輔助圓定點定長（專項訓(xùn)練）

1.如圖，四邊形ABC。中，AB=AC=AD,若/CAO=76°,則/CB￡）=度.

2.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4,。是8C邊上一動點，將沿

對折，得到△AB7）,當點8落在AC邊上時，點。停止運動，若則在點。

2

的運動過程中，點9的運動路徑長為.

3.如圖，在菱形中，ZABC=60°,BC=3,將菱形ABC。繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)，得

到菱形ABCD,,求出當點。，在BA的延長線上時，點C運動的路徑長.

4.如圖，已知四邊形ABC。是矩形，BC=4,AB>2,若CE=2,且點E在矩形ABC。的

內(nèi)部，求NABE的取值范圍.

5.如圖，在矩形4BC。中，已知A8=3,8c=4,點尸是8C邊上一動點（點P不與8,C

重合），連接AP,作點B關(guān)于直線AP的對稱點則線段MC的最小值為（）

C.3D.V1Q

6.如圖，點A,8的坐標分別為A(4,0),B(0,4)，C為坐標平面內(nèi)一點，BC=2,

點尸是O”上的任意一點，PALPB,且以、P3與X軸分別交于A、3兩點，

若點A、點B關(guān)于原點0對稱，則AB的最大值為.

8.(2022?武功縣模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,點、E在BC

上，且CE=43E,點M為矩形內(nèi)一動點，使得NCME=45°,連接AM,則

線段AM的最小值為.

9.在Rt^ABC中，ZA=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點，若等腰Rt

△AOE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt^AOiEi,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0<a<180°),記直

線與CE1的交點為P.

(1)如圖1,當a=90°時，線段BD1的長等于,線段CE1的長等于；(直

接填寫結(jié)果)

(2)如圖2,當a=135°時，求證：BDi=CEi,且8Oi_LCEi；

(3)求點P到AB所在直線的距離的最大值.(直接寫出結(jié)果)

E,

10,P是o。外的一點，直線P。分別交o。于點A、B,則以是點P到。。上

的點的最短距離.

(1)如圖2,在。。上取一點C(不與點A、3重合)，連PC、0C.求證:

PA<PC.

(2)如圖3,在中，ZACB=90°,AC=BC=2,以5c為直徑的

半圓交A3于。，P是面上的一個動點，連接AP,則AP的最小值是.

(3)如圖4,在邊長為2的菱形A3CD中，ZA=60°,“是AD邊的中點，

N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到叢'MN,連接A'

C,請求出43長度的最小值.

(4)①如圖5,E,R是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連

接B交5。于點G,連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段

DH的最小值是.

②如圖6,平面直角坐標系中，分別以點A(-2,3),3(3,4)為圓心，

以1、2為半徑作。4、QB,M、N分別是0403上的動點，P為x軸上的

動點，則PM+PN的最小值等于

11.如圖①，在△ABC中，ZACB=90°，點。，E分別是AB,8c邊上的點，且AC=C。

=3,連接AE,DE,ZCA￡+ZAEB=180°.

(2)當C￡)=3。時，求處的值；

DE

(3)如圖②，若點尸是線段AC上一點，且A尸=1,連接。REF,EF交CD于點G,

求面積的最大值.

12.在邊長為4的菱形A8C。中，/8=60°,點E,尸分別是48,8C上的動點，將

沿EF翻折得到△GER連接DG.

(1)如圖①，若點E是43的中點.

①當點G落在BC邊上時，求sin/CGO的值；

②當點歹從點B運動到BC的中點時，求S四邊形AEGD的取值范圍;

（2）如圖②，若BF=26,當點G落在AD邊上時，求BE的長.

輔助圓定點定長（專項訓(xùn)練）

1.如圖，四邊形ABC。中，AB=AC=AD,若NCA￡）=76°,則度.

【解答］解：\'AB=AC=AD,

.?.點2,C,￡）可以看成是以點A為圓心，為半徑的圓上的三個點，

ZCBD是弧CD對的圓周角，ZCAD是弧CD對的圓心角；

,:NCAD=16°,

：.ZCBD=AZCAD=Ax760=38°.

22

2.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4,。是BC邊上一動點，將△ABD沿

對折，得到△ABT）,當點3落在AC邊上時，點。停止運動，若則在點。

2

的運動過程中，點3的運動路徑長為.

