八年級數(shù)學試卷（勾股定理）

一、選擇題（將正確答案代號填入下表中，每小題3分，共36分）

1.以下列數(shù)組為邊長的三角形，恰好是直角三角形的是（）

A.4,6,8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12

2.已知命題：等邊三角形是等腰三角形.則下列說法正確的是（）

A.該命題為假命題B.該命題為真命題

C.該命題的逆命題為真命題D.該命題沒有逆命題

3.一個圓柱形鐵桶的底面半徑為12cm,高為32cm,則桶內(nèi)所能容下的木棒最

長為（）

A.20cmB.50cmC.40cmD.45cm

4.等邊三角形的邊長為2,則該三角形的面積為（）

A.4/3B.MC.273D.3

5.如圖，將三邊長分別為3,4,5的AABC沿最長邊翻轉(zhuǎn)180。成△ABCi,則CJ

的長等于（）

^2_5__524

A.B.五'C.3D?萬

6.如圖，正方形網(wǎng)格中的AABC,若小方格邊長為1,則^ABC的形狀為（)

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.以上答案都不對

7.如圖，^ABC和4DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B、C、E在同一條直

線上，連接BD,則BD的長為（）

A.遙B.2MC.3V3D.4A/3

8.長方形的一邊長為4,對角線與長方形另外一條邊相差2,則長方形的面積為

（）

A.8B.4C.6D.12

9.在直角三角形中，如果有一個角是30。，這個直角三角形的三邊之比最有可

能的是（）

A.3：4：5B.1：1：V2C.5：12：13D.1：立：2

10.設a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6,斜邊長為2.5,

則ab的值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

11.如圖，已知圓柱底面的周長為4dm,圓柱高為2dm,在圓柱的側(cè)面上，過

點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）

A.4/2dmB.2、匹dmC.2./^dmD.4、歷dm

12.如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構(gòu)成的圖形中，如圖從A

點到B點只能沿圖中的線段走,那么從A點到B點的最短距離的走法共有（）

B

A.1種B.2種C.3種D.4種

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.把答案填在題中橫線上）

13.如果三角形的三邊分別為娓,2,那么這個三角形的最大角的度數(shù)為一.

14.如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC

上），折疊后端點D恰好落在邊0C上的點F處.若點D的坐標為（10,8）,則

15.如圖，以Rt^ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB=a,

則圖中陰影部分的面積為—.

16.如圖所示，在^ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點P從點

A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每

秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，則過3秒時，△BPQ的面積為cm2.

Q

三、解答題(本大題共8小題，共72分，解答應寫出計算過程)

17.在RtZ\ABC中,ZC=90°.

(1)已知c=25,b=15,求a；

(2)已知a=&，ZA=60°,求b、c.

18.如圖，已知在^ABC中，CDLAB于D,BD=9,BC=15,AC=20.

(1)求CD的長；

(2)求AB的長；

(3)判斷4ABC的形狀.

19.如圖，在Rt^ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，將4ABC折疊，使A點與BC

的中點D重合，折痕為MN,求線段BN的長.

,VB

20.如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面3尺.突

然一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水

平距離為6尺，請問水深多少？

21.如圖，△ABC,AAED是兩個大小一樣的三角形，已知NADE=90。，AE=5,

AD=4,連接EB,求DE和EB的長.

22.在^ABC中，AB=2立，AC=4,BC=2,以AB為邊向^ABC夕卜作AABD,使4

ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長.

23.在^ABC中，a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m、n都是正整數(shù)；且m

>n,試判斷AABC是否為直角三角形？

24.長方形0ABe繞頂點C(0,5)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到CO,AB位置時，

邊0腎交邊AB于D,且A'D=2,AD=4.

(1)求BC長；

(2)求陰影部分的面積.

八年級數(shù)學試卷（勾股定理）

參考答案與試題解析

一、選擇題（將正確答案代號填入下表中，每小題3分，共36分）

1.以下列數(shù)組為邊長的三角形，恰好是直角三角形的是（）

A.4,6,8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理:如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方,

那么這個是直角三角形判定則可.

【解答】解：A、???42+62W82,.?.該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直

角三角形，故錯誤；

B、???42+82/102,.?.該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故

錯誤；

C、???62+82=102,??.該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正確；

D、???82+102^122,??.該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，

故錯誤；

故選C.

2.已知命題：等邊三角形是等腰三角形.則下列說法正確的是（）

A.該命題為假命題B.該命題為真命題

C.該命題的逆命題為真命題D.該命題沒有逆命題

【考點】命題與定理.

【分析】首先判斷該命題的正誤，然后判斷其逆命題的正誤后即可確定正確的選

項.

【解答】解：等邊三角形是等腰三角形，正確，為真命題；

其逆命題為等腰三角形是等邊三角形，錯誤，為假命題，

故選B.

