5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（2）-B提高練一、選擇題1．（2021·全國高二課時練）函數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．不存在【答案】C【詳解】由題意得，.令，得.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.因此在處取得極小值也是最小值，且最小值為.故選：C.2．（2021·山東泰安實驗高中高二期末）已知函數(shù)在上的最大值為，則a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，當時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有最大值，解得，不符合題意.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，最大值為，不符合題意.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時最大值為，解得，符合題意.故a的值為.故選：A.3．（2021·廣州華南師大附中高二期末）已知函數(shù)在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，.當時，，在上單調(diào)遞增，不合題意.當時，，在上單調(diào)遞減，也不合題意.當時，則時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有兩個零點，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.4．（2021·安徽省阜陽第一中學高二期末）設(shè)函數(shù)，（，為實數(shù)），若存在實數(shù)，使得對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則，若，可得，函數(shù)為增函數(shù)，當時，，不滿足對任意恒成立；若，由，得，則，∴當時，，當時，，∴.若對任意恒成立，則恒成立，若存在實數(shù)，使得成立，則，∴，令，則.∴當時，，當時，，則.∴.則實數(shù)的取值范圍是.5．（多選題）（2021·全國高二專題練）設(shè)的最大值為，則（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】AB【詳解】對于選項A，當時，在區(qū)間上遞減，所以，故選項A正確.對于選項B，當時，，則，在區(qū)間上遞增，即，故選項B正確.對于選項C，當時，當時，恒成立，所以，所以，故選項C錯誤.對于選項D，當時，，則，在區(qū)間上遞增，，故選項D錯誤.故選：AB.6．（多選題）（2020·邵東創(chuàng)新實驗學校高三月考）對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若在上恒成立，則【答案】ACD【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個零點，當時，可得，所以函數(shù)在上沒有零點，綜上可得函數(shù)在只有一個零點，所以B不正確；由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，由于，則，因為，所以，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，即，解得，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.二、填空題7．（2021·湖北黃石高二期末）要設(shè)計一個容積為的下端為圓柱形、上端為半球形的密閉儲油罐，已知圓柱側(cè)面的單位面積造價是下底面積的單位面積造價的一半，而頂部半球面的單位面積造價又是圓柱側(cè)面的單位面積造價的一半，儲油罐的下部圓柱的底面半徑_______時，造價最低．【答案】.【詳解】設(shè)圓柱的高為，圓柱底面單位面積造價為，總造價為，因為儲油罐容積為，所以，整理得：，所以，令，則，當?shù)茫海數(shù)?，所以當時，取最大值，即取得最大值.8．（2020·東莞市東華高級中學高二月考）若函數(shù)的圖象在點處的切線垂直于直線，則函數(shù)的最小值是____.【答案】【詳解】因為且切線垂直于，所以，所以，所以.因為，令，所以，當，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值是，故答案為：.9．（2021·福建屏東中學高二期末）已知，，若存在實數(shù)，滿足，則的最大值為______．【答案】【詳解】解：，且在上單調(diào)遞增，∴，．設(shè)，則，當時，；當時，．∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴．10．（2021·江蘇蘇州市高二期末）已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同的實數(shù)根m，n，則的最大值是_________.【答案】【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由可得，所以，即，不妨設(shè)，則，令，則，所以，令，則，所以當時，；當時，，當時，取得最大值.故答案為：.三、解答題11．（2021·全國高二課時練）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值；.（2）求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方.【詳解】（1）由有，當時，,在區(qū)間上為增函數(shù)，，，（2）設(shè)，則，當時，，且故時，，得證.12．（2021·大連24中高二期末）已知函數(shù)其中（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對于恒成立，求的最大值.【詳解】（1）當時，函數(shù)，可得，則，所以曲線在點處的切線方程為.（2）當時，函數(shù)，可得，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，則令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由，得在上恒成立，設(shè)，則，由，解得，（其中），隨著變化