第一章數(shù)與式真題測試

（時間：90分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的）

1萬

1.（2020?南昌市第一中學(xué)初一期中）有下列四個論斷：①--是有理數(shù)；②注是分?jǐn)?shù);

32

③2.131131113…是無理數(shù)；④e是無理數(shù)，其中正確的是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

［分析］根據(jù)無理數(shù)的概念即可判定選擇項.

【解析】解：①--是有理數(shù)，正確；②在是無理數(shù)，故錯誤；

32

③2.131131113…是無理數(shù)，正確；④e是無理數(shù)，正確；正確的有3個.故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：TT,2K等；開

方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).

2.（2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）

1\2

A.x+1B.x2—1C.-------D.（x+1）

x+1'）

【答案】C

【分析】

分別找到各式為0時的x值，即可判斷.

【詳解】

解：A、當(dāng)x=-1時，x+1=0,故不合題意；

B、當(dāng)*二±1時，x2-1=0,故不合題意；

C、分子是1,而1*0,則----7^0,故符合題意；

x+1

D.當(dāng)x=-1時，（x+l）2=0.故不合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的值為零的條件，代數(shù)式的值.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）

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分子為0；（2）分母不為0.這兩個條件缺一不可.

3.（2022,四川眉山）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.x3-X5=x15B.2x+3y=5xy

C.（x-2）2=x2-4D.2x2-（3x2-5y）=6x4-10x2y

【答案】D

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則，合并同類項，完全平方公式，單項式乘多項式的法則分

析選項即可知道答案.

【詳解】解：A.x3.x5=x15,根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則可知：故選項計算錯誤,

不符合題意；

B.2x+3y=5xy,2尤和3y不是同類項，不能合并，故選項計算錯誤，不符合題意；

C.（X-2）2=X2-4,根據(jù)完全平方公式可得：（X-2）2=/+4X-4,故選項計算錯誤，不符

合題意;

D.2/-（3X2-5J）=6x4-10x2y,根據(jù)單項式乘多項式的法則可知選項計算正確，符合題意;

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)幕的乘法法則，合并同類項，完全平方公式，單項式乘多項式的法

則，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)幕的乘法法則，合并同類項，完全平方公式，單項式乘多項式

的法則.

4.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）若a=V2,b=V7,貝U)

A.2B.4C.V7D.V2

【答案】A

【分析】把"五6=不代入計算即可求解.

【詳解】解：”=后，b=S,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

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5.（2018?河北定興?中考模擬）若x-

A.11B.7

【答案】C

1141

【分析】先由X--=3兩邊同時平方變形為必+==11,進(jìn)而變形為=1=11，從而

得解.

［解析】解：X--=3,X~+2x---1--7=9,X2H--7

XXXX

【點(diǎn)睛眥題要運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形.根據(jù)a2+b2=（a+b）2-2ab把原式變?yōu)閤2+^=ll,

再通分，最后再取倒數(shù).易錯點(diǎn)是忘記加上兩數(shù)積的2倍.

X2_1

6.（2020?四川雅安?中考真題）若分式—的值為0,則x的值為（）

C.-1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分式值為0的條件，分子為0分母不為0列式進(jìn)行計算即可得.

2

x_i

【詳解】.?分式一r的值為零，

%2-1=0

,',x+1^01

解得：x=1,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0分母不為0是

解題的關(guān)鍵.

7.（2021?甘肅武威市?中考真題）中國疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國外交部數(shù)據(jù)顯

示，截止2021年3月底，我國已無償向80個國家和3個國際組織提供疫苗援助.預(yù)計2022

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年中國新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必將為全球抗疫作出重大貢

獻(xiàn).數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5xl08B.5xl09C.5xlO10D.50xl08

【答案】B

［分析】結(jié)合科學(xué)計數(shù)法的表示方法即可求解.

（詳解】解：50億即5000000000,故用科學(xué)計數(shù)法表示為5xl09,

故答案是：B.

【點(diǎn)睛】本題考察科學(xué)計數(shù)法的表示方法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題。解題關(guān)鍵即掌握科學(xué)計

數(shù)法的表示方法，科學(xué)計數(shù)法的表示形式為ax10",其中1引。|<10,n為整數(shù).此外熟

記常用的數(shù)量單位，如萬即是10,億即是1（）8等.

