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〔〕〔Ａ〕有且只有一個(gè) 〔Ｂ〕可能存在也可能不存在〔Ｃ〕有無(wú)數(shù)多個(gè) 〔Ｄ〕一定不存在〔Ｂ〕解析：假設(shè)存在，則a⊥b，而由條件知，a不一定與b垂直．372.在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，假設(shè)E是A1C1〔Ａ〕AC 〔Ｂ〕BD 〔Ｃ〕A1D 〔Ｄ〕A1D1解析：〔Ｂ〕BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．373.定點(diǎn)P不在△ABC所在平面內(nèi)，過(guò)P作平面α，使△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有 〔〕〔Ａ〕１個(gè) 〔Ｂ〕２個(gè) 〔Ｃ〕３個(gè) 〔Ｄ〕４個(gè)解析：D過(guò)P作一個(gè)與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374.P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是，，，則P到A點(diǎn)的距離是 〔〕〔Ａ〕１ 〔Ｂ〕２ 〔Ｃ〕 〔Ｄ〕４解析：〔A〕設(shè)AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a2+h2=5,b2+h2=13,a2+b2+h2=17,∴h=1．375.線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B到平面α的距離分別為6cm,9cm,P在線(xiàn)段AB上，AP：PB＝１：２，則P到平面α的距離為．解析：７cm或１cm．分A，B在平面α的同側(cè)與異側(cè)兩種狀況．同側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為＝７〔cm〕，異側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為＝１〔cm〕．376.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C到平面α的距離分別為2cm,3cm,4cm,且它們?cè)讦恋耐粋?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為．解析：3cm．＝3cm．377.Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝６，BC＝８，EC⊥平面ABC，且EC＝１２，則ED＝．解析：１３．AB＝１０，∴CD＝５，則ED＝＝１３．378.如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：〔１〕A1B與平面A1B1CD所成的角；〔２〕B1B在平面A1C1解析：求線(xiàn)面成角，一定要找準(zhǔn)斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影．〔１〕先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即從B向平面A1B1CD作垂線(xiàn)，一定要證實(shí)它是平面A1B1CD的垂線(xiàn)．這里可證BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足，∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影．〔２〕假設(shè)將平面D1D1BB豎直放置在正前方，則A1C1橫放在正前方，估計(jì)B1B在平面A1C1B內(nèi)的射影應(yīng)落在O1B上，這是因?yàn)锳1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H時(shí)，BH1⊥A1C1，即H為B1在平面A1C1B內(nèi)的射影．另在求此角大小時(shí)，只要求∠解析：〔１〕如圖，連結(jié)BC1，交B1C于O，連A1O．∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1∴BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足，∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影，則∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．sin∠BA1O＝，∴∠BA1O＝３０°．〔２〕連結(jié)A1C1交B1D1于O1，連BO1作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C∴∠B1BO1為B1B與平面A1C1tan∠B1BO=，即B1B與平面A1C1B所成的角的正切值為．379.Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC＝３６，假設(shè)平面ABC外一點(diǎn)P與平面A，B，C三點(diǎn)等距離，且P到平面ABC的距離為８０，M為AC的中點(diǎn)．〔１〕求證：PM⊥AC；〔２〕求P到直線(xiàn)AC的距離；〔３〕求PM與平面ABC所成角的正切值．解析：點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)等距離，則P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心，而△ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點(diǎn)．證實(shí)〔１〕∵PA＝PC，M是AC中點(diǎn)，∴PM⊥AC解〔２〕∵BC＝３６，∴MH＝１８，又PH＝８０，∴PM＝，即P到直線(xiàn)AC的距離為８２；〔３〕∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC內(nèi)的射線(xiàn)為△ABC的外心，∵∠C=90°∴P在平面ABC內(nèi)的射線(xiàn)為AB的中點(diǎn)H?！逷H⊥平面ABC，∴HM為PM在平面ABC上的射影，則∠PMH為PM與平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝380.如圖，在正四面體ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面體，M為AD的中點(diǎn)，求CM與平面BCD所成角的余弦值．解析：要作出CM在平面BCD內(nèi)的射影，關(guān)鍵是作出M在平面BCD內(nèi)的射影，而M為AD的中點(diǎn)，故只需觀(guān)察A在平面BCD內(nèi)的射影，至此問(wèn)題解法已明朗．解作AO⊥平面BCD于O，連DO，作MN⊥平面BCD于N，則N∈OD．設(shè)AD＝a，則OD＝，∴AO＝，∴MN＝．又∵CM＝，∴CN＝．∴CM與平面BCD所成角的余弦值為．381.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中點(diǎn)，N在A(yíng)B上，且AN∶NB＝１∶３，求證：C1解析：在空間中作出兩條直線(xiàn)垂直相對(duì)較在平面內(nèi)作兩條直線(xiàn)垂直難．此題C1M與MN是相交直線(xiàn)，一種方法可通過(guò)勾股定理來(lái)驗(yàn)證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面A1ABB1內(nèi)的一條直線(xiàn)，可合計(jì)MC1在平面A1ABB1證實(shí)１設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為ａ，則MN＝，C1M＝，C1N＝，∵M(jìn)N２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥證實(shí)２連結(jié)B1M，∵C1B1⊥平面A1ABB1∴B1M為C1M在平面A1ABB1設(shè)棱長(zhǎng)為a，∵AN＝，AM＝，∴tan∠AMN＝，又tan∠A1B1M＝，則∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M由三垂線(xiàn)定理知，C1M⊥MN382.如圖，ABCD為直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝９０°，AB＝BC＝a，AD＝２a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．求證：PC⊥CD；求點(diǎn)B到直線(xiàn)PC的距離．解析：〔１〕要證PC與CD垂直，只要證實(shí)AC與CD垂直，可按實(shí)際情形畫(huà)出底面圖形進(jìn)行證實(shí)．〔２〕從B向直線(xiàn)PC作垂直，可利用△PBC求高，但需求出三邊，并推斷其形狀〔事實(shí)上，這里的∠PBC＝９０°〕；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平面PAC的斜線(xiàn)，故關(guān)鍵在于找出B在平面PAC內(nèi)的射影，因平面PAC處于“豎直狀態(tài)〞，則只要從B作“水平〞的垂線(xiàn)，可見(jiàn)也只要從B向AC作垂線(xiàn)便可得其射影．證實(shí)〔１〕取AD的中點(diǎn)E，連AC，CE，則ABCE是正方形，△CED為等腰直角三角形．∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD；解〔２〕連BE交AC于O，則BE⊥AC，又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC．過(guò)O作OH⊥PC于H，連BH，則BH⊥PC．∵PA＝a，AC＝，∴PC＝，則OH＝，∵BO＝，∴BH＝383.四面體ABCD的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有 〔〕〔Ａ〕１個(gè) 〔Ｂ〕２個(gè)〔Ｃ〕３個(gè) 〔Ｄ〕４個(gè)解析：〔D〕設(shè)底面為直角三角形，從底面的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，則這樣的四面體的每個(gè)面都是直角三角形．384.直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)C在平面α外，C在平面α內(nèi)的射影為C1，且C1AB，則△C1AB為 〔〕〔Ａ〕銳角三角形 〔Ｂ〕直角三角形〔Ｃ〕鈍角三角形 〔Ｄ〕以上都不對(duì)解析：〔C〕∵C1A2+C1B2<CA2+CB2＝AB,∴∠AC1B為鈍角，則△C1385.△ABC在平面α內(nèi)，∠C＝90°，點(diǎn)Ｐα，PA=PB=PC=7,AB=10,則點(diǎn)P到平面α的距離等于解析：．∵PA＝PB＝PC,∴P在平面α內(nèi)的射影為△ABC的外心Ｏ，∵∠C＝90°，∴Ｏ為AB的中點(diǎn)，∵AO＝５，PA＝７，∴PO＝386.P是邊長(zhǎng)為a的六邊形ABCDEF所成平面外一點(diǎn)，PA⊥AB，PA⊥AF，PA＝a，則點(diǎn)P到邊CD的距離是解析：2a．PA⊥平面ABCDEF，A到CD的距離為，∴P到邊CD的距離是2a387.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．求證：MN⊥CD；假設(shè)∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD．證實(shí)〔１〕連AC∩BD＝O，連NO，MO，則NO∥PA．∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD．∵M(jìn)O⊥AB，∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴MN⊥CD；〔２〕∵∠PDA＝45°，∴PA＝AD，由△PAM≌△CBM得PM＝CM，∵N為PC中點(diǎn)，∴MN⊥PC．又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．388.如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PCD是邊長(zhǎng)等于2cm的等邊三角形，底面ABCD是面積為2cm2的菱形，∠ADC是銳角.求證：PA⊥CD證實(shí)：設(shè)∠ADC=θ，則：由SABCD=2,CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60°∴△ACD是等邊三角形，取CD中點(diǎn)E連AE、PE，則AE⊥CD，PE⊥CDAE⊥CD，PE⊥CD∴CD⊥平面PAE∴CD⊥PA389.設(shè)P點(diǎn)在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP兩兩垂直；又是的重心；為上一點(diǎn)，；為上一點(diǎn)，；，如圖(1)求證：GF⊥平面PBC；(2)求證：EF⊥BC。解析：(1)連結(jié)BG并延長(zhǎng)交PA于M.G為△ABP的重心注

要充分注意平面幾何中的知識(shí)(如本題中三角形重心性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等)在證題中的運(yùn)用。390.已知α∩β=C，a∥b,aα,bβ,Aa,AE⊥b于E，AF⊥c于F，求證：a⊥EF解析：b∥a,b,aα,∴b∥α又bβ，α∩β=c∴b∥c,又AF⊥c∴AF⊥b又AE⊥b,AE∩AF=A∴b⊥平面AEFa∥b∴a⊥平面AEFEF平面AEF∴a⊥EF391.如圖，△ABC為銳角三角形，PA⊥平面ABC，A點(diǎn)在平面PBC上的射影為H，求：H不可能是△PBC的垂心．解析：連結(jié)CH，則CH是AC在平面PBC內(nèi)的射影，假設(shè)H為垂心，則CH⊥PB，由三垂線(xiàn)定理得AC⊥PB，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，從而AC⊥AB與△ABC為銳角三角形矛盾，故H不可能是垂心．392.如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影．〔1〕求PB與平面BCD所成角；〔2〕求BP與平面PCD所成的角解析：〔1〕PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂線(xiàn)定理得BC⊥BD，∴BP=CD，設(shè)BC=a，則BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，cos∠DBP=∴∠DBP=45°,即PB與平面BCD所成角為45°．〔2〕過(guò)B作BE⊥CD于E，連結(jié)PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a,BP=a,∴∠BPE=30°即BP與平面PCD所成角為30°．PABC393.PABC解析：如圖，正四棱錐P—ABCD的一個(gè)對(duì)角面△PAC。設(shè)棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，斜高為h′，底面中心為O，連PO，則PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AC，在△PAC中，AC=，PO=h，PABCPABCDOE在△PBC中，°∴∴h:h′=.取BC中點(diǎn)E，連OE，PE，可證∠PEO即為側(cè)面與底面所成兩面角的平面角。在Rt△POE中，sin∠PEO=，∴∠PEO=，即側(cè)面與底面所成的角為.394.如右圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側(cè)棱與底面成60〔1〕求證：AC⊥面ABC1；〔2〕求證：C1點(diǎn)在平面ABC上的射影H在直線(xiàn)AB上；〔3〕求此三棱柱體積的最小值。解析：〔1〕由棱柱性質(zhì)，可知A1C1∵A1C1BC1，∴ACBC1，又∵ACAB，∴AC平面ABC1〔2〕由〔1〕知AC平面ABC1，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC1在平面ABC1內(nèi)，過(guò)C1作C1HAB于H，則C1H平面ABC，故點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H在直線(xiàn)AB上?！?〕連結(jié)HC，由〔2〕知C1H平面ABC，∴∠C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角，∴∠C1CH=60°，C1H=CH·tan60°=V棱柱=∵CAAB，∴CH，所以棱柱體積最小值3。395.已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=900，∠BAC=300，BC=1，AA1=，M為CC1中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M解析：因結(jié)論是線(xiàn)線(xiàn)垂直，可合計(jì)用三垂線(xiàn)定理或逆定理∵∠ACB=900∴∠A1C1B1=90即B1C1⊥C1又由CC1⊥平面A1B1C1得：CC1⊥B1∴B1C1⊥平面AA∴AC1為AB1在平面AA1C由三垂線(xiàn)定理，下證AC1⊥A1M在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=，AA1=CC1∵，∴∴Rt△A1C1M∽R(shí)t△∴∠1=∠2又∠2+∠3=900∴∠1+∠3=900∴AC1⊥A1∴AB1⊥A1評(píng)注：利用三垂線(xiàn)定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線(xiàn)396.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，在側(cè)棱BB1上截取BD=，在側(cè)棱CC1上截取CE=a，過(guò)A、D、E作棱柱的截面ADE〔1〕求△ADE的面積；〔2〕求證：平面ADE⊥平面ACC1A1。解析：分別在三個(gè)側(cè)面內(nèi)求出△ADE的邊長(zhǎng)AE=a，AD=a，DE=∴截面ADE為等腰三角形S=〔2〕∵底面ABC⊥側(cè)面AA1∴△ABC邊AC上的高BM⊥側(cè)面AA1下設(shè)法把BM平移到平面AED中去取AE中點(diǎn)N，連MN、DN∵M(jìn)NEC，BDEC∴MNBD∴DN∥BM∴DN⊥平面AA1∴平面ADE⊥平面AA1397.斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形，側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角，AA1〔1〕求證：AA1⊥BC；〔2〕求斜三棱柱ABC—A1B1C1的全面積；〔3〕求斜三棱柱ABC—A1B1C1的體積；〔4〕求AA1到側(cè)面BB1解析：設(shè)A1在平面ABC上的射影為0∵∠A1AB=∠A1∴O在∠BAC的平行線(xiàn)AM上∵△ABC為正三角形∴AM⊥BC又AM為A1A∴A1A⊥〔2〕∵B1B∥A1∴B1B⊥BC，即側(cè)面BB1C∴又∴S全=〔3〕∵cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB∴cos∠A1AO=∴sin∠A1AO=∴A1O=A1Asin∠A1AO=∴〔4〕把線(xiàn)A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A為了找到A1在側(cè)面BB1C1C設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1∵BC⊥AM，BC⊥A1∴BC⊥平面AA1∴平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC在平行四邊形AA1M過(guò)A1作A1H⊥M1M則A1H⊥側(cè)面BB1∴線(xiàn)段A1H長(zhǎng)度就是A1A到側(cè)面BB1∴398.平面α內(nèi)有半徑為R的⊙O，過(guò)直徑AB的端點(diǎn)A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一點(diǎn)，∠CAB=600，求三棱錐P—OBC的側(cè)面積。解析：三棱錐P—OBC的側(cè)面由△POB、△POC、△PBC三個(gè)三角形組成在求出邊長(zhǎng)元素后，求三角形面積時(shí)，應(yīng)注意分析三角形的形狀，簡(jiǎn)化計(jì)算∵PA⊥平面ABC∴PA⊥AO，AC為PC在平面ABC上的射影∵BC⊥AC∴BC⊥PCPOB中，PBC中，BC=ABsin600=2a∴AC=a∴PC=∴POC中，PO=PC=，OC=a∴∴S側(cè)=399.四棱錐V—ABCD底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠BAD=1200，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，〔1〕求點(diǎn)V到CD的距離；〔2〕求點(diǎn)V到BD的距離；〔3〕作OF⊥VC，垂足為F，證實(shí)OF是BD與VC的公垂線(xiàn)段；〔4〕求異面直線(xiàn)BD與VC間的距離。解析：用三垂線(xiàn)定理作點(diǎn)到線(xiàn)的垂線(xiàn)在平面ABCD內(nèi)作AE⊥CD，E為垂足∵VA⊥平面ABCD∴AE為VE在平面ABCD上的射影∴VE⊥CD∴線(xiàn)段VE長(zhǎng)為點(diǎn)V到直線(xiàn)CD的距離∵∠BAD=1200∴∠ADC=600∴△ACD為正三角形∴E為CD中點(diǎn)，AE=∴VE=〔2〕∵AO⊥BD∴由三垂線(xiàn)定理VO⊥BD∴VO長(zhǎng)度為V到直線(xiàn)BD距離VO=〔3〕只需證OF⊥BD∵BD⊥HC，BD⊥VA∴BD⊥平面VAC∴BD⊥OF∴OF為異面直線(xiàn)BD與VC的公垂線(xiàn)〔4〕求出OF長(zhǎng)度即可在Rt△VAC中OC=AC=2，VC=∴OF=OC·sin∠ACF=OC·400.斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1解析：∵A1A=A1B=A∴點(diǎn)A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在∠BAC平分線(xiàn)AD上∵AB=AC∴AD⊥BC∵AD為A1A∴BC⊥AA1∴BC⊥BB1∴BB1C1C為矩形，S=BB取AB中點(diǎn)E，連A1E∵A1A=A1∴A1E⊥AB∴∴∴S側(cè)=396401.如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜邊AB上的點(diǎn)，以CD為棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎樣的位置時(shí)，AB為最小，最小值是多少?解析：設(shè)∠ACD＝θ，則∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因?yàn)锳—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM與BN成90°的角，于是AB＝＝≥.∴當(dāng)θ＝45°即CD是∠ACB的平分線(xiàn)時(shí)，AB有最小值，最小值為.402.自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線(xiàn)，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補(bǔ).已知：從二面角α—AB—β內(nèi)一點(diǎn)P，向面α和β分別引垂線(xiàn)PC和PD，它們的垂足是C和D.求證：∠CPD和二面角的平面角互補(bǔ).證：設(shè)過(guò)PC和PD的平面PCD與棱AB交于點(diǎn)E，∵PC⊥α，PD⊥β∴PC⊥AB，PD⊥AB∴CE⊥AB，DE⊥AB又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角.在四邊形PCED內(nèi)：∠C＝90°，∠D＝90°∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互補(bǔ).403.求證：在已知二面角，從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，到二面角兩個(gè)面的距離的比是一個(gè)常數(shù).已知：二面角α—ED—β，平面過(guò)ED，A∈，AB⊥α⊥β，垂足是C.求證：AB∶AC＝k(k為常數(shù))證實(shí)：過(guò)AB、AC的平面與棱DE交于點(diǎn)F，連結(jié)AF、BF、CF.∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.∠BFA，∠AFC分別為二面角α—DE—，—DE—β的平面角，它們?yōu)槎ㄖ?在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：＝＝定值.404.如果直線(xiàn)l、m與平面α、β、滿(mǎn)足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有()A.α⊥且l⊥mB.α⊥且m∥β∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥解析：∵mα,m⊥.∴α⊥.又∵m⊥,β∩＝l.∴m⊥l.∴應(yīng)選A.說(shuō)明本題考查線(xiàn)面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理推斷能力及空間想象能力.405.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函數(shù)表示)；(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′為矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，∴sin∠CDD′＝＝∴CD＝a∴D′D＝2a∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC又在RtΔABC中，AC＝＝a,∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.在RtΔPAB中，可得PB＝a.在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.在RtΔPAD中，PD＝＝a.∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2∴cos∠PCD＜0，則∠PCD＞90°∴作PE⊥CD于E，E在DC延長(zhǎng)線(xiàn)上，連AE，由三垂線(xiàn)定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP為二面角P—CD—A的平面角.在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a.在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.∴∠AEP＝arctan，即二面角P—CD—A的大小為arctan.(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.AH為點(diǎn)A到平面PBC的距離.在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.即A到平面PBC的距離為a.說(shuō)明(1)中輔助線(xiàn)AE的具體位置可以不確定在DC延長(zhǎng)線(xiàn)上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，從而∠PEA為所求，同樣可得結(jié)果，避免過(guò)多的推算.(2)中距離的計(jì)算，在學(xué)習(xí)幾何體之后可用“等體積法〞求.406.如圖，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn).(1)求二面角α—l—β的大?。?2)求證：MN⊥AB；(3)求異面直線(xiàn)PA與MN所成角的大小.