第5節(jié)科學(xué)驗(yàn)證：機(jī)械能守恒定律【學(xué)習(xí)素養(yǎng)·明目標(biāo)】物理觀念：1.知道機(jī)械能的各種形式，能夠分析動能與勢能(包括彈性勢能和重力勢能)之間的相互轉(zhuǎn)化問題.2.會根據(jù)機(jī)械能守恒的條件判斷機(jī)械能是否守恒，能運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決有關(guān)問題.3.能正確進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，能夠根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論．科學(xué)思維：能從能量轉(zhuǎn)化的角度理解機(jī)械能守恒的條件，領(lǐng)會運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決問題的優(yōu)越性．一、機(jī)械能守恒定律1．機(jī)械能(1)定義：物體的動能與勢能之和稱為機(jī)械能．(2)表達(dá)式：E＝Ek＋Ep.2．重力勢能與動能的轉(zhuǎn)化如圖所示，質(zhì)量為m的木塊，由A自由下落至C，中間經(jīng)過B時(shí)速度為vB，取過C點(diǎn)的平面為參考平面，則(1)在A點(diǎn)的機(jī)械能：EA＝EkA＋EpA＝0＋mgH＝mgH.(2)在B點(diǎn)的機(jī)械能：EB＝EkB＋EpB＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋mgh由于veq\o\al(2,B)＝2g(H－h(huán))，所以EB＝mgH.(3)落至C點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能：EC＝EkC＋EpC＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋0由于veq\o\al(2,C)＝2gH，所以EC＝mgH.(4)結(jié)論：在只有重力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能和重力勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．3．彈性勢能與動能的轉(zhuǎn)化在只有彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與彈性勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．4．機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用(1)內(nèi)容在只有重力或彈力這類力做功的情況下，物體系統(tǒng)的動能與勢能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能的總量保持不變．(2)守恒定律表達(dá)式①eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＋mgh2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mgh1.②Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.(3)守恒條件物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈力做功．二、驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律實(shí)驗(yàn)原理與方法：在只有重力做功的自由落體運(yùn)動中，物體的重力勢能和動能互相轉(zhuǎn)化，但總的機(jī)械能保持不變．若物體某時(shí)刻瞬時(shí)速度為v，下落高度為h，則重力勢能的減少量為mgh，動能的增加量為eq\f(1,2)mv2，看它們在實(shí)驗(yàn)誤差允許的范圍內(nèi)是否相等，若相等，則驗(yàn)證了機(jī)械能守恒定律．1．思考判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)物體所受的合外力為零時(shí)，機(jī)械能一定守恒． (×)(2)做平拋運(yùn)動的物體，其初狀態(tài)動能與重力勢能之和必等于末狀態(tài)的動能與重力勢能之和． (√)(3)在一個運(yùn)動過程中，既有重力做功，又有彈力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能一定不守恒． (×)(4)物體自由下落過程中經(jīng)過A、B兩位置，如圖甲所示，此過程中物體的機(jī)械能一定守恒． (√)(5)物塊沿斜面勻速下滑，如圖乙所示，此過程中物塊機(jī)械能守恒． (×)(6)光滑水平面上，被壓縮的彈簧能將小球向右彈出，如圖丙所示，在彈簧恢復(fù)原狀的過程中，小球的機(jī)械能守恒． (×)2．下面各個實(shí)例中，機(jī)械能守恒的是(g表示重力加速度)()A．物體沿斜面勻速下滑B．物體從高處以0.9g的加速度豎直下落C．物體沿光滑曲面滑下D．拉著一個物體沿光滑的斜面勻速上升C[物體沿斜面勻速下滑，說明物體必定受到摩擦力的作用，所以物體的機(jī)械能不守恒，故A錯誤．