三角形的外接圓與外心（2015?湖北）點(diǎn)O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．【專題】分類討論．【分析】利用圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)．【解答】解：如圖所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度數(shù)為：40°或140°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．（2015?河北）如圖，AC，BE是⊙O的直徑，弦AD與BE交于點(diǎn)F，下列三角形中，外心不是點(diǎn)O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【分析】利用外心的定義，外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，進(jìn)而判斷得出即可．【解答】解：如圖所示：只有△ACF的三個(gè)頂點(diǎn)不都在圓上，故外心不是點(diǎn)O的是△ACF．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形外心的定義，正確把握外心的定義是解題關(guān)鍵．（2015?臺(tái)灣）如圖，坐標(biāo)平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）三點(diǎn)，其中a＞0．若∠BAC=95°，則△ABC的外心在第幾象限？（）A．一 B．二 C．三 D．四【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】根據(jù)鈍角三角形的外心在三角形的外部和外心在邊的垂直平分線上進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵∠BAC=95°，∴△ABC的外心在△ABC的外部，即在x軸的下方，∵外心在線段BC的垂直平分線上，即在直線x=上，∴△ABC的外心在第四象限，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外心的確定，掌握外心的概念和外心與銳角、直角、鈍角三角形的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形的外部．（2014?臺(tái)灣）如圖，O為△ABC的外心，△OCP為正三角形，OP與AC相交于D點(diǎn)，連接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，則∠ADP的度數(shù)為何？（）A．85 B．90 C．95 D．110【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】利用三角形外心的性質(zhì)以及利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OCA=35°，進(jìn)而結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵O為△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC，∴∠OAC=35°，AO=CO，∴∠OAC=∠OCA=35°，∴∠AOC=110°，∵△OCP為正三角形，∴∠AOP=50°，∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外心的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得出∠OAC=∠OCA=35°是解題關(guān)鍵．（2013?安徽）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點(diǎn)，在以下判斷中，不正確的是（）A．當(dāng)弦PB最長時(shí)，△APC是等腰三角形B．當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，PO⊥ACC．當(dāng)PO⊥AC時(shí)，∠ACP=30°D．當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，△BPC是直角三角形【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦，可知當(dāng)弦PB最長時(shí)，PB為⊙O的直徑，由圓周角定理得出∠BAP=90°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出AP=CP，則△APC是等腰三角形，判斷A正確；當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；確定點(diǎn)P的位置后，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出PO⊥AC，判斷B正確；當(dāng)PO⊥AC時(shí)，由垂徑定理得出PO是AC的垂直平分線，點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合．如果點(diǎn)P在圖1中的位置，∠ACP=30°；如果點(diǎn)P在B點(diǎn)的位置，∠ACP=60°；判斷C錯(cuò)誤；當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，點(diǎn)P或者在P1的位置，或者在P2的位置．如果點(diǎn)P在P1的位置，易求∠BCP1=90°，△BP1C是直角三角形；如果點(diǎn)P在P2的位置，易求∠CBP2=90°，△BP2C是直角三角形；判斷D正確．【解答】解：A、如圖1，當(dāng)弦PB最長時(shí)，PB為⊙O的直徑，則∠BAP=90°．∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，∵點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點(diǎn)，BP是直徑，∴BP⊥AC，∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，∴AP=CP，∴△APC是等腰三角形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：①如果PA=PC，那么點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，則點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合（如圖2），所以PO⊥AC，正確；②如果AP=AC，那么點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，所以PO⊥AC，正確；③如果CP=CA，那么點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，所以PO⊥AC，正確；故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、當(dāng)PO⊥AC時(shí)，PO平分AC，則PO是AC的垂直平分線，點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合．