第④中的黃金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．矩形BCDE是黃金矩形，理由如下：∵AD＝AB＝，AN＝AC＝1，∴CD＝AD－AC＝－1，又∵BC＝2，∴，∴矩形BCDE是黃金矩形．（4）如圖，在矩形BCDE上添加線段GH，使四邊形GCDH為正方形，則矩形BGHE為所要作的黃金矩形．矩形較長(zhǎng)的邊GH＝－1，寬HE＝3－．4.（2018·達(dá)州市，24，11分）閱讀材料：已知：如圖1，等邊△A1A2A3內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，連接PA1，PA2，PA3，可證：PA1＋PA2＝PA3，從而得到＝是定值.（1）以下是小紅的一種證明方法，請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整：第24題圖1證明：如圖1，作∠PA1M＝60°，A1M交A2P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.∵△A1A2A3是等邊三角形，∴∠A3A1A2＝60°.∴∠A3A1P＝∠A2A1M，又A3A1＝A2A1，∠A1A3P＝∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M.∴PA3＝MA2＝PA2＋PM＝PA2＋PA1∴＝，是定值.（2）延伸：如圖2，把（1）中條件“等邊△A1A2A3”改為“正方形A1A2A3A4”，其余條件不變，請(qǐng)問(wèn)還是定值嗎？為什么？第24題圖2（3）拓展：如圖3，把（1）中條件“等邊△A1A2A3”改為“正五邊形A1A2A3A4A5”，其余條件不變，則＝___________（只寫出結(jié)果）.第24題圖3參考數(shù)據(jù)：如圖，等腰△ABC中，若頂角∠A＝108°，則BC＝AC；若頂角∠A＝36°，則BC＝AC.思路分析：（1）閱讀材料，得出方框內(nèi)的內(nèi)容.先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得PA3＝MA2，PA1＝MA1，然后根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得PA1＝PM.（2）用類比的方法證得還是定值.（3）用類比的方法證得還是定值.解答過(guò)程：解：（1）方框內(nèi)的內(nèi)容為：∴PA3＝MA2，PA1＝MA1，∵∠PA1M＝60°，∴△PA1M是等邊三角形.∴PA1＝PM.（2）是定值.理由：如圖2，作∠PA1M＝90°，A1M交A2P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.∵A1A2A3A4是正方形，∴∠A4A1A2＝90°.∴∠A4A1P＝∠A2A1M，又A4A1＝A2A1，∠A1A4P＝∠A1A2P，∴△A1A4P≌△A1A2M.∴PA4＝MA2，PA1＝MA1，∵∠PA1M＝90°，∴PM＝PA1.∴PA4＝MA2＝PA2＋PM＝PA2＋PA1，作∠PA2MN＝90°，A2N交A1P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)MN.同理可得PA3＝PA1＋PA2，∴PA3＋PA4＝(1+)(PA1＋PA2)∴＝＝1－，是定值.（3）＝＝，是定值.5．（2018·重慶B卷，25，10）對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”．（1）請(qǐng)任意寫出三個(gè)“極數(shù)”；并猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記D(m)＝，求滿足D(m)是完全平方數(shù)的所有m．【思路分析】（1）先根據(jù)“極數(shù)”的定義，較易寫出千位與十位上的數(shù)字之和為9且百位與個(gè)位上的數(shù)字之和為9的四位數(shù)三個(gè)，答案不唯一；再設(shè)n的千位數(shù)字為s，百位數(shù)字為t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)），用代數(shù)式表示出n，化簡(jiǎn)后因式分解，即可證明n是99的倍數(shù)；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化簡(jiǎn)后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根據(jù)D(m)是完全平方數(shù)，且10s＋t＋1是一個(gè)兩位數(shù)，從而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程組或或或，解方程組即可鎖定符合條件的所有m．【解題過(guò)程】解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一個(gè)“極數(shù)”都是99的倍數(shù)，理由如下：設(shè)n的千位數(shù)字為s，百位數(shù)字為t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)），則n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整數(shù)，故n是99的倍數(shù)．（2）易由（1）設(shè)m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)，從而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方數(shù)，故3(10s＋t＋1)是完全平方數(shù)．∵10＜10s＋t＋1＜100，∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．∴m＝1188，2673，4752，7425．【知識(shí)點(diǎn)】整式的運(yùn)算完全平方數(shù)不等式的解法新定義運(yùn)算題二元一次方程的特殊解6．（2018·揚(yáng)州市，20，8分）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算如下：．例如（1）求的值；（2）若且求x＋y的值．思路分析：（1）直接運(yùn)用新定義的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則列出兩個(gè)方程，聯(lián)立成方程組，解出x、y的值，再求出x＋y的值．解答過(guò)程：（1）2（－5）＝2×2＋（－5）＝4－5＝－1；（2）由題意，得：，解方程組，得：，則x＋y＝＝．7（2018·內(nèi)江市，27，12分）對(duì)于三個(gè)數(shù)a、b、c，用表示這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)最大數(shù)，例如=-1，=0，=.解決問(wèn)題：（1）填空：=，如果=3，則x的取值范圍為；（2）如果=，求x的值；（3）如果=，求x的值.思路分析：（1）分別求出三個(gè)特殊角的三角函數(shù)值即可求出中位數(shù)，分兩種情況：5-3x≤3與2x-6≤3構(gòu)造不等式組求解；（2）結(jié)合題意運(yùn)用分類討論加以求解.解答過(guò)程：（1）==，由題意得，當(dāng)5-3x≤3且2x-6≤3時(shí)，=3，解得≤x≤4.5.（2）∵=由圖可知：=①若x≤-2,根據(jù)題意得2(x+4)=2,解得x=-3,②若-2＜x＜0,根據(jù)題意得x+4=2,解得x=-2（不合題意，舍去）,③若x≥0，根據(jù)題意得x+2≠x+4（不合題意，舍去）,所以，滿足題意的x的值為-3.（3）=①由圖可知，當(dāng)x＜-3時(shí)，=9，=，解得x=±3(不合題意，舍去)②由圖可知，當(dāng)-3≤x＜1時(shí)，=，=9，解得x=-3，③由圖可知，