圓錐曲線高頻壓軸解答題

目錄

題整01軌跡方程........................................................................

02向量搭橋進(jìn)行翻譯................................................................6

03弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯........................................................10

04斜率之和差商積問(wèn)題..............................................................16

05弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問(wèn)題........................................................19

題鱉06定值問(wèn)題.......................................................................25

題型07定點(diǎn)問(wèn)題.......................................................................29

08三點(diǎn)共線問(wèn)題...................................................................33

09中點(diǎn)弦與對(duì)稱問(wèn)題...............................................................37

題T10四點(diǎn)共圓問(wèn)題...................................................................40

題鱉11切線問(wèn)題.......................................................................45

題整12定比點(diǎn)差法......................................................................50

題整13齊次化.........................................................................53

跳？14極點(diǎn)極線問(wèn)題...................................................................55

題型15同構(gòu)問(wèn)題

題母16蝴蝶問(wèn)題.......................................................................64

W01軌跡方程

1.(2024?重慶?高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知雙曲線=l(a>0,6>0)的一條浙近線方程為了=%

且點(diǎn)網(wǎng)跖行)在雙曲線上.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)雙曲線左右頂點(diǎn)分別為43,在直線x=l上取一點(diǎn)尸(1,7)。片0),直線"交雙曲線右支于點(diǎn)C,直線

AP交雙曲線左支于點(diǎn)D,直線4D和直線3c的交點(diǎn)為。，求證：點(diǎn)。在定直線上.

【解析】(1)因?yàn)闈u近線方程為了=》，所以“=人設(shè)雙曲線為，-必=力,

代入網(wǎng)跖⑹得力=4,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)力程為V=4；

(2)法一、

設(shè)直線NP:x=，3-2,聯(lián)立雙曲線x=-t/v-2得：(9■一1\/,一1一2尸0,

t卜f=4”7t

nt3-18+2/口2人

??yc-T——Vz-^-2=ztJitw9;

c9-t1ctc9-t2

1-

]x=—v+2

設(shè)直線BP：x=—》+2,聯(lián)立雙曲線t得:

'——y2=4

4/_1__2—2t21

yD~\~~+02=-~~^―，R且‘2wi；

i.—IILl—L

Atnt

所以"工二-上U斤:北9":3

-BC2

-4^-t~xc-?.~4Z~t

\-t29"

i3

則/1):>=-；(x+2),BC:y=7(x-2)

l八

%=-；(z%+2)

x—21

設(shè)。（%，%），則3,兩式相除消,得n小=萬(wàn)，%=1

-2

%=-(^0)

、i

所以。在直線X=1上;

法二、

設(shè)直線AD:y=上」（尤+2）=上一?位TR+2）=見(jiàn)匚4+2）,

X。+2xD+1yDyD

直線火:沖上^一州上^口卜,州乜三&-），

%-2%-2%yc

yn

由于腐尸=左即，即----%=T，

XD~Z

由于心P=Kc，即告5=；，

13

貝lJ/Q:y=_7（x+2）U=7（x_2）.

lz-

%=_*o+2)

x—21

設(shè)。（％，為），則3,兩式相除消，得工n^=-w，x。=1

%+23

%=；(工0-2)

所以。在直線X=1上;

r2v21

2.（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：1r+%=1（。>6>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，直線了=萬(wàn)無(wú)

被橢圓截得的弦長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)M,N,P,。為橢圓。上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形ACVP。為菱形，原點(diǎn)。在直線"N上的垂足為點(diǎn)X,求H

的軌跡方程.