如果點(diǎn)P在圖1中的位置，∠ACP=30°；如果點(diǎn)P在B點(diǎn)的位置，∠ACP=60°；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，點(diǎn)P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如圖3．如果點(diǎn)P在P1的位置，∠BCP1=∠BCA+∠ACP1=60°+30°=90°，△BP1C是直角三角形；如果點(diǎn)P在P2的位置，∵∠ACP2=30°，∴∠ABP2=∠ACP2=30°，∴∠CBP2=∠ABC+∠ABP2=60°+30°=90°，△BP2C是直角三角形；故本選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，難度適中，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．（2012?攀枝花）下列四個(gè)命題：①等邊三角形是中心對(duì)稱圖形；②在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等；③三角形有且只有一個(gè)外接圓；④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條?。渲姓婷}的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；垂徑定理；圓周角定理；命題與定理；中心對(duì)稱圖形．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，即可判斷①；舉出反例，即可判斷②；根據(jù)三角形的外接圓的定義即可判斷③；根據(jù)垂徑定理即可判斷④．【解答】解：∵等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，∴①是假命題；如圖，∠C和∠D都對(duì)弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命題；三角形有且只有一個(gè)外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即③是真命題；垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧，即④是真命題．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形，圓周角定理，垂徑定理，三角形的外接圓等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的理解能力和辨析能力，題型較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．（2010?蘭州）有下列四個(gè)命題：①直徑是弦；②經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓的認(rèn)識(shí)；確定圓的條件．【分析】根據(jù)圓中的有關(guān)概念、定理進(jìn)行分析判斷．【解答】解：①經(jīng)過圓心的弦是直徑，即直徑是弦，弦不一定是直徑，故正確；②當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候，不能作圓，故錯(cuò)誤；③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等，故正確；④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，故正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓中的有關(guān)概念：弦、直徑、等弧．注意：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．（2010?攀枝花）如圖所示．△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=28°，則∠C的大小是（）A．56° B．62° C．28° D．32°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；三角形內(nèi)角和定理；圓周角定理．【分析】由題意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOB，再利用圓周角定理確定∠C．【解答】解：如圖，連接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=28°，∴∠OAB=∠OAB=28°，∴∠AOB=124°，∴∠C=62°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題是利用圓周角定理解題的典型題目，題目難度不大，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵，在解題和圓有關(guān)的題目是往往要添加圓的半徑．（2010?本溪）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于D點(diǎn)，且AC=5，CD=3，AB=4，則⊙O的直徑等于（）A． B．3 C．5 D．7【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理．【分析】作直徑AE，連接BE構(gòu)造直角三角形，利用同弧圓周角相等，半圓上的圓周角是直角證明△ADC∽△ABE，根據(jù)相似比可求得AE長，即直徑．【解答】解：作直徑AE，連接BE，∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，由勾股定理得AD==4．∵∠ACD=∠AEB，（同弧圓周角相等）∠ABE=90°，（半圓上的圓周角是直角）∴△ADC∽△ABE，AE：AC=AB：AD，∴AE==5，則直徑AE=5．故選C．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)．注意：利用直徑所對(duì)的圓周角是90度構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法．（2010?臺(tái)灣）如圖所示，甲、乙、丙三個(gè)三角形，每個(gè)三角形的內(nèi)角均為55°、60°、65°．若==，則甲、乙、丙周長的關(guān)系為（）A．甲=乙=丙 B．甲＜乙＜丙 C．甲＜丙＜乙 D．丙＜乙＜甲【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【分析】根據(jù)在三角形中，大角對(duì)大邊，知甲圖中，AB最大；乙圖中，DE是中間；丙圖中，GH最?。龠M(jìn)一步結(jié)合已知條件即可判斷三個(gè)圖形的周長的大?。窘獯稹拷猓焊鶕?jù)大角對(duì)大邊和已知條件，得甲圖中的最大邊=乙圖中的中間邊=丙圖中的最小邊．所以它們的周長大小是甲＜乙＜丙．