人教版高一年級下學期期末考試數(shù)學試卷（一）注意事項：1.答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚，3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙試卷上答題無效.4.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m＝（）A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.12.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機抽取6位小區(qū)居號，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.7 B.7.5 C.8 D.93.設為平面，，為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4.已知在平行四邊形中，點、分別是、的中點，如果，，那么向量（）A. B.C. D.5.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.6.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬故事，其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機選1匹馬進行1場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）A. B. C. D.7.如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點，從點測得點的仰角，點的仰角，，從點測得．已知山高，則山高（單位：）為（）A.B.C.D.8.如圖，在平面直角坐標系中，原點為正八邊形的中心，軸，若坐標軸上的點（異于點）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點的個數(shù)為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則下列關(guān)于復數(shù)z的結(jié)論正確的是（）A.B.復數(shù)z的共軛復數(shù)為＝﹣1﹣iC.復平面內(nèi)表示復數(shù)z的點位于第二象限D(zhuǎn).復數(shù)z是方程x2+2x+2＝0的一個根10.某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調(diào)查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在，，，，五個層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計圖表，則下面敘述正確的是（）A.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)B.樣本中層人數(shù)最多C.樣本中層次男生人數(shù)為6人D.樣本中層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)11.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么，B.如果與互斥，那么，C.如果與相互獨立，那么，D.如果與相互獨立，那么，12.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（）A.若點，分別是線段，的中點，則B.點到平面的距離為C.直線與平面所成的角等于D.三棱柱外接球的表面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且，則________.14.已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為________，方差為________.15.已知，，，則與的夾角為________.16.如圖，在三棱錐中，，，，且，，則二面角的余弦值是_____．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.18.已知、、分別為三個內(nèi)角、、的對邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點，且，______，求的正弦值．從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中，并作答．19.在四面體中，點，，分別是，，的中點，且，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角.20.溺水、校園欺凌等與學生安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學生安全知識競賽，規(guī)定每隊3人，每人回答一個問題，答對得1分，答錯得0分．在競賽中，甲、乙兩個中學代表隊狹路相逢，假設甲隊每人回答問題正確的概率均為，乙隊每人回答問題正確的概率分別為，且兩隊各人回答問題正確與否相互之間沒有影響．（1）分別求甲隊總得分為3分與1分的概率；（2）求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率．21.如圖，在三棱錐中，底面，，，點為線段的中點，點為線段上一點.（1）求證：平面平面.（2）當平面時，求三棱錐的體積.22.2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科滿分100分，2020年初受疫情影響，全國各地推遲開學，開展線上教學．為了了解高一學生的選科意向，某學校對學生所選科目進行線上檢測，下面是100名學生的物理、化學、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖；（i）求物理、化學、生物三科總分成績的中位數(shù)；（ii）估計這100名學生的物理、化學、生物三科總分成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）為了進一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中，用分層隨機抽樣的方法抽取7名學生，再從這7名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學生來自不同組的概率．答案解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m＝（）A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1【答案】B【分析】本題先將化簡為的代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)的定義建立方程求參數(shù).【詳解】解：∵是純虛數(shù)，∴，解得：，故選：B.【點睛】考查復數(shù)的代數(shù)形式以及純虛數(shù)的定義，是基礎題.2.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機抽取6位小區(qū)居號，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.7 B.7.5 C.8 D.9【答案】C【分析】把該組數(shù)據(jù)從小到大排列，計算，從而找出對應的第80百分位數(shù)；【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，5，6，7，8，9，且，故選：C.【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)的百分數(shù)問題，屬于基礎題.3.設為平面，，為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【分析】利用空間線線、線面、面面間的關(guān)系對每一個選項逐一分析判斷得解．【詳解】若，，則與相交、平行或異面，故錯誤；若，，則由直線與平面垂直的判定定理知，故正確；若，，則或，故錯誤；若，，則，或，或與相交，故錯誤．故選：．【點睛】本題考查命題的真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．4.已知在平行四邊形中，點、分別是、的中點，如果，，那么向量（）A. B.C. D.【答案】B【分析】作出圖形，利用平面向量加法法則可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：點、分別是、的中點，.故選：B.【點睛】本題考查平面向量的基底分解，考查計算能力，屬于基礎題.5.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設圓錐的底面半徑為，高為，母線為，根據(jù)其表面積為，得到，再由它的側(cè)面展開圖是一個半圓，得到，聯(lián)立求得半徑和高，利用體積公式求解.【詳解】解：設圓錐的底面半徑為，高為，母線為，因為其表面積為，所以，即，又因為它的側(cè)面展開圖是一個半圓，所以，即，所以，所以此圓錐的體積為.故選：A.