解析：(1)連PD，∵ABCD為矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥⊥l，∴PD⊥l.∵P、D∈β，則∠PDA為二面角α—l—β的平面角.∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α—l—β的大小為45°.(2)過(guò)M作ME∥AD，交CD于E，連結(jié)NE，則ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB(3)過(guò)N作NF∥CD，交PD于F，則F為PD的中點(diǎn).連結(jié)AF，則AF為∠PAD的角平線(xiàn)，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴異面直線(xiàn)PA與MN所成的45°角.407.如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.(1)求證：平面CA′B⊥平面A′AB；(2)假設(shè)C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′與平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函數(shù)表示)解析：(1)∵在三棱柱ABC—A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB(2)由四邊形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，連AB′，可知ΔABB′BB′中點(diǎn)H，連結(jié)AH，則AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面C′B′BC，而AH垂直于兩平面交線(xiàn)BB′，∴AH⊥平面C′B′′H，則∠AC′H為AC′與平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin,∴直線(xiàn)AC′與平面BCC′B′所成的角是arcsin.408.已知四棱錐P—ABCD，它的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E為PA的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離；(3)求二面角A—BE—D的大小.(1)證實(shí):在四棱錐P—ABCD中，底面是菱形，連結(jié)AC、BD，交于F，則F為AC的中點(diǎn).又E為AD的中點(diǎn)，∴EF∥PC又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面EBD.∴平面EBD⊥平面ABCD.(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC∴E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離過(guò)F作FH⊥BC交BC于H，∵PC⊥平面ABCD，F(xiàn)H平面ABCD∴PC⊥FH.又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，則FH是F到平面PBC的距離，也是E到平面PBC的距離.∵∠FCH＝30°，CF＝a.∴FH＝CF＝a.(3)取BE的中點(diǎn)G，連接FG、AG由(1)的結(jié)論，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，∴AF⊥平面BDC.∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂線(xiàn)定理得，AG⊥BE，∴∠FGA為二面角D—BE—A的平面角.FG＝×＝a,AF＝a.∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg即二面角A—BE—D的大小為arctg409.假設(shè)ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直線(xiàn)AA1、BB1、CC1(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C(1)證實(shí)：∵AA1∩BB1＝O,∴AA1、BB1確定平面BAO，∵A、A1、B、B1都在平面ABO內(nèi)，∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1C1、AC和A1C(2)分析：欲證兩直線(xiàn)的交點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，可依據(jù)公理2，證實(shí)這兩條直線(xiàn)分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上.證實(shí)：如圖，設(shè)AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1∴面ABC∩面A1B1C1∵BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且BC∩B1C1＝Q∴Q∈即P、R、Q在同一直線(xiàn)上.410.點(diǎn)P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y(jié).求證：X、Y、Z三點(diǎn)共線(xiàn).解析：證實(shí)點(diǎn)共線(xiàn)的基本方法是利用公理2，證實(shí)這些點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn).證實(shí)∵P、Q、R三點(diǎn)不共線(xiàn)，∴P、Q、R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α.∵X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.∴點(diǎn)X是平面α和平面BCD的公共點(diǎn).同理可證，點(diǎn)Y、Z都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即點(diǎn)X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線(xiàn)上.411.直線(xiàn)m、n分別和平行直線(xiàn)a、b、c都相交，交點(diǎn)為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線(xiàn)a、b、c、m、n共面.解析：證實(shí)假設(shè)干條直線(xiàn)共面的方法有兩類(lèi)：一是先確定一個(gè)平面，證實(shí)其余的直線(xiàn)在這個(gè)平面里；二是分別確定幾個(gè)平面，然后證實(shí)這些平面重合.證實(shí)∵a∥b,∴過(guò)a、b可以確定一個(gè)平面α.∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可證nα.∵b∥c,∴過(guò)b,c可以確定平面β，同理可證mβ.∵平面α、β都經(jīng)過(guò)相交直線(xiàn)b、m,∴平面α和平面β重合，即直線(xiàn)a、b、c、m、n共面.412.證實(shí)兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線(xiàn)在同一平面內(nèi).已知：如圖，直線(xiàn)l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點(diǎn).求證：直線(xiàn)l1，l2，l3，l4在同一平面內(nèi)解析：α，然后證其它直線(xiàn)也在α內(nèi).證實(shí)：圖①中，l1∩l2＝P，∴l(xiāng)1,l2確定平面α.又l1∩l3＝A,l2∩l3＝C,∴C,A∈α.故l3α.同理l4α.∴l(xiāng)1,l2,l3,l4共面.圖②中，l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結(jié)論成立.413.證實(shí)推論3成立.〔如圖〕已知：a∥b，求證：經(jīng)過(guò)a,b的平面有且只有一個(gè).證實(shí)：(存在性)∵a∥b，由平行線(xiàn)的定義知：a、b共面，所以經(jīng)過(guò)a、b的平面有一個(gè).(唯一性)，在a上取兩點(diǎn)A、B，在b上取一點(diǎn)C.∵a∥b,∴A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，由公理3知過(guò)A、B、C三點(diǎn)的平面只有一個(gè)，從而過(guò)a,b兩直線(xiàn)的平面也是惟一的.414.一條直線(xiàn)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)，它和這個(gè)平面有幾個(gè)公共點(diǎn)?為什么?解析：只有一個(gè)，假設(shè)有兩個(gè)公共點(diǎn)，由公理1知該直線(xiàn)上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這和直線(xiàn)過(guò)平面外一點(diǎn)矛盾.415.過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)與這條直線(xiàn)上的三點(diǎn)分別畫(huà)三條直線(xiàn)，證實(shí)：這三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi).解答：已知：Aa，如圖，B、C、D∈a，證實(shí)：AB、AC、AD共面.證實(shí)：∵Aa，∴A，a確定平面α，∵B、C、D∈a，aα.∴B、C、D∈α又A∈α.∴AB、AC、ADα.即AB、AC、AD共面.416.空間可以確定一個(gè)平面的條件是() 解析：由推論2和推論3知兩條相交直線(xiàn)或者兩條平行直線(xiàn)才確定一個(gè)平面，兩條直線(xiàn)還有位置關(guān)系異面.故排除A，由推論1知點(diǎn)必在線(xiàn)外才合適，排除B.由公理3知不共線(xiàn)三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，D中三個(gè)點(diǎn)不一定不共線(xiàn)，排除D.公理3結(jié)合公理1，知選C.417.以下命題正確的是()α與β有三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面一定是重合平面α、β有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線(xiàn)解析：依據(jù)公理2、公理3知選D.418.已知四點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)，則可以確定() 解析：因?yàn)闊o(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)，所以任意三個(gè)點(diǎn)都可以確定平面α，假設(shè)第四個(gè)點(diǎn)也在α內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)在α外，由公理3知可確定4個(gè)平面.應(yīng)選C.419.已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個(gè)球的半徑是() B.3 解析：如圖，設(shè)球的半徑是r，則πBD2＝5π，πAC2＝8π，∴BD2＝5，AC2＝8.又AB＝1，設(shè)OA＝x.∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.解之，得r＝3應(yīng)選B.420.在桌面上有三個(gè)球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個(gè)小球，使它與三個(gè)球相切.求此小球半徑.解析：如圖，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球，過(guò)O作O1O2O3平面的垂線(xiàn)，垂足為H，它一定是ΔO1O2O3的中心，連接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝，OH＝1-r,OO1＝1+r,∴OO12＝O1H2+OH2，即(1+r)2＝()2+(1-r)2，解得r＝.421.地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度差為，求球面上A、B兩點(diǎn)間球面距離.解析：本題關(guān)鍵是求出∠AOB的大小，(如圖1)現(xiàn)在我們將這個(gè)球的截面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的長(zhǎng)方體問(wèn)題.如圖2，以O(shè)1O，O1A，O1B為三條互相垂直的棱，可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體截面ABO內(nèi)求∠解：如圖2，∵∠O1OA＝＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝R∴AB2＝O1A2+O1B2＝R，∴ΔAOB為等邊Δ，∴∠AOB＝，A、B間的球面距離為R.422.一個(gè)圓在平面上的射影圖形是() D.圓或橢圓或線(xiàn)段解析：D423.兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為10cm和17cm，兩球心間的距離為21cm，求此鏡面的表面積和體積.解析：軸截面如圖，設(shè)O2C＝x，則CO1＝21-x,∵AB⊥O1O2∴AO22-O2C2＝AO12-CO12，即102-x2＝172-(21-x)2，解得x＝6,CO1＝15,又設(shè)左邊球缺的高為h1,右邊的球缺高為h2，則h1＝17-15＝2,h2＝10-6＝4,∴S表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)2,V＝π［22(3·10-2)+42(3·17-4)］＝288π(cm3424.正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是2cm，側(cè)棱與底面成60°角，求它的外接球的表面積.解析：如圖，PD是三棱錐的高，則D是ΔABC的中心，延長(zhǎng)PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PD·PE＝＝，R＝，∴S球＝π(cm)2.425.求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.證實(shí)：設(shè)球的半徑為R，正四面體的高為h，側(cè)面積為S，則有VA—BCD＝VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD，如圖，即Sh＝4×SR,∴h＝4R.426.地球半徑為R，A、B兩地都在北緯45°線(xiàn)上，且A、B的球面距離為，求A、B兩地經(jīng)度的差.解析：如圖，O為球心，O1為北緯45°小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得∠AOB的弧度數(shù)，進(jìn)而求得線(xiàn)段AB的長(zhǎng)，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差.解：設(shè)O1是北緯45°圓的中心，∵A、B都在此圓上，∴O1A＝O1B＝R.∵A、B的球面距離為，∴∠AOB＝＝＝,ΔAOB為等邊三角形.AB＝R，在ΔAO1B中，∵O1A2+O1B2＝R2+R2＝R2＝AB2，∴∠AO1B＝90°.∴A、B兩地的經(jīng)度差是90°.評(píng)析：注意搞清緯度和經(jīng)度的問(wèn)題，球面距離三步驟的運(yùn)用是非常重要的問(wèn)題.427.已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，母線(xiàn)對(duì)圓錐底面的傾角為θ，在這個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)接的正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的體積.解析：設(shè)球半徑為R，以?xún)?nèi)接正方體對(duì)角面為軸截面，如圖.連接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則3x2＝EG2＝4R2,x＝R.∴V正方體＝(lcosθtan)3.428.如圖，過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐P—ABC的體積的最大值.解析：先選其中兩條弦PA、PB，設(shè)其確定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.解：(1)設(shè)過(guò)PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，∴AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D，則PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.設(shè)O為球心，則OO1⊥平面⊙O1，∵PC⊥⊙O1平面，∴OO1∥PC，因此過(guò)PC、PD的平面經(jīng)過(guò)球心O，截球得大圓，又PC⊥PD.∴CD是球的直徑.故PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.(2)設(shè)PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為x、y、z，則三棱錐P—ABC的體積V＝xyz，V2＝x2y2z2≤()3＝·＝R6.∴V≤R3.即V最大＝R3.評(píng)析：定值問(wèn)題可用特別狀況先“探求〞，如本題(1)假設(shè)先合計(jì)PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證實(shí)指明方向.球面上任一點(diǎn)對(duì)球的直徑所張的角等于90°，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì).429.求棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑.解析：如圖，作AH⊥底面BCD于H，則AH＝a，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，O點(diǎn)與A、B、C、D相連，得四個(gè)錐體，設(shè)底面為S，則每個(gè)側(cè)面積為S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,設(shè)外接球心為O，半徑R，過(guò)A點(diǎn)作球的半徑交底面ΔBCD于H，則H為ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)2.