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同一個(gè)三角形中的邊角關(guān)系．（2009?衡陽）如圖所示，A、B、C分別表示三個(gè)村莊，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在（）A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn)C．AC中點(diǎn) D．∠C的平分線與AB的交點(diǎn)【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理的逆定理．【專題】應(yīng)用題．【分析】了解直角三角形的判定及三角形的外心的知識(shí)，是解答的關(guān)鍵．【解答】解：因?yàn)锳B=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度．因?yàn)橐筮@三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，所以活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處，也就是△ABC外心處，又因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，所以它的外心在斜邊AB的中點(diǎn)處，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題比較容易主要考查直角三角形的判定及三角形的外心的知識(shí)．（2009?孝感）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠B=60°，則∠CAO的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【分析】連接OA，由圓周角定理，易求得∠COA的度數(shù)，在等腰△OAC中，已知頂角∠COA的度數(shù)，即可求出底角∠CAO的度數(shù)．【解答】解：連接OC，由圓周角定理，得∠AOC=2∠B=120°，△OAC中，OA=OC，∴∠CAO=∠ACO=30°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理．（2009?威海）已知⊙O是△ABC的外接圓，若AB=AC=5，BC=6，則⊙O的半徑為（）A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理．【分析】已知△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，若過A作底邊BC的垂線，則AD必過圓心O，在Rt△OBD中，用半徑表示出OD的長，即可用勾股定理求得半徑的長．【解答】解：過A作AD⊥BC于D，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，則AD必過圓心O，Rt△ABD中，AB=5，BD=3∴AD=4設(shè)⊙O的半徑為x，Rt△OBD中，OB=x，OD=4﹣x根據(jù)勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：x2=（4﹣x）2+32，解得：x==3.125．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．（2009?臺(tái)灣）如圖，在坐標(biāo)平面上，Rt△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x軸，M為Rt△ABC的外心．若A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1），則B點(diǎn)坐標(biāo)為何（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】本題可先根據(jù)坐標(biāo)系中線段中點(diǎn)的計(jì)算方法解出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)AB垂直x軸，BC平行y軸即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：如圖：作MN∥BC，∵∠ABC=90°，AB垂直x軸，M為Rt△ABC的外心，∴AM=CM，AM：CM=AN：BN，MN∥x軸．∵若A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1），∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣2），故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了外心的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想從而解決問題．（2008?南京）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，則等邊三角形ABC的邊長為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】連接OA，并作OD⊥AB于D；由于等邊三角形五心合一，則OA平分∠BAC，由此可求出∠BAO的度數(shù)；在Rt△OAD中，根據(jù)⊙O的半徑和∠BAO的度數(shù)即可求出AD的長，進(jìn)而可得出△ABC的邊長．【解答】解：連接OA，并作OD⊥AB于D，則∠OAD=30°，OA=2，∴AD=OA?cos30°=，∴AB=2．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等邊三角形外接圓半徑的求法．（2008?畢節(jié)地區(qū)）如圖所示，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若AD=3，AC=2，則cosD的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)圓周角定理的推論，得∠B=∠D．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠ACD=90°．在直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理，得CD=，則cosD==．【解答】解：∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°．∵AD=3，AC=2，∴CD=．∴cosD==．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論以及銳角三角函數(shù)的定義．（2007?廣州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，∠C=60°，如果⊙O的半徑為2，則結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD=DB B． C．OD=1 D．AB=【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】連接OA，OB，根據(jù)由垂徑定理和圓周角定理知，OD是AB的中垂線，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．