【點睛】本題主要考查圓的面積、周長、圓錐的側(cè)面積及體積等知識點，考查運算求解能力，屬于基礎題型.6.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事，其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機選1匹馬進行1場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題先將所有的基本事件都列出來共9種，再將田忌的馬獲勝的事件選出共3種，最后計算概率即可.【詳解】解：設田忌的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，齊王的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，雙方各自隨機選1匹馬進行1場比賽產(chǎn)生的基本事件為：，，，，，，，，，共9種；其中田忌的馬獲勝的事件為：，，，共3種，所以田忌的馬獲勝的概率為：.故選：C.【點睛】本題考查古典概型，是基礎題.7.如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點，從點測得點的仰角，點的仰角，，從點測得．已知山高，則山高（單位：）為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】計算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可計算出.【詳解】在中，，為直角，則，在中，，，則，由正弦定理，可得，在中，，，.故選：A.【點睛】本題考查測量高度問題，考查正弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.8.如圖，在平面直角坐標系中，原點為正八邊形的中心，軸，若坐標軸上的點（異于點）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分點在、軸進行分類討論，可得出點、關(guān)于坐標軸對稱，由此可得出點的個數(shù).【詳解】分以下兩種情況討論：①若點在軸上，則、關(guān)于軸對稱，由圖可知，與、與、與、與關(guān)于軸對稱，此時，符合條件的點有個；②若點在軸上，則、關(guān)于軸對稱，由圖可知，與、與、與、與關(guān)于軸對稱，此時，符合條件的點有個.綜上所述，滿足題中條件的點的個數(shù)為.故選：D.【點睛】本題考查符合條件的點的個數(shù)的求解，考查了平面向量加法法則的應用，屬于中等題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則下列關(guān)于復數(shù)z的結(jié)論正確的是（）A.B.復數(shù)z的共軛復數(shù)為＝﹣1﹣iC.復平面內(nèi)表示復數(shù)z的點位于第二象限D(zhuǎn).復數(shù)z是方程x2+2x+2＝0的一個根【答案】ABCD【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)復數(shù)的模長公式求出，可知正確；根據(jù)共軛復數(shù)的概念求出，可知正確；根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知正確；將代入方程成立，可知正確.【詳解】因為（1﹣i）z＝2i，所以，所以，故正確；所以，故正確；由知，復數(shù)對應的點為，它在第二象限，故正確；因，所以正確.故選：ABCD.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算，考查了復數(shù)的模長公式，考查了復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.10.某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調(diào)查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在，，，，五個層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計圖表，則下面敘述正確的是（）A.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù) B.樣本中層人數(shù)最多C.樣本中層次男生人數(shù)為6人 D.樣本中層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)直方圖和餅圖依次判斷每個選項的正誤得到答案.【詳解】樣本中女生人數(shù)為：，男生數(shù)為，正確；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；故正確；樣本中層次男生人數(shù)為：，正確；樣本中層次男生人數(shù)：，女生人數(shù)為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查了統(tǒng)計圖表，意在考查學生的計算能力和應用能力.11.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么，B.如果與互斥，那么，C.如果與相互獨立，那么，D.如果與相互獨立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A選項在前提下，計算出，，即可判斷；B選項在與互斥前提下，計算出，，即可判斷；C、D選項在與相互獨立前提下，計算出，，，，即可判斷.【詳解】解：A選項：如果，那么，，故A選項錯誤；B選項：如果與互斥，那么，，故B選項正確；C選項：如果與相互獨立，那么，，故C選項錯誤；D選項：如果與相互獨立，那么，，故D選項正確.故選：BD.【點睛】本題考查在包含關(guān)系，互斥關(guān)系，相互獨立的前提下的和事件與積事件的概率，是基礎題.12.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（）A.若點，分別是線段，的中點，則B.點到平面的距離為C.直線與平面所成的角等于D.三棱柱的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】A選項：通過平行的傳遞性得到結(jié)論；B選項：根據(jù)點到平面的距離為，進一步得到答案;C選項：根據(jù)直線與平面所成的角為∠，進一步得出結(jié)論；D選項：根據(jù)三棱柱的外接球的半徑為正方體體對角線的一半，進一步得到答案.【詳解】A選項：若點，分別是線段，的中點，則又∵所以，故A正確；B選項：連接交于點，由題易知點到平面的距離為，∵正方體的棱長為1，∴，故B錯誤；C選項：易知直線與平面所成的角為∠，∴∠，故C正確；D選項：易知三棱柱的外接球的半徑為正方體體對角線的一半，∴∴表面積為，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查命題真假的判斷，通過線線平行、點到面的距離、線面角，以及外接球的知識點來考查，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，是中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡求得的值進而求得．【詳解】，，，，由于為三角形內(nèi)角，可得．故答案為：．【點睛】本題主要考查正弦定理的應用．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理把等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦．14.已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為________，方差為________.【答案】(1).19(2).8【解析】【分析】由題意結(jié)合平均數(shù)公式和方差公式計算即可得解.【詳解】由已知條件可得，，所以數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為，方差為故答案為：；.【點睛】本題考查了平均數(shù)與方差的計算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.15.已知，，，則與的夾角為________.【答案】【解析】【分析】本題先求，，，再根據(jù)化簡整理得，最后求與的夾角為.【詳解】解：∵，，∴，，，∵，∴整理得：，∴與的夾角為：.故答案為：【點睛】本題考查運用數(shù)量積的定義與運算求向量的夾角，是基礎題.16.如圖，在三棱錐中，，，，且，，則二面角的余弦值是_____．【答案】【解析】【分析】取的中點，連接、，證明出，，可得出面角的平面角為，計算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【詳解】取的中點，連接、，如下圖所示：，為的中點，則，且，，，同理可得，且，所以，二面角的平面角為，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查二面角余弦值的計算，考查二面角的定義，考查計算能力，屬于中等題.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）因為，所以可以設求出坐標，根據(jù)模長，可以得到參數(shù)的方程.