期末重難點特訓（三）之易錯必刷題型專訓【題型目錄】題型一二次根式的有意義的條件題型二二次根式的分母有理化問題題型三二次根式的化簡求值問題題型四勾股定理的應用題型五勾股定理與折疊問題題型六最短路徑問題題型七利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解題型八與三角形中位線有關(guān)的求解問題題型九特殊平行四邊形的折疊問題題型十四邊形的動點問題題型十一四邊形的線段最值問題題型十二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題題型十三根據(jù)一次函數(shù)增減性求參數(shù)題型十四一次函數(shù)的應用問題題型十五數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度易錯題【易錯題型一二次根式的有意義的條件】1．（2023春·八年級單元測試）已知實數(shù)滿足條件，那么的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）若，則等于（）A．1 B．5 C． D．3．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）設x，y均為實數(shù)，且，則的值為_______．4．（2023春·重慶渝北·八年級為明學校?？茧A段練習）兩江新區(qū)某校數(shù)學興趣小組同學在學習了二次根式之后對于產(chǎn)生了濃厚的興趣，他們研究了四個問題，并得到一些結(jié)論，其中正確的有_________________．的值隨的變化而變化，當時，此代數(shù)式有最小值2；在的條件下化簡的結(jié)果為2；當?shù)闹岛銥槎ㄖ禃r，字母的取值范圍是；若，則字母必須滿足．5．（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┰趯W習完二次根式后，數(shù)學興趣小組開始自主研究根式方程的解法，針對關(guān)于x的根式方程，小組成員展開討論（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．材料一：小健同學：回憶分式方程解法，首先要去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，二元方程也是，首先要消元，將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程；小康同學：對，就是要往解的形式轉(zhuǎn)化，現(xiàn)在關(guān)鍵就是要把根號化去；小聰同學：我有辦法，方程左右兩邊同時平方就可以化去根號；小明同學：對，平方可以化去根號，但可能不屬于同解變形，得注意驗根……材料二：解：兩邊平方得：．解得：．檢驗：將代入原方程，成立．∴原方程的解為．通過以上材料，完成下列問題：(1)解關(guān)于x的方程；(2)解關(guān)于x的方程．【易錯題型二二次根式的分母有理化問題】1．（2023春·安徽合肥·八年級中國科技大學附屬中學?？计谥校┮阎?，，，那么，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．（2023春·廣東汕頭·八年級?？计谥校┪覀冎佬稳?，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要是把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)．如：，．這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下結(jié)論：①；②設有理數(shù)a，b滿足，則；③；④已知，則；⑤．以上結(jié)論正確的有（

）A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④3．（2023·四川成都·校考二模）若是的小數(shù)部分，則______．4．（2023春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期中）觀察解題過程：①；②……化簡：______．5．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，解決問題：像、、、……，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如，和、與、與等都是互為有理化因式．在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．我們把通過適當?shù)淖冃位シ帜钢懈柕倪\算叫做分母有理化．例如：；；(1)計算：______；____；(2)計算：；(3)比較和的大小，并說明理由．【易錯題型三二次根式的化簡求值問題】1．（2023春·全國·八年級專題練習）已知，則的值為（）．A．﹣2 B．2 C．2 D．-22．（2023春·湖北恩施·八年級校聯(lián)考階段練習）若，則的值是（

）A． B．4 C．1 D．83．（2023春·浙江·八年級期中）已知，，則代數(shù)式的值是____________；4．（2023春·安徽亳州·八年級?？茧A段練習）已知，那么的值為__________.5（2023春·全國·八年級專題練習）在數(shù)學課外學習活動中，小明和他的同學遇到一道題：已知，求的值，他是這樣解答的：∵，∴，∴，，∴．∴．請你根據(jù)小明的解題過程，解決如下問題：(1)___________；(2)化簡：；(3)若，求的值．【易錯題型四勾股定理的應用】1．（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，．分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線交于點F，交于點O．若點O是的中點，則的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·遼寧鞍山·八年級校考階段練習）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面積為80．連接，交于點，交于點，連接．則圖中陰影部分的面積之和為（

）．

A．8 B．12 C．16 D．203．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考一模）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點A、C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別相交于點M、N；②作直線交于點D．若，，，則的面積等于_______．4．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，則的長為__________．5．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，C為線段AB上一點，，，射線于點C，P為射線CD上一點，連接PA，PB．(1)【發(fā)現(xiàn)、提出問題】①當時，求的值；②小亮發(fā)現(xiàn)PC取不同值時，的值存在一定規(guī)律，請猜想該規(guī)律____________．(2)【分析、解決問題】請證明你的猜想．(3)【運用】當時，的周長為_____________．【易錯題型五勾股定理與折疊問題】1．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，．將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕l，則l的長為（

）A． B． C．5 D．32．（2023春·重慶渝北·八年級禮嘉中學?？茧A段練習）如圖，已知直角三角形，點D是邊上一點，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點F．若，，則點E到的距離為（）A． B． C． D．3．（2023春·四川達州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，使點落在邊上的點處；再將邊沿翻折，使點落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點、，則的長為_____．4．（2023·河南鄭州·?？级＃┤鐖D，在中，，，，點E是邊上一點，且，點F是邊上一動點，連接，與關(guān)于EF所在的直線對稱，連接，當點P恰好在直角直角邊的垂直平分線上時，的長為______．5．（2023春·廣東東莞·八年級虎門五中?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，長方形紙片的邊在x軸的正半軸上，點D與點O重合，點B坐標為，若把圖形按如圖所示折疊，使B，D兩點重合，折痕為．(1)求證：；(2)求的長；(3)求折痕的長．【易錯題型六最短路徑問題】1．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，圓柱形容器高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距離為（）A． B． C． D．2．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．123．（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4cm，底面是長為5cm寬為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B．則螞蟻經(jīng)過的最短路程_________cm4．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩個側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學過的數(shù)學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最短路徑為________米．5．（2023春·廣東廣州·八年級廣州大學附屬中學校聯(lián)考期中）如圖1，為線段上一動點，分別過點B、D作，，連接、．已知，，，設．(1)用含的代數(shù)式表示的長為________；(2)求的最小值________；(3)根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請模仿圖1在網(wǎng)格中（圖2）構(gòu)圖并求代數(shù)式的最小值．【易錯題型七利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】1．（2023春·北京·八年級校聯(lián)考期中）如圖，的對角線、交于點，平分交于點，且，，連接．下列結(jié)論中不成立的是(