利用三角函數(shù)可求得AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1，AB=2，從而判斷出D是錯(cuò)誤的．【解答】解：連接OA，OB．∵OD⊥AB，∴由垂徑定理和圓周角定理知，OD是AB的中垂線，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．∴AB=2．∴A，B，C均正確，D錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了垂徑定理和圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解．（2007?雅安）已知O是△ABC的外心，∠ABC=60°，AC=4，則△ABC外接圓的半徑是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；三角形內(nèi)角和定理；解直角三角形．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算．可設(shè)該三角形外接圓的圓心是O，作直徑CD，連接AD，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是90°，分別求得∠D=∠B=60°，∠CAD=90°，根據(jù)直角三角形ACD中sinD=，得CD=，從而求出圓的半徑是．【解答】解：設(shè)該三角形外接圓的圓心是O，作直徑CD，連接AD．根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得∠D=∠B=60°．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，得∠CAD=90°．在直角三角形ACD中，根據(jù)sinD=，得CD==，則圓的半徑是．故選C．【點(diǎn)評(píng)】注意：構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算．可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論即正弦定理：在△ABC中，=2R（R是三角形外接圓的半徑）．（2006?肇慶）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，P是⊙O上一點(diǎn)，則∠CPB等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60°，得∠A=60°，再根據(jù)圓周角定理，得∠CPB=∠A=60°．【解答】解：∠CPB=∠A=60°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了等邊三角形的性質(zhì)以及圓周角定理的推論．（2006?張家界）已知正三角形外接圓半徑為，這個(gè)正三角形的邊長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】連接OA，并作OD⊥AB于D，可求得AD=OA?cos30°=，則AB=3．【解答】解：連接OA，并作OD⊥AB于D，則：∠OAD=30°，OA=，∴OD=，∴AD==，∴AB=3．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查由外接圓的半徑求內(nèi)接等邊三角形的邊長．（2005?陜西）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OC，⊙O的半徑R=2，sinB=，則弦AC的長為（）A．3 B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】若想利用∠B的正弦值，需構(gòu)建與它相等的圓周角，延長AO交⊙O于D，在Rt△ADC中，由圓周角定理，易得∠D=∠B，即可根據(jù)∠D的正弦值和直徑AD的長，求出AC的長．【解答】解：延長AO交圓于點(diǎn)D，連接CD，由圓周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=，Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，∴AC=AD?sinD=3．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是根據(jù)圓周角定理的推論，作出直徑所對(duì)的圓周角，利用銳角三角函數(shù)求解．（2005?武漢）已知：如圖，△ABC中，∠A=60°，BC為定長，以BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．連接DE、OE．下列結(jié)論：①BC=2DE；②D點(diǎn)到OE的距離不變；③BD+CE=2DE；④AE為外接圓的切線．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】連接OD，可證明△ODE是等邊三角形，所以①、②正確；根據(jù)已知條件，③不一定成立，錯(cuò)誤；根據(jù)切線的定義，④錯(cuò)誤．【解答】解：連接OD∵∠A=60°∴∠B+∠C=120°，∴+=240°，∵∠B+∠C=120°，∴2=120°，∴=60°，∴∠DOE=60°又OD=OE∴△ODE是等邊三角形，所以①正確，則D到OE的長度是等邊△ODE的高，則一定是一個(gè)定值，因而②正確；③根據(jù)已知條件，③不一定成立，錯(cuò)誤；④根據(jù)切線的定義，錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)評(píng)】綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理和等邊三角形的判定和性質(zhì)．已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D為CB延長線上一點(diǎn)，∠AOC=130°，則∠ABD的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．65° D．100°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】本題要通過構(gòu)造圓周角求解；在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)E，連接AE、CE；由圓周角定理，易求得∠AEC的度數(shù)；再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出∠ABD的度數(shù)．【解答】解：在優(yōu)弧AC上任意找一點(diǎn)E，連接AE、CE，根據(jù)圓周角定理，得∠E=65°；∵四邊形ABCE內(nèi)接于⊙O，∴∠ABD=∠E=65°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（2005?錦州）如圖，小穎同學(xué)在手工制作中，把一個(gè)邊長為12cm的等邊三角形紙片貼到一個(gè)圓形的紙片上，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)恰好都在這個(gè)圓上，則該圓的半徑為（）A．