（2）由于已知條件可以計算出與坐標（含有參數(shù)）而兩向量垂直，可以得到關(guān)于的方程，完成本題.【詳解】（1）法一:設，則，所以解得所以或法二:設，因為，，所以，因為，所以解得或，所以或（2）因為向量與互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【點睛】考查了向量的線性表示，引入?yún)?shù)，只要我們能建立起引入?yún)?shù)的方程，則就能計算出所求參數(shù)值，從而完成本題.18.已知、、分別為三個內(nèi)角、、的對邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點，且，______，求的正弦值．從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中，并作答．【答案】（1），；（2）選①，；選②，.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于的二次方程，可解出的值，進而可求得的面積；（2）選①，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進而可求得的正弦值；選②，利用正弦定理求得的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得，再利用兩角和的正弦公式可求得的值.【詳解】（1）由余弦定理得，整理得，，解得，；（2）選①，如下圖所示：在中，由正弦定理得，可得，在中，，則，所以，；選②，在中，由正弦定理得，可得，由于為銳角，則，，因此，.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積的計算，同時也考查了三角形內(nèi)角正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.19.在四面體中，點，，分別是，，的中點，且，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由點，分別是，的中點，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知和，得到即為異面直線與所成的角，在中，即可求解.【詳解】（1）由題意，點，分別是，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，因為點，分別是，的中點，可得，所以即為異面直線與所成的角（或其補角）.在中，，所以為等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角為.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定與證明，以及異面直線所成角的求解，其中解答中熟記線面平行的判定定理和異面直線所成角的概念，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.20.溺水、校園欺凌等與學生安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學生安全知識競賽，規(guī)定每隊3人，每人回答一個問題，答對得1分，答錯得0分．在競賽中，甲、乙兩個中學代表隊狹路相逢，假設甲隊每人回答問題正確的概率均為，乙隊每人回答問題正確的概率分別為，且兩隊各人回答問題正確與否相互之間沒有影響．（1）分別求甲隊總得分為3分與1分的概率；（2）求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）記“甲隊總得分為3分”為事件，記“甲隊總得分為1分”為事件，甲隊得3分，即三人都回答正確，甲隊得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲隊總得分為3分與1分的概率．（2）記“甲隊得分為2分”為事件，記“乙隊得分為1分”為事件，事件即甲隊三人中有2人答對，其余1人答錯，事件即乙隊3人中只有1人答對，其余2人答錯，由題意得事件與事件相互獨立，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率．【詳解】解：（1）記“甲隊總得分為3分”為事件，記“甲隊總得分為1分”為事件，甲隊得3分，即三人都回答正確，其概率為，甲隊得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯，其概率為．甲隊總得分為3分與1分的概率分別為，．（2）記“甲隊得分為2分”為事件，記“乙隊得分為1分”為事件，事件即甲隊三人中有2人答對，其余1人答錯，則，事件即乙隊3人中只有1人答對，其余2人答錯，則，由題意得事件與事件相互獨立，甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率：．【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．21.如圖，在三棱錐中，底面，，，點為線段的中點，點為線段上一點.（1）求證：平面平面.（2）當平面時，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證明，再證明，從而證明平面，最后證明平面平面；（2）先判斷點為的中點，再判斷三棱錐的體積等于三棱錐的體積，最后求體積即可.【詳解】（1）證明：因底面，且底面，所以.因為，且點為線段的中點，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：因為平面，平面，平面平面，所以.因為點為的中點，所以點為的中點.法一：由題意知點到平面的距離與點到平面的距離相等，所以.所以三棱錐的體積為.法二：因為平面，由題意知點到平面的距離與點到平面的距離相等.所以，又，，，，由（1）知，，又，且，所以平面，所以.所以三棱錐體積為.法三：又，，，，由（1）知：平面，且.所以.所以三棱錐的體積為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，三棱錐的體積，是中檔題.22.2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科滿分100分，2020年初受疫情影響，全國各地推遲開學，開展線上教學．為了了解高一學生的選科意向，某學校對學生所選科目進行線上檢測，下面是100名學生的物理、化學、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖；（i）求物理、化學、生物三科總分成績的中位數(shù)；（ii）估計這100名學生的物理、化學、生物三科總分成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）為了進一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中，用分層隨機抽樣的方法抽取7名學生，再從這7名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學生來自不同組的概率．【答案】（1）；（2）（i）（ii）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)7組頻率和為1列方程可解得結(jié)果；（2）（i）根據(jù)前三組頻率和為，前四組頻率和為可知中位數(shù)在第四組，設中位數(shù)為，根據(jù)即可解得結(jié)果；（ii）利用各組的頻率乘以各組的中點值，再相加即可得解；（3）根據(jù)分層抽樣可得從成績在[220，240）的組中應抽取人，從成績在[260，280）的組中應抽取人，再用列舉法以及古典概型的概率公式可得解.【詳解】（1）由，得；（2）（i）因為，，所以中位數(shù)在，設中位數(shù)為，所以，解得，所以物理、化學、生物三科總分成績的中位數(shù)為；（ii）這100名學生的物理、化學、生物三科總分成績的平均數(shù)為（3）物理、化學、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中的人數(shù)分別為：人，人，根據(jù)分層隨機抽樣可知，從成績在[220，240）的組中應抽取人，記為，從成績在[260，280）的組中應抽取人，記為，從這7名學生中隨機抽取2名學生的所有基本事件為：，，共有種，其中這2名學生來自不同組的共有種，根據(jù)古典概型的概率公式可得所求概率為.【點睛】本題考查了利用直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)，考查了利用直方圖求參數(shù)，考查了分層抽樣，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.人教版高一年級下學期期末考試數(shù)學試卷（二）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知向量，，且與共線，則實數(shù)x的值是（）A. B. C. D.2.一梯形的直觀圖是如圖所示的等腰梯形，且直觀圖的面積為1，則原梯形的面積為（）A.1 B. C.2 D.3.設m，n是不同的直線，，，是不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，，，則4.