解得R＝a.430.求證：球的任意兩個(gè)大圓互相平分.證實(shí)：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)大圓都過(guò)球心O，所以它們必交于過(guò)球心的直徑，這條直徑也是兩個(gè)大圓的公共直徑，所以任意兩個(gè)大圓互相平分.9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積各為49πcm2和400πcm2.求球的表面積.解：如圖，設(shè)球的半徑為R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7同理O1A設(shè)OO1＝xcm，則OO2＝(x+9)cm.在RtΔOO1A中，可得R2＝x2+20在RtΔOO2B中，可得R2＝72+(x+9)2∴x2+202＝72+(x+9)2解方程得x＝15cmR2＝x2+202＝252∴S球＝4π·OA2＝2500π(cm2)431.球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4π，那么這個(gè)球的半徑為()B.2C.2D.解析：設(shè)球半徑為R，小圓半徑為r，則2πr＝4π,∴r＝2.如圖，設(shè)三點(diǎn)A、B、C，O為球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，又∵OA＝OB∴ΔAOB是等邊三角形同理，ΔBOC、ΔCOA都是等邊三角形，得ΔABC為等邊三角形.邊長(zhǎng)等于球半徑R，r為ΔABC的外接圓半徑.r＝AB＝RR＝r＝2∴應(yīng)選B.432.已知球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離都是球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球表面積是()A.π B.π π D.π解析：如圖，過(guò)ABC三點(diǎn)的截面圓的圓心是O′，球心是O，連結(jié)AO′、OO′，則OO′⊥AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC為正三角形.∴AO′＝×2＝設(shè)球半徑為R，則OA＝R，OO′＝在RtΔOAO′中，OA2＝O′O2+O′A2，即R2＝+()2∴R＝∴球面面積為4πR2＝π∴應(yīng)選A.說(shuō)明因?yàn)镽＝OA＞O′A＞AB＝1，所以球面積S＝4πR2＞4π.從而選A.433.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱分別是3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是()π π π π解析：正方體的對(duì)角線(xiàn)為l，球的半徑為R，則l＝2R.得：l2＝4R2＝32+42+52＝50從而S球＝4πR2＝50π∴應(yīng)選C.434.在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C.如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么這個(gè)球的表面積是.解析：由已知可得PA、PB、PC實(shí)際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點(diǎn)的三條棱，正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)就是球的直徑，連結(jié)過(guò)點(diǎn)C的一條對(duì)角線(xiàn)CD，則CD過(guò)球心O，對(duì)角線(xiàn)CD＝a.∴S球表面積＝4π·(a)2＝3πa2.435.圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為5cm，兩個(gè)直徑為5cm的玻璃小球都沉浸于容器的水中，假設(shè)取出這兩個(gè)小球，則容器內(nèi)的水面將下降cm.解析：球的體積等于它在容器中排開(kāi)水的體積.解：設(shè)取出小球后，容器水平面將下降hcm，兩小球體積為V球＝2×π×52×h,V1＝V球即25πh＝π∴h＝cm.∴應(yīng)填.436.空間四邊形ABCD的四條邊相等，那么它的兩條對(duì)角線(xiàn)AC和BD的關(guān)系是〔〕．A．相交且垂直B．相交但不垂直C．不相交也不垂直D．不相交但垂直解析：D．取BD中點(diǎn)O，則BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC．437.已知a、b是異面直線(xiàn)，那么經(jīng)過(guò)b的所在平面中〔〕．A．只有一個(gè)平面與a平行B．有無(wú)數(shù)個(gè)平面與a平行C．只有一個(gè)平面與a垂直D．有無(wú)數(shù)個(gè)平面與a垂直解析：A．過(guò)b上任一點(diǎn)P作直線(xiàn)，由和b確定的平面與a平行，這個(gè)平面是過(guò)b且平行于a的唯一一個(gè)平面．故排除B．當(dāng)a與b不垂直時(shí)，假設(shè)存在平面，使b，且a⊥，則a⊥b，這與a、b不垂直矛盾，所以當(dāng)a、b不垂直時(shí)，不存在經(jīng)過(guò)b且與a垂直的平面，當(dāng)a、b垂直時(shí)，過(guò)b且與a垂直的平面是唯一的，設(shè)a、b的公垂線(xiàn)為c，則由c和b所確定的平面與a垂直，且唯一．438.假設(shè)直線(xiàn)l與平面所成角為，直線(xiàn)a在平面內(nèi)，且與直線(xiàn)l異面，則直線(xiàn)l與直線(xiàn)a所成的角的取值范圍是〔〕．A．B．C．D．解析：C．因?yàn)橹本€(xiàn)l是平面的斜線(xiàn)，斜線(xiàn)與平面所成的角，是這條斜線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角，故a與l所成的角大于或等于；又因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角不大于，應(yīng)選C．439.直線(xiàn)a、b均在平面外，假設(shè)a、b在平面上的射影是兩條相交直線(xiàn)，則a和b的位置關(guān)系是〔〕．A．異面直線(xiàn)B．相交直線(xiàn)C．平行直線(xiàn)D．相交或異面直線(xiàn)解析：D440.ABCD是平面內(nèi)的一個(gè)四邊形，P是平面外的一點(diǎn)，則△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有〔〕．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，則所有的三角形都是直角三角形441.已知直線(xiàn)PG⊥平面于G，直線(xiàn)EF，且PF⊥EF于F，那么線(xiàn)段PE、PF、PG的關(guān)系是〔〕．A．PE＞PG＞PFB．PG＞PF＞PEC．PE＞PF＞PGD．PF＞PE＞PG解析：C．如圖答9-17．PG⊥，EF，PF⊥EF，則GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF為斜邊，PG為直角邊，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF為直角邊，PE為斜邊，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．442.以下命題中正確的是〔〕．A．假設(shè)a是平面的斜線(xiàn)，直線(xiàn)b垂直于a在平面內(nèi)的射影為，則a⊥bB．假設(shè)a是平面的斜線(xiàn)，平面內(nèi)的直線(xiàn)b垂直于a在平面內(nèi)的射影為，則a⊥bC．假設(shè)a是平面的斜線(xiàn)，直線(xiàn)b平行于平面，且b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則a⊥bD．假設(shè)a是平面的斜線(xiàn)，b是平面內(nèi)的直線(xiàn)，且b垂直于a在另一個(gè)平面內(nèi)的射影，則a⊥b解析：C．如圖答9-18，直線(xiàn)b垂直于a在平面內(nèi)的射影，但不能得出a⊥b的結(jié)論．排除A．令是直線(xiàn)a與其在內(nèi)的射影確定的平面，在內(nèi)取垂直于的直線(xiàn)為b，不能得出a⊥b的結(jié)論．排除B．同理排除D．如圖答9-19，在內(nèi)任取點(diǎn)P，∵，則過(guò)b與P確定平面，設(shè)，因?yàn)閎∥，則．∵，∴．∴，∴b⊥a．于是C正確．443.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則〔1〕A到的距離等于________；〔2〕A到的距離等于________；〔3〕A到平面的距離等于________；〔4〕AB到平面的距離等于________．解析：1〕連接，AC，則，取的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則．∴，∴．即A到、C的距離等于．〔2〕連結(jié)．∵AB⊥平面，∴．在Rt△中，AB=1，，，設(shè)A到的距離為h，則．即，∴，即點(diǎn)A到的距離為．〔3〕連結(jié)交于F，則．∵CD⊥平面，且AF平面，∴CD⊥AF．∵CD∩AD=D，∴AF⊥平面．