J/

【解析】（1）由題意可得。=26,則橢圓C：=1,

4b2b2

-?y=[x=41bX=-42b

聯(lián)立，4/J

解得以或,血小

y=---bk一3人

I2

Oon

所以弦長(zhǎng)，8〃+2/=4,解得所以/=二,

xy_

+=

所以橢圓C的方程為32T,即5/+20/=32；

55

(2)因?yàn)樗倪呅?VP。為菱形，所以MRNQ垂直且平分,

設(shè)”(西,弘)，尸(%,%),

則5x；+20y；=32,5x；+20jf=32,

兩式相減得5（X；-X；）+20（,-貨）=0,

即（網(wǎng)_%）（%+%）+4（必+%）=0,

設(shè)菱形的中心為(X。/。),

若直線〃尸,NQ的斜率都存在，設(shè)直線〃尸,NQ的斜率分別為3發(fā)2，

由（X]-X2）（X]+9）+4（乂-%）（%+%）=0,得（為+%）+4、[：（%+%）=0,

所以2%+8為匕=0,即％+4為勺=0,

同理％+4%左2=0,

所以％A=%融，

由"2=-1得%=0,所以%=0,即菱形的中心為原點(diǎn),

則直線"尸的方程為y=ktx,直線NQ的方程為y=k2x,

\y=kx

聯(lián)立小+}2獷=32,解得再2=E32,

所以QM?=其+y；=(1+到片，

「巾，32（1+怎）

同理ON,『2=」--V

I15+20代

因?yàn)?^\OH\7|OA/|2+|O<=^\OM\\ON\,

1\OM?+\ON^11

所以-----=---------—=------1-----------

\OM^|CW「

_5+202：5+20抬2+81；1+5-：+5代

32（1+人;）32（1+后）321+左：+優(yōu)'+Q優(yōu)'

52+8+5（后;+"）55（2+肝+盾）25

―32,-1+^2+^+1322+腎+后-32'

所以點(diǎn)"在圓一+產(chǎn)=||上；

若直線〃尸,NQ中有一條直線的斜率不存在，由對(duì)稱性可知棱形的中心為原點(diǎn),

M,N,尸,。四點(diǎn)分別為橢圓的頂點(diǎn)，不妨設(shè)河為右頂點(diǎn)，N為上頂點(diǎn)，

貝"0“『=|,|。稈=|,

「Bi,1\OM^+\ON^1125

同理可得-----=----!------=------1-----------=——

|O<\OM^\ON^\OM^|ON『32'

點(diǎn)/任在圓V+4=11上,

綜上所述，X的軌跡方程為彳2+必=蘭.

3.（2024?福建莆田?統(tǒng)考一模）曲線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)尸（2,0）的距離與它到直線x=4的距離之比等于變,

2

過(guò)點(diǎn)M（4,0）且與x軸不重合的直線/與C交于不同的兩點(diǎn)43.

（1）求C的方程;

（2）求證：△NB尸內(nèi)切圓的圓心在定直線上.

【解析】（1）設(shè)尸（x/）,由題意：叱2）一+/

1^-4|

2222

化簡(jiǎn)得：二+二=1,即C的方程為：—+=1.

8484

22

⑵設(shè)直線/：x=7肛+4,A(xI,y1),B(x2,y2),將/代入C得：(m+2)j+8my+8=0,

A=64m2—32（加2+2）>0=>m2>2

8m

一

M+%=m2+2

8

m2+2

%必

設(shè)直線AF與BF的斜率分別為匕,k2,則kl+k2=±?

myt+2my2+2

2m8?2（8冽］

=2町%+2（弘+%）=mm?+21加2+2J二0.

（叼i+2）（沖2+2）（叼1+2）（叼2+2）

k1=-k2,則ZBFM=7T-ZAFM,：.直線x=2平分ZAFB,而三角形內(nèi)心在NAFB的角平分線上,:.AABF

內(nèi)切圓的圓心在定直線x=2上.

而昨2P；2q=p+q,所以J?=2(X—2)(XH2).

同理，當(dāng)X]=0時(shí)，y1=2x(x0),

當(dāng)尸。與x軸垂直時(shí)，R與。(2,0)重合.符合丁=2(尤-2).

綜上，線段P。的中點(diǎn)的軌跡方程/=2(x-2)或V=2x(xw0).

■k題瞿02向量搭橋進(jìn)行翻譯

222

4.(2024?陜西咸陽(yáng)??？寄M預(yù)測(cè))已知橢圓C:=+3=1("6>0)的離心率是雙曲線上-/1的離心

ab3

率的倒數(shù)，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為￡,耳，上頂點(diǎn)為P,且西-A月=-2.

(1)求橢圓。的方程;

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)0(0,2)的動(dòng)直線/與橢圓。相交于兩個(gè)不同點(diǎn)43時(shí)，設(shè)而=2前，求2的取值范圍.

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)織瑪?shù)淖鴺?biāo)分別為(-。,0),卜,0),

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0/）,且兩?庵=（—c,—b）?（c,—b）=-c2+〃=一2,

c2-b2=2

所以，解得。=2,6=1,

a2

a2-b2=c2

所以橢圓C的方程為二+/=1.