已知某人射擊每次擊中目標的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標，5，6，7，8，9表示未擊中目標；因為射擊3次，故每3個隨機數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)；據(jù)此估計，其中3次射擊至少2次擊中目標的概率約為（）A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.65.將一個棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱中，，，則直線和所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.7.在平行四邊形中，，若交于點M.且，則（）A. B. C. D.8.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標.常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲、乙兩位同學分別隨機抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為（）A.1.75 B.1.85 C.1.95 D.2.05二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.若復數(shù)z滿足，則（）A. B.z的實部為1C. D.10.是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.是單位向量 B.C. D.11.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設事件“第一枚骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點數(shù)為偶數(shù)”，則（）A.M與N互斥 B.M與N不對立C.M與N相互獨立 D.12.已知正方體的棱長為2，點O為的中點，若以O為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個交點E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面C.與平面所成的角的大小為45°D.平面將正方體分成兩部分的體積的比為第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平行四邊形中，對角線與相交于點O，若向量，對應的復數(shù)分別是，，則向量對應的復數(shù)是______________.14.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.15.如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點B與C距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點B與C的距離為________km.16.在中，，E，F(xiàn)是邊的三等分點，若，則_______________四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求的值；（2）若，，求周長.18.某中學高一年級舉行了一次數(shù)學競賽，從中隨機抽取了一批學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的第80百分位數(shù)；（2）若按照分層隨機抽樣從成績在，的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求至少有1人的成績在內(nèi)的概率.19.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面之間距離.20.如圖所示，在中，點D為邊上一點，且，，.（1）求長；（2）若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.21.甲、乙兩人組成“星隊”進行定點投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設一點M，在點M處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設一點N，在點N處投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙兩人在M點投中的概率都為p，在N點投中的概率都為q.且在M，N兩點處投中與否互不影響.設定甲、乙兩人先在M處各投籃一次，然后在N處各投籃一次，甲、乙兩人的得分之和為“星隊”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為.（1）求p，q的值；（2）求“星隊”在一次比賽中的總得分為5分的概率.22.如圖1所示，在直角梯形中，，，，，，邊上一點E滿足.現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角余弦值.答案解析第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知向量，，且與共線，則實數(shù)x的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出，然后根據(jù)與共線建立方程求解即可.【詳解】因為，，所以因為與共線，所以，解得故選：A【點睛】本題考查的是向量共線在坐標形式下的表示，屬于基礎題.2.一梯形的直觀圖是如圖所示的等腰梯形，且直觀圖的面積為1，則原梯形的面積為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖還原，平面圖是一個直角梯形，從而可求出其面積【詳解】解：把該梯形的直觀圖還原為原來的梯形，如圖所示，設原來梯形的上底為，下底為，高為，則直觀圖中等腰梯形的高為，因為直觀圖的面積為，所以，所以原梯形的面積為，故選：D【點睛】此題考查了平面圖形的直觀圖的畫法與應用問題，掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題3.設m，n是不同的直線，，，是不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，，，則【答案】D【解析】【分析】A.由或異面判斷；B.由或相交判斷；C.由則或判斷；D.由面面垂直的性質(zhì)判斷.【詳解】A.若，，則或異面，故錯誤；B.若，，，，則或相交，故錯誤；C.若，，則或，故錯誤；D.若，，，則，又，所以，故正確.故選：D【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于中檔題.4.已知某人射擊每次擊中目標的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標，5，6，7，8，9表示未擊中目標；因為射擊3次，故每3個隨機數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)；據(jù)此估計，其中3次射擊至少2次擊中目標的概率約為（）A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6【答案】C【解析】【分析】這是一個古典概型，已知基本事件的總數(shù)為20種，然后從中找出3次射擊至少2次擊的基本事件的種數(shù)，代入公式求解.【詳解】基本事件的總數(shù)為20種，其中3次射擊至少2次擊的基本事件有162151271932408471333027730163039共11種，所以3次射擊至少2次擊中目標的概率約為故選：C【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，屬于基礎題.5.將一個棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，球體最大體積直徑為棱長，利用球的體積公式即可求解.【詳解】正方體的棱長為3cm，所以球體最大體積的半徑，所以球的體積：.故選：B【點睛】本題考查了正方體的內(nèi)切球、球的體積公式，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.6.已知正四棱柱中，，，則直線和所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以點為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，然后利用向量求出答案即可.【詳解】如圖，以點為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為正四棱柱中，，，所以所以所以，所以直線和所成的角的余弦值為故選：A【點睛】本題考查的是異面直線所成角的求法，考查了學生的基礎水平，屬于基礎題.7.在平行四邊形中，，若交于點M.且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知找到相似三角形，用向量、線性表示向量.【詳解】如圖，平行四邊形中，，，，.故選：B【點睛】此題考查平面向量的線性運算，屬于中檔題.8.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標.