)A． B． C． D．2．（2023春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，平行四邊形中，為對角線交點，平分，平分，，，則的長為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．（2023春·八年級單元測試）如圖，平行四邊形的對角線相交于點O，且，過O作交于點E，若的周長為，則平行四邊形的周長為____．

4．（2023春·江蘇常州·八年級常州市第二十四中學?？计谥校┤鐖D，在中，，、分別是與的角平分線，交點為點O，，則___________．

5．（2023春·遼寧鞍山·八年級校考階段練習）如圖，在中，點是對角線的中點，以點為圓心，為半徑作弧，交于點，連接并延長交于點．

(1)求證：；(2)過點作于點，延長交于點，．①求證：；②若，求的長．【易錯題型八與三角形中位線有關(guān)的求解問題】1．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，對角線、相交于點O，，E，F(xiàn)，G分別是的中點，點N為與的交點．下列結(jié)論：①；②；③平分；④，其中必定正確的結(jié)論是（）A．①②④ B．①③ C．①②③ D．③④2．（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級校考階段練習）如圖，的對角線，交于點，平分交于點，且，，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，成立的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023春·江蘇·八年級期中）如圖，在四邊形中，已知，M、N、P分別是、、的中點，，，則的度數(shù)為___________．4．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，，，，分別是，，的中點，下列結(jié)論：①；②四邊形是平行四邊形；③；④，其中正確的有_______個．5．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，點D，E分別是的邊的中點．求證：，且．方法一證明：如圖，過點C作，交的延長線于點F．方法二證明：如圖，延長到點F，使得，連接．【易錯題型九特殊平行四邊形的折疊問題】1．（2023·陜西西安·高新一中?？既＃┤鐖D，在矩形中，點、分別在邊、上，且，將矩形沿直線折疊，點恰好落在邊上的點處，連接交于點，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，正方形中，，點E在邊CD上，且．將沿AE對折至，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）已知正方形，點是邊上一動點，將正方形沿折疊，點的對應點為點，若是以為底的等腰三角形，則的度數(shù)為______．4．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）如圖①，將一張正方形紙片對折，得到折痕，再折出矩形的對角線．如圖②，將折到上，點A落在上的點處，折痕為．若，則_______．5．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷操作一：在正方形紙片的邊上取一點E，沿折疊，得到折線，把紙片展平；操作二：對折正方形紙片，使點C和點E重合，得到折線把紙片展平．根據(jù)以上操作，判斷線段的大小關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．(2)深入探究如圖2，設與交于點I．小華測量發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過思考，他連接，并作的高，嘗試證明，．請你幫助完成證明過程．(3)拓展應用在（2）的探究中，已知正方形的邊長為，當點I是的三等分點時，請直接寫出的長．【易錯題型十四邊形的動點問題】1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一點且CE=3，連接DE，動點M從點A以每秒2個單位長度的速度沿AB-BC-CD-DA向終點A運動，設點M的運動時間為t秒，當△ABM和△DCE全等時，t的值是（

）A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.52．（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知在正方形ABCD中，厘米，，點E在邊AB上，且厘米，如果點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上以a厘米/秒的速度由C點向D點運動，設運動時間為t秒．若存在a與t的值，使與全等時，則t的值為（

）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或24．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，，cm，cm，cm．點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．若運動ts時，則運動時間t的值是______s．4．（2022春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點P在邊上以的速度從點A向點D運動，點Q在邊上以的速度從點C出發(fā)，在間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動）．設運動（其中）時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形是平行四邊形，則t的所有可能取值為______．5．（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，，，，點P從點B出發(fā)，沿射線方向運動；點Q從點D同時出發(fā)，沿方向運動，到點A為止，運動的時間為t．

(1)若點P的運動速度為3個單位/秒，點Q的運動速度為1個單位/秒，若運動到以點P、C、D、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，求t的值；(2)若點P的運動速度為m個單位/秒，點Q的運動速度為n個單位/秒，若運動中能使以點P、C、D、Q為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出m、n的數(shù)量關(guān)系．【易錯題型十一四邊形的線段最值問題】1．（2023·四川德陽·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的邊長為8，，點E，F(xiàn)分別是，邊上的動點，且，過點B作于點G，連接，則長的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖：是邊長為1的正方形的對角線上一點，且，為上任意一點，于點，于點，則的值是（）A． B． C． D．3．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在正方形中，，為邊上一點，．為對角線上一動點（不與點、重合），過點分別作于點、于點，連接、，則的最小值為______．5．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作交CB的延長線于點G．(1)求證：；(2)當滿足什么條件時，四邊形DEBF是菱形（不需要證明）(3)請利用備用圖分析，在（2）的條件下，若，，點M為BF的中點，當點P在BD邊上運動時，求的最小值．【易錯題型十二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題】1．（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預測）已知一次函數(shù)和，則函數(shù)和的圖象可能是（

）A．B．C． D．2．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點，，且軸．可移動的直線：，從直線的位置出發(fā)，沿軸正方向平移，平移距離為，有以下結(jié)論：①當時，直線的表達式為；②若矩形的四個頂點分別在直線的兩側(cè)，則；③當時，點和點關(guān)于直線對稱．其中正確的有（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023·遼寧鐵嶺·?？级＃┤鐖D，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，點D為的中點，的頂點C在x軸上，頂點E在直線上，則的面積為______．

4．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)45°，交軸于點，則點的坐標為___________．5．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線l上有一點，將點A先向左平移3個單位，再向下平移4個單位得到點B，點B恰好在直線l上．