【答案】匡兀

3

【解答】解：由折疊知

'：AB'=^AC,

2

；.AB=^AC,

2

sinC=—,

2

.?./C=30°,

：.ZBAC^60°,

.?.點2'的運動路徑長為6°兀X4=芻兀,

1803

故答案為：芻兀.

3

3.如圖，在菱形ABC。中，ZABC=60°,BC=3,將菱形ABC。繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)，得

到菱形ABC。，求出當點。在BA的延長線上時，點。運動的路徑長.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=BC,

...點C在以點8為圓心，BC長為半徑的圓上運動，

當點）在BA的延長線上時，AABC=ZD'BC=ZCBC,

.四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,

AZCBC=30°,BC=AB=3,

.?.點。運動的路徑長為3。n*3=J￡.

1802

4.如圖，已知四邊形ABC。是矩形，2C=4,AB>2,若CE=2,且點E在矩形ABC。的

內(nèi)部，求/A8E的取值范圍.

【解答】解：：點C為定點，CE為定長，

:.點E在以點C為圓心，CE為半徑的圓弧上，如圖:

B

當BE與圓C相切時，NCBE最大,即/ABE最小，此時NCEB=90°,

sinZCBE=^2」

BC1^2

：.ZCBE=3Q°，

?；NABE+NCBE=90°，

：.ZABE^60°,

?.?點E在矩形ABC。內(nèi)，

ZAB￡<90°,

.?.60°^ZABE<90°.

5.如圖，在矩形ABC。中，已知A8=3,BC=4,點尸是2C邊上一動點(點P不與2,

重合)，連接AP,作點8關(guān)于直線AP的對稱點則線段MC的最小值為()

A.2B.aC.3D.V7o

2

【答案】A

【解答】解：連接AM,

?點2和M關(guān)于AP對稱，

：.AB=AM=3,

.?.M在以A圓心，3為半徑的圓上，

...當A,M,C三點共線時，CM最短，

22

'：AC=V3+4=5，AM=AB=3f

：.CM=5-3=2,

故選：A.

6.如圖，點A,8的坐標分別為A(4,0),B(0,4),C為坐標平面內(nèi)一點，BC=2,

點M為線段AC的中點，連接。M,0M的最大值為

【答案】1+2A/2_

【解答】解：：C為坐標平面內(nèi)一點，BC=2,

：.點C的運動軌跡是在半徑為2的08上，

如圖，取?！?gt;=。4=4,連接0D

?.?點M為線段AC的中點，

0M是△AC。的中位線，

???0M=/cD，

最大值時，C。取最大值，此時。、B、C三點共線,

此時在RtZXOB。中，BD==4近,

：.CD=2+4y/2<

的最大值是1+2加.

故答案為：1+2&.

7.（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，OM的半徑為2,圓心”的坐標為（6,8）,

點P是OM上的任意一點，PA±PB,且必、P3與x軸分別交于A、3兩點,

若點A、點B關(guān)于原點0對稱，則AB的最大值為.

【答案】24

【解答】解：連接0P,

"JPALPB,

：.ZAPB=9Q°,

'：AO=BO,

：.AB=2P0,

若要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，

連接并延長交于點P,當點尸位于P位置時，0P取得最大值,

過點M作MQLx軸于點Q,

則。。=6,航。=8,

：.0M=10,

又,：MP=2,

：.0P'=10+2=12,

：.AB=2OP'=24,

故答案為：24.

8.（2022?武功縣模擬）如圖，在矩形A3CD中，AB=6,BC=5,點、E在BC

上，且CE=43E,點舷為矩形內(nèi)一動點，使得NCME=45°,連接AM,則

線段AM的最小值為.

【答案】5-272.

【解答】解：如圖，作的外接圓O。，連接49,CO,EO,作

AB,ON.LBC,

,.?BC=5,點E在上，＜CE=4BE,

:.BE=LEC=4,

"：ZCME=45°,

AZEOC=90°,

：.OE=OC=2如,ON=EN=CN=2,

:?BN=OF=3,AF=6-2=4,

在Rt^AF。中，AO=1/32+42=5，

當點M是。4與O。的交點時，AM最小,

：.AM的最小值=。4-0E=5-2A/2.

故答案為：5-2^2-

9.在Rtz^ABC中，ZA=90°,AC=AB=4,D,￡分別是邊AB,AC的中點，若等腰Rt

△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt^AOiEi,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0<aW180°),記直

線BDi與CEi的交點為P.