3.一個圓柱形鐵桶的底面半徑為12cm,高為32cm,則桶內(nèi)所能容下的木棒最

長為（）

A.20cmB.50cmC.40cmD.45cm

【考點】勾股定理的應用.

【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，AC為圓桶底面直徑，AC=24cm,CB=32cm,那么

線段AB的長度就是桶內(nèi)所能容下的最長木棒的長度，在直角三角形ABC中利用

勾股定理即可求出AB,也就求出了桶內(nèi)所能容下的最長木棒的長度.

【解答】解：如圖，AC為圓桶底面直徑，

.,.AC=2X12=24cm,CB=32cm,

線段AB的長度就是桶內(nèi)所能容下的最長木棒的長度，

AB=VAC2+BC2=V242+322=40cm.

故桶內(nèi)所能容下的最長木棒的長度為40cm.

故選C.

4.等邊三角形的邊長為2,則該三角形的面積為（）

A.4?B.V3C.273D.3

【考點】等邊三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得D為BC的中點，即BD=CD,在直

角三角形ABD中，已知AB、BD,根據(jù)勾股定理即可求得AD的長，即可求三角

形ABC的面積，即可解題.

【解答】解：???等邊三角形高線即中點，AB=2,

.\BD=CD=1,

在Rt^ABD中，AB=2,BD=1,

?*-AD=^AB2-BD2=722-12=V3，

?，.SAABC=-^BC?AD=^-X2X小加,

故選B.

5.如圖，將三邊長分別為3,4,5的AABC沿最長邊翻轉(zhuǎn)180。成△ABCi,則CJ

的長等于（）

A-￥B-C6。?譽

【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理的逆定理.

【分析】首先設AB與CCi相較于點D,由4ABC的三邊分別為3、4、5,且32+42=52,

可得^ABC是直角三角形，即可求得CD的長，繼而求得答案.

【解答】解：設AB與CJ相較于點D,

,.?△ABC的三邊分別為3、4、5,且32+42=52,

/.△ABC是直角三角形,

由折疊的性質(zhì)可得：AB±CD,且CD=GD,

?rnAOBC12

AB5

94

???CCi=2CD二號.

5

故選：D.

6.如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長為L則4ABC的形狀為（)

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.以上答案都不對

【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【分析】根據(jù)勾股定理求得4ABC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行判定,

從而不難得到其形狀.

【解答】解：???正方形小方格邊長為1,

BC=^42+62=2'/13?

AC=V22+32=V13-

2

AB=^/i+g2=765,

在4ABC中，

BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,

BC2+AC2=AB2,

.'.△ABC是直角三角形.

故選：A.

7.如圖，^ABC和4DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B、C、E在同一條直

線上，連接BD,則BD的長為（）

A.?B.2V3C.3V3D.473

【考點】勾股定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可以

發(fā)現(xiàn)NBDE=90。，再進一步根據(jù)勾股定理進行求解.

【解答】解：?..△ABC和ADCE都是邊長為4的等邊三角形,

，NDCE=NCDE=60°,BC=CD=4.

AZBDC=ZCBD=30".

NBDE=90°.

?，-BD=JBE2-DE2=4R.

故選：D.

8.長方形的一邊長為4,對角線與長方形另外一條邊相差2,則長方形的面積為

()

A.8B.4C.6D.12

【考點】矩形的性質(zhì).

【分析】利用勾股定理列式求出另一邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式列式進行計

算即可得解.

【解答】解：：如圖，AB=4,AC=BC+2,

,根據(jù)勾股定理得到:AB2+BC2=(BC+2)2,gp16+BC2=(BC+2)2,

BC=3,

???它的面積為4X3=12.

故選：D.

/ip-------------------\D

X

、

51----------------llJc

9.在直角三角形中，如果有一個角是30。，這個直角三角形的三邊之比最有可

能的是()

A.3：4：5B.1：1：如C.5：12：13D.1：立：2

【考點】含30度角的直角三角形.

【分析】設30。角所對的直角邊為a,根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求

出斜邊的長度，再利用勾股定理求出另一條邊的長度，然后即可求出比值.

【解答】解：如圖，設30。角所對的直角邊BC=a,

則AB=2BC=2a,

2=a

?*-AC=7AB2-BCV3，

...三邊之比為a：炳a：2a=l：5/3：2.

故選D.

10.設a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6,斜邊長為2.5,

則ab的值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

【考點】勾股定理.

【分析】由該三角形的周長為6,斜邊長為2.5可知a+b+2.5=6,再根據(jù)勾股定理

和完全平方公式即可求出ab的值.

【解答】解：???三角形的周長為6,斜邊長為2.5,

「?a+b+2.5=6,

；.a+b=3.5,①

?.）、b是直角三角形的兩條直角邊，

.,.a2+b2=2.52,②

由②得a?+b2=（a+b）2-2ab=2.52

.\3.52-2ab=2.52

ab=3,

故選D.