(1)寫出點B的坐標，并求出直線l的表達式；(2)如果點C在y軸上，且，求點C的坐標．【易錯題型十三根據(jù)一次函數(shù)增減性求參數(shù)】1．（2023·陜西西安·西安市第二十六中學?？寄M預測）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若自變量的取值范圍是，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．112．（2023秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線l是一次函數(shù)的圖象，且直線l過點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．直線l過坐標為的點C．若點，在直線l上，則D．3．（2021秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法：①，；②是方程的解；③若點，、，是這個函數(shù)的圖象上的點，且，則；④當，函數(shù)的值，則．其中正確的序號為___________．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在正數(shù)，函數(shù)值都滿足，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)．其中，的最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．若函數(shù)（，且）中，的最大值是2，邊界值小于3，則應滿足的條件是______．5．（2023春·北京海淀·八年級?？茧A段練習）探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小明根據(jù)學習一次函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小明的探究過程，請補充完整：第一步：的自變量的取值范圍是全體實數(shù)；第二步：x與y的幾組對應值：x…01…y…21012…(1)第三步：建立平面直角坐標系，描出表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象；(2)第四步：的函數(shù)圖象，得出了如下幾條結(jié)論：①當時，函數(shù)有最小值為；②當時（填寫自變量取值范圍），隨的增大而增大；當時（填寫自變量取值范圍），隨的增大而減少；③圖象關(guān)于過點且垂直于x軸的直線對稱；④函數(shù)與有一個交點，k的取值范圍是．【易錯題型十四一次函數(shù)的應用問題】1．（2023春·山東德州·八年級校考階段練習）如圖，的頂點坐標分別為，，，將沿軸向右平移，當點落在直線上時，線段掃過的面積為()A．36 B．48 C． D．162．（2023春·四川宜賓·八年級?？茧A段練習）某通訊公司推出一種每月話費的套餐，其用戶應繳費用s（元）與通話時間t（分）之間的關(guān)系如圖所示，若某用戶繳費40元，則其通話時間為（）A．120分鐘 B．160分鐘 C．180分鐘 D．200分鐘3．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）某京郊民宿有二人間、三人間、四人間三種客房供游客住宿，某旅游團有25位女士游客準備同時住這三種客房共8間，如果每間客房都要住滿，請寫出一種住宿方案__________；如果二人間、三人間、四人間三種客房的收費標準分別為300元/間、360元/間、400元/間，則最優(yōu)惠的住宿方案是_________．4．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，某電信公司提供了A、B兩種方案的移動通訊費用y（元）與通話時間x（元）之間的關(guān)系．如果通訊費用為60元，那么A方案與B方案的通話時間相差________分鐘．5．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）云南鮮花餅遠近聞名，為了更好地服務好顧客，昆明某鮮花店新購進了兩種新款鮮花餅，相關(guān)信息如下表：種別玫瑰鮮花餅茉莉鮮花餅進價（元/盒）3045備注①用不超過1950元購進兩種鮮花餅共50盒；②茉莉鮮花餅不少于20盒；(1)已知茉莉鮮花餅的標價是玫瑰鮮花餅標價的倍，若顧客用750元購買兩種鮮花餅，能單獨購買茉莉鮮花餅的數(shù)量恰好比單獨購買玫瑰鮮花餅的數(shù)量少5盒，請求出玫瑰鮮花餅、茉莉鮮花餅兩種鮮花餅的標價；(2)為了讓利給消費者，商店老板便調(diào)整了銷售方案，茉莉鮮花餅按照標價8折銷售，玫瑰鮮花餅價格不變，那么商店應如何進貨才能獲得最大利潤？【易錯題型十五數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度易錯題】1．（2023年湖南省永州市中考模擬數(shù)學試題）第1組數(shù)據(jù)為：0，0，0，1，1，1，第2組數(shù)據(jù)有m個0還有n個1：其中m，n是正整數(shù)．下列結(jié)論：①當時，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等；②當時，第1組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于第2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；③當時，第1組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第2組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；④當時，第2組數(shù)據(jù)的方差小于第1組數(shù)據(jù)的方差．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）為了解跳水運動員的冬訓情況，教練從16名隊員中隨機選8位隊員進行“規(guī)定動作跳水”測試，得分如下（滿分10分）：10，6，9，9，7，8，9，6，則以下判斷正確的是（

）A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是9，說明全體隊員的平均成績達到9分B．這組數(shù)據(jù)的方差是2，說明這組數(shù)據(jù)的波動很小C．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8，可以估計隊內(nèi)其它隊員的平均成績大約也是8分D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8，說明得8分以上的人數(shù)占大多數(shù)3．（2022春·八年級單元測試）某魚塘放養(yǎng)魚苗萬條根據(jù)這幾年的經(jīng)驗知道，魚苗成活率為．一段時間后準備打撈出售第一次網(wǎng)出條，稱得平均每條魚重千克，第二次網(wǎng)出條，稱得平均每條魚重千克，第三次網(wǎng)出條，稱得平均每條魚重千克，魚塘中的魚總質(zhì)量大約是_____________萬千克精確到萬位4．（2023春·全國·八年級專題練習）已知兩組數(shù)據(jù)3，，5，與，4，的平均數(shù)都是6，若將這兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________．5．（2023·陜西西安·校考三模）期末考試后，某市第一中學為了解本校九年級學生期末數(shù)學成績情況，決定對該年級學生期末考試數(shù)學考試成績進行抽樣分析，已知九年級共有12個班，每班48名學生．請按要求回答下列問題：(1)收集數(shù)據(jù)：若要從全年級學生中抽取一個96人的樣本，你認為以下抽樣方法最合理的是______．（只填寫序號）①隨機抽取兩個班級的96名學生；②在全年級學生中隨機抽取96名學生；③全年級12個班中分別各隨機抽取8名學生；④從全年級學生中隨機抽取96名男生．(2)整理數(shù)據(jù)：將抽取的96名學生的成績進行分組，繪制頻數(shù)分布表和成績分布扇形統(tǒng)計圖（不完整）如下，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)填空：①A類成績的頻數(shù)為______，C類部分的圓心角度數(shù)為______；②估計全年級A、B類學生大約一共有多少名？成績（單位：分）頻數(shù)頻率A類（80～100）0.5B類（60～79）0.25C類（40～59）16D類（0～39）8(3)分析數(shù)據(jù)：第一中學為了解學校教學情況，將第二中學九年級的抽樣數(shù)據(jù)和本校進行對比，得表：學校平均分（分）方差中位數(shù)（分）第一中學7343280第二中學7149783