8.（2019?廣東中考真題）實(shí)數(shù)6在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子成立的

是（）

____1alI?I?）

-2-1012

A.a>bB.同〈|同C.a+6>0D.味<0

【答案】D

【分析】先由數(shù)軸上a,b兩點(diǎn)的位置確定a,b的取值范圍，再逐一驗證即可求解.

【解析】由數(shù)軸上a,b兩點(diǎn)的位置可知0<b<1,所以a〈b,故A選項錯誤；

|a|>|b|,故B選項錯誤；a+b〈0,故C選項錯誤；-<0,故D選項正確，故選D.

b

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的大小比較、實(shí)數(shù)的運(yùn)算等，根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)判斷兩

個數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?云南峨山?初二期末）4ABC的三邊的長a、b、c滿足：

伍―1）2+際5+卜—6卜0,則AABC的形狀為（）.

A.等腰三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.直角三角形

【答案】D

【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由

/+/=02的關(guān)系，可推導(dǎo)得到△ABC為直角三角形.

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("1)2>0("i『=ora=i

卜-閻又

［解析］-1)~+-2+=0>0，Yb-2=0.b=2

|c-V5|>0|C-A/5|=0C=V5

，/+〃=02...△ABC為直角三角形故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考察了平方、二次根式、絕對值和勾股定理逆定理的知識；求解的關(guān)鍵是熟練

掌握二次根式、絕對值和勾股定理逆定理，從而完成求解.

10.（2022?湖南常德）我們發(fā)現(xiàn)：J6+3=3,46+,6+3=3，,6+〃6+/6+3=3,???，

，6+j6+&.：+j6+V^W=3,一般地，對于正整數(shù)。，b,如果滿足

―-

+加+…：+=a時,稱（a,為一組完美方根數(shù)對.如上面（3,6）是一組完美

方根數(shù)對.則下面4個結(jié)論:①（4,12）是完美方根數(shù)對;②（9,91）是完美方根數(shù)對；③若（a,380）

是完美方根數(shù)對，貝〃=20；④若（X/）是完美方根數(shù)對，則點(diǎn)尸（尤/）在拋物線y=x2-x

上.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

（分析］根據(jù)定義逐項分析判斷即可.

【詳解】解：=4,；?（4,12）是完美方根數(shù)對；故①正確；

V9U9=10w9；.（9,91）不是完美方根數(shù)對；故②不正確；

若（a,380）是完美方根數(shù)對，則j380+a=a即/=380+a解得a=20或。=-19

:。是正整數(shù)則。=20故③正確；

若（x,y）是完美方根數(shù)對，則Jy+X=xy+x=x2y=x2-x故④正確故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了求算術(shù)平方根，解一元二次方程，二次函數(shù)的定義，理解定義是解題的

關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

11.（2022?四川瀘州）若（a-2）2+|b+3|=0,貝ljab=.

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【答案】-6

【分析】由（。-2）2+|6+3|=0可得。一2=0,6+3=0,進(jìn)而可求出。和b的值.

【詳解】（a—2）2+|b+3|=0,.1a—2=0,6+3=0,，。=2,b=—3,

=2x-3=-6.故答案為-6.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，①非負(fù)數(shù)有最小值是零；②有限個非負(fù)數(shù)之和仍然是非

負(fù)數(shù)；③有限個非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零.，初中范圍內(nèi)的非負(fù)數(shù)有：絕

對值，算術(shù)平方根和偶次方.

22

12.（2021?四川南充市?中考真題）若竺生=3,則勺+'=

n-mnnr

17

【答案】—

4

【分析】

fi+mn~

先根據(jù)——二3得出m與n的關(guān)系式，代入一2+F化簡即可；

n-mnm

【詳解】

.n+m=3（〃一次），

n=2m,

m2n2m24m217

1-.....+.....—■—

2--2---2-------2

nmA4mmA4

17

故答案為：—

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的混合運(yùn)算，得出〃=2加是解決本題的關(guān)鍵.

13.（2021?四川遂寧市?中考真題）若|。-2|+而1=0,則/=.

【答案】！

4

（分析］根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后計算即可求解.

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（詳解］解：根據(jù)題意得，a-2=0,a+b=O,

解得a=2,b=-2,

ab=2-2=~.