常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲、乙兩位同學分別隨機抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為（）A.1.75 B.1.85 C.1.95 D.2.05【答案】C【解析】【分析】設乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，根據(jù)這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8、方差為2.2可得，再根據(jù)方差的公式可求20個數(shù)據(jù)的方差.【詳解】設甲得到的十位市民的幸福感指數(shù)分別為，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，故這20位市民的幸福感指數(shù)的方差為，因為乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，，故，而，故，而，故所求的方差為，故選：C.【點睛】本題考查方差的計算，注意樣本數(shù)據(jù)的方差為，也可以是，本題屬于中檔題.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.若復數(shù)z滿足，則（）A. B.z的實部為1C. D.【答案】BC【解析】【分析】先利用復數(shù)的運算求出復數(shù)z，然后逐個分析判斷即可【詳解】解：由，得，所以z的實部為1，，，故選：BC【點睛】此題考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)的模，考查復數(shù)的有關(guān)概念，考查共軛復數(shù)，屬于基礎題10.是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.是單位向量 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運算判斷.【詳解】A.因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，所以是單位向量，故正確；B.因為，，所以，所以，故正確；C.因，所以，故錯誤；D.因為，，所以，所以，故正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查平面向量的概念，線性運算以及數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設事件“第一枚骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點數(shù)為偶數(shù)”，則（）A.M與N互斥 B.M與N不對立C.M與N相互獨立 D.【答案】BCD【解析】【分析】相互獨立事件，互斥事件，對立事件，利用定義即可以逐一判斷四個選項正誤.【詳解】對于選項A：事件與是可能同時發(fā)生的，故與不互斥，選項A不正確；對于選項：事件與不互斥，不是對立事件，選項正確；對于選項：事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，與相互獨立.對于選項：事件發(fā)生概率為，事件發(fā)生的概率，，選項正確.故選：【點睛】本題主要考查了相互獨立事件，互斥事件，對立事件，以及隨機事件的概率，屬于基礎題.12.已知正方體的棱長為2，點O為的中點，若以O為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個交點E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面C.與平面所成的角的大小為45°D.平面將正方體分成兩部分的體積的比為【答案】ACD【解析】【分析】如圖，計算可得分別為所在棱的中點，利用空間中點線面的位置關(guān)系的判斷方法可判斷A、B的正確與否，計算出直線與平面所成的角為后可得C正確，而幾何體為三棱柱，利用公式可求其體積，從而可判斷D正確與否.【詳解】如圖，連接，則，故棱與球面沒有交點.同理，棱與球面沒有交點.因為棱與棱之間的距離為，故棱與球面沒有交點.因為正方體的棱長為2，而，球面與正方體的棱有四個交點E，F(xiàn)，G，H，所以棱與球面各有一個交點，如圖各記為.因為為直角三角形，故，故為棱的中點.同理分別為棱的中點.由正方形、為所在棱的中點可得，同理，故，故共面.由正方體可得，故因為平面，平面，故平面，故A正確.因為在直角三角中，，，，與不垂直，故與不垂直，故平面不成立，故B錯誤.由正方體可得平面，而平面，所以，所以在正方形中，因為分別為的中點，故，因為，故平面，所以為直線與平面所成的角，而，故直線與平面所成的角為，因為，故與平面所成的角的大小為45°.故C正確.因為分別為所在棱的中點，故幾何體為三棱柱，其體積為，而正方體的體積為8，故平面將正方體分成兩部分的體積的比為，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查空間中線面位置的判斷、空間角的計算和體積的計算，注意根據(jù)球的半徑確定哪些棱與球面有交點，本題屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平行四邊形中，對角線與相交于點O，若向量，對應的復數(shù)分別是，，則向量對應的復數(shù)是______________.【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)的幾何意義，由求解.【詳解】因為向量，對應的復數(shù)分別是，，所以故答案為：【點睛】本題主要考查復數(shù)的幾何意義以及平面向量的減法運算，屬于基礎題.14.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.【答案】【解析】【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.15.如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點B與C的距離為________km.【答案】【解析】【分析】在中，根據(jù)，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理求解.【詳解】在中，因為，，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因為，，所以，由正弦定理得：，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.16.在中，，E，F(xiàn)是邊的三等分點，若，則_______________【答案】【解析】【分析】以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABCD，根據(jù)，得到，再根據(jù)，得到平行四邊形ABCD是菱形，則，設，利用勾股定理分別求得，的長度，在中利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABCD，則，因為，所以，設，則，因為，所以平行四邊形ABCD是菱形，所以，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的平行四邊形法則以及余弦定理的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求的值；（2）若，，求的周長.【答案】（1）；（2）9.【解析】【分析】（1）由正弦定理以及兩角和的正弦公式，再結(jié)合，即可得的值.（2）利用向量數(shù)量積定義知，可得，再利用余弦定理，可求，即可得周長.【詳解】（1）由正弦定理，得.∴，即又，∴.（2）∵∴由余弦定理，得即解得.∴的周長為.【點睛】本題主要考查了正弦、余弦定理，兩角和的正弦公式，向量數(shù)量積的定義，屬于中檔題.18.某中學高一年級舉行了一次數(shù)學競賽，從中隨機抽取了一批學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的第80百分位數(shù)；（2）若按照分層隨機抽樣從成績在，的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求至少有1人的成績在內(nèi)的概率.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積代表概率，所以所有小矩形面積之和等于，即可得a的值，成績在以下的頻率為，成績在分以下的頻率為，第80百分位數(shù)，.（2）先利用頻率之比求出，的兩組中應抽的人數(shù)，然后列出從這6人中隨機抽取2人包括的基本事件，至少有1人的成績在內(nèi)包括的基本事件，利用概率公式即可求概率.【詳解】（1）由題意可知，解得.∵，，，，∴成績在分以下的頻率為，成績在分以下頻率為，∴第80百分位數(shù)，..（2）∵，的頻率之比為∴從中隨機抽取人.從中隨機抽取人.從中隨機抽取的4人記為1，2，3，4，從中隨凱抽取的2人記為a，b，從這6人中隨機抽取2人的樣木空間為，共有15個樣本點，.設事件“至少有1人的成績在內(nèi)”，則，共有9個樣本點.∴.∴至少有1人的成績在內(nèi)的概率.