2024屆上海市同濟大學一附中高一下數(shù)學期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將兩個長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個面完全重合，組成一個大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．2．已知a，b，c為實數(shù)，則下列結論正確的是（）A．若ac＞bc＞0，則a＞b B．若a＞b＞0，則ac＞bcC．若ac2＞bc2，則a＞b D．若a＞b，則ac2＞bc23．在計算機BASIC語言中，函數(shù)表示整數(shù)a被整數(shù)b除所得的余數(shù)，如.用下面的程序框圖，如果輸入的，，那么輸出的結果是（）A．7 B．21 C．35 D．494．已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍（）A． B．C． D．5．已知角α的終邊上有一點P（sin，cos），則tanα=（）A． B． C． D．6．若圓的半徑為4，a、b、c為圓的內接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為()A．2 B．8 C． D．7．“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件8．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以為直徑作兩個半圓，在扇形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．9．若，則的坐標是()A． B． C． D．10．在中，設角的對邊分別為．若，則是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則函數(shù)的最小值是_________.12．如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)．現(xiàn)從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為．13．若角的終邊經過點，則______.14．若，則__________．15．如圖，邊長為2的菱形的對角線相交于點，點在線段上運動，若，則的最小值為_______.16．己知函數(shù)，，則的值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，，且.（1）求邊長；（2）求邊上中線的長.18．等差數(shù)列中，，.（1）求通項公式；（2）若，求的最小值.19．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b．①記“”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間內任取2個實數(shù)，求事件“恒成立”的概率．20．已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心位于軸正半軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于13.（1）求圓的標準方程：（2）設過點的直線與圓交于不同的兩點，，以，為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，請說明理由.21．在等差數(shù)列中，已知．（1）求通項；（2）求的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

要計算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長方體的對角線是外接球的直徑這一性質，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個面重合；（2）長高的兩個面重合；（3）高寬兩個面重合，分別計算出新長方體的對角線，然后分別計算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【詳解】（1）當長寬的兩個面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當長高兩個面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當寬高兩個面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點睛】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計算公式，考查了數(shù)學運算能力.2、C【解析】

本題可根據(jù)不等式的性質以及運用特殊值法進行代入排除即可得到正確結果．【詳解】由題意，可知：對于A中，可設，很明顯滿足，但，所以選項A不正確；對于B中，因為不知道的正負情況，所以不能直接得出，所以選項B不正確；對于C中，因為，所以，所以，所以選項C正確；對于D中，若，則不能得到，所以選項D不正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了不等式性質的應用以及特殊值法的應用，著重考查了推理能力，屬于基礎題．3、B【解析】

模擬執(zhí)行循環(huán)體，即可得到輸出值.【詳解】，，，，繼續(xù)執(zhí)行得，，繼續(xù)執(zhí)行得，，結束循環(huán)，輸出.故選：B.【點睛】本題考查循環(huán)體的執(zhí)行，屬程序框圖基礎題.4、B【解析】

利用直線斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】由直線的方程為，所以，即直線的斜率，由.所以，又直線的傾斜角的取值范圍為，由正切函數(shù)的性質可得：直線的傾斜角為.故選：B【點睛】本題考查了直線的斜率與傾斜角之間的關系，同時考查了正弦函數(shù)的值域以及正切函數(shù)的性質，屬于基礎題.5、A【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得tanα的值．【詳解】解：∵角α的終邊上有一點P（sin，cos），∴x＝sin，y＝cos，∴則tanα，故選A．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．6、C【解析】

試題分析：由正弦定理可知，∴，∴．考點：正弦定理的運用．7、A【解析】

數(shù)列是等比數(shù)列與命題是等比數(shù)列是否能互推，然后根據(jù)必要條件、充分條件和充要條件的定義進行判斷．【詳解】若數(shù)列是等比數(shù)列，則，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，若數(shù)列是等比數(shù)列，則，∴，∴數(shù)列不是等比數(shù)列，∴數(shù)列是等比數(shù)列是數(shù)列是等比數(shù)列的充分非必要條件，故選：A．【點睛】本題主要考查充分不必要條件的判斷，注意等比數(shù)列的性質的靈活運用，屬于基礎題．8、A【解析】試題分析：設扇形半徑為，此點取自陰影部分的概率是，故選B.考點：幾何概型.【方法點晴】本題主要考查幾何概型，綜合性較強，屬于較難題型.本題的總體思路較為簡單：所求概率值應為陰影部分的面積與扇形的面積之比．但是，本題的難點在于如何求陰影部分的面積，經分析可知陰影部分的面積可由扇形面積減去以為直徑的圓的面積，再加上多扣一次的近似“橢圓”面積．求這類圖形面積應注意切割分解，“多還少補”.9、C【解析】