4

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】本題考查了兩個非負(fù)數(shù)之和為零的性質(zhì)，絕對值與算術(shù)平方根的非負(fù)性，負(fù)整數(shù)指

數(shù)幕的運(yùn)算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?湖南岳陽市?中考真題）已知則代數(shù)式x+4-行=.

XX

【答案】0

【分析】

把x+工=行直接代入所求的代數(shù)式中，即可求得結(jié)果的值.

【詳解】

x+——V2=V2—V2=0

X

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求代數(shù)式的值，涉及二次根式的減法運(yùn)算，整體代入法是解決本題的關(guān)鍵.

15.（2022?湖北荊州）若3-姿的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,則代數(shù)式（2+應(yīng)。”的

值是.

【答案】2

【分析】先由1〈正＜2得至打＜3-0＜2,進(jìn)而得出a和b,代入（2+收0））求解即可.

【詳解】解：；1〈也＜2,

???3-夜的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b.

■-a=\,6=3-忘-1=2-逝?

（2+V2a）-^=（2+V2）x（2-V2）=4-2=2,故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)及代數(shù)式化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握無理數(shù)估算

方法和無理數(shù)整數(shù)和小數(shù)部分的求解方法.

2YQ

16.（2020?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）分式」L與2c的最簡公分母是,方

x-2x-2x

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2x8

程=］的解是______________

x-2x2-2x

【答案】x(x—2)x=-4

【解析】

【分析】

根據(jù)最簡公分母的定義得出結(jié)果，再解分式方程，檢驗，得解.

【詳解】

解：：x~—2x=—2）5

2x8

，分式一7與2、的最簡公分母是x（x-2）,

X—2x—2x

2x8,

方程一y—一2一二=1，

x-2x-2x

去分母得：2X2-8=X（X-2）,

去括號得：2--8=x2-2x,

移項合并得：X2+2X-8=0變形得：（x—2）（x+4）=0,

解得：x=2或-4,

.?當(dāng)x=2時，x（x—2）=o,當(dāng)x=-4時，X（X—2）K0,

，x=2是增根，

方程的解為：x=-4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了最簡公分母和解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法.

17.（2022■安徽）觀察以下等式：

第1個等式：（2xl+l）2=（2x2+l『—（2x2）2,

第2個等式：（2X2+1）2=（3X4+1）2_（3X4『，

第3個等式：（2X3+1）2=（4X6+1『_（4X6）2,

第4個等式：（2x4+1）、（5x8+1丫-（5x87，……

按照以上規(guī)律.解決下列問題：（1）寫出第5個等式：

⑵寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明.

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【答案】⑴(2x5+1)2=(6xl0+l，_(6x10j

(2)(2n+l)2=[(w+l)-2n+l]2-[(n+l)-2w]2,證明見解析

【分析】(1)觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；

(2)觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為

(2H+1)2=[(H+1)-2M+1]2-[(H+1)-2H]2,利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變

形即可證明.

(1)解：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：

(2x5+l)2=(6xl0+l)2-(6xl0f,故答案為：(2X5+1)2=(6X10+1)2-(6X10)2;

⑵解：第n個等式為(2〃+11=[(?+1)-2M+1]2-[(W+1)-2H]2,

證明如下:等式左邊：(2"+1)2=4七+4”+1,

等式右邊：+

=[(n+1)-2w+l+(w+l)-2n]-[(n+l)-2n+l—(n+l)-2n]

2

=[(n+r)-4n+l]xl=4w+4n+l,

故等式(2"+1)2=[("式)+-[("+1>2"『成立.

【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公

式是解題的關(guān)鍵.

22

18.(2021?四川南充市?中考真題)若"'=3,則勺+「=

n-mnm

17

【答案】—

4

【分析】

〃+加m2勿2

先根據(jù)——=3得出m與n的關(guān)系式，代入不+丁化簡即可；

n-mnm~

【詳解】

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n+m=3(n-m

n=2m,

m2n2m24m?17

----1----=-------+-------:ZZ：

一n2m24m2m24

17

故答案為:

~4

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的混合運(yùn)算，得出〃=2加是解決本題的關(guān)鍵.