4

（2）設(shè)”（石,必）,5（%2，%），則依據(jù)而=4詼得（一再,2-必）=4（%2，%-2）,

整理得西=一丸、2,必=2-丸（%一2）,

得上當(dāng)3+（—%）（弘+…口，

即（必-4y2）（2+2/l）=1-A2,

當(dāng)4=-1時(shí)，此時(shí)而=-函=皿，即45重合，顯然不成立，所以；lw-1,

所以（必一辦2）（2+22）=］_2,即外一2%=.,

1+22

乂“+辦2=2（1+為,得

又必故丸￡-3,--,且Xw—1,

故實(shí)數(shù)2的取值范圍為［-3,-1）口［-1,-!.

22/T

5.（2024?上海奉賢?統(tǒng)考一模）已知橢圓1r+}=1（。>6>0）的焦距為2g，離心率為三，橢圓的左右

焦點(diǎn)分別為片、F2,直角坐標(biāo)原點(diǎn)記為O.設(shè)點(diǎn)P（0,。，過(guò)點(diǎn)尸作傾斜角為銳角的直線/與橢圓交于不同的

兩點(diǎn)2、C.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)T,求行?（函-詞）的取值范圍；

（3）設(shè)線段3C的中點(diǎn)為M,當(dāng)此逝時(shí)，判別橢圓上是否存在點(diǎn)。，使得非零向量的與向量而平行，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【解析】（1）由題意，得,=百，a=2,所以6=，口一。2=1，

丫2

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為『了』;

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)7（x,y）,FXF2=（2A/3,0）,PT=（x,y-t）,

TF2）=-PT-J\F2=-2氐,

vxe[-2,2],所以百國(guó)-西）的取值范圍為[-4省,46]；

（3）顯然直線的斜率存在，故可設(shè)直線/號(hào)=履+￡,5（再,必）、C（x2,^2）,

y=kx+t

聯(lián)立工22,消去歹得（1+4左2）+8左/x+4〃—4=0,

彳+y=

△=一16產(chǎn)+64r+16>0，即/>——①,

4

8kt_4r-4

貝!JXj+x=—

21+4〃'”押2一]+4左2，

4kt必+>2—左（再+%2）+2,_4k2t

+t=--------

21+4/'221+4-1+4左2

4ktt]

X

則M=\-1+4左2'1+4后21'

故

1

若OMIIP。,則有女尸0=自四

4k

設(shè)直線尸0為產(chǎn)」x+f,

4k

1

y-----+￡（

--x7/

2張,消去了有

聯(lián)立1+x2----x+4/2—4=0,

X21Vk

一+V=1A

[4'

要使得存在點(diǎn)。，則4=興

>0,

4

整理得16H--—20,

故標(biāo)②，

At-4

t2-ii

由①②式得，—<A:2<^—■

44戶一4

產(chǎn)一

則1二1解得-&"<逝,

44r-4

所以當(dāng)fN后時(shí)，不存在點(diǎn)。，使得兩//而.

6.（2024?云南昆明?高三統(tǒng)考期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸到定點(diǎn)尸（0,4）的距離和它到直線＞=1距離之比為2；

（1）求點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

（2）直線/在x軸上方與x軸平行，交曲線C于4,8兩點(diǎn)，直線/交y軸于點(diǎn)D設(shè)OD的中點(diǎn)為是否存

在定直線/,使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于尸，Q,與線段交于點(diǎn)N,PM=APN^麗=4區(qū)均成立；若

存在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）設(shè)P（x,y）,由動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0,4）的距離和它到直線＞=1距離之比為2,

可得，x；（y：4）=2,化簡(jiǎn)得3/_X2=12,即廣一｛=1,

|y-i|412

22

故點(diǎn)P的軌跡C的方程為匕-二=1；

412

（2）設(shè)/的方程為歹=2加（加＞1）,則。（0,2加），故〃（0,加），

由已知直線P0斜率存在，設(shè)直線尸。的方程為^=辰+加（丘0）,故

與雙曲線方程聯(lián)立得：（3左2-1b2+6筋vx+3加2-12=0,

由^一t=1對(duì)應(yīng)漸近線方程為：了=±且x，易判斷詼2＞1,

412,3

A＞0得A=12（12r+1-4）＞0,設(shè)尸（士,/），2（x2,y2）,

-6km3m2-12

XX

則占+%2=3左2_］，12=①,

3k2-1

由同7=2而，麗=/麗得:

uuurUUUT

PM=（一再,m—yj,PN=；~一玉，2冽一乂），

uuiruuir(mA

MQ=(x2,y2-m),QN=\--x2,12m-y2I,

即X]=26X2,

消去2得：x2^xl-^=xi^-x2^,

即2X/2---(芭+%2)=。(2)

k

由①②得：6(獷-4)+'6km=0，化簡(jiǎn)得加一2=0,由已知加=血,

3F-1k3F-1

故存在定直線/：y=20滿足條件.

■L題型03弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯

7.（2024?陜西榆林?統(tǒng)考一模）已知橢圓C:]+/=ig>b>0）經(jīng)過(guò)/（0,1）,喂-3兩點(diǎn).

（1）求C的方程；

（2）斜率不為0的直線/與橢圓。交于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)/不在/上，AMLAN,過(guò)點(diǎn)P作V軸的垂線，交直

線x=7于點(diǎn)S,與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為7,記ASMN的面積為H，△KW的面積為邑，求要.

【解析】（1）將用0,1）,尸代入橢圓方程中，

b2=l

<64?9_J

25d25b2~

解得后

則橢圓C的方程為片+/=1；

4

（2）當(dāng)直線軸時(shí)，為鈍角三角形，且/M4N<90。，不滿足題意.

設(shè)M（XI，M）,N（X2，%）,由/Af_L/N,可得痂.左=0，

所以AM?NN=（X1,弘-1）?（尤2,%T）=七七+（必T）也T）=°，

所以直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為尸=履+加，

因?yàn)辄c(diǎn)N不在/上，所以mwl,

由「2：；：初4化簡(jiǎn)得（1+4/江+8加u+4加2_4=。,

A>0=64Hm2-4（1+4/c2）（4m2-4）>0=>m2<1+4廿

-Skm4m2-4

網(wǎng)+工廣由廣/二^^，

所以AM?AN=再為十F西為+苗加-1）（%+凡）4（加-1）2

（1+左之）（4加之一4）8左2加（冽一1）（m-1）2（1+4左之）

---------------------------------------------------------1-------------------------------二0,

1+4/1+4左21+4/

則（1+r）（4〃/一4）一8左2機(jī)（小一1）+卜72-1）2（1+4產(chǎn)）=0,

3

整理得（％-1）（5機(jī)+3）=0,因?yàn)椤?,所以機(jī)=一丁

所以直線/的方程為>=息-|,恒過(guò)點(diǎn)0（0,-|）

由題意和對(duì)稱性可知

設(shè)點(diǎn)s到直線I的距離為4，點(diǎn)7到直線I的距離為d2,

E《=SQ0-（-1）=5

4飛

$2^\MN\-d2

22

8.（2024?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓￡：?+a=1,>6>0）的左、

右焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,若E上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,且點(diǎn)1,彳在E上.

⑴求橢圓E的方程；

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)A,B在E上，且電?如=-；（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），分別延長(zhǎng)NO,BO交E于C,D

兩點(diǎn)，則四邊形/8CD的面積是否為定值？若為定值，求四邊形的面積，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）因?yàn)镋上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,

所以2a=4,即a=2.

又因?yàn)辄c(diǎn)E上,

13

所以彳+赤=1,則/=1,

故橢圓E的方程為三+/=1.

4-

（2）四邊形/BCD的面積為定值，理由如下：

當(dāng)直線斜率為0時(shí)，因?yàn)殡?%=-；,

不妨設(shè)上”=；，則曬==，

則/亞當(dāng)，B（-42,^\,

<）\）

此時(shí)四邊形的面積為2亞x變x2=4為定值;

2

當(dāng)直線48斜率不為0時(shí),設(shè)如：x=sy+M,且/（再,%）,雙和外）.

x=my+n

12

聯(lián)立X22?,得(m+4)歹2+2mny+n-4=0.