3cm B．3cm C．4cm D．4cm【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】作等邊三角形任意兩條邊上的高，交點(diǎn)即為圓心，將等邊三角形的邊長用含半徑的代數(shù)式表示出來，進(jìn)行求解即可．【解答】解：過點(diǎn)A作BC邊上的垂線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作AC邊上的垂線交AD于點(diǎn)O，則O為圓心．設(shè)⊙O的半徑為R，由等邊三角形的性質(zhì)知：∠OBC=30°，OB=R．∴BD=cos∠OBC×OB=R，BC=2BD=R．∵BC=12，∴R==4．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等邊三角形外接圓半徑的求法．關(guān)鍵是作等邊三角形任意兩條邊上的高，交點(diǎn)即為圓心．（2005?淮安）如果點(diǎn)O為△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于（）A．35° B．110° C．145° D．35°或145°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專題】分類討論．【分析】由于三角形的外心的位置可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部．所以此題要考慮兩種情況：根據(jù)圓周角定理，①當(dāng)點(diǎn)O在三角形的內(nèi)部時(shí)，則∠BAC=∠BOC=35°；②當(dāng)點(diǎn)O在三角形的外部時(shí)，則∠BAC=（360°﹣70°）=145°．【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)O在三角形的內(nèi)部時(shí)，則∠BAC=∠BOC=35°；②當(dāng)點(diǎn)O在三角形的外部時(shí)，則∠BAC=（360°﹣70°）=145°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】注意此題的兩種情況，熟練運(yùn)用圓周角定理．（2005?寧德）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為直徑，AC=BC，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．60°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】綜合題．【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得∠C=90°，再根據(jù)AC=BC，得∠A=∠B=45°．【解答】解：∵AB為直徑，∴∠C=90°，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是運(yùn)用了圓周角定理的推論和等邊對(duì)等角的性質(zhì)．（2005?烏蘭察布）若一個(gè)直角三角形的兩邊分別為6和8，則這個(gè)直角三角形外接圓直徑是（）A．8 B．10 C．5或4 D．10或8【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理．【分析】本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)8是直角邊時(shí)，根②當(dāng)8是斜邊時(shí)，分別求出即可．【解答】解：①當(dāng)8是直角邊時(shí)，斜邊是10，這個(gè)直角三角形外接圓直徑是10；②當(dāng)8是斜邊時(shí)，直角三角形外接圓直徑是8．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點(diǎn)在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長是圓的直徑．（2005?沈陽）已知O為△ABC的外心，∠A=60°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．30° B．120° C．90° D．60°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)圓周角定理得∠BOC=2∠A=120°．【解答】解：∠BOC=2∠A=120°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查了圓周角定理，注意：當(dāng)O是三角形的外心時(shí)，則∠BOC=2∠A或360°﹣2∠A．（2003?臺(tái)灣）如圖所示，△ABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的外心，∠C=60°，BC=2．若△AOB面積=a，△OBC面積=b，則下列敘述何者正確（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)﹣b=0 D．a(chǎn)+b=4【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】由于直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，即OA=OC；由此可知：△AOB和△BOC等底同高，故兩者的面積相等，即a=b．【解答】解：∵△ABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的外心；∴OA=OC，∴△AOB和△BOC等底同高，∴S△AOB=S△BOC，即a=b，∴a﹣b=0．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：①直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合；②若兩個(gè)三角形等底等高，則這兩個(gè)三角形的面積相等．（2002?陜西）在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，則△ABC外接圓的半徑為（）A．2 B．3 C． D．3【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；含30度角的直角三角形．【分析】先求得∠C=90°，BC=AB，△ABC外接圓的直徑為AB，再由勾股定理得，AB=4，所以△ABC外接圓的半徑為2．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=90°，∴BC=AB，△ABC外接圓的直徑為AB，由勾股定理得，AB=4，∴△ABC外接圓的半徑為2．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)，直角三角形的外接圓的圓心在斜邊上；還考查了直角三角形的性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．（2002?