19.（2022?四川達(dá)州）人們把如二0.618這個數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中

2

的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比.設(shè)〃=在二L方=在±1,記岳=；+」,

221+a1+6

22c100100

S?=y_______I______,貝！JE+S2+，??+耳00=

1°°一1+30°1+*

［答案］5050

【分析】利用分式的加減法則分別可求Sl=l,S2=2,S100=100,???,利用規(guī)律求解即可.

【詳解】解：:八縣土6=往上1,.?.成=?x?*=l,

2222

112+a+b2+a+b

____I____===1,

1+。1+b］.+a+b+ab2+a+b

22=2x—2,+"*；=2x2+,+1=,

二2

S?-l-+--a27--i-+--bT21+a+b+a^b2+a+b

1010

c1001001Anl+a+l+b1An

Sl00=T^+TTb^~0°義1+〃。+少。+〃喳。—00

d+S2+…+品0=1+2+……+100=5050故答案為：5050

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，求得必=1,找出的規(guī)律是本題

的關(guān)鍵.

20.（2022?浙江寧波）定義一種新運(yùn)算；對于任意的非零實(shí)數(shù)a,b,a0b=-+^.若

ab

2x+l

(x+l)?x='士，則X的值為

x

J_

【答案】

2

2x+12x+12x4-1

【分析】根據(jù)新定義可得（無+1）?X=F-,由此建立方程2解方程即可.

X"+XX+Xx

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11/11x+1+x2x+1

【詳解】解:??q（8）6=一+一,「.（x+1）0X=-+—=—j---n-

abx+1xx+1）A2+X'

/…2x+12x+12x+1

又?.?（x+l）（8）x=-----,

XX2+x-X

+x）（2x+l）-x（2x4-1）=0,「.（/+X-X）（2X+1）=0,x2（2x+l）=0,

.?（x+l）?x=^^即尤wo,...2x+l=0,解得x=_4，

X2

經(jīng)檢驗x=-5是方程二=的解，故答案為：-J.

2X+XX2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于X的方

程是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共11小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

21.(2020?陜西其他)(-1)-2-1V2-2|-2sin45°+(3-n)°.

【答案】3.

【分析】本題需先根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序和法則，分別進(jìn)行計算，再把所得的結(jié)果合并即可求

出答案.

［解析】原式=4-2+72-V2+1,=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在解題時要注意運(yùn)算順序和公式的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵.

22.(2022?浙江麗水)先化簡，再求值：(l+x)(l-x)+x(x+2),其中無=；.

【答案】1+2%;2

【分析】先利用平方差公式，單項式與多項式乘法化簡，然后代入x即可求解.

2

［詳解］(1+x)(l-x)+x(x+2)

—1——+J+2、

=1+2x

當(dāng)時

2

原式=l+2x=l+2x—=2.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，正確地把代數(shù)式化簡是解題的關(guān)鍵.

23.(2022?湖南邵陽)先化簡，再從-1,0,1,6中選擇一個合適的無值代入求值.

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【答案浮

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形,

約分得到最簡結(jié)果，把合適的X的值代入計算即可求出值.

【詳解】解:

x-11xxx-l1

---------------,---------

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)x-1(X+l)(x-1)X~X+1

,/x+1^0,x-1/0,xwO,."=±1,xwO

]_Ct_6-1

當(dāng)x=G時，原式=6+1-(用1)(6_1)-2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值，分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順

序和運(yùn)算法則.

24.（2022?四川涼山）先化簡，再求值：（加+2+4）?孚心，其中m為滿足

2—m3-m

的整數(shù).

【答案】—2m—6,當(dāng)機(jī)=。時，式子的值為-6；當(dāng)/=1時，式子的值為-8.

【分析】先計算括號內(nèi)的分式加法，再計算分式的乘法，然后根據(jù)分式有意義的條件確定機(jī)

的值，代入計算即可得.

(m+2)(2-加)+52(m-2)

【詳解】解:原式=

2-m2-m3-m

4-ffl252(優(yōu)-2)9-m22(m-2)_(m+3)(3-m)2(冽-2)

=~~2(m+3)=-2m-6,

2-m2-m3-m2—m3—m2—m3—m

t:.mw2,mw3

又：以為滿足T〈機(jī)＜4的整數(shù)，，俏=0或機(jī)=1,

當(dāng)〃？=0時，原式=-2機(jī)-6=_2x0_6=-6,

當(dāng)機(jī)=1時，原式=—2m—6=—2x1—6=—8,

綜上，當(dāng)加=0時，式子的值為-6；當(dāng)"7=1時，式子的值為-8.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

25.整式的計算：

⑴先化簡，再求值4中-（2》2+5砂）+2卜？+3母），其中x=l,y=-2.

