<1.5)

(3)將該汽車電池電量從10%充至80%,用快速充電器可得：30x+55=80,

解得：尸工；

6

普通充電器所用時間為:

(80-10)4-30=2(小時),

4

:.工-工=1.7(〃).

36

答：快速充電器比普通充電器少用時間為L5小時.

23.（7分）清朝康熙年間編校的《全唐詩》包含四萬多首詩歌，逾三百萬字，是后人研究

唐詩的重要資源.小云利用統(tǒng)計知識分析《全唐詩》中李白和杜甫作品的風格差異.下

面給出了部分信息:

a.《全唐詩》中，李白和杜甫分別有896和H58首作品;

b.二人作品中與“風”相關(guān)的詞語頻數(shù)統(tǒng)計表如表:

詞語春風東風清風悲風秋風北風

頻數(shù)

詩人

李白7224286268

杜甫1946103014

12首詩

歌中就會出現(xiàn)一次該詞語（結(jié)果取整數(shù)），而杜甫最常使用的詞語是秋風；

（3）李白常用“風”表達喜悅，而杜甫常用“風”表達悲傷.請你通過分析說明與“風”

有關(guān)的詞語在李白的詩歌中更常見還是在杜甫的詩歌中更常見.

【解答】解：（1）補全的條形統(tǒng)計圖如下：

□李白

■杜甫

896+72p12(首)；

杜甫最常使用的詞語就是出現(xiàn)次數(shù)最多的詞語，即秋風；

故答案為：春風；12；

(3)與“風”相關(guān)的詞語在李白的詩歌中的占比為：72+24+28+6+26+8=旦,

896224

與“風”相關(guān)的詞語在杜甫的詩歌中的占比為：19+2+6+10+30+14=gg,

11581158

??41〉83

'2241158,

???與“風”有關(guān)的詞語在李白的詩歌中更常見，

答：與“風”有關(guān)的詞語在李白的詩歌中更常見.

24.(8分)如圖，為。。的直徑，點C和點。為。。上A8異側(cè)的兩點，點E在。C延

長線上，連接8E

(1)求證：是的切線；

(2)若點C為所的中點，BC=6,。。的半徑為5.求AF的長.

【解答】(1)證明：為。。的直徑,

AZACB=9Q°,

AZA+ZABC=90°,

vzr>=ZA,

：.ZD+ZABC=90°,

?；NCBE=NBDC,

：.ZCBE+ZABC=90°,

AZABE=90°,

C.ABLBE,

???55是。。的切線；

（2）解：??,點C為成的中點，ZABE=90°,

：.EF=2BC=12,

?；BC=CE,

：.NE=/CBE,

：.NA=NE,

VZACB=ZEBF=9Q°,

JAACB^AEBF,

???—BF~—EF,

BCAB

??B?F二12,

610

：.BF=4.2,

：.AF=10-7.5=2.8.

25.（8分）如圖，拋物線G：y=-L^+^x+c與無軸交于&（_4,0）和8（2,0）,與y

2-

軸的交于c.

（1）求拋物線Cl的表達式；

（2）以點O為位似中心，在x軸上方將AABC放大為原來的2倍后得到B'C,

且△&'B'C和△ABC的位似比是2：1,B,C的對應(yīng)點分別為A',夕，夕，C'

三點的拋物線記為C2.在拋物線C2上是否存在點P和點Q,使得四邊形ABPQ是平行四

邊形？若存在，求出點尸和點Q的坐標，請說明理由.

J

ffr

【解答】解：(1)把A(-4,0)和B(2JL?+bx+c得：

2

f-8-4b+c=5

1-2+2b+c=3

解得，b=7,

Ic=4

拋物線C3的表達式為y=-7+生

2

(2)在拋物線C2上存在點P和點Q,使得四邊形ABPQ是平行四邊形

在y=-9/-x+6中，令x=0得y=4,

2

：.C(6,4),

:以點O為位似中心，在x軸上方將△A8C放大為原來的2倍后得到△?!'B'C,

：.A:(-4,0),0),2),

設(shè)拋物線記C2的解析式為y=a(x+8)(x-8),把。(0,

???〃CL一---1-,

3

...拋物線記C2的解析式為y=-—(x+8)(x-4)=-當2-x+3,

24

設(shè)P(p,-JLp6-p+8),Q(q,--q2-^+8),

46

,/四邊形ABPQ是平行四邊形，

：.AP的中點與BQ的中點重合，

<-8+p=2+q