【點睛】本題主要考查了用樣本估計總體，以及古典概率的計算，屬于中檔題.19.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面之間的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面，AE∥平面，且，即可證得平面平面；（2）先將平面與平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點B到面的距離，然后把當作頂點求出總體積，再把當作頂點利用等體積法建立方程，即可求出點到平面的距離【詳解】（1）證明：∵正方體中E，F(xiàn)分別為，的中點，∴∥，=∴四邊形是平行四邊形.∴.又平面，平，∴平面.∵∥，=∴四邊形是平行四邊形.∴.又平向，平面，∴AE∥平面.又∵，∴平面平面.（2）平面與平面之間的距離也就是點B到面的距離，設為h，∵正方體的棱長為2，∴，，∴的面積∴三棱錐的體積，.又三棱錐的體積.由可得，解得.∴平面與平面之間的距離為.【點睛】此題考查空間位置關(guān)系、面面距離的計算、面面平行的判定、等體積求距離，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題20.如圖所示，在中，點D為邊上一點，且，，.（1）求的長；（2）若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）在中，首先利用兩角差的正弦公式求出，再利用正弦定理即可求解.（2）的面積，設，，由為銳角角形，即，即求.【詳解】解：（1）在中，∴.∴.在中，由正弦定理，得，即.（2）由題設知的面積.在中，由正弦定理，得設，則.∴為銳角角形，∴，，又，∴.∴.∴，從而.∴的面積的取值范圍是.【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，考查了基本運算求解能力，屬于中檔題.21.甲、乙兩人組成“星隊”進行定點投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設一點M，在點M處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設一點N，在點N處投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙兩人在M點投中的概率都為p，在N點投中的概率都為q.且在M，N兩點處投中與否互不影響.設定甲、乙兩人先在M處各投籃一次，然后在N處各投籃一次，甲、乙兩人的得分之和為“星隊”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為.（1）求p，q的值；（2）求“星隊”在一次比賽中的總得分為5分的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）設，，，分別表示在一次比賽中甲得分的事件，，，，分別表示在一次比賽中乙得分的事件，由題意結(jié)合在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為，由求解.（2）由題意知：，，，，設“星隊”在一次比賽屮的總得分為5分”，則，然后利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解.【詳解】（1）設，，，分別表示在一次比賽中甲得分的事件，，，，分別表示在一次比賽中乙得分的事件.因為在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為，所以.解得，.（2）由已知得，，，，設““星隊”在一次比賽屮的總得分為5分”，則，則，，，，所以“星隊”在一次比賽中的總得分為5分的概率是.【點睛】本題主要考查獨立事件和互斥事件的概率，還考查了分析求解問題的能力，屬于中檔題.22.如圖1所示，在直角梯形中，，，，，，邊上一點E滿足.現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，連接交于點O，證明平面即可；（2）延長，，設，連接，可得是平面與平面的交線，作，垂足為H，連接，然后證明為平面與平面所成銳二面角的平面角，然后求出即可.【詳解】（1）證明：在圖1中，連接，易求.∴四邊形為菱形.連接交于點O，則.∴在圖2中，，.又，∴平面.又平面，∴.（2）解：在圖2中延長，，設，連接.∵平面，平面.又平面，平面.∴是平面與平面的交線.∵平面平面，，平面平面，∴平面.又平面，∴.作，垂足為H，連接.又，∴平面，又平面，∴.∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角.由（1）知，，為等邊三角形，∴.∵，∴，解得在中，.∴∴平面與平面所成銳二面角余弦值.【點睛】本題考查的是線面垂直的證明和面面垂直的性質(zhì)、二面角的求法，考查了學生的空間想象能力和計算能力，屬于較難題.人教版高一年級下學期期末考試數(shù)學試卷（三）（本試卷4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.）注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置；2.作答選擇題時：選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上；非選擇題必須用黑色字跡的專用簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效；3.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，且（其中是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.2.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有名志愿者服用此藥，體重變化結(jié)果統(tǒng)計如下：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)如果另有一人服用此藥，估計這個人體重減輕的概率約為（）A. B. C. D.3.若圓錐的底面半徑與高均為，則圓錐的表面積等于（）A. B. C. D.4.隨機擲兩枚骰子，記“向上的點數(shù)之和是偶數(shù)”為事件，記“向上的點數(shù)之差為奇數(shù)”為事件，則（）A. B.C.互斥但不對立 D.對立5.在中，，，，則（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，上下底面均為等腰直角三角形，且平面，若該三棱柱存在內(nèi)切球，則（）A. B. C. D.7.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為，則密碼被破譯的概率為（）A. B. C. D.8.設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題中不正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.如圖，在四棱錐中，，，點分別為的中點，若，，則下述正確的是（）A. B.直線與異面C. D.三點共線10.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學生的吸煙情況，對隨機抽出的編號為的名學生進行了調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個問題，問題：您的編號是否為奇數(shù)？問題：您是否吸煙？被調(diào)查者隨機從設計好的隨機裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球個，紅球個）中摸出一個小球：若摸出白球則回答問題，若摸出紅球則回答問題，共有人回答“是”，則下述正確的是（）A.估計被調(diào)查者中約有人吸煙 B.估計約有人對問題的回答為“是”C.估計該地區(qū)約有的中學生吸煙 D.估計該地區(qū)約有的中學生吸煙11.如圖，在平行四邊形中，分別為線段的中點，，則（）A. B.C. D.12.如圖，線段為圓的直徑，點，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且，，則下述正確的是（）A.平面B.平面C.點到平面的距離為D.三棱錐外接球的體積為三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.已知向量與的夾角為120°，且，，則__________．14.在三棱錐中，若平面平面，且.則直線與平面所成角的大小為_____________.15.設角是的三個內(nèi)角，已知向量，，且.則角的大小為_____________.16.某人有把鑰匙，其中把能打開門，如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為_____________；如果試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為_____________.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，復數(shù).（1）求；（2）隨機從復數(shù)中有放回的先后任取兩個復數(shù)，求所取兩個復數(shù)的模之積等于的概率.18.