∴AF為點(diǎn)A到平面的距離．∵，∴．〔4〕∵AB∥CD，∴AB∥平面，∴AB到平面的距離等于A(yíng)點(diǎn)到平面的距離，等于．444.已知正方體．則〔1〕與平面ABCD所成的角等于________；〔2〕與平面ABCD所成的角的正切值等于________；〔3〕與平面所成的角等于________；〔4〕與平面所成的角等于________；〔5〕與平面所成的角等于________.解析：〔1〕∵⊥平面ABCD，∴為與平面ABCD所成的角，=45°．〔2〕∵⊥平面ABCD，∴為與平面ABCD所成的角．設(shè)，則，∴〔3〕∵平面，，∴∥平面，∴與平面所成的角為0°．〔4〕∵⊥平面，∴與平面所成的角為90°．〔5〕連結(jié)AC，交AD于H．連結(jié)，∵⊥平面ABCD，CH平面ABCD，∴，又∵CH⊥BD，∴CH⊥平面．∴為在平面內(nèi)的射影．∴為與平面所成的角．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，，∴，即與平面所成的角為30°．445.如圖9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：MN⊥AB．圖9-29解析：連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．446.如圖9-30，直線(xiàn)a、b是異面直線(xiàn)，它們所成角為30°，為a、b的公垂線(xiàn)段，．另有B在直線(xiàn)a上，且BA=2cm，求點(diǎn)B到直線(xiàn)b的距離．解析：如圖答9-20，過(guò)作，則與b確定平面．作于C，在平面內(nèi)作CD⊥b于D，連結(jié)BD．∵∴．∵，，∴．∵，∴BC⊥．∵CD⊥b，∴BD⊥b〔三垂線(xiàn)定理〕，即BD為B點(diǎn)到b的距離．∵，∴為異面直線(xiàn)a與b所成的角，∴．∵，，∴CD=1．在Rt△BCD中，447.如圖9-31，SA、SB、SC三條直線(xiàn)兩兩垂直，點(diǎn)H是S在平面ABC上的射影，求證：H是△ABC的垂心．解析：∵SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴SC⊥平面SAB，∴AB⊥SC．∵H是S在平面ABC上的射影，∴SH⊥平面ABC．連結(jié)CH，CH為SC在平面ABC上的射影，∵AB⊥SC，由三垂線(xiàn)定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH為AB的垂線(xiàn)．同理AH⊥BC，即AH為BC邊的垂線(xiàn)．H為△ABC兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)，∴H為△ABC垂心．448.如圖9-32，△ABD和△ACD都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求證：圖9-32〔1〕BD⊥平面ADC；〔2〕假設(shè)H是△ABC的垂心，則H為D在平面ABC內(nèi)的射影．解析：〔1〕設(shè)AD=BD=CD=a，則．∵∠BAC=60°，∴．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵BD⊥AD，AD∩DC=D，∴BD⊥平面ADC．〔2〕如圖答9-21，要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DH⊥平面ABD．連結(jié)HA、HB、HC．∵H是△ABC的垂心，∴CH⊥AB．∵CD⊥DA，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB．∵CH∩CD=C，∴AB⊥平面DCH．∵DH平面DCH，∴AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵AB∩BC=B，∴DH⊥平面ABC．449.PA、PB、PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線(xiàn)，每?jī)蓷l射線(xiàn)的夾角為60°，求直線(xiàn)PC與平面PAB所成的角的余弦值．解析：如圖答9-22，在PC上任取一點(diǎn)D，作DH⊥平面PAB于H，則∠DPH為PC與平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，連結(jié)PH，DE，DF．∵EH、FH分別為DE、DF在平面PAB內(nèi)的射影，由三垂線(xiàn)定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵∠DPE=∠DPF，∴△DPE≌△DPF．∴PE=PF．∴Rt△HPE≌Rt△HPF，∴HE=HF，∴PH是∠APB的平分線(xiàn)．設(shè)EH=a，則PH=2EH=2a，．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，，∴450.四面體對(duì)棱長(zhǎng)分別相等，分別是a,b,c.求體積.解析：把四面體“嵌入〞棱長(zhǎng)為x,y,z的長(zhǎng)方體(如圖).其充分條件是有實(shí)數(shù)解如果關(guān)于x,y,z的方程組有實(shí)數(shù)解，則四面體體積V＝xyz-4··(xy)·z＝xyz＝說(shuō)明對(duì)棱相等的四面體各面是全等的銳角三角形，本題采納了體積分割法，轉(zhuǎn)化法求體積.451.如圖1，線(xiàn)段AB平面α，線(xiàn)段CD平面β，且平面α∥平面β，AB⊥CD，AB＝CD＝a,α、β的距離為h，求四面體ABCD的體積.圖1圖2解析：依題意可構(gòu)造一個(gè)底面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為a，高為h的正四棱柱(如圖2).顯然，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為V柱＝(a)2h＝a2h.而三棱錐C—AC′B的體積為V錐＝V柱.故四面體ABCD的體積為V＝V柱-4V錐＝V柱-V柱＝V柱＝a2h.說(shuō)明本題運(yùn)用了“構(gòu)造輔助體〞的解題技巧.452.求棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1的面對(duì)角線(xiàn)A1C1與AB解法一：連結(jié)BD1，取A1B1的中點(diǎn)E，連BE交AB1于M，連D1E交A1C1因?yàn)棣1NE∽ΔC1ND1，所以＝＝，則＝，同理＝.∵＝.∴MN∥BD1.由三垂線(xiàn)定理知BD1與A1C1、AB1又ΔEMN∽ΔEBD1故＝＝.∴MN＝a.解法二：取A1M＝，B1N＝，過(guò)N作NP⊥A1B1于P，連MP，則ΔMPN為直角三角形，由計(jì)算，PM＝a,PN＝a,故MN＝1N＝a，A1M＝a,故A1N2＝A1M2+MN2，于是MN⊥A1C1；同理，由AN＝a,AM＝a,MN＝a可知MN⊥AB1.故MN為AB1與A1C1的公垂線(xiàn)段，從而AB1與A1C1的距離為a.解法三：1D，C1D，A1C1，B1C.易知A1D∥B1C，A1C1∥1DC1∥平面AB1C.連BD1，設(shè)與平面A1DC1交于M，與平面AB1C1與圖中所示6條面對(duì)角線(xiàn)都垂直，故BD⊥面A1DC1，也垂直于A(yíng)B1C.即MN是A1C1與AB1的距離，在RtΔD1DB中，DMN＝a-a-a＝a.說(shuō)明上例還可以利用直線(xiàn)與平面平行、體積轉(zhuǎn)換等方法求解.453.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上的一動(dòng)點(diǎn)，平面PAD1和平面PBC1與對(duì)角面ABC1D1所成的二面角的平面角分別為α、β，試求α+β解析：1B1CD⊥對(duì)角面ABC1D1⊥EF于Q，則PQ⊥對(duì)角面ABC1D1.分別連PE、PF.∵EF⊥AD1，PE⊥AD1(三垂線(xiàn)定理).故由二面角的平面角定義知∠PFQ＝α，同理，∠PFQ＝β.設(shè)A1P＝x,(0≤x≤1)，則PB1＝1-x.∵EQ＝A1P，QF＝PB1，PQ＝，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有tanα＝,tanβ＝,∴tan(α+β)＝＝＝而當(dāng)x＝0時(shí)α＝，tan(α+β)＝tan(+β)＝-cotβ＝-＝-，上式仍成立；類(lèi)似地可以驗(yàn)證.當(dāng)x＝1時(shí)，上式也成立，于是，當(dāng)x＝時(shí)，tan(α+β)取最小值-2；當(dāng)x＝0或1時(shí)，tan(α+β)取最大值-.又∵0＜α+β＜π，∴(α+β)max＝π-arctan(α+β)min＝π-arctan2454.如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E、F分別在棱AB、BC上，G在對(duì)角線(xiàn)BD1上，且AE＝，BF＝，D1G∶GB＝1∶2，求平面EFG與底面ABCD所成的二面角的大小.解析：設(shè)G在底面ABCD上的射影為H，H∈BD，∵＝＝∴GH＝作HM⊥EF于M，連GM，由三垂線(xiàn)定理知GM⊥EF，則∠GMH＝θ就是平面BFG與底面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝.下面求HM的值.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，據(jù)題設(shè)可知.H(，)、E(，0)、F(1，)∴直線(xiàn)EF的方程為＝，即4x-6y-1＝0.