⑵已知代數(shù)式/=/一3//一加+5,B=2b4-2a2b2+ab3,C=a4-5a2b2+2b4-2.小麗

說：“代數(shù)式4+B-C的值與a,6的值無關(guān).”她說得對嗎？說說你的理由.

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【答案】(1)5孫+/；6；⑵小麗說得對，理由見詳解

【解析】⑴解：原式=4xy-2x2-5xy+y2+2x2+6xy

=(4中一5肛+6肛)+(2工2_2%2)+、2=5町+/

將X=],y=_2代入5xy+y2=5x]x(_2)+(—2)2=-6

(2)N+B—C=CI4—3u~b~—ab'+5+2b'—2a~b~+ab'—^ci4—iii>~+1)，

=/-3a2b2-ab3+5+2b4-2a2b2+ab3-a4+5aV-2bA+2

4422222233

=(a-a)+(5ab-3ab-2ab)+(ab-ab"儂，一的+2+5=1

小麗說得對.

26.老師布置了一道化簡求值題，如下：求。x-2l?T+[T+32)的值，其中x=-2,

2

y=~.

3

⑴小海準(zhǔn)備完成時發(fā)現(xiàn)第一項的系數(shù)被同學(xué)涂了一下模糊不清了，同桌說他記得系數(shù)是

y.請你按同桌的提示，幫小?；喦笾担?/p>

⑵科代表發(fā)現(xiàn)系數(shù)被涂后，很快把正確的系數(shù)寫了上去。同學(xué)們計算后發(fā)現(xiàn)，老師給出的

“x=-2”這個條件是多余的，請你算一算科代表補(bǔ)上的系數(shù)是多少？

947

【答案】⑴-3%+6-.(2)-.

【解析】⑴解：]—2卜一1/卜卜

1c22312r2

=-x—2x4—y—xH—y=—3x+y

2323，

2(44

當(dāng)x=-2,y=§時，原式=-3x(_2)+《J=6+§=6“

⑵設(shè)課代表填數(shù)的數(shù)為m,

mx—2(x—gy2j+(_]+卜],

c22312

-mx-2x+—y——x+—y.

323

?.老師給出的■=-2”這個條件是多余的,

???化簡后與x無關(guān)，

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7

/.m--=0,

2

7

解得加=，.

27.(2021?浙江麗水市-中考真題)數(shù)學(xué)活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道

代數(shù)式求值問題：

已知實(shí)數(shù)同時滿足/+2。=6+2,b2+2b=a+2,求代數(shù)式^+色的值.

ab

結(jié)合他們的對話，請解答下列問題:

(1)當(dāng)a=6時，a的值是

ba

(2)當(dāng)人，時，代數(shù)式一+2的值是

ab

【答案】—2或17

【分析】

(1)將代入/+2。=6+2解方程求出a,6的值，再代入〃+2/,=。+2進(jìn)行驗證

即可;

ba

(2)當(dāng)/6時，求出a+6+3=0,再把一十丁通分變形，最后進(jìn)行整體代入求值即可.

ab

【詳解】

cr+2a=b+2①

解:已知，實(shí)數(shù)。，6同時滿足①，②,

W+26=a+2②

①-②得，cr—b~+3o—3Z?=0

...(a-6)伍+6+3)=0

a—6=0或a+6+3=0

①+②得，a2+b2=4-a-b

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(1)當(dāng)a=Z?時，將a=6代入。2+2。=6+2得，

cr+a-2=0

解得，q=1,%=—2

4=1,b2=-2

把a(bǔ)=6=1代入/+2b=a+2得，3=3,成立；

把a(bǔ)=6=—2代入/+26=a+2得，0=0,成立；

.?.當(dāng)。=方時，a的值是1或-2

故答案為：1或-2；

(2)當(dāng)。6時，則a+6+3=0,即a+6=-3

a2+b2=4-a-b

：.a2+b2=l

(a+b)2=a2+2ab+b2=9

ab=1

baa1+b~7?