如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，為中點，平面平面，為線段上的一點，，是等邊三角形.（1）證明：平面；（2）證明：；（3）證明：平面平面.19.在①；②這兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，并進行作答.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，.（1）求角的大?。唬?）求周長和面積.20.如圖，在半圓柱中，為上底面直徑，為下底面直徑，為母線，，點在上，點在上，，為中點.（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求二面角的正切值.21.有一種魚身體吸收汞，當這種魚身體中的汞含量超過其體重的（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產(chǎn)生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機選出條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差，并估計這批魚該項數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（2）有，兩個水池，兩水池之間有個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過條魚.（?。⑵渲泄暮孔畹偷臈l魚分別放入水池和水池中，若這條魚的游動相互獨立，均有的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）將其中汞的含量最低的條魚都先放入水池中，若這條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由水池進入水池且不再游回水池，求這兩條魚由不同小孔進入水池的概率.22.某學校高一名學生參加數(shù)學競賽，成績均在分到分之間.學生成績頻率分布直方圖如圖：（1）估計這名學生分數(shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；（精確到）（2）某老師抽取了名學生的分數(shù)：，已知這個分數(shù)的平均數(shù)，標準差，若剔除其中的和兩個分數(shù)，求剩余個分數(shù)的平均數(shù)與標準差.（參考公式：）（3）該學校有座構(gòu)造相同教學樓，各教學樓高均為米，東西長均為米，南北寬均為米.其中號教學樓在號教學樓的正南且樓距為米，號教學樓在號教學樓的正東且樓距為米.現(xiàn)有種型號的考試屏蔽儀，它們的信號覆蓋半徑依次為米，每個售價相應依次為元.若屏蔽儀可在地下及地上任意位置安裝且每個安裝費用均為元，求讓各教學樓均被屏蔽儀信號完全覆蓋的最小花費.（參考數(shù)據(jù)：）答案解析一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)共軛復數(shù)為，且（其中是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的除法求，根據(jù)共軛復數(shù)的概念即可求得【詳解】∴故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)，應用復數(shù)的除法求復數(shù)，并由共軛復數(shù)的概念求所得復數(shù)的共軛復數(shù)，屬于簡單題2.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有名志愿者服用此藥，體重變化結(jié)果統(tǒng)計如下：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)如果另有一人服用此藥，估計這個人體重減輕的概率約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由表中數(shù)據(jù)，用頻率估計概率求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)得：估計這個人體重減輕的概率約為故選：D【點睛】本題主要考查用頻率估計概率，屬于基礎題.3.若圓錐的底面半徑與高均為，則圓錐的表面積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑與高均為，利用勾股定理求得圓錐的母線長，然后由圓錐的表面積公式求解.【詳解】因為圓錐的底面半徑與高均為，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的表面積等于，故選：A【點睛】本題主要考查圓錐的幾何特征和表面積的求法，屬于基礎題.4.隨機擲兩枚骰子，記“向上的點數(shù)之和是偶數(shù)”為事件，記“向上的點數(shù)之差為奇數(shù)”為事件，則（）A. B.C.互斥但不對立 D.對立【答案】D【解析】【分析】把事件、的情況一一列出，即可判斷.【詳解】解：包括：兩枚骰子都出現(xiàn)偶數(shù)點，其和是偶數(shù)；兩枚骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點，其和是偶數(shù)；包括：一枚骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，另一枚骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其差奇數(shù)；故事件、對立.故選：D.【點睛】考查兩個事件之間關(guān)系的判斷，基礎題.5.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，過點作交于點，在中，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出，再在中，由，即可求出的值.【詳解】解：由題可知，在中，，，，如圖，過點作交于點，在中，，則，在中，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)關(guān)系解直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，屬于基礎題.6.在三棱柱中，上下底面均為等腰直角三角形，且平面，若該三棱柱存在內(nèi)切球，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知，，，由三角形內(nèi)切圓的半徑公式，可得內(nèi)切圓的半徑，而內(nèi)切球的半徑，棱柱的高，再由平面，可推出該三棱柱為直三棱柱，故．【詳解】由題可知，為等腰直角三角形，，，，內(nèi)切圓的半徑，此三棱柱存在內(nèi)切球，內(nèi)切球的半徑，且棱柱的高，平面，該三棱柱為直三棱柱，．故選：．【點睛】本題考查棱柱中的簡單計算，牢記三角形內(nèi)切圓的半徑公式是解題的關(guān)鍵，考查學生的空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．7.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為，則密碼被破譯的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】密碼被破譯分三種情況：甲破譯出密碼乙未破譯，乙破譯出密碼甲未破譯，甲乙都破譯出密碼，根據(jù)相互獨立事件的概率和公式可求解出答案.【詳解】設“甲獨立地破譯一份密碼”為事件A，“乙獨立地破譯一份密碼”為事件B，則，，，，設“密碼被破譯”為事件C，則，故選：B.【點睛】本題以實際問題為背景考查相互獨立事件的概念及其發(fā)生的概率的計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.8.設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題中不正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，則D若，，，則【答案】D【解析】選項A中，由于，故，又，故，A正確；選項B中，由得或，又，故只有，故B正確．選項C中，由面面垂直的判定定理可得C正確．選項D中，由題意得的關(guān)系可能平行、相交、垂直．故D不正確．綜上可知選項D不正確．選D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.如圖，在四棱錐中，，，點分別為的中點，若，，則下述正確的是（）A. B.直線與異面C. D.三點共線【答案】BCD【解析】【分析】對于，；對于，由條件可知直線與是異面直線；對于，由，，得；對于，，，是平面和平面的公共點，從而，，三點共線．【詳解】解：在四棱錐中，，，點，分別為，的中點，，，對于，，故錯誤；對于，平面，平面于，，由異面直線判定定理得直線與是異面直線，故正確；對于，點，分別為，的中點，，，，故正確；對于，，，平面平面，，，是平面和平面的公共點，，，三點共線，故正確．故選：．【點睛】本題考查命題真假的判斷，空間向量加法定理、異面直線判定定理、平行公式、平面的基本性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．10.