你認為哪所學校的教學效果較好？結(jié)合數(shù)據(jù)，請任選一個角度來解釋你的觀點．期末重難點特訓（三）之易錯必刷題型專訓【題型目錄】題型一二次根式的有意義的條件題型二二次根式的分母有理化問題題型三二次根式的化簡求值問題題型四勾股定理的應用題型五勾股定理與折疊問題題型六最短路徑問題題型七利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解題型八與三角形中位線有關(guān)的求解問題題型九特殊平行四邊形的折疊問題題型十四邊形的動點問題題型十一四邊形的線段最值問題題型十二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題題型十三根據(jù)一次函數(shù)增減性求參數(shù)題型十四一次函數(shù)的應用問題題型十五數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度易錯題【易錯題型一二次根式的有意義的條件】1．（2023春·八年級單元測試）已知實數(shù)滿足條件，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再化簡絕對值、算術(shù)平方根的性質(zhì)即可得．【詳解】解：由題意得：，即，，即，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件、化簡絕對值、算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)的非負性是解題關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）若，則等于（）A．1 B．5 C． D．【答案】D【分析】利用二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，可列出關(guān)于x的一元一次不等式組，從而可求出，進而得出y的值，再利用有理數(shù)的乘方運算法則計算即可．【詳解】解：∵，∴，解得：．∴，∴．故選D．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，一元一次不等式組的應用，有理數(shù)的乘方運算．掌握二次根式中被開方數(shù)是非負數(shù)是解題關(guān)鍵．3．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）設x，y均為實數(shù)，且，則的值為_______．【答案】【分析】先根據(jù)二次根式的定義求出和的值，然后再將和的值代入要求得式子即可；【詳解】解：由二次根式的性質(zhì)可得：，，將代入中得：，，將，代入上式得：原式．故答案為：【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，以及二次根式的化簡等知識點，熟知二次根式有意義的條件的運用是解題關(guān)鍵．4．（2023春·重慶渝北·八年級為明學校校考階段練習）兩江新區(qū)某校數(shù)學興趣小組同學在學習了二次根式之后對于產(chǎn)生了濃厚的興趣，他們研究了四個問題，并得到一些結(jié)論，其中正確的有_________________．的值隨的變化而變化，當時，此代數(shù)式有最小值2；在的條件下化簡的結(jié)果為2；當?shù)闹岛銥槎ㄖ禃r，字母的取值范圍是；若，則字母必須滿足．【答案】【分析】分別根據(jù)完全平方公式對代數(shù)式進行化簡，根據(jù)絕對式的性質(zhì)分情況討論，即可得到答案．【詳解】解：∵∴代數(shù)式有最小值隨隨的變化而變化，當時，，當時，，當時，，∴，故和正確，∵，當時，，當時，，故正確；∵，故無論a為何值，均成立，故錯誤，故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式、絕對值和二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識．5．（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┰趯W習完二次根式后，數(shù)學興趣小組開始自主研究根式方程的解法，針對關(guān)于x的根式方程，小組成員展開討論（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．材料一：小健同學：回憶分式方程解法，首先要去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，二元方程也是，首先要消元，將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程；小康同學：對，就是要往解的形式轉(zhuǎn)化，現(xiàn)在關(guān)鍵就是要把根號化去；小聰同學：我有辦法，方程左右兩邊同時平方就可以化去根號；小明同學：對，平方可以化去根號，但可能不屬于同解變形，得注意驗根……材料二：解：兩邊平方得：．解得：．檢驗：將代入原方程，成立．∴原方程的解為．通過以上材料，完成下列問題：(1)解關(guān)于x的方程；(2)解關(guān)于x的方程．【答案】(1)；(2)無解【分析】仿照例題，兩邊平方，得到整式方程，解整式方程，再檢驗即可求解．【詳解】（1）解：兩邊平方得：．解得：．檢驗：將代入原方程，成立．∴原方程的解為；（2）解：兩邊平方得：．解得：．檢驗：當時，，即是增根．∴原方程無解．【點睛】本題考查了解無理方程，掌握解無理方程的步驟是解題的關(guān)鍵．注意一定要驗根．【易錯題型二二次根式的分母有理化問題】1．（2023春·安徽合肥·八年級中國科技大學附屬中學?？计谥校┮阎?，，，那么，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別計算，，的倒數(shù)，然后再進行比較，即可解答．【詳解】解：，，，，，，都是正數(shù)，，故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)大小比較，熟練掌握分母有理化是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東汕頭·八年級?？计谥校┪覀冎佬稳纾臄?shù)可以化簡，其化簡的目的主要是把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)．如：，．這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下結(jié)論：①；②設有理數(shù)a，b滿足，則；③；④已知，則；⑤．以上結(jié)論正確的有（

）A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】利用有理化因式進行變形計算后即可判斷．【詳解】解：①，故正確；②，∴，故錯誤；③，，∵，∴，故正確；④∵，而，∴，故錯誤；⑤，故正確；正確的有①③⑤，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可，再二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．3．（2023·四川成都·?？级＃┤羰堑男?shù)部分，則______．【答案】/【分析】先估算無理數(shù)的大小，得出，然后將值代入，結(jié)合二次根式的性質(zhì)和平方差公式進行化簡即可得出答案．．【詳解】，，的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是，，，故答案為：．【點睛】本題考查了無理數(shù)估算大小，二次根式的性質(zhì)，平方差公式，熟練掌握相關(guān)運算法則和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期中）觀察解題過程：①；②……化簡：______．【答案】【分析】根據(jù)閱讀材料先分母有理化，然后合并即可．【詳解】原式===【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．5．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，解決問題：像、、、……，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如，和、與、與等都是互為有理化因式．在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．我們把通過適當?shù)淖冃位シ帜钢懈柕倪\算叫做分母有理化．例如：；；(1)計算：______；____；(2)計算：；(3)比較和的大小，并說明理由．【答案】(1)；(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)分母有理化的定義及方法，即可求解；（2）根據(jù)分母有理化的定義及方法，即可求解；（3）利用倒數(shù)法比較大小及分母有理化的方法，即可求解．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）解：（3）解：，，．【點睛】本題考查了分母有理化的定義及方法，利用倒數(shù)法比較大小，熟練掌握和運用分母有理化的方法是解決本題的關(guān)鍵．【易錯題型三二次根式的化簡求值問題】1．（2023春·全國·八年級專題練習）已知，則的值為（）．A．﹣2 B．2 C．2 D．-2【答案】B【分析】根據(jù)所給字母的值，直接代入求值即可．【詳解】解：，，故選：B．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及到分母有理化及實數(shù)的加減運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北恩施·八年級校聯(lián)考階段練習）若，則的值是（