，.故選C.10、D【解析】

根據(jù)正弦定理，將等式中的邊a,b消去，化為關于角A,B的等式，整理化簡可得角A,B的關系，進而確定三角形．【詳解】由題得，整理得，因此有，可得或，當時，為等腰三角形；當時，有，為直角三角形，故選D．【點睛】這一類題目給出的等式中既含有角又含有邊的關系，通常利用正弦定理將其都化為關于角或者都化為關于邊的等式，再根據(jù)題目要求求解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值.【詳解】，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，因此，當時，函數(shù)的最小值是.故答案為：.【點睛】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查計算能力，屬于基礎題.12、．【解析】試題分析：從中任取3個不同的數(shù)，有，，，，，，，，，共10種，其中只有為勾股數(shù)，故這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為．考點：用列舉法求隨機事件的概率．13、【解析】

利用三角函數(shù)的定義可計算出，然后利用誘導公式可計算出結果.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，由誘導公式可得.故答案為：.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義和誘導公式求值，考查計算能力，屬于基礎題.14、；【解析】

把分子的1換成，然后弦化切，代入計算．【詳解】．故答案為－1．【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值．解題關鍵是“1”的代換，即，然后弦化切．15、【解析】

以為原點建立平面直角坐標系，利用計算出兩點的坐標，設出點坐標，由此計算出的表達式，，進而求得最值.【詳解】以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，設，則①，由得②，由①②解得，故.設，則，當時取得最小值為.故填：.【點睛】本小題主要考查平面向量的坐標運算，考查向量數(shù)量積的坐標表示以及數(shù)量積求最值，考查二次函數(shù)的性質，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.16、1【解析】

將代入函數(shù)計算得到答案.【詳解】函數(shù)故答案為：1【點睛】本題考查了三角函數(shù)的計算，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用同角的三角函數(shù)關系，可以求出的值，利用三角形內角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出長；（2）利用余弦定理可以求出的長，進而可以求出的長，然后在中，再利用余弦定理求出邊上中線的長.【詳解】（1），，由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中點，故，在中，由余弦定理可知：【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函數(shù)關系、以及三角形內角和定理，考查了數(shù)學運算能力.18、（1）；（2）【解析】

（1）等差數(shù)列中，由，，能求出通項公式．（2）利用等差數(shù)列前項和公式得到不等式，即可求出的最小值．【詳解】解：（1）等差數(shù)列中，，．通項公式，即（2），，解得（舍去或，，的最小值為1．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、項數(shù)的求法，考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．19、（1）；（2）P＝．【解析】

試題分析：（1）依題意共有小球n＋2個，標號為2的小球有n個，從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率為，解得n＝2；（2）①從袋子中不放回地隨機抽取2個小球共有12種結果，而滿足2≤a＋b≤3的結果有8種，故；②由①知，，故，（x，y）可以看成平面中的點的坐標，則全部結果所構成的區(qū)域為，由集合概型得概率為．考點：考查了古典概型和幾何概型．點評：解本題的關鍵是掌握古典概型和集合概型的概率公式，并能正確應用．20、(1).(2)不存在這樣的直線.【解析】

試題分析：（I）用待定系數(shù)法即可求得圓C的標準方程；（Ⅱ）首先考慮斜率不存在的情況.當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l與圓C相交于不同的兩點，那么Δ>0.由題設及韋達定理可得k與x1、x2之間關系式，進而求出k的值.若k的值滿足Δ>0，則存在；若k的值不滿足Δ>0，則不存在.試題解析：（I）設圓C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由題意知解得a=1或a=，又∵S=πR2<13，∴a=1，∴圓C的標準方程為：(x-1)2+y2=1．（Ⅱ）當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵l與圓C相交于不同的兩點，聯(lián)立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，∴Δ=(6k-2)2-21(1+k2)=3k2-6k-5>0