黑龍江）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，則這個(gè)三角形的外接圓直徑是（）A．5 B．10 C．5或4 D．10或8【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】這個(gè)三角形的外接圓直徑是斜邊長，有兩種情況情況：（1）斜邊是BC，即外接圓直徑是8；（2）斜邊是AC，即外接圓直徑是=10．【解答】解：根據(jù)題意得（1）斜邊是BC，即外接圓直徑是8；（2）斜邊是AC，即外接圓直徑是=10；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點(diǎn)在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓．（2001?陜西）給出下列命題：①任意三角形一定有一個(gè)外接圓，并且只有一個(gè)外接圓；②任意一個(gè)圓一定有一個(gè)內(nèi)接三角形，并且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；③任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)內(nèi)切圓，并且只有一個(gè)內(nèi)切圓；④任意一個(gè)圓一定有一個(gè)外切三角形，并且只有一個(gè)外切三角形，其中正確命題共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【分析】根據(jù)外心與內(nèi)心的概念，分別分析即可判斷對(duì)錯(cuò)．三角形的外接圓是三條垂直平分線的交點(diǎn)，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以任意三角形一定有一個(gè)外接圓，并且只有一個(gè)外接圓；反過來說圓的內(nèi)接三角形可以無數(shù)多個(gè)；三角形的內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)內(nèi)切圓，并且只有一個(gè)內(nèi)切圓；反過來說圓的外切三角形可以有無數(shù)多個(gè)．故正確的命題有2個(gè)．【解答】解：三角形的外接圓是三條垂直平分線的交點(diǎn)，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以任意三角形一定有一個(gè)外接圓，并且只有一個(gè)外接圓，①是對(duì)的；反過來說圓的內(nèi)接三角形可以無數(shù)多個(gè)，所以②是錯(cuò)的；三角形的內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)內(nèi)切圓，并且只有一個(gè)內(nèi)切圓，③是對(duì)的；反過來說圓的外切三角形可以有無數(shù)多個(gè)，④是錯(cuò)誤的．所以正確的命題有2個(gè)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查三角形外心與內(nèi)心的概念，屬于概念題．（2001?貴陽）已知⊙O的半徑等于等邊△ABC的高，△DEF是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：2 B．1：3 C．3：2 D．2：3【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；相似三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】等邊三角形的外接圓在三角形三邊的垂直平分線上．假設(shè)△ABC的邊為2x，可以求出它的高為x．再根據(jù)題里的已知條件，可求出△DEF的邊長．【解答】解：對(duì)于等邊三角形，外接圓的圓心也是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，綜合起來，可求出△DEF的邊長的一半為=x，那么△DEF的邊長為3x，而△ABC∽△DEF，所以兩個(gè)三角形的周長比等于邊長比等于2：3．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題利用了等邊三角形的外接圓的圓心既是三角形的垂直平分線的交點(diǎn)，也是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，還用了勾股定理．（2001?海南）已知正三角形的邊長為3，則它的外接圓的面積為（）A．3π B．6π C．9π D．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】正三角形的邊長為3，可得其外接圓的半徑為×=，故其面積為3π．【解答】解：∵正三角形的邊長為3，∴其外接圓的半徑為×=，∴其面積為3π．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與運(yùn)用，其三邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等，均為60度．（2000?綿陽）等腰三角形的外心一定在（）A．腰上的高所在的直線上 B．頂角的平分線上C．腰的中線上 D．底邊的垂直平分線上【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，可據(jù)此判斷出正確的選項(xiàng)．【解答】解：由于三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，因此等腰三角形的外心一定在底邊的垂直平分線上；故選D．【點(diǎn)評(píng)】正確理解三角形外心的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（2000?廣西）鈍角三角形的外心在（）A．三角形內(nèi) B．三角形外C．三角形的邊上 D．上述三種情況都有可能【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【分析】三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，簡單畫圖即可得出本題的結(jié)論．【解答】解：如圖；鈍角△ABC中，AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為△ABC的外心，由圖知點(diǎn)O在△ABC外部，故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是三角形外心的性質(zhì)：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合．（1999?溫州）如圖，△ABC的外接圓⊙O的直徑BE交AC于點(diǎn)D，已知弧BC等于120°，，則關(guān)于x的一元二次方程根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；根的判別式；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】BD為直徑，連接CE，構(gòu)成直角三角形．過O點(diǎn)作OF⊥BC．