）A． B．4 C．1 D．8【答案】A【分析】先將原式變形為，再根據(jù)非負性的性質(zhì)求出a、b、c的值，然后代值計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，二次根式的化簡求值，正確根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·八年級期中）已知，，則代數(shù)式的值是____________；【答案】【分析】根據(jù)題意可判斷，，然后再根據(jù)二次根式乘除法法則和合并同類二次根式法則進行化簡求值即可．【詳解】，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式乘除法公式和合并同類二次根式法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽亳州·八年級?？茧A段練習）已知，那么的值為__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求出的值，再由：，即可得出答案．【詳解】解:，得：，，，故答案為：.【點睛】本題考查完全平方公式的變形運用，能利用已知條件求出，再將化為平方形式，再化回來是關(guān)鍵．5（2023春·全國·八年級專題練習）在數(shù)學課外學習活動中，小明和他的同學遇到一道題：已知，求的值，他是這樣解答的：∵，∴，∴，，∴．∴．請你根據(jù)小明的解題過程，解決如下問題：(1)___________；(2)化簡：；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分母有理化計算；（2）先將每一項分母有理化，然后合并即可；（3）先根據(jù)分母有理化得出，兩邊平方得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】（1）故答案為：（2）解：原式=；（3），，，即．．．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值：解答時一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．【易錯題型四勾股定理的應用】1．（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，．分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線交于點F，交于點O．若點O是的中點，則的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】連接，根據(jù)基本作圖，以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點E,并且點O是的中點，可得垂直平分，由垂直平分線的性質(zhì)得出，設，那么，再利用勾股定理求出的長，即可得到的長．【詳解】解：連接，如圖所示：

根據(jù)題意得：點E到線段兩端的距離相等、，∴垂直平分，∴，設，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴．故選：C．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和解三角形，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·遼寧鞍山·八年級?？茧A段練習）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面積為80．連接，交于點，交于點，連接．則圖中陰影部分的面積之和為（

）．

A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】設，，根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理可求得，再根據(jù)題意和三角形的面積公式可推導出，進而推出陰影部分的面積之和為梯形的面積，利用梯形面積公式求解即可．【詳解】解：由題意，，，，∴，，，∴，∴，∴，，∵，∴設，則，，∴，∴，∴陰影部分的面積之和為，∵正方形的面積為，∴即，∴，∴陰影部分的面積之和為16．故選C．【點睛】本題考查勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、梯形的面積、三角形的面積，解答的關(guān)鍵是理解題意，找尋圖形中線段間的關(guān)系，然后利用勾股定理和梯形的面積公式以及轉(zhuǎn)化的思想方法求解．3．（2023·海南海口·統(tǒng)考一模）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點A、C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別相交于點M、N；②作直線交于點D．若，，，則的面積等于_______．【答案】14【分析】連接，由題意可得：是的垂直平分線，證明是等腰直角三角形即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示，由題意可得：是的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：14．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、勾股定理等，熟練掌握和應用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，則的長為__________．【答案】/【分析】過點作交于，求出，推出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理求出，相加即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點作交于，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，C為線段AB上一點，，，射線于點C，P為射線CD上一點，連接PA，PB．(1)【發(fā)現(xiàn)、提出問題】①當時，求的值；②小亮發(fā)現(xiàn)PC取不同值時，的值存在一定規(guī)律，請猜想該規(guī)律____________．(2)【分析、解決問題】請證明你的猜想．(3)【運用】當時，的周長為_____________．【答案】(1)①；②(2)見解析(3)18【分析】（1）①根據(jù)勾股定理先求出、的值，再計算即可得出答案；②根據(jù)勾股定理可猜想為定值12；（2）設，根據(jù)勾股定理表示出、再代入即可得出答案；或根據(jù)垂直及勾股定理即可得證；（3）根據(jù)及平方差公式即可得出，再根據(jù)線段的和差即可得出答案．【詳解】（1）①∵，，，，∴，．∴．②當PC取不同值時，為定值12故答案為（2）設，則有，∴．或∵，∴，∴．∴．（3）由（1）得，即，，的周長為．故答案為18【點睛】本題考查了勾股定理、平方差公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【易錯題型五勾股定理與折疊問題】1．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，．將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕l，則l的長為（