一+y=1

[4

由』=4療/—4"+4)(/—4)>0,得加2_/+4>O,

2mnM2-4

則%+%=

m2+4

mn

貝ljxrx2=[my1+n)[my2+n)=療%％+(必+%)+/

n2-4(2mn)47?2-4m2

=m2x------Fmnx-----+〃2=-------

m+4Im+4Jm+4

因?yàn)檗蹋?后05=-；，

所以■二T即黑7^7=j即/=2〃2-4,

京_16---r4n-n+4

則|/a=，1+加2.+m------------

m2+4m+4

\n\

又原點(diǎn)O至！J3的距禺d=/彳

71+m

J加2―"+4

所以四邊形/BCD的面積S=4S，加=4x\x網(wǎng).441+蘇

2y/1+mm2+4

J2n2-4—?2+4

=8

同-2/-4+4-

綜上，所以四邊形/BCD的面積為定值4.

丫2

9.（2024?上海?高三上海市大同中學(xué)?？计谀┮阎p曲線H：5一/=1的左、右焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,左、

右頂點(diǎn)為4，4,橢圓E以4，4為焦點(diǎn)，以片耳為長(zhǎng)軸.

（1）求橢圓E的離心率；

⑵設(shè)橢圓E交y軸于四，B2,過(guò)耳的直線/交雙曲線X的左、右兩支于C,。兩點(diǎn)，求△與CD面積的最

小值；

⑶設(shè)點(diǎn)”（加,"）滿足?。?〃2.過(guò)”且與雙曲線〃的漸近線平行的兩直線分別交〃于點(diǎn)P,Q.過(guò)”且與

P。平行的直線交〃的漸近線于點(diǎn)S,T.證明：而為定值，并求出此定值.

22

【解析】（1）設(shè)橢圓方程5+a=1,焦距為2%,

axb[

由題意知橢圓E的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)分別為片卜0,0）,乙（退,。），4（-2,0），4（2,0）,

所以q=V5,C]=2,6]=1,

從而橢圓E的離心率為q=2=M=竽.

(2)如圖所示:

由題意4(1,0),與(-1,0),忸也|=2,直線CO斜率存在,

所以不妨設(shè)直線c。的方程為了=息+1，c(x1,j1),n(x2,>>2),

又雙曲線J-必=1漸近線斜率的絕對(duì)值為周=g,

且過(guò)耳的直線/交雙曲線8的左、右兩支于c,。兩點(diǎn),

所以直線co的斜率滿足(左<1，

22

22=1

將直線CD與雙曲線方程土-/=1聯(lián)立丁〉-,消去了得(1一4左212-8辰-8=0,

4y=kx+l

而A=(-8左y+32(1-4町=32(1-2后)>0,

的"1_8左+68"石_而_4.2(1-2k)

上司—2(1—止)2(1-4巧一卜-例一"4N，

從而△與CD的面積為=S?%qc+S如Q=；用禺|卜「工2卜丁'"《

111—/

因?yàn)橐唬?lt;左<彳，令f=1—4左2,所以左~=—^-,0</W1,

224

當(dāng)且僅當(dāng)"=1,即，=1/=0時(shí)，[/(^)]min=/(O)=4>/2.

綜上所述：△與⑺面積的最小值

(3)如圖所示：

由題意雙曲線上-「=1的漸近線方程為上一2=0即x±2y=o,

4'4-

\MS\

當(dāng)加=0時(shí)，由對(duì)稱性得尸，。關(guān)于了軸對(duì)稱，S,T關(guān)于y軸對(duì)稱，所以M為S,7的中點(diǎn)，故雷=L

\MS\

下面證明當(dāng)機(jī)HO時(shí)，局=1即證可為叢T的中點(diǎn).

因?yàn)辄c(diǎn)"滿足/<4?2，則加-2"0,加+2”20,"0,

不妨設(shè)加〉0,〃〉0,當(dāng)％=加時(shí)，y=—m<n此時(shí)點(diǎn)”（也〃）在直線y=的左上方，同理可證，點(diǎn)M（私〃

在兩漸近線y=±1x所夾區(qū)域的上方或下方，不妨設(shè)點(diǎn)”（，〃,"）在上方區(qū)域.