在Rt△CDF中，運(yùn)用銳角三角函數(shù)求邊長；在Rt△BCE中，因?yàn)榛C等于120°，可求其兩銳角分別為60°、30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求BD、DE的長，代入判別式中，確定判別式的符號(hào)．【解答】解：過O點(diǎn)作OF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，連接CE．在Rt△CDF中，．設(shè)CF=2，則DF=．已知弧BC等于120°，BE為直徑，所以∠E=60°，∠ECB=90°，∠EBC=30°．在Rt△BDF中，BD=2DF=2，BF=3．在Rt△BCE中，BC=BF+CF=5，BE==，DE=BE﹣BD=．∵△=（BD）2﹣4?BD?DE=（×2）2﹣4×2×=36﹣32=4＞0，又x1+x2=BD＞0，x1?x2=BD?DE＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的問題、銳角三角函數(shù)與一元二次方程根的判別式的綜合運(yùn)用，一般需要把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)設(shè)邊長，求邊長，再用判別式判斷方程根的情況．（1999?安徽）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，△ABC，△ABD，△ACD的外接圓半徑分別為R，R1，R2，那么有（）A．R=R1+R2 B．R= C．R2=R1R2 D．R2=R12+R22【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)90度的圓周角對(duì)的弦是直徑，再結(jié)合勾股定理即可求得三者之間的關(guān)系．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴R=BC，R1=AB，R2=AC；∵BC2=AB2+AC2，∴R2=R12+R22．故選D．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用．要注意在圓中90度的圓周角對(duì)的弦是直徑．（1998?寧波）鈍角三角形三邊長分別為a，b，c（a＞b＞c），外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R，r，則能夠蓋住這個(gè)三角形的圓形紙片的最小半徑是（）A．R B．r C． D．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】要使該圓能夠蓋住這個(gè)三角形，且半徑最小，則該圓的半徑應(yīng)是外接圓半徑R．【解答】解：∵能夠蓋住這個(gè)三角形，且半徑最小的圓應(yīng)是外接圓，∴能夠蓋住這個(gè)三角形的圓形紙片的最小半徑是R．故選A．【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形和圓的兩種位置關(guān)系．（2015?蘭州）已知△ABC的邊BC=4cm，⊙O是其外接圓，且半徑也為4cm，則∠A的度數(shù)是30°或150°．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠BOC=60°，再利用圓周角定理得出答案．【解答】解：如圖：連接BO，CO，∵△ABC的邊BC=4cm，⊙O是其外接圓，且半徑也為4cm，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°．若點(diǎn)A在劣弧BC上時(shí)，∠A=150°．∴∠A=30°或150°．故答案為：30°或150°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓與外心以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理等知識(shí)，得出△OBC是等邊三角形是解題關(guān)鍵．（2014?寧夏）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上，用一個(gè)圓面去覆蓋△ABC，能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專題】網(wǎng)格型．【分析】根據(jù)題意得出△ABC的外接圓的圓心位置，進(jìn)而利用勾股定理得出能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑．【解答】解：如圖所示：點(diǎn)O為△ABC外接圓圓心，則AO為外接圓半徑，故能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，得出外接圓圓心位置是解題關(guān)鍵．（2011?煙臺(tái)）如圖，△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】網(wǎng)格型．【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以在平面直角坐標(biāo)系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為△ABC的外心．【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴作圖得：∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．故答案為：（﹣2，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形外心的知識(shí)．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2010?大慶）如圖，網(wǎng)格的小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么△ABC的外接圓半徑是．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題；網(wǎng)格型．【分析】根據(jù)三角形的外心是它的三邊垂直平分線的交點(diǎn)．結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)其外心的位置，再根據(jù)勾股定理得外接圓的半徑==．【解答】解：由圖可知：△ABC的外接圓半徑==．【點(diǎn)評(píng)】此題能夠結(jié)合圖形確定其外接圓的圓心，再根據(jù)勾股定理計(jì)算其外接圓的半徑．（2010?濟(jì)南）如圖所示，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），則△ABC外接圓半徑的長度為．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)知：圓心M（設(shè)△ABC的外心為M）必在直線x=1上；由圖知：AC的垂直平分線正好經(jīng)過（1，0），由此可得到M（1，0）；連接MB，過M作MD⊥BC于D，由勾股定理即可求得⊙M的半徑長．【解答】解：設(shè)△ABC的外心為M；∵B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），∴M必在直線x=1上，由圖知：AC的垂