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學生的吸煙情況，對隨機抽出的編號為的名學生進行了調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個問題，問題：您的編號是否為奇數(shù)？問題：您是否吸煙？被調(diào)查者隨機從設計好的隨機裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球個，紅球個）中摸出一個小球：若摸出白球則回答問題，若摸出紅球則回答問題，共有人回答“是”，則下述正確的是（）A.估計被調(diào)查者中約有人吸煙 B.估計約有人對問題的回答為“是”C.估計該地區(qū)約有的中學生吸煙 D.估計該地區(qū)約有的中學生吸煙【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意知被調(diào)查者回答第一個問題的概率為，其編號是奇數(shù)的概率也是，計算可得隨機抽出的名學生中回答第一個問題且為“是”的學生數(shù)，由此求出回答第二個問題且為是的人數(shù)，由此估計此地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比，進而估計出被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)，判斷選項可得結(jié)論．【詳解】隨機抽出的名學生中，回答第一個問題的概率是，其編號是奇數(shù)的概率也是，所以回答問題且回答是的人數(shù)為；所以回答第二個問題，且為是的人數(shù)；由此估計此地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為；估計被調(diào)查者中約有人吸煙；故表述正確的是BC．故選：BC．【點睛】本題考查了簡單隨機抽樣方法的應用問題，是中檔題．11.如圖，在平行四邊形中，分別為線段的中點，，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由向量的線性運算，結(jié)合其幾何應用求得、、、，即可判斷選項的正誤【詳解】，即A正確，即B正確連接AC，知G是△ADC的中線交點，如下圖示由其性質(zhì)有∴，即C錯誤同理，即∴，即D錯誤故選：AB【點睛】本題考查了向量線性運算及其幾何應用，其中結(jié)合了中線的性質(zhì)：三角形中線的交點分中線為1:2，以及利用三點共線時，線外一點與三點的連線所得向量的線性關(guān)系12.如圖，線段為圓的直徑，點，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且，，則下述正確的是（）A.平面B.平面C.點到平面的距離為D.三棱錐外接球的體積為【答案】ABC【解析】【分析】由，，易證平面，A正確；B，由所矩形所在平面和圓所在平面垂直，易證平面，所以，由線段為圓的直徑，所以，易證故B正確.C，由可求點到平面的距離為，C正確.D，確定線段的中點是三棱錐外接球心，進一步可求其體積，可判斷D錯誤.【詳解】解：，，四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故A正確.線段為圓的直徑，所以，矩形所在平面和圓所在平面垂直，平面平面，平面，所以平面，平面，所以平面，平面，，所以平面，故B正確.，是正三角形，所以，，所以平面，，，，，，是等腰三角形，的邊上的高，，，平面，平面，平面，點到平面的距離為，，，設點到平面的距離為，，，所以，故C正確.取的中點，則，，所以平面，所以所以是三棱錐外接球的球心，其半徑，三棱錐外接球的體積為，故D錯誤，故選：ABC.【點睛】綜合考查線面平行與垂直的判斷，求點面距離以及三棱錐的外接球的體積求法，難題.三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.已知向量與的夾角為120°，且，，則__________．【答案】7【解析】由題意得，則714.在三棱錐中，若平面平面，且.則直線與平面所成角的大小為_____________.【答案】；【解析】【分析】過作，交于，推導出是中點，且平面，從而直線與平面所成角為，由此能求出直線與平面所成角的大?。驹斀狻窟^作，交于，∵在三棱錐中，平面平面，且，∴為等腰直角三角形，是中點，且平面，∴直線與平面所成角為，∵在等腰直角三角形中，∴直線與平面所成角的大小為．故答案為：．【點睛】本題考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．15.設角是的三個內(nèi)角，已知向量，，且.則角的大小為_____________.【答案】【解析】【分析】先利用得到三角正弦之間的關(guān)系，再根據(jù)正、余弦定理求出，即得角.【詳解】因為，，且所以即根據(jù)正弦定理得故根據(jù)余弦定理知，又因為得故答案為：.【點睛】本題考查了向量垂直的坐標運算和正余弦定理的應用，是常考的綜合題，屬于中檔題.16.某人有把鑰匙，其中把能打開門，如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為_____________；如果試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為_____________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】不能打開門的鑰匙扔掉，第二次才能打開門，即為第一次取了開不了門的鑰匙，余下兩把則一定可以開門，即可求出概率；試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門，即為兩次取鑰匙互為獨立事件，即可求出概率【詳解】有把鑰匙，其中把能打開門，隨機地取一把鑰匙試著開門1、把不能打開門的鑰匙扔掉，第二次才能打開門，即第一次打不開的概率為，第二次一定能打開，所以它的概率是2、試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門，即第一次打不開的概率為，第二次能打開的概率，所以它的概率是故答案為：；【點睛】本題考查了有放回與不放回試驗的概率，不放回：前后事件是相關(guān)事件，即后發(fā)生事件的概率隨前一事件的發(fā)生而改變；而有放回：前后事件相互獨立，概率始終保持不變四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，復數(shù).（1）求；（2）隨機從復數(shù)中有放回的先后任取兩個復數(shù)，求所取兩個復數(shù)的模之積等于的概率.【答案】（1）；；；；（2）.【解析】【分析】（1）化簡，再根據(jù)復數(shù)的模的公式計算即可得答案；（2）根據(jù)古典概型的方法列舉基本事件及兩個復數(shù)的模之積等于包含的事件，再根據(jù)公式計算即可.【詳解】解：（1）由題意知：，，（2）設隨機從復數(shù)中有放回的任取兩個復數(shù)的樣本點為，則該隨機試驗的樣本空間為所以設事件“所取兩個復數(shù)的模之積等于”，則事件，所以所以.【點睛】本題考查復數(shù)的運算與古典概型問題，考查運算能力，是基礎題.18.如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，為的中點，平面平面，為線段上的一點，，是等邊三角形.（1）證明：平面；（2）證明：；（3）證明：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，即可判定線線平行；（3）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面，再由面面垂直的判定定理，即可證明面面垂直.【詳解】（1）在平行四邊形中，連接交于點，則為的中點，連接，因為點為中點，所以為的中位線，所以；所以平面，平面，所以平面；（2）因為，平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面所以；（3）因為為正三角形，點為中點，所以；又因為，，所以平面；又因為平面；所以，平面平面.【點睛】本題主要考查證明線面平行，證明線線平行，證明面面垂直，熟記判定定理以及性質(zhì)定理即可，屬于?？碱}型.19.在①；②這兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，并進行作答.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，.（1）求角的大??；（2）求周長和面積.【答案】選擇見解析；（1）；；（2）周長為；面積.【解析】【分析】（1）若選擇①，首先得出，然后算出和即可，若選擇②，求出即可；（2）由正弦定理算出即可.【詳解】（1）若選擇①：因為，，所以所以因為，所以，又因為，所以，若選擇②：設為方程，的兩根解得，且所以所以（2）由正弦定理知：因為，，所以所以的周長為所以的面積【點睛】本題考查的是三角恒等變換、正弦定理和三角形的面積公式，考查了學生對基礎知識的掌握情況和計算能力.20.如圖，在半圓柱中，為上底面直徑，為下底面直徑，為母線，，點在上，點在上，，為的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）；（3）2.【解析】【分析】（1）求出底面面積與高，然后求解．（2）過點作圓柱的母線交于，說明為直線與所成的角，通過求解三角形推出結(jié)果．（3）說明為二