由題意3°=彳/j

設(shè)直線MP的方程為y-?=|（x-m）,直線MQ的方程為y-n=-^x-m）,

%2-

丁了"即卜-2y)(x+2y)=4~,x+2y=--------

所以彳m-2n,

1/、\x-2y=m-2n

y—n=vx-2y=m-2n

2xp=---------\-m-2n

所以P(Xp,4)滿足

4yp=---------m+2n

、m-2n

c4c

2xn=----------\-m+2n

同理。卜0,%）滿足Vm+2n

4y=----------Fm+2n

0m+2n

所以直線尸。的斜率:

44_8m

yp-yQ_!.4力_4%-￡m-2n加+2〃-加=加―“2-”=m

4

xP-xQ22xP-2XQ2J勘2⑹？，.4〃

m-2nm+2nm2-4n2

設(shè)直線防方程為一可（…）,

m

y-n=——[x-m

J77/

得—〃=KP2nx—4n2=mx—m2,

y=-x

2

得T的橫坐標(biāo)芍=電..-=2n+m,同理/=加-2〃，

'2n-m

所以芍+/-2m,

\MS\

所以M為S,T的中點(diǎn)，故身為定值1.

MS

綜上:為定值1.

MT

■k題型04斜率之和差商積問(wèn)題

10.(2024?貴州銅仁?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，已知過(guò)動(dòng)點(diǎn)〃(xj)作x軸垂線，分別與y=l

和>=-4交于尸，。點(diǎn)，且4(-2,0),4(2,0),若實(shí)數(shù)4使得萬(wàn)歷.麗=西.班成立(其中O為坐標(biāo)

原點(diǎn)).

⑴求M點(diǎn)的軌跡方程，并求出當(dāng)Z為何值時(shí)M點(diǎn)的軌跡為橢圓；

(2)當(dāng)人=4時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(4,0)的直線/與軌跡”交于了軸右側(cè)。，。兩點(diǎn)，證明：直線4C,4。的斜率

之比為定值.

【解析】⑴由動(dòng)點(diǎn)/(XJ),可得而=(羽_4),O?=(x,l),MAx=(-2-x,-y),MA^=(2-x,-y)

222

因?yàn)橥恹?而二麗.可'，j5ffy.(x-4)/l=x-4+/,

化簡(jiǎn)得(1-A2)X2+V2=4(1-22),

22

當(dāng)4e(-l,0)U(0，l)時(shí)，方程為7+導(dǎo)不=1,其中M點(diǎn)的軌跡為橢圓.

(2)證明：當(dāng)丸=如時(shí)，〃的方程為工—廣=1,可得點(diǎn)M為雙曲線，

242

設(shè)CD方程為x=加了+4,且。(為,功),。。2,%)，4(-2,0)，4(2,0),

fx=my+4--

聯(lián)立方程組《，c2/整理得("/_2)/+8忖+12=0,

[x-2〉=4

可得W2且△=64加2_%以2_2)x12=〃/+6>0，兇+%=j~7'=-?,

m-2m-2

直線AXC,A2D的斜率分別為kx,k2,

又由左1"左2=

12,

,仁/八，m--------b6y

所以&_=12.再+2=%(呻+6)=叼-12+6y2=_______加2_29

1216m

kiX2-2%(my2+T)yx即仍+2(%+%)—2%m,-

m2-2m2-2

12m,

^^+6%k1

m一27所以1萬(wàn)為定值?

—4加0

「—2%

m-2

11.(2024?安徽?高三校聯(lián)考期末)已知拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R點(diǎn)P(4,%)是拋物線C上

7

一點(diǎn)，點(diǎn)。是尸尸的中點(diǎn)，且0到拋物線。的準(zhǔn)線的距離為萬(wàn).

(1)求拋物線C的方程;

⑵已知圓“：(無(wú)-2尸+/=4,圓河的一條切線/與拋物線C交于4,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：0A,

OB的斜率之差的絕對(duì)值為定值.

【解析】(1)I艮據(jù)題意可歹Up+^+4=7np=2

故拋物線C的方程為/=4x.

(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=4,/(4,-4),8(4,4),kOA=-\,k0B=\,\kOA-kOB\=l.

②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，故設(shè)直線的方程為〉=履+占,

圓〃的一條切線/與拋物線。交于42兩點(diǎn)，故〃=率?=2=助=1-與

J-+14

設(shè)/(X/，XJ,8(XB,先)

y=kx+b一°

把直線的方程與拋物線進(jìn)行聯(lián)立2彳k2x2+(2kb-4)x+b2=0

4-2kbb2

XA+XB=8/尸B=您

六小號(hào)

綜上所述：OA,OB的斜率之差的絕對(duì)值為定值為2.

