2024年高考第二次模擬考試

局二數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號

填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.設(shè)集合4=何〉=111（%_3）},8={中4_1},則411危8）=（）

A.{x|-l<xW3}B.{小〉-1}C.{x|無<-1,或x>3}D.{x|x〉3}

7

2.已知復(fù)數(shù)z=〃+Z?i（?GR,且。工匕），且z?為純虛數(shù)，則==（）

Z

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知向量方=（一2,4）,3=（11）,若5與B共線，則向量0+石在向量7=（0,1）上的投影向量為（）

A.7B.-JC.2jD.-2j

4.“">1”是“6〉工>0"（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、

乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（）

A.60B.114C.278D.336

6.已知□￡>：x2+y2-2ax-2a-l=0,點(diǎn)尸（-3,0）,若□D上總存在M,N兩點(diǎn)使得DPMN為等

邊三角形，則〃的取值范圍是（）

-5、（51

A.——,-11J（-l,+co）B.-co,——D[1,+CO）

C.(-co,-2]u[l,+oo)D.[-2,-1)U(-L+00)

7.已知AABC中，ABAC=60°,AB=2,Q是邊BC上的動點(diǎn).若平面ABC,PA=C，且

與面ABC所成角的正弦值的最大值為逅，則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為（）

3

A.4兀B.6兀C.8itD.9兀

8.加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家.如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互

相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四

A.橢圓M的離心率為立B.橢圓M的蒙日圓方程為尤2+V=io

3

C.若G為正方形，則G的邊長為2石D.長方形G的面積的最大值為18

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知拋物線C:V=6》的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線交C于兩個不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|兒叫的最小值是6B.若點(diǎn)￡,2）則|財(cái)+阿尸|的最小值是4

C.}+向=3D.若阿/卜|行|=18,則直線的斜率為±1

22

10.已知雙曲線g=l（a〉o）的左、右焦點(diǎn)別為耳，F(xiàn)2,過點(diǎn)馬的直線/與雙曲線E的右支相

交于P,Q兩點(diǎn)，則（）

A.若石的兩條漸近線相互垂直，則。=拒

B.若E的離心率為G，則E的實(shí)軸長為1

C.若/耳尸瑪=90。，則|尸7訃|尸閭=4

D.當(dāng)。變化時，口耳尸。周長的最小值為8夜

11.在棱長為2的正方體ABC。-4BCA中，E,尸分別是棱BC,CD的中點(diǎn)，則（）

A.與所是異面直線

B.存在點(diǎn)P,使得乖=2而，且BC//平面AP與

C.A/與平面四匹所成角的余弦值為迪

3

4

D.點(diǎn)用到平面AE廠的距離為y

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若二項(xiàng)式［x+2］的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

13.若函數(shù)/（x）=ax+sinx的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)〃是.

14.若過點(diǎn)（0,1）的直線/自左往右交拋物線y=及圓必+"_廳=；于AB,。,。四點(diǎn)，則

\AB\+3\CD\的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且對于任意的“eN*都有3s”=2a=+l.

（1）求數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式；

m

⑵記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)中的最大值為此，最小值為/，令bn=M"；”,求數(shù)列抄/的前20項(xiàng)

和品.

16.（15分）燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的

燈珠為易損配件，該燈珠的零售價為4元/只，但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠，

該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護(hù)的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更

換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條

燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在

安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，”表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數(shù)量.

(2)若滿足P(X>n)<0.6的n的最小值為n0,求佝;

(3)在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，比較〃=%-1與〃=%哪

種方案更優(yōu).

17.(15分)如圖，在三棱柱ABC—AZG中，直線平面ABC,平面A4GC，平面331GC.

B

(1)求證:ACLBB］；

(2)若AC=BC=BCi=2，在棱A片上是否存在一點(diǎn)P，使二面角P-BC-Q的余弦值為必。？若存

10

BF

在，求的值;若不存在,請說明理由.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+a.

⑴若直線y=(e-l)x與函數(shù)/(%)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；

⑵若函數(shù)g(x)=^(x)有兩個極值點(diǎn)為和巧，且再<%,證明：%+%>1+111(?).(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

19.(17分)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書

中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點(diǎn)河與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比

叱g=%(%>0,4H1),4是一個常數(shù)，那么動點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已

|MP\

22

知動點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方