-----------=-=7

abab1

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運(yùn)

算等知識，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵.

28.(2021?重慶中考真題)對于任意一個四位數(shù)m,若干位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是

百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)m為“共生數(shù)”例如：加=3507,

因為3+7=2x(5+0),所以3507是“共生數(shù)”：加=4135,因為4+5w2x(l+3),所以

4135不是“共生數(shù)”；

(1)判斷5313,6437是否為“共生數(shù)”?并說明理由；

(2)對于“共生數(shù)”n,當(dāng)十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)

字之和能被9整除時，記尸(〃)=g.求滿足尸(〃)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有n.

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【答案】(1)5313是“共生數(shù)”,6437不是“共生數(shù)”.(2)〃=2148或〃=3069.

【分析】

(1)根據(jù)“共生數(shù)”的定義逐一判斷兩個數(shù)即可得到答案；

(2)設(shè)“共生數(shù)”"的千位上的數(shù)字為凡則十位上的數(shù)字為2a,設(shè)百位上的數(shù)字為“個

位上的數(shù)字為。，可得：Iwa<5,0<6<9,0<c<9,且a,"c為整數(shù)，再由“共生數(shù)”

的定義可得：c=3a+2"而由題意可得：6+。=9或b+c=18,再結(jié)合方程的正整數(shù)解分

類討論可得答案.

【詳解】解：(1)：5+3=2x(l+3)=8,

.?.5313是“共生數(shù)”，

,「6+7=13N2X(4+3)=14,

.?.6437不是“共生數(shù)”.

(2)設(shè)“共生數(shù)”〃的千位上的數(shù)字為則十位上的數(shù)字為2a,設(shè)百位上的數(shù)字為“個

位上的數(shù)字為c,

:.l<a<5,0<b<9,0<c<9,且a,仇c為整數(shù)，

所以：n=1000a+1006+20a+c=1020a+100Z)+c,

由“共生數(shù)”的定義可得：a+c=2{2a+b],

c=3a+28

/.n=1023a+1028

VJ

"(〃)=]=341a+34人

百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和能被9整除，

6+c=0或6+c=9或A+c=18,

當(dāng)b+c=0,則b=c=0,則a=0,不合題意，舍去，

當(dāng)6+c=9時，則3a+3b=9,

a+b=3,

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當(dāng)〃=1時，6=2,c=7,

1227

此時：“=1227,F(?)=—=409,而4+0+9=13不為偶數(shù)，舍去,

當(dāng)。=2時，Z?=l,c=8,

714S

此時：〃=2148,歹(〃)=工一=716,,而7+1+6=14為偶數(shù),

當(dāng)Q=3時，6=0,。=9,

此時：“=3069,/(〃)=普^=1023,,而1+0+2+3=6為偶數(shù)，

當(dāng)6+c=18時，則b=c=9,

而3a+36=18,則q=—3不合題意，舍去，

綜上：滿足尸(〃)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的〃=2148或〃=3069,

【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二元一次方程的正整數(shù)解，分類討論的

數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，準(zhǔn)確理解題意列出準(zhǔn)確的代數(shù)式與方程是解題的關(guān)鍵.

29.(2021?重慶中考真題)如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0,且能分解成4x3,其

中A與2都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10,則稱數(shù)M為“合和數(shù)”,

并把數(shù)M分解成M=4x3的過程，稱為“合分解”.

例如,「609=21x29,21和29的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10,

.?.609是“合和數(shù)”.

又如7234=18x13,18和13的十位數(shù)相同，但個位數(shù)字之和不等于10,

」.234不是“合和數(shù)”.

(1)判斷168,621是否是“合和數(shù)”？并說明理由;

(2)把一個四位“合和數(shù)”M進(jìn)行“合分解，，，即M=A的各個數(shù)位數(shù)字之和與8的

各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為P(M)；A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的差

的絕對值記為。(M).令G(/)=3M，當(dāng)G(〃)能被4整除時，求出所有滿足條件的

M.

【答案】⑴168不是“合和數(shù)”,621是“合和數(shù),理由見解析；⑵M有1224,1221,

5624,5616.