）A． B． C．5 D．3【答案】A【分析】由勾股定理求出，設，運用等積法可求出，再用勾股定理求出即可．【詳解】解：中，，，．∴，設，∵∴，解得．中，∴的長為．故選A．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶渝北·八年級禮嘉中學校考階段練習）如圖，已知直角三角形，點D是邊上一點，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點F．若，，則點E到的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點E作于點M，先根據(jù)勾股定理求出的長度，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，繼而利用三角形的面積公式求出，再求出,，利用三角形的面積求解即可．【詳解】過點E作于點M，∴，在直角三角形，，，，∴，∵把沿著翻折，得到，∴，∴，∴，即，解得，∴,，∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，折疊的性質(zhì)，熟練掌握知識點，準確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川達州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，使點落在邊上的點處；再將邊沿翻折，使點落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點、，則的長為_____．【答案】【分析】首先證明是等腰直角三角形，利用面積法求出，可得，由勾股定理求出，即可求得的長．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，，，，，，是等腰直角三角形，，，根據(jù)勾股定理得：，，，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出、是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023·河南鄭州·?？级＃┤鐖D，在中，，，，點E是邊上一點，且，點F是邊上一動點，連接，與關(guān)于EF所在的直線對稱，連接，當點P恰好在直角直角邊的垂直平分線上時，的長為______．【答案】或【分析】分兩種情況①當P落在邊的垂直平分線上時；②當P落在邊的垂直平分線上時；由折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．【詳解】解：①當點在的垂直平分線上時，過點作于點如圖1，則由折疊得，，又；在中，；②當點落在邊的垂直平分線上，且點在線段上時，過點作于點，如圖2則在中，，故答案為：或【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東東莞·八年級虎門五中校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，長方形紙片的邊在x軸的正半軸上，點D與點O重合，點B坐標為，若把圖形按如圖所示折疊，使B，D兩點重合，折痕為．(1)求證：；(2)求的長；(3)求折痕的長．【答案】(1)見解析(2)3(3)【分析】（1）由可得，又由折疊的性質(zhì)可得：，即可證得，即可；（2）根據(jù)點B坐標為，可得，設，則，在中，根據(jù)勾股定理可求出x的值，即可；（3）由（2）可得，可求得點E，F(xiàn)的坐標，即可求得折痕的長．【詳解】（1）解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，∴；（2）解：∵點B坐標為，∴，設，則，在中，，∴，解得：，∴；（3）解：由（2）得：，∴，∴．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【易錯題型六最短路徑問題】1．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，圓柱形容器高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓柱側(cè)面展開，如圖所示，作出A點關(guān)于的對稱點，連接，根據(jù)兩點之間線段最短，可知即為最短距離，然后根據(jù)勾股定理求解．【詳解】解：將圓柱側(cè)面展開，如圖所示，作出A點關(guān)于的對稱點，過點B作于點C，∵形容器高為，點A處離杯上沿，點B處離杯底，∴，，∴，∵底面周長為，∴，根據(jù)勾股定理可得：，故選：C．【點睛】本題考查平面展開，最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)找出最短路徑是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到的距離，再進行比較即可．【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過的路徑的長是，螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過的路徑的長是．，最短路徑的長是．故選A．【點睛】此題主要考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯題型，希望能引起同學們的注意．3．（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4cm，底面是長為5cm寬為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B．則螞蟻經(jīng)過的最短路程_________cm【答案】【分析】最短路線可放在平面內(nèi)根據(jù)兩點之間線段最短去求解，螞蟻爬的兩個面可以放平面內(nèi)成為一個長方形，根據(jù)勾股定理去求解．【詳解】解：的長就為最短路線．如圖1，若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為，如圖2，若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為，如圖3，若螞蟻沿左面和上面爬行，則經(jīng)過的路程為；∵，∴所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是．故答案為：．【點睛】本題考查平面展開-最短路徑問題，勾股定理的應用，關(guān)鍵是把立體圖形能夠展成平面圖形求解．4．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩個側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學過的數(shù)學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最短路徑為________米．【答案】【分析】利用立體圖形路徑最小值為展開平面圖的兩點間距離，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：平面展開圖為：（米），故答案為．【點睛】本題考查立體圖形中兩點間最短路徑問題，通用辦法是展開為平面圖形，兩點間最短路徑為兩點線段長度，利用水平距離和豎直距離得到直角三角形，勾股定理求出兩點線段長度．熟悉立體圖形中兩點間最短路徑問題的計算方法是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東廣州·八年級廣州大學附屬中學校聯(lián)考期中）如圖1，為線段上一動點，分別過點B、D作，，連接、．已知，，，設．(1)用含的代數(shù)式表示的長為________；(2)求的最小值________；(3)根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請模仿圖1在網(wǎng)格中（圖2）構(gòu)圖并求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)(2)(3)圖見詳解，最小值為【分析】（1）由勾股定理即可求解；（2）過點A作，垂足為點F，連接，則有，要使的值最小，則需滿足點A、C、E三點共線即可，即最小值為的長，然后問題可求解；（3）取為線段上一動點，分別過點B、D作，，連接、．已知，，，然后同理（2）可進行求解．【詳解】（1）解：，，和是直角三角形，，，，設，，在中，，在中，，，故答案為：；（2）解：過點A作，垂足為點F，連接，如圖所示：∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，，∴要使的值最小，則需滿足點A、C、E三點共線即可，即最小值為的長，的最小值；（3）解：取為線段上一動點，分別過點B、D作，，連接、．已知，，，如圖所示：設，則根據(jù)勾股定理可得：，∴，同理（2）可知的最小值即為點A與點E之間的距離，∴的最小值為．【點睛】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【易錯題型七利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】1．（2023春·北京·八年級校聯(lián)考期中）如圖，的對角線、交于點，平分交于點，且，，連接．下列結(jié)論中不成立的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等邊三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故A正確；由于，得到，故B正確，根據(jù)，，且，得到，故C錯誤；根據(jù)三角形的中位線定理得到，于是得到，故D正確．【詳解】四邊形是平行四邊形，，，平分，,是等邊三角形，，，，，，故A正確；，，故B正確，，，，，故C錯誤；，，，，故D正確．故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，平行四邊形中，為對角線交點，平分，平分，，，則的長為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】A【分析】延長交于點，先證明，再證明，利用中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，計算即可．【詳解】解：如圖，延長交于點，四邊形是平行四邊形，，，，，，，平分，平分，，，，，，，是的中位線，，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟練運用平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級單元測試）如圖，平行四邊形的對角線相交于點O，且，過O作交于點E，若的周長為，則平行四邊形的周長為____．

【答案】【分析】由四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分、對邊相等，即可得，，，又由，即可得是的垂直平分線，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得，又由的周長為，即可求得平行四邊形的周長．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，，又∵，∴是的垂直平分線，即，∵的周長為，∴，即，∴平行四邊形的周長為；故答案為：．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用．4．（2023春·江蘇常州·八年級常州市第二十四中學?？计谥校┤鐖D，在中，，、分別是與的角平分線，交點為點O，，則___________．

【答案】9【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，，，證明，得出，同理得出，求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∴，∵、分別是與的角平分線，∴，，∴，∴，同理得：，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合．5．（2023春·遼寧鞍山·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，點是對角線的中點，以點為圓心，為半徑作弧，交于點，連接并延長交于點．