(1)如圖1,當a=90°時，線段BDi的長等于,線段CE1的長等于；(直

接填寫結(jié)果)

(2)如圖2,當a=135°時，求證：BDi=CEi,且2￡?i_LCEi；

(3)求點P到AB所在直線的距離的最大值.(直接寫出結(jié)果)

【解答】(1)W：VZA=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點，

.\AE=AD=2,

等腰Rt^ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到等腰RtAADiEi,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0<aW180°),

.,.當a=90°時，AEi=2,Z￡iA￡=90°,

:.BDi==2疾,￡1C=^42+22=2V5；

故答案為：2遙，2遙；

(2)證明：當a=135°時，如圖2,

,.,RtAADiEi是由RtAADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)135°得至!I,

：.ADi^AEi,ZDiAB=ZEiAC=135°,

在△￡>142和△EMC中

AD^AEj

ZD1AB=ZE1AC,

AB=AC

：./\DiAB^/\E\AC(SAS),

：.BDi=CEi,且NDiBA=NEiCA,

記直線BDi與AC交于點F,

：.ZBFA=ZCFP,

：.ZCPF=ZFAB=9Q°,

：.BDi±CEi；

(3)解：如圖3,作尸GLAB,交48所在直線于點G,

,：D\,Ei在以A為圓心，AO為半徑的圓上，

當BDi所在直線與0A相切時，直線BD\與CE1的交點P到直線AB的距離最大,

此時四邊形AD1PE1是正方形，PDi=2,則8￡>i==2我，

故/ABP=30°,

貝ijPB=2+2V3.

故點尸到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+V3.

10,P是OO外的一點，直線P。分別交。。于點A、B,則必是點P到。。上

的點的最短距離.

(1)如圖2,在OO上取一點C(不與點A、3重合)，連PC、OC.求證:

PA<PC.

(2)如圖3,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以3C為直徑的

半圓交A3于。，P是面上的一個動點，連接AP,則AP的最小值是.

(3)如圖4,在邊長為2的菱形A3CD中，ZA=60°,“是AD邊的中點，

N是AB邊上一動點,將△AMN沿MN所在的直線翻折得到匕N'MN,連接A'

C,請求出43長度的最小值.

(4)①如圖5,E,歹是正方形A3CD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連

接CR交于點G,連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段

DH的最小值是.

②如圖6,平面直角坐標系中，分別以點A(-2,3),3(3,4)為圓心，

以1、2為半徑作。4、QB,M、N分別是0403上的動點，P為x軸上的

動點，則PM+PN的最小值等于__________.

【解答】(1)證明：如圖2,在O。上任取一點C(不為點A、B),連接PC、

0C.

\'P0<PC+0C,P0=PA+0A,0A=0C,

：.PA<PC.

(2)解：連接A。與O。相交于點P,如圖3,由已知定理可知，此時AP最

短，

VZACB=9Q°,AC=BC=2,3c為直徑，

.,.PO=CO=1,

=7AC2-K：02=遍，

：.AP=45T，

故答案為：Vs-1；

(3)解：如圖4,由折疊知4M=AM,又般是AD的中點，可得的4=昭北

=MD,

圖4

故點A'在以AD為直徑的圓上，

由模型可知，當點A'在上時，A'8長度取得最小值，

:邊長為2的菱形A3CD中，NA=60°,M是邊的中點,

"：MA=MA'=MD,

貝ljBM±AM,

BM—^22-l=V3，

故A'5的最小值為：V3-1；

(4)①解：在正方形ABC。中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG

ZCDG,

AE

。臼

B鄴，

在△ABE和△OCT中，

:.AABEHDCF(SAS),

：.Z1=Z2,

在△ADG和△CDG中，

...△ADG絲△COG(SAS),

.?.N2=N3,

.?.N1=N3,

ZBAH+Z3=ZBAD=90°,

.,.Nl+NR4H=90°,

AZAHB=18Q°-90°=90°,

取AB的中點。，連接OH、OD,

則OH=AO=^-AB=1,

2

在中，。。=4AC|2+AD2=代，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，0H+DH>0D,

.?.當。、D、H三點共線時，DH的長度最小，

DH最小值=。。-OH=45-1.