22

12.(2024?海南海口?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線(7邑-3=1伍>0/>0)的左

ab

頂點(diǎn)為A,離心率為血，焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.直線/過(guò)點(diǎn)尸(/,0)(0-<2),且垂直于x軸，過(guò)戶的直

線/'交C的兩支于G,H兩點(diǎn)，直線AG,AH分別交/于M,N兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

⑵設(shè)直線/N,(W的斜率分別為左后，若區(qū)?履=；,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】(1)不妨設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,o),c>o,漸近線方程為y=

由題意可得：\bc-2

yja2+b2

c2=a2+b2

解得a=b=29

所以雙曲線C的方程為工-心=1.

44

(2)由題意直線GH的斜率不為0.

設(shè)直線G//方程為x=+/,

(22

±__匕.

由144一，消去工得：(m2-l)y2+2mty+t2-4=0,

x=my+t

m2—1^0

設(shè)G(X"M),//(X2，%),則%+%=,必%=t].

1J—=m1：—m

由題意可知/(-2,0),則直線NG:y=2(x+2).

令x=t，得y==\?+2),所以M坐標(biāo)為?，必"十?

士+2Ix,+2)

同理，N坐標(biāo)為t,-V',

IX2+2J

了2：J('+2)

所以匕=9

x2+221X]+2)

1y“（+2）/

因?yàn)樽?5,所以言9;

/（演+2）2

t+2_（再+2）（%+2）

整理得:

t2必為

又（項(xiàng)+2）（々+2）=（加必+￡+2）（加必+1+2）

=+加?+2）（必+%）+。+2）2

24一產(chǎn)（、2mt/7（"2）2

=m2-------+m（t+2\-------+0+2）2_

1-m2I71-m21-m2

（，+2）2

p.ci1+2=（演+2）（9+2）］一病?+2『

所以一必％

f22（4-產(chǎn)）2（4-t2）,

1-m2

4

因?yàn)?<，<2,所以才=4一2/，即，=一,

3

題型05弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問(wèn)題

13.（2024?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知FVF2分別為橢圓M:二+《=1（.>6>0）的左、右焦點(diǎn)，

ab

直線乙過(guò)點(diǎn)2與橢圓交于43兩點(diǎn)，且△/月耳的周長(zhǎng)為（2+五）即

（1）求橢圓"的離心率；

⑵直線4過(guò)點(diǎn)尸2,且與4垂直，4交橢圓”于C，。兩點(diǎn)，若a=4i，求四邊形/CM面積的范圍.

【解析】（1）設(shè)片（-c,0），B（c,0）（c>0）,由橢圓的定義可知△/片用的周長(zhǎng)為2a+2c=（2+四）a,所以

2c=及。，所以離心率e=￡=1.

a2

(2)由(1)可知￡=正，又從+°2=02,所以/=2/=2,

a2

所以橢圓M的方程為上+了2=1

2-

①當(dāng)直線4,中的一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，四邊形ZC3。的面積

S^\AB\.\CD\^242X^2.

②當(dāng)直線4%的斜率都存在，且都不為0時(shí)，設(shè)4的方程為歹=左(1-。),/(冷乂),8卜2，%),由＜*2?

—+V=1

12/

2k2—2

可得(1+2/b2―4/x+2如-2=0,A=8「+8>0.所以再+噂=4H

1+2左2'%尤2-]+2后2-

2及儼+i)

—2

所以|AB\=\J\+k~|%1x2|=A/1+kJ(X]

1+242

+120(r+i)

設(shè)4的方程為y='7(x-c),同理可得|CD卜

—k1+iE+2

2&(F+I)272(^2+1)

所以四邊形/CSZ)的面積S=；以同.|。必=；x

1+23-*——+2―

4儼+1)24伏2+1)2

244+5左2+2=2儼+1)2+〃

因?yàn)椤?/=左2+二+2乜"，+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)上2=1時(shí)取等號(hào).所以M

<2,即

IA-Jk2\k29

此時(shí)Se[1,2)

由①②可知，四邊形/CB。面積的范圍為y,2.

14.(2024?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)戶的直線/交C于43兩點(diǎn)，過(guò)尸

與/垂直的直線交C于2E兩點(diǎn)，其中民。在無(wú)軸上方，河,"分別為4瓦。石的中點(diǎn).

(1)證明：直線肱V過(guò)定點(diǎn);

(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求AGMN面積的最小