§4.2羅彼塔法則一、未定式二、“零比零”型未定式的定值法四、其它類(lèi)型未定式的定值法三、“無(wú)窮比無(wú)窮”型未定式的定值法下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)1一、未定式

在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無(wú)窮小量或同是無(wú)窮大量，那么極限可能存在，也可能不存在，

其它類(lèi)型的未定式：0·

、

、00、1

、

0。

例如，下列極限都是未定式：00－或

－。這種極限稱(chēng)為未定式。這種類(lèi)型的未定式記為首頁(yè)2

定理4.1

設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿(mǎn)足條件：(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g

(x)

0；下頁(yè)羅彼塔法則I:一、“零比零”型未定式的定值法3羅彼塔法則I的證明：

令f(a)

g(a)

0，則f(x)及g(x)在點(diǎn)a的某一鄰域內(nèi)連續(xù)。

設(shè)x是這鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，那么有顯然當(dāng)x

a時(shí)x

a。于是下頁(yè)4羅彼塔法則I：00（－型）

例1．

例2．

解：

解：下頁(yè)5=-1。

例4．

例3．

解：

解：

例5．

解：下頁(yè)6所以羅彼塔法則失效，不能使用。說(shuō)明：

羅彼塔法則中的三個(gè)條件缺一不可，否則不能用羅彼塔法則。但這并不意味著原極限不存在，這時(shí)應(yīng)換用其它方法去求。因?yàn)椋?/p>

解：當(dāng)x0時(shí)無(wú)極限，

例6．下頁(yè)7=1

0=0。說(shuō)明：

羅彼塔法則中的三個(gè)條件缺一不可，否則不能用羅彼塔法則。但這并不意味著原極限不存在，這時(shí)應(yīng)換用其它方法去求。

例6．

解：首頁(yè)練習(xí)8

定理4.2

設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿(mǎn)足條件：(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g

(x)

0；下頁(yè)羅彼塔法則II：三、“無(wú)窮比無(wú)窮”型未定式的定值法9羅彼塔法則II：

（－型）下頁(yè)10羅彼塔法則II：

（－型）下頁(yè)11說(shuō)明：

當(dāng)x

a改為x

時(shí)，羅彼塔法則同樣有效，即

例9．

解：

例10．

解：首頁(yè)練習(xí)12

未定式0

、

、00、1

、

0都可以轉(zhuǎn)化為“零比零”型或“無(wú)窮比無(wú)窮”型未定式。下頁(yè)四、其它類(lèi)型未定式的定值法13

將未定式0

、

、00、1

、

0轉(zhuǎn)化為“零比零”型或“無(wú)窮比無(wú)窮”型未定式求極限。

例12．

解：下頁(yè)14

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：f(x)=elnf(x)。

將未定式0

、

、00、1

、

0轉(zhuǎn)化為“零比零”型或“無(wú)窮比無(wú)窮”型未定式求極限。

例13．

解：下頁(yè)15

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：f(x)=elnf(x)。

將未定式0

、

、00、1

、

0轉(zhuǎn)化為“零比零”型或“無(wú)窮比無(wú)窮”型未定式求極限。

例14．

解：結(jié)束16例4（補(bǔ)充題）求1