物體加速度的大小為0.9g，不是g，說明物體除了受重力之外還要受到阻力的作用，所以物體的機(jī)械能不守恒，故B錯誤．物體沿光滑曲面滑下，在這個過程中只有物體的重力做功，所以機(jī)械能守恒，故C正確．拉著物體沿光滑的斜面勻速上升時(shí)，拉力對物體做正功，物體的機(jī)械能增加，故D錯誤．]3．如圖所示，在水平臺面上的A點(diǎn)，一個質(zhì)量為m的物體以初速度v0被拋出，不計(jì)空氣阻力，當(dāng)它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的動能為()A．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgH B．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mghC．mgH－mgh D．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mg(H－h(huán))B[物體拋出后的運(yùn)動過程中只受重力作用，機(jī)械能守恒，若選地面為參考面，則mgH＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mg(H－h(huán))＋EkB，所以EkB＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh，故選項(xiàng)B正確．]機(jī)械能守恒定律1.機(jī)械能守恒的判斷(1)用做功來判斷：分析物體或系統(tǒng)受力情況(包括內(nèi)力和外力)，明確各力做功的情況，若對物體或系統(tǒng)只有重力或彈簧彈力做功，沒有其他力做功或其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒．(2)用能量轉(zhuǎn)化來判定：若系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，無機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒．2．表達(dá)式及特點(diǎn)表達(dá)式特點(diǎn)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末(從不同狀態(tài)看)即初狀態(tài)的機(jī)械能等于末狀態(tài)的機(jī)械能Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp(從轉(zhuǎn)化角度看)即過程中動能的增加量等于勢能的減少量EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB(從轉(zhuǎn)移角度看)即系統(tǒng)只有A、B兩物體時(shí)，A增加的機(jī)械能等于B減少的機(jī)械能【例1】如圖所示，有一條長為L的均勻金屬鏈條，一半長度在光滑斜面上，另一半長度沿豎直方向下垂在空中，斜面傾角為θ，當(dāng)鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，求鏈條剛好全部滑出斜面時(shí)的速度．思路探究：解答本題時(shí)可按以下思路進(jìn)行分析：[解析]設(shè)斜面的最高點(diǎn)所在的水平面為零勢能參考面，鏈條的總質(zhì)量為m，開始時(shí)斜面上的那部分鏈條的重力勢能為Ep1＝－eq\f(mg,2)·eq\f(L,4)sinθ豎直的那部分鏈條的重力勢能為Ep2＝－eq\f(mg,2)·eq\f(L,4)則開始時(shí)的機(jī)械能為E1＝Ep1＋Ep2＝－eq\f(mg,2)·eq\f(L,4)sinθ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(mg,2)·\f(L,4)))＝－eq\f(mgL,8)(1＋sinθ)當(dāng)鏈條剛好全部滑出斜面時(shí)，重力勢能為Ep＝－mg·eq\f(L,2)動能為Ek＝eq\f(1,2)mv2，則機(jī)械能為E2＝Ep＋Ek＝eq\f(1,2)mv2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)mgL))＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mgL因?yàn)橹挥兄亓ψ龉Γ韵到y(tǒng)機(jī)械能守恒，則由機(jī)械能守恒定律得E1＝E2，即－eq\f(mgL,8)(1＋sinθ)＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mgL解得v＝eq\f(1,2)eq\r(gL3－sinθ).[答案]eq\f(1,2)eq\r(gL3－sinθ)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的一般步驟(1)正確選取研究對象(物體或系統(tǒng))，確定研究過程；(2)進(jìn)行受力分析，考查守恒條件；(3)選取零勢能平面，確定初、末狀態(tài)機(jī)械能；(4)運(yùn)用守恒定律，列出方程求解．1．