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【分析】

(1)首先根據(jù)題目內(nèi)容，理解“合和數(shù)”的定義：如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0,且

能分解成其中A與3都是兩位數(shù)，A與8的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10,

則稱數(shù)M為“合和數(shù)”，再判斷168,621是否是“合和數(shù)”；

(2)首先根據(jù)題目內(nèi)容，理解“合分解”的定義.引進(jìn)未知數(shù)來表示A個位及十位上的數(shù)，

同時也可以用來表示8.然后整理出：G(M)=2M，根據(jù)能被4整除時，通過分類討

論，求出所有滿足條件的

【詳解】

解：⑴

168不是“合和數(shù)”，621是“合和數(shù)”.

,/168=12xl4,2+4/10,

??.168不是“合和數(shù)”，

'.-621=23x27,十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字3+7=10,

??.621是“合和數(shù)”.

(2)設(shè)A的十位數(shù)字為加，個位數(shù)字為"(W,"為自然數(shù)，且3與加與9,1W〃W9),

則A=10m+n,B=10m+10-n,

P(M)=m+n+m-\-lQ-n=2m+10,Q(M)=|(m+n)-(m+10-7?)|=|2n-10|

/、P(M)2m+10m+5

麗r*=g=4k(%是整數(shù))?

*/3<m<9,

/.8<m+5<14,

..%是整數(shù),

...加+5=8或加+5=12,

①當(dāng)加+5=8時，

m+5=8m+5=8

]〃-5|=1或5|=2，

M=36x34=1224oJtM=37x33=1221.

②當(dāng)加+5=12時，

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m+5=12m+5=12

旭-5|=1或5|=3，

Af=76x74=5623或M=78x72=5616.

綜上，滿足條件的M有1224,1221,5624,5616.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義問題，解題的關(guān)鍵是：首先要理解題中給出的新定義和會操作題目中所涉

及的過程，結(jié)合所學(xué)知識去解決問題，充分考察同學(xué)們自主學(xué)習(xí)和運(yùn)用新知識的能力.

30.(2022?重慶)對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)M若N能被它的各數(shù)

位上的數(shù)字之和m整除，則稱A/是m的“和倍數(shù)”.

例如；1?247+(2+4+7)=247+13=19,,247是13的“和倍數(shù)”.

又如：?.?214+(2+1+4)=214+7=30……4,’214不是“和倍數(shù)”.

⑴判斷357,441是否是“和倍數(shù)”?說明理由；

⑵三位數(shù)人是12的“和倍數(shù)”，a,b,c分別是數(shù)A其中一個數(shù)位上的數(shù)字，且a>b>c.在

a,b,c中任選兩個組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為尸(⑷，最小的兩位數(shù)記為G(/),

若廠(4)[G(4)為整數(shù),求出滿足條件的所有數(shù)A

16

【答案】⑴357不是15“和倍數(shù)”，441是9的“和倍數(shù)”；理由見解析

⑵數(shù)A可能為732或372或516或156

【分析】(1)根據(jù)題目中給出的“和倍數(shù)”定義進(jìn)行判斷即可；

(2)先根據(jù)三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”得出。+6+。=12,根據(jù)a>b>c,廠(力是最大的兩

位數(shù)，G(/)是最小的兩位數(shù)，得出尸(N)+G(/)=10“+26+10c,下叱GQZ出為整

數(shù)),結(jié)合。+6+c=12得出6=15-2左，根據(jù)已知條件得出1<6<6,從而得出6=3或6=5,

然后進(jìn)行分類討論即可得出答案.

⑴解：?.?357+(3+5+7)=357+15=23……12,357不是15“和倍數(shù)”;

.?441+(4+4+1)=441+9=49,...441是9的“和倍數(shù)”.

(2卜?三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，，a+6+c=12,

?；a>b>c,，在a,b,C中任選兩個組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)尸(4)=10。+6,最小

的兩位數(shù)G(Z)=10c+6,JF(4)+G(4)=10a+6+10c+6=10〃+26+10c,

資料整理

"辿為整數(shù)，設(shè)華誓“（k為整數(shù)），則

161616

整理得：5a+5c+b=Sk,根據(jù)。+6+。=12得：a+c=12-b,

-/a>b>ct12-b>bt解得6v6,

?