故答案為：V5-1；

②解：作OA關(guān)于x軸的對稱OM，連接A4'分別交OA'和03于航、N,

交x軸于P,如圖6,

則此時PM+PN最小，

?.?點A坐標（-2,3）,

???點A'坐標（-2,-3）,

?.,點3（3,4）,

.?.A，B=（3+2）2+（4+3）2=>

：.MN=A'B-BN-AM=4TI-2-1=774-3,

：.PM+PN的最小值為舊-3.

故答案為：V74-3.

11.如圖①，在△ABC中，ZACB=90°,點、D,E分別是A8,BC邊上的點，S.AC=CD

=3,連接AE,DE,ZCAE+ZAEB=1?>00.

(2)當CZ)=B。時，求處的值；

DE

(3)如圖②，若點尸是線段AC上一點，且AP=1,連接。F,EF,EF交CD于點、G,

求△￡)所面積的最大值.

【解答】(1)證明：VZCAE+ZA￡B=180°,ZCEA+ZAEB^180°,

：.ZCAE=ZCEA,

；.AC=CE,

"：AC=CD,

：.AC=CD=CE,

VZB=22.5°,ZACB=90°,

：.ZCAD=ZCDA=90°-22.5°=67.5°,

ZACZ)=180°-2X67.5°=45°,

：.ZBCD=90°-45°=45°,

???/ACD=/BCD,

???C0平分NACB；

(2)解：由(1)得：AC=CD=CE,

如圖①，以點C為圓心，C4長為半徑作圓，過點E作于尸,

■:CD=BD,

:?/DCB=/B,

VZACZ)+ZBCr>=90°,ZCAD+ZB=90°,

???ZACD=ZCADf

:?CD=AD,

?：AC=CD,

：.AC=CD=AD,

???△ACO是等邊三角形，

：.ZCAD=60°,CD=AD=BD=3,

.\ZB=30o,

VZACB=90°,

AZADE=180°-AZACB=180°-Ax90°=135°,

22

：.ZEDP=180°-135°=45°,

???ADPE是等腰直角三角形，

:?DP=EP,

DP=EP=x,貝|3尸=3-羽

在RtZ\5E尸中，tan3=?=里

3BP3-x

解得：X=3V§-3,

2

VZACE=90°,AC=CE,

：.ZCAE=45°,

：.ZCAE=ZPDE,

VZACE=ZDPE=90°,

???AACE^ADPE,

.??膽=￡=T~=y+i；

DEDP3禽-3

~2~

(3)解：由(1)得：AC=CD=CE,

如圖②，以點C為圓心，CA長為半徑作圓，

,:CE=CD=3,CF=AC-AF=3-1=2,ZACB=90°,

EF—>/CF2-K?E2=A/22+3^=^^13，為定值，

：。為定值，

...當COLE尸時，CG取得最小值，

此時，點。到EF的距離取得最大值，

即△￡)￡廠的面積取得最大值，

?；S&CEF=—CF'CE=工EF，CG最小,

22

即_LX2X3=2XJT§義CG最小，

22

解得：CG最小=◎/亙，

13

；.OG最大=CZ)-CG最小=3-蟲亙，

13

SADEFG±=G=AXV13x(3-6后)=_3.

22132

圖②

12.在邊長為4的菱形ABC。中，/8=60°,點E,尸分別是AB,8C上的動點，將△8EF

沿EF翻折得到△GEF,連接DG.

(1)如圖①，若點E是A3的中點.

①當點G落在5c邊上時，求sinNCGO的值；

②當點方從點B運動到BC的中點時，求S四邊形AEGZ）的取值范圍;

（2）如圖②，若BF=2近,當點G落在邊上時，求的長.

圖①圖②

【解答】解：（1）①如圖①乙，連接AG、AC,

??,四邊形ABCD是邊長為4的菱形,

：.AB=CB=AD=4,ZB=60°,

：.AABC是等邊三角形，

??,點從點G都在8C上，且點月與點3關(guān)于E/對稱，點E是A8的中點,

:.EF2BG,BF=GF,

：.BE=GE,

:.4EBG是等邊三角形,

；?BG=BE=CG=2,

：.AGLBC,

U：AD//BC,

???NDAG=NAG3=90°,NCGD=/ADG,

VAG-AB-sin60°-4義返二2?,

2

AtanZCG￡>=tanZADG=-=當巨=返，

AD42

AtanZCG￡>的值為近.

2

②如圖①乙，連接。E,延長尸￡交D4的延長線于點R,

,:/R=NEFB=90°,NEAR=/B=60°，AE=2,

：.ZAER=3Q°,ER±AD,

：.AR=