(多選)如圖，物體m機(jī)械能守恒的是(均不計(jì)空氣阻力)()eq\o(\a\al(物塊沿固定斜面物塊在F作用下沿固定,勻速下滑光滑斜面上滑,AB))eq\o(\a\al(小球由靜止沿光滑半圓細(xì)線拴住小球繞O,形固定軌道下滑點(diǎn)來回?cái)[動,CD))CD[物塊沿固定斜面勻速下滑，在斜面上物塊受力平衡，重力沿斜面向下的分力與摩擦力平衡，摩擦力做負(fù)功，機(jī)械能減少，A選項(xiàng)錯誤；物塊在力F作用下沿固定光滑斜面上滑時(shí)，力F做正功，機(jī)械能增加，B選項(xiàng)錯誤；小球沿光滑半圓形固定軌道下滑，只有重力做功，小球機(jī)械能守恒，C選項(xiàng)錯誤；用細(xì)線拴住小球繞O點(diǎn)來回?cái)[動，只有重力做功，小球機(jī)械能守恒，D選項(xiàng)正確．]2．如圖所示，質(zhì)量m＝70kg的運(yùn)動員以10m/s的速度，從高h(yuǎn)＝10m的滑雪場上A點(diǎn)沿斜坡自由滑下，一切阻力可忽略不計(jì)，以B點(diǎn)所在的水平面為參考平面，g取10m/s2，求：(1)運(yùn)動員在A點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能；(2)運(yùn)動員到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)的速度大??；(3)若運(yùn)動員繼續(xù)沿斜坡向上運(yùn)動，他能到達(dá)的最大高度．[解析](1)EA＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh＝10500J.(2)由機(jī)械能守恒得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh所以vB＝10eq\r(3)m/s.(3)由機(jī)械能守恒得mgH＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh得H＝15m.[答案](1)10500J(2)10eq\r(3)m/s(3)15m驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律1.實(shí)驗(yàn)步驟①如圖所示，把打點(diǎn)計(jì)時(shí)器安裝在鐵架臺上，并將打點(diǎn)計(jì)時(shí)器接到電源上．②把紙帶的一端和重物用夾子固定好，另一端穿過打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的限位孔，用手豎直提起紙帶使重物?？吭诖螯c(diǎn)計(jì)時(shí)器附近．③先接通電源，然后松手，讓重物帶著紙帶自由下落．重復(fù)幾次，得到3～5條打好點(diǎn)的紙帶．④在打好點(diǎn)的紙帶中挑選一條點(diǎn)跡清晰的紙帶，在起始點(diǎn)標(biāo)上O，以后的點(diǎn)依次標(biāo)上1,2,3，…，用刻度尺測出對應(yīng)下落的高度h1，h2，h3….⑤應(yīng)用公式vn＝eq\f(hn＋1－h(huán)n－1,2T)計(jì)算各點(diǎn)對應(yīng)的瞬時(shí)速度．⑥計(jì)算出ghn和eq\f(1,2)veq\o\al(2,n)的值，進(jìn)行比較，得出結(jié)論．2．?dāng)?shù)據(jù)處理方法一：利用起始點(diǎn)和第n點(diǎn)計(jì)算將相關(guān)數(shù)據(jù)代入mghn和eq\f(1,2)mveq\o\al(2,n)，如果在實(shí)驗(yàn)誤差允許的條件下，若mghn和eq\f(1,2)mveq\o\al(2,n)相等，則驗(yàn)證了機(jī)械能守恒定律．方法二：任取兩點(diǎn)計(jì)算任取兩點(diǎn)A、B，測出hAB，計(jì)算出mghAB的值．計(jì)算出eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)的值．在實(shí)驗(yàn)誤差允許的條件下，若mghAB＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)成立，則驗(yàn)證了機(jī)械能守恒定律．方法三：圖像法從紙帶上選取多個點(diǎn)，測量從第一個點(diǎn)到選取各點(diǎn)的下落高度h，并計(jì)算出各點(diǎn)速度的二次方v2，然后以eq\f(1,2)v2為縱軸，以h為橫軸，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪出eq\f(1,2)v2-h圖像．若在實(shí)驗(yàn)誤差允許的范圍內(nèi)，圖像是一條過原點(diǎn)且斜率為g的直線，則驗(yàn)證了機(jī)械能守恒定律．【例2】在用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律的實(shí)驗(yàn)中，使質(zhì)量為m＝1.00kg的重物自由下落，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器在紙帶上打出一系列的點(diǎn)，選取一條符合實(shí)驗(yàn)要求的紙帶，如圖所示．O為第1個點(diǎn)，A、B、C為從合適位置開始選取連續(xù)點(diǎn)中的三個點(diǎn)．