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得｜HM｜＝＝，∴tgθ＝·＝，θ＝arctg.說(shuō)明運(yùn)用解析法來(lái)求HM的值是本例的巧妙所在.455.如圖，平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA1長(zhǎng)為2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°則此平行六面體的體積為解析：一求平行六面體ABCD—A1B1C1D的體積，應(yīng)用公式.由于底面是正方形，所以關(guān)鍵是求高，即到底面ABCD的距離解法一：過(guò)點(diǎn)A1做A1O⊥平面ABCD，垂足為O，過(guò)O做OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分別為E、F，連結(jié)A1E，A1F，可知O在∠∴cos∠A1AO·cos∠OAF＝·＝＝cos∠A1AF即cos∠A1AO·cos45°＝cos60°∴cos∠A1AO＝∴sin∠A1AO＝∴A1O＝A1Asin∠A1AO＝∴V＝SABCD·A1O＝分析二如圖，平行六面體的對(duì)角面B1D1DB把平行六面體分割成兩個(gè)斜三棱柱，它們等底面積、等高、體積相等，視察其中之一三棱柱A1B1D1—ABD.解法二：過(guò)B作BE⊥A1A，連結(jié)DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下兩部分，假設(shè)把兩部分重新組合，讓面A1D1B1與面ADB重合，則得到一直棱柱，ΔBDE是其底面，DD1是其側(cè)棱，并且和斜三棱柱A1B1D1—取BD中點(diǎn)O，連結(jié)OE，易知SΔBED＝BD·OE＝BD·＝··＝∴V直棱柱＝SΔDEB·DD1＝×2＝＝∴＝2＝點(diǎn)評(píng)在解決體積問(wèn)題時(shí)，“割〞“補(bǔ)〞是常用的手段，另外本題分析二給出了求斜棱柱體積的另一方法：斜棱柱的體積＝直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng).456.求證：(1)平行六面體的各對(duì)角線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且在這一點(diǎn)互相平分.(2)對(duì)角線(xiàn)相等的平行六面體是長(zhǎng)方體.已知：平行六面體ABCD—A1B1C1D求證：(1)對(duì)角線(xiàn)AC1、BD1、CA1、DB1相交于一點(diǎn)，且在這點(diǎn)互相平分；(2)假設(shè)AC1＝BD1＝CA1＝DB1時(shí)，該平行六面體為長(zhǎng)方體.證實(shí)：(1)∵AA1∥BB1，BB1∥CC1，∴AA1∥CC1.∴對(duì)面角A1ACC1是平行四邊形.∴CA1與AC1相交，且互相平分.設(shè)CA1∩AC1＝0，則O為CA1，AC1的中點(diǎn).同理，可證DB1與AC1及AC1與D1B也相交于一點(diǎn)，且互相平分.交點(diǎn)也是O.∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一點(diǎn)，且互相平分.(2)∵平行六面體AC1的對(duì)角線(xiàn)面A1C1CA、B1D11C、B1D、C1A∴對(duì)角面A1C1AC，B1因此CC1⊥A1C∴BB1⊥B1D1又∵BB1∥CC1∴BB1⊥A1C∴BB1⊥平面A1C∴平行六面體A1C同理可證：CB⊥平面A1B，則BC⊥AB.∴平面四邊形ABCD是矩形.∴直平行六面體A1C457.求證：底面是梯形的直棱柱的體積，等于兩個(gè)平行側(cè)面面積的和與這兩個(gè)側(cè)面間距離的積的一半.已知：直四棱柱A1C∥AB，側(cè)面A1B與側(cè)面D1求證：＝(+)×h證：設(shè)D1E1是梯形A1B1C1D1∵D1E1⊥A1B1，D1E1面A1C1面A1C1⊥面A1B，面A1C1∩面A1B＝A1B∴D1E1⊥面A1B.∴D1E1＝h.＝S底·AA1＝(D1C1+A1B1)·D1E1·AA1＝(D1C1·A1A+A1B1·A1A)＝(+)·h458.如圖，已知A1B1C1—(1)證實(shí)AB1∥面DBC1(2)假設(shè)AB1⊥BC1，BC＝2，求線(xiàn)段AB1在側(cè)面BB1CC1上的射影長(zhǎng).分析：弄清楚正三棱柱的概念，利用三垂線(xiàn)定理找二面角.解析：(1)證實(shí)：∵A1B1C1—∴四形B1BCC1是矩形，連結(jié)B1C，交BC1則B1E＝EC，連結(jié)DE.在ΔAB1C中，AD＝DC，∴DE∥AB又AB1平面DBC1，DE平面DBC1∴AB1∥平面DBC1(2)解：作DF⊥BC，垂足為F，因?yàn)槊鍭BC⊥面B1BC1，所以DF⊥B1BCC1，連結(jié)B1E，則B1E是A1B在平面B1BCC1內(nèi)的射影∵BC1⊥AB1∴BC1⊥B1E∵B1BCC1是矩形∴∠B1BF＝BC1C＝90∴ΔB1BF∽ΔBCC1∴＝＝又F為正三角形ABC的BC邊中點(diǎn)因而B(niǎo)1B2＝BF·BC＝2于是B1F2＝B1B2+BF2＝3，∴B1F即線(xiàn)段AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影長(zhǎng)為459.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，點(diǎn)E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°(1)求截面EAC的面積(2)求異面直線(xiàn)A1B1與AC之間的距離(3)求三棱錐B1—EAC的體積解析：(1)連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO.∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC又∵ED⊥底面AC∴EO⊥AC∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角∴∠EOD＝45°DO＝a,AC＝a,EO＝a·sec45°＝a.故SΔEAC＝a2.(2)解：由題設(shè)ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1又A1A⊥A1B∴A1A是異面直線(xiàn)A1B1∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線(xiàn)為EO∴D1B∥EO又O是DB的中點(diǎn)∴E是D1D的中點(diǎn)，D1B＝2EO＝2a.∴D1D＝＝a.異面直線(xiàn)A1B1與AC間的距離為a.連結(jié)B1O，則＝2∵AO⊥面BDD1B1∴AO是三棱錐A—EOB1的高，AO＝a.在正方形BDD1B1中，E、O分別是D1D、DB的中點(diǎn)則：＝a2.∴＝2··a2·a＝a3所以三棱錐B1—EAC的體積是a3.460.如圖，在正方體ABDC—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1(1)證實(shí)AD⊥D1(2)求AE與D1F(3)證實(shí)面AED⊥面A1FD1(4)設(shè)AA1＝2，求三棱錐F—A1ED1的體積VF—A1ED1解析：(1)∵AC1是正方體，∴AD⊥面DC1.又D1FDC1，∴AD⊥D1F(2)取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A1G、FG(如圖).因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H，則∠AHA1是AE與D1F1的中點(diǎn)，RtΔA1AG≌RtΔABE，∠GA1A＝∠GAH，從而∠AHA1＝90°(3)由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥1F面A1ED1，∴體積＝＝，∵AA1＝2，∴面積＝-2-＝.∴＝×A1D1×＝×2×＝1.461.如圖，設(shè)ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分別為AB、A1B1的中點(diǎn)，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a.(1)求證：AF⊥A1(2)求二面角C—AF—B的大小分析本小題考查空間幾何垂直的概念和二面角的度量等知識(shí).解(1)∵AC＝BC，E為AB中點(diǎn)，∴CE⊥AB又∵ABC—A1B1C1為直棱柱，∴CE⊥面AA1連結(jié)EF，由于A(yíng)B＝2AA1∴AA1FE為正方形∴AF⊥A1E，從而AF⊥A1(2)設(shè)AF與A1E交于O，連結(jié)CO，由于A(yíng)F⊥A1E，知AF⊥面CEA1∴∠COE即為二面角C—AF—B的平面角∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a∴CE＝a,OE＝a,∴tan∠COE＝＝2.∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.462.如圖9-51，已知ABCD、ABEF、CDFE都是長(zhǎng)方形，且平面ABCD⊥平面ABEF．記∠FCE=，∠CFB=，∠CEB=，則有〔〕．A．sin=sin·sinB．cos=cos·cosC．sin=sin·cosD．sin=sin·cos解析：C．于是sin=sin·cos．463.設(shè)直線(xiàn)l、m，平面、、滿(mǎn)足∩=l，l∥，m，且m⊥，則必有〔〕．A．⊥，且l⊥mB