11.如圖，已知圓柱底面的周長為4dm,圓柱高為2dm,在圓柱的側(cè)面上，過

點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）

A.4/2dmB.2/2dmC.2\而dmD.4、歷dm

【考點】平面展開-最短路徑問題.

【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短"

得出結(jié)果，在求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為

2AC的長度.

:圓柱底面的周長為4dm,圓柱高為2dm,

.?.AB=2dm,BC=BC'=2dm,

.\AC2=22+22=4+4=8,

AC=2?dm,

I.這圈金屬絲的周長最小為2AC=4?dm.

故選：A.

12.如圖，在6個邊長為工的小正方形及其部分對角線構(gòu)成的圖形中，如圖從A

點到B點只能沿圖中的線段走,那么從A點到B點的最短距離的走法共有（）

B

A.1種B.2種C.3種D.4種

【考點】勾股定理的應用.

【分析】如圖所示，找出從A點到B點的最短距離的走法即可.

【解答】解：根據(jù)題意得出最短路程如圖所示,

最短路程長為I2，22+1=2加+1,

則從A點到B點的最短距離的走法共有3種,

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.把答案填在題中橫線上）

13.如果三角形的三邊分別為血，灰,2,那么這個三角形的最大角的度數(shù)為

90°.

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,

那么這個三角形就是直角三角形可得答案.

【解答】解：：（正）2+22=（捉）2,

???此三角形是直角三角形，

???這個三角形的最大角的度數(shù)為90。，

故答案為：90°.

14.如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC

上），折疊后端點D恰好落在邊OC上的點F處.若點D的坐標為（10,8）,則

點E的坐標為（10,3）.

【考點】翻折變換（折疊問題）；坐標與圖形性質(zhì).

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AD,所以在直角^ACDF中，利用勾股定理來求

0F=6,然后設EC=x,則EF=DE=8-x,CF=10-6=4,根據(jù)勾股定理列方程求出EC

可得點E的坐標.

【解答】解：?四邊形AOCD為矩形，D的坐標為（10,8）,

.\AD=BC=10,DC=AB=8,

：矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，

/.AD=AF=10,DE=EF,

在RtAAOF中，0F=〃F2-A02=6,

/.FC=10-6=4,

設EC=x,則DE=EF=8-x,

在Rt^CEF中，EF2=EC2+FC2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,

即EC的長為3.

???點E的坐標為(10,3),

故答案為：(10,3).

15.如圖，以Rt^ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB=a,

【考點】勾股定理.

【分析】根據(jù)勾股定理可得AC2+BC2=AB2,然后判斷出陰影部分的面積=2SAABE,

再利用等腰直角三角形的面積等于直角邊的平方的一半計算即可得解.

【解答】解：.「△ABC是直角三角形，

.\AC2+BC2=AB2,

???三個陰影部分三角形都是等腰直角三角形，

.,?陰影部分的面積=2S4ABE=2X2?a?(5)=等2*

故答案為：1a2.

16.如圖所示，在^ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點P從點

A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每

秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，則過3秒時，△BPQ的面積為18cm2.

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】首先設AB為3xcm,BC為4xcm,AC為5xcm,利用方程求出三角形的

三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形.再求出3秒后的，BP,

BQ的長，利用三角形的面積公式計算求解.

【解答】解：設AB為3xcm,BC為4xcm,AC為5xcm,

???周長為36cm,

AB+BC+AC=36cm,

/.3x+4x+5x=36,

解得x=3,

AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm,

VAB2+BC2=AC2,

「?△ABC是直角三角形，

過3秒時,BP=9-3X1=6(cm),BQ=2X3=6(cm),

2

.*.SAPBQ=-^BP?BQ=yX(9-3)X6=18(cm).

故答案為：18.

三、解答題(本大題共8小題，共72分，解答應寫出計算過程)

17.在RtaABC中,ZC=90°.

(1)已知c=25,b=15,求a；

(2)已知a=&,NA=60°,求b、c.

【考點】解直角三角形.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理即可直接求出a的值；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與勾股定理即可求出b、c的值.

【解答】解：(1)根據(jù)勾股定理可得：

a=7252-152=2°；

(2)?.,△ABC為《△,ZA=60°,

/.ZB=30°,

c=2b,

根據(jù)勾股定理可得：a2+b2=c2,即6+勾=(2b)2,

解得b=?,則C=2A/2.

18.如圖，已知在^ABC中，CDLAB于D,BD=9,BC=15,AC=20.

(1)求CD的長；

(2)求AB的長；

(3)判斷4ABC的形狀.

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【分析】(1)在RtABCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長；

(2)在RtAACD中根據(jù)勾股定理求出AD的長，故可得出AB的長;

(3)由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論.