已知打點(diǎn)計(jì)時(shí)器每隔0.02s打一個點(diǎn)，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間＝9.80m/s2，那么：(1)根據(jù)圖上所得的數(shù)據(jù)，應(yīng)取圖中O點(diǎn)到點(diǎn)來驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律．(2)從O點(diǎn)到(1)問中所取的點(diǎn)，重物重力勢能的減少量ΔEp＝J，動能增加量ΔEk＝J．(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)[解析](1)由題圖中所給數(shù)據(jù)只能計(jì)算出B點(diǎn)的瞬時(shí)速度，故選OB做研究．(2)vB＝eq\f(sAC,tAC)＝eq\f(23.23－15.55,2×0.02)×10－2m/s＝1.92m/s，ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)×1.00×1.922J＝1.84J，ΔEp＝mgsOB＝1.00×9.80×19.20×10－2J＝1.88J.[答案](1)B(2)1.881.84減小實(shí)驗(yàn)誤差的方法應(yīng)盡可能控制實(shí)驗(yàn)滿足機(jī)械能守恒的條件，這就要求盡量減小各種阻力的影響，采取的措施有：(1)安裝打點(diǎn)計(jì)時(shí)器時(shí)，必須使兩個限位孔的中線嚴(yán)格豎直，以減小摩擦阻力．(2)應(yīng)選用質(zhì)量和密度較大的重物，增大重力可使阻力的影響相對減小，增大密度可以減小體積，使空氣阻力減?。?．在“驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律”的實(shí)驗(yàn)中，質(zhì)量m＝1kg的重物自由下落，在紙帶上打出一系列的點(diǎn)，如圖所示(相鄰兩計(jì)數(shù)點(diǎn)時(shí)間間隔為0.02s)，單位為cm，那么(1)紙帶的端與重物相連．(2)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打下計(jì)數(shù)點(diǎn)B時(shí)，重物的速度vB＝.(3)從起點(diǎn)O到打下計(jì)數(shù)點(diǎn)B的過程中重物重力勢能減少量是ΔEp＝J，此過程中重物動能的增加量ΔEk＝J(g取9.8m/s2)．(4)通過計(jì)算，數(shù)值上ΔEpΔEk(選填“>”“＝”或“<”)，這是因?yàn)椋甗解析](1)重物下落的過程中，重物的速度越來越大，打的點(diǎn)間距應(yīng)當(dāng)越來越大，故O端與重物相連．(2)B點(diǎn)瞬時(shí)速度等于AC段的平均速度vB＝eq\f(hAC,2T)＝eq\f(7.06－3.14×10－2,2×0.02)m/s＝0.98m/s.(3)重力勢能減少量ΔEp＝mgh＝1×9.8×0.0501J≈0.491J動能的增加量ΔEk＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)×1×0.982J≈0.480J.(4)計(jì)算得出ΔEp>ΔEk.這是因?yàn)橹匚镌谙侣溥^程中還須克服摩擦阻力做功．[答案](1)O(2)0.98m/s(3)0.4910.480(4)>重物在下落過程中還須克服摩擦阻力做功1．下列說法正確的是()A．機(jī)械能守恒時(shí)，物體一定不受阻力B．機(jī)械能守恒時(shí)，物體一定只受重力和彈力作用C．物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，機(jī)械能必守恒D．物體所受的外力不等于零，其機(jī)械能也可以守恒D[機(jī)械能守恒的條件是只有重力做功或系統(tǒng)內(nèi)物體間的彈力做功．機(jī)械能守恒時(shí)，物體或系統(tǒng)可能不只受重力和彈力作用，也可能受其他力，但其他力不做功或做的總功一定為零，A、B錯；物體沿斜面勻速下滑時(shí)，它處于平衡狀態(tài)，但機(jī)械能不守恒，C錯；物體做自由落體運(yùn)動時(shí)，合力不為零，但機(jī)械能守恒，D對．]2．一個質(zhì)量為m的滑塊，以初速度v0沿光滑斜面向上滑行，當(dāng)滑塊從斜面底端滑到高為h的地方時(shí)，以斜面底端為參考平面，滑塊的機(jī)械能是()A．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0) B．mghC．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh D．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－mghA[在整個過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，總量都是eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，因在高度h處，速度可能不為零，所以B項(xiàng)錯誤；C、D也錯誤．]3.長為L的均勻鏈條，放在光滑的水平桌面上，且使其eq\f(1,4)L垂在桌邊，如圖所示，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時(shí)的速度大小為多少？[解析]設(shè)整條鏈質(zhì)量為m，取桌面為參