(1)求證：；(2)過點作于點，延長交于點，．①求證：；②若，求的長．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②2【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對頂角得到，即可證明；（2）①如圖所示，過作于，交于，過作于，則，則，由三線合一定理得到，，證明，設，則，，即可證明；②先證明，得到，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，則．再證明，得到，即可推出．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵以點為圓心，為半徑作弧，交于點，∴，∴，∴；（2）解：①如圖所示，過作于，交于，過作于，則，

∵，∴，∵，∴，，∵，∴，又∵，∴，設，則，，∴，∴；②∵，，∴，在和中，，∴，∴，

在等腰中，，∴，∴，∵，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，在和中，，∴，

∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【易錯題型八與三角形中位線有關(guān)的求解問題】1．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，對角線、相交于點O，，E，F(xiàn)，G分別是的中點，點N為與的交點．下列結(jié)論：①；②；③平分；④，其中必定正確的結(jié)論是（）A．①②④ B．①③ C．①②③ D．③④【答案】B【分析】①根據(jù)E，F(xiàn)，G分別是的中點得到，，再根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)證明即可；②先證明，然后用反證法證明即可；③先根據(jù)得到，再根據(jù)等要三角形三線合一判斷即可；④若，則可證明，而與不一定相等．【詳解】解：∵E，F(xiàn)，G分別是的中點，∴是的中位線，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，故①正確；∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，又∵點E是的中點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，即．若，則，這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾，故②錯誤；∵，點E是的中點，∴平分，故③正確；∵四邊形是平行四邊形，∴,若，又∵，∴，而與不一定相等，∴不一定成立，故④不正確，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，反證法，以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級?？茧A段練習）如圖，的對角線，交于點，平分交于點，且，，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，成立的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，利用角平分線的性質(zhì)證明是等邊三角形，然后推出，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角、三線合一進行推理即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵平分，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，故①正確；∴，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴E是的中點，∴，∵的對角線，交于點，∴，∴，∴，故③正確；∵，，∴，∵，∴，故④正確，故正確的個數(shù)有4個，故選：D．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等邊對等角、中位線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在證得是等邊三角形．3．（2023春·江蘇·八年級期中）如圖，在四邊形中，已知，M、N、P分別是、、的中點，，，則的度數(shù)為___________．【答案】/23度【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：、N、P分別是、、的中點，為的中位線，為的中位線，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，，，，分別是，，的中點，下列結(jié)論：①；②四邊形是平行四邊形；③；④，其中正確的有_______個．【答案】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①，由中位線定理和直角三角形的性質(zhì)可判斷②④，由平行四邊形的性質(zhì)可判斷③，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，∵BD=2AD，∴BO=DO=AD=BC，且點E是OC中點，∴BE⊥AC，∴①正確；∵E、F、分別是OC、OD中點，∴EFDC，CD=2EF，∵G是AB中點，BE⊥AC，∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB，∴BG=EF=GE，EFCDAB，∴四邊形BGFE是平行四邊形，∴②④正確；∵四邊形BGFE是平行四邊形，∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，∴△BGE≌△FEG（SSS），∴③正確．故答案為：4．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．5．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，點D，E分別是的邊的中點．求證：，且．方法一證明：如圖，過點C作，交的延長線于點F．方法二證明：如圖，延長到點F，使得，連接．【答案】證明見解析【分析】方法一，證明，則，，，，證明四邊形是平行四邊形，則，，進而結(jié)論得證；方法二，證明，則，，，證明四邊形是平行四邊形，則，，進而結(jié)論得證．【詳解】方法一，證明：∵點D，E分別是的邊的中點，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；方法二，證明：∵點D，E分別是的邊的中點，∴，，∵，，，∴，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中位線．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【易錯題型九特殊平行四邊形的折疊問題】1．（2023·陜西西安·高新一中?？既＃┤鐖D，在矩形中，點、分別在邊、上，且，將矩形沿直線折疊，點恰好落在邊上的點處，連接交于點，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：將矩形沿直線折疊，點恰好落在邊上的點處，，，，四邊形是矩形，，，，，將矩形沿直線折疊，點恰好落在邊上的點處，，，，，，，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，正方形中，，點E在邊CD上，且．將沿AE對折至，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證；在直角中，根據(jù)勾股定理可證；通過證明，由平行線的判定可得；由于，求得面積比較即可．【詳解】解：①正確．理由：，，，；②正確．理由：，設，則．在直角中，根據(jù)勾股定理，得，解得．；③正確．理由：，，，是等腰三角形，．又；，，，；④錯誤．理由：，，和等高，，．故④不正確．錯誤的個數(shù)有1個．故選：A．【點睛】本題綜合性較強，考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度．3．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）已知正方形，點是邊上一動點，將正方形沿折疊，點的對應點為點，若是以為底的等腰三角形，則的度數(shù)為______．【答案】15【分析】先連接，即可，進而得到，進而得出是等邊三角形，結(jié)合折疊的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接，，，又，，又，，，又，，是等邊三角形，，又，，．故答案為：．【點睛】本題屬于折疊問題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對應邊相等得出結(jié)論．4．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）如圖①，將一張正方形紙片對折，得到折痕，再折出矩形的對角線．如圖②，將折到上，點A落在上的點處，折痕為．若，則_______．【答案】/【分析】連接，由折紙第一步，可知，在中，根據(jù)勾股定理得出，則．設，則，在和中，根據(jù)勾股定理由不變得出，列出關(guān)于x的方程，解方程求出．【詳解】如圖，連接，∵，則．在中，，則．設，則，在和中，，即，解得，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，折疊問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．5．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷操作一：在正方形紙片的邊上取一點E，沿折疊，得到折線，把紙片展平；操作二：對折正方形紙片，使點C和點E重合，得到折線把紙片展平．根據(jù)以上操作，判斷線段的大小關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．(2)深入探究如圖2，設與交于點I．小華測量發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過思考，他連接，并作的高，嘗試證明，．請你幫助完成證明過程．(3)拓展應用在（2）的探究中，已知正方形的邊長為，當點I是的三等分點時，請直接寫出的長．【答案】(1)，(2)見解析(3)或【分析】（1）作于點J，折疊的性質(zhì)知是線段的垂直平分線，證明，推出即可；（2）證明，推出，證明，推出，再證明，據(jù)此即可得到結(jié)論；（3）設，則，，在中，利用勾股定理列式計算即可求解．【詳解】（1）解：，，理由如下，作于點J，由折疊的性質(zhì)知是線段的垂直平分線，∴，即，∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）解：作的高，由折疊的性質(zhì)知是線段的垂直平分線，且，∴，∴，又，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：設，則，當點I是靠近點A的的三等分點，∴，，∴，在中，，即，解得，∴．同理當點I是靠近點B的的三等分點時，；綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明證明，是解題的關(guān)鍵．【易錯題型十四邊形的動點問題】1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一點且CE=3，連接DE，動點M從點A以每秒2個單位長度的速度沿AB-BC-CD-DA向終點A運動，設點M的運動時間為t秒，當△ABM和△DCE全等時，t的值是（