【解答】(1)在4BCD中，因為CDLAB,

所以BD2+CD2=BC2.

所以CD2=BC2-BD2=152-92=144.

所以CD=12.

(2)在Z\ACD中,因為CDJ_AB,

所以CD2+AD2=AC2.

所以AD2=AC2-CD2=202-122=256.

所以AD=16.

所以AB=AD+BD=16+9=25.

(3)因為BC2+AC2=152+202=625,AB2=252=625,

所以AB2=BC2+AC2.

所以AABC是直角三角形.

19.如圖，在Rt^ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，將4ABC折疊，使A點與BC

的中點D重合，折痕為MN,求線段BN的長.

,VB

【考點】翻折變換（折疊問題）.

【分析】如圖，首先求出BD的長，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段AN的方程，問

題即可解決.

【解答】解：如圖，

,點D為BC的中點，

BD=CD=yBC=3；

由題意知：AN=DN（設為x）,

則BN=9-x；

由勾股定理得：

x2=（9-x）2+32,

解得：x=5,

/.BN=9-5=4,

即BN的長為4.

ANB

20.如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面3尺.突

然一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水

平距離為6尺，請問水深多少？

【考點】勾股定理的應用.

【分析】仔細分析該題，可畫出草圖，關(guān)鍵是水深、紅蓮移動的水平距離及紅蓮

的高度構(gòu)成一直角三角形，解此直角三角形即可

【解答】解：紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面即AC為紅蓮的長.

RtAABC中，AB=h,AC=h+3,BC=6,

由勾股定理得：AC2=AB2+BC2,即(h+3)242+62,

h2+6h+9=h2+36>

6h=27,

解得：h=4.5.

答：水深4.5尺.

■

21.如圖，△ABC,AAED是兩個大小一樣的三角形，已知NADE=90。，AE=5,

AD=4,連接EB,求DE和EB的長.

【考點】勾股定理.

【分析】直接利用勾股定理得出DE的長，再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定

理得出BE的長.

【解答】解：VZADE=90°,AE=5,AD=4,

-'-DE=7AE2-AD2=3?

:?△ABC,AAED是兩個大小一樣的三角形，

，AB=AE=5,

/.BD=1,

BE=VDE2+BD2=732+12=V10.

22.在^ABC中，AB=2立，AC=4,BC=2,以AB為邊向^ABC夕卜作AABD,使4

ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長.

【考點】勾股定理的逆定理；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)題意中的4ABD為等腰直角三角形，顯然應分為三種情況：Z

ABD=90。，NBAD=90。，ZADB=90°.然后巧妙構(gòu)造輔助線，出現(xiàn)全等三角形和直

角三角形，利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理進行求解.

【解答】解：：AC=4,BC=2,AB=2掂，

.\AC2+BC2=AB2,

...AACB為直角三角形，ZACB=90°.

分三種情況：

如圖(1),過點D作DELCB,垂足為點E.

VDE±CB(已知)

/.ZBED=ZACB=90°（垂直的定義），

??.NCAB+NCBA=90°（直角三角形兩銳角互余），

:△ABD為等腰直角三角形（已知），

.?.AB=BD,ZABD=90°（等腰直角三角形的定義），

/.ZCBA+ZDBE=90°（平角的定義），

/.ZCAB=ZEBD（同角的余角相等），

在4ACB與ABED中，

VZACB=ZBED,ZCAB=ZEBD,AB=BD（已證），

.,.△ACB^ABED（AAS）,

/.BE=AC=4,DE=CB=2（全等三角形對應邊相等），

ACE=6（等量代換）

根據(jù)勾股定理得：CD=2V10；

如圖（2）,過點D作DE±CA,垂足為點E.

VBCXCA（已知）

/.ZAED=ZACB=90°（垂直的定義）

...NEAD+NEDA=90。（直角三角形兩銳角互余）

???△ABD為等腰直角三角形（已知）

??.AB=AD,NBAD=90°（等腰直角三角形的定義）

/.ZCAB+ZDAE=90°（平角的定義）

/.ZBAC=ZADE（同角的余角相等）

14AACB與4DEA中，

VZACB=ZDEA（已證）ZCAB=ZEDA（已證）AB=DA（已證）

/.△ACB^ADEA（AAS）

.?.DE=AC=4,AE=BC=2（全等三角形對應邊相等）

/.CE=6（等量代換）

根據(jù)勾股定理得：CD=2限；

如圖（3）,過點D作DELCB,垂足為點E,過點A作AFLDE,垂足為點F.

VZC=90°,

AZCAB+ZCBA=90",

VZDAB+ZDBA=90°,

/.ZEBD+ZDAF=90°,

VZEBD+ZBDE=90°,ZDAF+ZADF=