秘密★啟用前

遂寧市高2021級第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)(文科)

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合4二{曰一3<]<2},5={才12+4工一5?0},則AI5=()

A.0B.(-3,1]C.[-1,2)D.(—3,2)

2.復(fù)數(shù)z="+i,則|z|=()

1-i11

A.1B.VIC.2D.4

3.已知向量。=(1,3)%=(—2,—1),貝|向+斗(2；J)=()

A.10B.18C.(-7,8)D.(-4,14)

4.已知命題p:HxeR,2*22%+1,則「夕為()

A.R,2X<2x+lB.eR,2X<2x+1

C.VxeR,2*<2x+lD.VxGR,2X<2X+1

5.甲、乙兩人進(jìn)行了10輪的投籃練習(xí)，每輪各投10個，現(xiàn)將兩人每輪投中的個數(shù)制成如下折線圖:

下列說法正確的是(

A.甲投中個數(shù)的平均數(shù)比乙投中個數(shù)的平均數(shù)小

B.甲投中個數(shù)的中位數(shù)比乙投中個數(shù)的中位數(shù)小

C.甲投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小

D.甲投中個數(shù)的極差比乙投中個數(shù)的極差大

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸人的x值為2023,則輸出的y值為（）

窣

/輸內(nèi)/

1正乃1

/輸即/

1111

A.—B.—C.—D.一

16842

7.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，若勾+生+。9=9，b2b5b8=3A/3，則28=（）

1+b2b8

FT3V3

A.2B.、/3C.-D.一

23

22

8.已知耳，鳥為雙曲線C:0—斗=1（〃〉0B〉0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，若恒司=2區(qū)山,

ab

NA耳工=30°yAF1F2的面積為6省,則C的方程為（）

2222222

A,工-匕=1B.土-匕=1C.工-匕=1D.上-21=1

96366963

9.若直線y=辰與曲線y=lnx相切，則左=（）

1212

A.——B.——C.-D.一

eeee

JT

10.函數(shù)/■（X）=sin（0x+9）［0>oj9|<g］的圖象經(jīng)過點(diǎn)［o,—將該函數(shù)的圖象向右平移巴個單位長

3

度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則0的最小值是（）

11.在正方體A3CD-AB1G2中，下列結(jié)論正確的是（）

A.A3］與AG所成的角為60。B.DB］與AG所成的角為60。

C.A3］與4。所成的角為45。D.。鳥與G2所成的角為45。

22

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，凡是橢圓。：=+以=1伍〉5〉0）的左、右焦點(diǎn)，A3分別為C的左、右頂

ab

點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且尸工，x軸，直線AP與y軸交于點(diǎn)M,直線與尸鳥交于點(diǎn)Q,直線耳。與y軸

交于點(diǎn)N.若|ON|=；|0叫，則C的離心率為（）

1123

A.—B.—C.—D.一

3234

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/（彳）=（。一1）%2+asinx為偶函數(shù)，則。=.

'y<4-x,

14.已知實(shí)數(shù)滿足<y+220,則2x+3y的最大值為.

jVx+2,

15.在正四棱臺A3CD-A與G2內(nèi)有一個球與該四棱臺的每個面都相切，若A3I=2,A3=4,則該四棱

臺的高是.

16.《九章算術(shù)》有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織

尺數(shù)之積.則第十日所織尺數(shù)為？譯為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的

布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所織布尺數(shù)的積?問第10天織布尺數(shù)為

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（―）必考題：共60分.

17.（12分）某工注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計并試運(yùn)行了甲、乙兩條生產(chǎn)線.現(xiàn)對這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行

評估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取了300件進(jìn)行測評，并將測評結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成

如下所示列聯(lián)表:

良優(yōu)合計

甲生產(chǎn)線4080120

乙生產(chǎn)線80100180

合計120180300

（1）通過計算判斷，是否有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？

（2）現(xiàn)對產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步分析，在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品.若

在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求這2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的概率.

附表及公式：

P(K』。）0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-be)2

其中K2=,n=a+b+c+d.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

71

18.（12分）記△ABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,ac,若△ABC為銳角三角形，A=y,,求△ABC

面積的取值范圍.

從①。=26；②b=2這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

19.（12分）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P（2,0）的動直線/與拋物線C:y2=4x相交于A3兩點(diǎn).

UUUUUUL

（1）求。；

（2）在平面直角坐標(biāo)系宜為中，是否存在不同于點(diǎn)尸的定點(diǎn)Q,使得NAQP=NBQP恒成立？若存在，求

出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.（12分）如圖，在三棱柱ABC—451G中，直線G3J_平面ABC,平面叫和。，平面.

B

(1)求證：AC1BBX；

4

（2）若4。=5。=3和=2,在棱$用上是否存在一點(diǎn)P,使得四棱雉尸-3CG用的體積為§?若存在,

指出點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由.

21.（12分）已知函數(shù)/（%）=aY+2sira—xcosx.

（1）若a=0,判斷了（x）在1―上的單調(diào)性，并說明理由；

（2）當(dāng)a＞0,探究“X）在（0,萬）上的極值點(diǎn)個數(shù).

（-）選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在直角坐標(biāo)系中，已知曲線。：必+/=國+丫（其中y〉o）,曲線G：〈'（/為參數(shù)，"0）,

［y=tsina

曲線。2」"=一'sin%（。為參數(shù)，，＞0,0＜。＜2）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐

［y=tcosa2

標(biāo)系.

（1）求C的極坐標(biāo)方程；

（2）若曲線。與G，G分別交于A3兩點(diǎn)，求面積的最大值.