）A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5【答案】D【分析】分兩種情況進行討論，根據(jù)題意得出BM=2t-4=3和AM=16-2t=3即可求得．【詳解】解：如圖，當點M在BC上時，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM=CE，由題意得：BM′=2t-4=3，所以t=3.5（秒）；當點M在AD上時，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″=CE，由題意得：AM″=16-2t=3，解得t=6.5（秒）．所以，當t的值為3.5秒或6.5秒時．△ABM和△DCE全等．故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．2．（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知在正方形ABCD中，厘米，，點E在邊AB上，且厘米，如果點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上以a厘米/秒的速度由C點向D點運動，設運動時間為t秒．若存在a與t的值，使與全等時，則t的值為（

）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2【答案】D【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論若△BPE≌△CQP，則BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，則BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米進行求解即可.【詳解】解：當，即點Q的運動速度與點P的運動速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，則BP=CQ，BE=CP，∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，∴BE=CP=6厘米，∴BP=10-6=4厘米，∴運動時間t=4÷2=2（秒）；當，即點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B=∠C=90°，∴要使△BPE與△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．∴點P，Q運動的時間t=（秒）.綜上t的值為2.5或2.故選：D．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，解決問題的關(guān)鍵是掌握正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．同時要注意分類思想的運用．4．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，，cm，cm，cm．點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．若運動ts時，則運動時間t的值是______s．【答案】或【分析】分兩種情況：①時，則四邊形為平行四邊形；②時，過點P作交于S，于M，則四邊形為平行四邊形，四邊形為矩形；分別計算即可．【詳解】解：由題意可知，，若，分兩種情況：①時，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，解得：，②時，過點P作交于S，于M，則四邊形為平行四邊形，四邊形為矩形；∴，∴（cm），∴（cm），∴，解得：，綜上所述，當t的值為或時，．故答案為：或【點睛】本題考查了直角梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、分類討論等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點P在邊上以的速度從點A向點D運動，點Q在邊上以的速度從點C出發(fā)，在間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動）．設運動（其中）時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形是平行四邊形，則t的所有可能取值為______．【答案】4.8或8或9.6【分析】根據(jù)平行四邊形的判定可得當DP=BQ時，以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，然后分情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∵以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，∴DP=BQ，當點Q的運動路線是C—B時，則12-4t=12-t，解得：t=0，不符合題意；點Q的運動路線是C—B—C，則4t-12=12-t，解得：t=4.8；點Q的運動路線是C—B—C—B，則12-（4t-24）=12-t，解得：t=8；點Q的運動路線是C—B—C—B—C，則4t一36=12-t，解得：t=9.6；綜上所述，t=4.8s或8s或9.6s時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，故答案為：4.8或8或9.6．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應用．5．（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，，，，點P從點B出發(fā)，沿射線方向運動；點Q從點D同時出發(fā)，沿方向運動，到點A為止，運動的時間為t．

(1)若點P的運動速度為3個單位/秒，點Q的運動速度為1個單位/秒，若運動到以點P、C、D、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，求t的值；(2)若點P的運動速度為m個單位/秒，點Q的運動速度為n個單位/秒，若運動中能使以點P、C、D、Q為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出m、n的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)秒或5秒(2)或【分析】（1）由題意可知，，，分兩種情況討論：①當點P在線段上時；②當點P在線段的延長線上時，表示出的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列方程求解即可得到答案；（2）由題意可知，，，分兩種情況討論：①當點P在線段上時，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，進而求得，即可得到答案；②當點P在線段的延長線上時，先利用勾股定理，求出，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，，再利用勾股定理求出，進而求得，即可得到答案．【詳解】（1）解：平行四邊形中，，，，，由題意可知，，，①當點P在線段上時，此時，，四邊形是平行四邊形，，，解得：秒；②當點P在線段的延長線上時，此時，，四邊形是平行四邊形，，，解得：秒，綜上可知，當t的值為秒或5秒時，以點P、C、D、Q為頂點的四邊形為平行四邊形；（2）解：由題意可知，，，①當點P在線段上時，，四邊形是菱形，，，，，，即；②如圖，當點P在線段的延長線上時，，

四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，在中，，，，，，綜上可知，當或時，以點P、C、D、Q為頂點的四邊形為菱形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【易錯題型十一四邊形的線段最值問題】1．（2023·四川德陽·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的邊長為8，，點E，F(xiàn)分別是，邊上的動點，且，過點B作于點G，連接，則長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接與相交于O，判斷出點O是菱形的中心，連接，取中點M，連接，，則，為定長，利用兩點之間線段最短解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接與相交于O，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴點O是菱形的中心，連接，取中點M，連接，，則，為定長，∵菱形的邊長為8，，∴，由勾股定理可得：，∵M是的中點，∴，在Rt中，，在Rt中，，∵，當A，M，G三點共線時，最小為，故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出，的值．2．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖：是邊長為1的正方形的對角線上一點，且，為上任意一點，于點，于點，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，過作，利用面積法求解，的值等于點到的距離，即正方形對角線的一半．【詳解】解：連接，過作，如圖所示：，，，四邊形是正方形，，，，，，，為中點，，即值是．故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形面積的計算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運用面積法求解是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在