23.［選修4-5：不等式選講］（10分）

（1）解不等式〃x）W5—2x；

（2）令的最小值為T,正數(shù)滿足/+加+2/?=7，證明：a+b＜242-\.

文科數(shù)學(xué)參考答案

1.B2.C3.A4.D5.C6.D7.C8.B9.C10.A11.A12.B

13.014.1115.2#16.21

2

”士匚、八、4M_300X(40X100-80X80)_1000“，八

17.［解析］(1)由w,K，-i9nviQnvi9nviQn-777°4〉2?7°61........................4分

IZUAloU1ZUAloU乙/

因此，有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系...............................5分

(2)記這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的有2件，記為A-Az,產(chǎn)自于乙生產(chǎn)線的有4件，記為

Bi,用，B3,B4.

從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有基本事件有：(A1,A2),(A1,3),(A】，&),(A］，風(fēng))，

(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),

(3,瓦)，(4，64),共15個.

其中，至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的基本事件有9個.

QQ

所以，抽取的2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的概率為得即得.............12分

1b5

18?【解析】若選①，由正弦定理得希=熹=品=吟=4,.........................................2分

sin—

所以6=4sinB,c=4sinC,............................................................................................................3分

)竽

c=4sinC=4sin—B=4(sincosB-cos^sinB)=2V3-cosB+2sinB,5分

所以S^ABC=；6csinA=；X4sinB?(273-cosB+2sinB)?g

=6sinBcosB+27^sin2B...........................................................................................................7分

=3sin2B+73(1—cos28)

—3sin2B—V3~cos2B+V3-

=2^/3sin(2B-y)+73,............................................................................................................9分

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<C=等—且

所以廣3日,

數(shù)學(xué)(文科)試題答案第1頁(共5頁)

所以￡＜2B—￡＜醇Jvsin（2B一冬）＜1,......................................................................11分

b66/\6/

所以2西＜2①sin（2B-J）+V3＜373,

故銳角AABC面積的取值范圍為（2乃,3有1.......................................................................12分

若選②，由正弦定理得仁=4=果......................................2分

sinCsinDsmD

2sin(3+B)_^~cosB+sin_B_如

2sinC_2sin(A+B)

所以C分

sinBsinBsinBsinBtanB1,.............6......

因?yàn)锳ABC為銳角三角形，所以0＜。=專一BV今且OVB＜手,

所以"VB＜與，..............................................................8分

b/

所以tanB〉岑，+.........................................10分

3tanB

所以S/^ABC=^-6csinA=^y-cG

故銳角AABC面積的取值范圍為（斗，29）?......................................................................12分

19.【解析】（1）由題知，直線/與'軸不垂直，

故可設(shè)直線I的方程為了=〃＜y+2,A（?,,y^,BCx2,y2）.

[Y=4z,

由，My2-4：my—8=O............................................................................................2分

[x=my-\-2

顯然，△=16??2+32＞0,

于是'1+y2=4"2,＞"2=-8,處了2=表必必=4...................................................................4分

所以示?麗=皿⑥+，1，2=—4............................................................................................5分

（2）當(dāng)直線軸時，Z：￡=2,A（2,2V^）,B（2,—27^）,

故當(dāng)NAQP=/BQP時，點(diǎn)QC了軸............................................6分

當(dāng)直線I與了軸不垂直時.由拋物線的對稱性知，滿足條件的點(diǎn)QGi軸.設(shè)Q（〃,0）,

由NAQP=/BQP得心Q+上版=0,即^^+^^=0,.................................................8分

—n久2一%

整理得）1（12—九）+”（11—%）=0,即

（my2+2-〃）+“（機(jī)"+2-"）=0,

數(shù)學(xué)（文科）試題答案第2頁（共5頁）

所以2my1y2+(2—n')(^i+3^2)=0.10分

故一16??+4(2―〃)%=0,解得〃=—2.

綜上，存在定點(diǎn)Q（—2,0）滿足條件..............................................12分

20.【解析】（1）在平面BBiGC中作BHLCG于H,

因?yàn)槠矫鍭A1CC平面BB.C.C,

且平面AA1GCA平面BBGC=CG,

所以平面AAiGC,從而..............2分

在三棱柱ABC—AiBiG中，GB，平面ABC,ACU平面ABC,

所以AC±C1B.

又因?yàn)锽QCBH=B，所以AC,平面BBiGC,

因此.................................................................5分

（2）假設(shè)點(diǎn)P存在，在平面AIBJG中，作PM〃AG交3G于M,

則PM〃AC,因?yàn)锳C,平面BBJGC,故PM,平面BBiGC.....................7分

在平行四邊形BCGB1中，因?yàn)镚BLBC,且BC=BC1=2.

所以SDBCC冉=BC-GB=2X2=4.....................9分

144

所以Vp-Bcc^,=^SaBcc1B1,PM=W,PM=f,

所以PM=1........................................11分

因AC=2,所以岑=2.

/x1Oju

故符合條件的點(diǎn)p存在，為AB的中點(diǎn)..........................................12分

21.【解析】⑴當(dāng)a=0時"⑴在（一號，號）上是單調(diào)遞增函數(shù)，......................1分

理由如下：

思路1：依題意，/（了）=2sinz—xcos2"'（z）=,eosx+jcsinx,......................2分

當(dāng)HG]O,告）時,F（Z）=COSz+zsinz〉0;

當(dāng)xG(一5，。)時，cos%>0,isin力〉0,則ff(x)—cosj:+j:sinJC>0,

故iG(一■^■，告)時(1)〉。，

所以/⑺在（一冷冷）上是單調(diào)遞增函數(shù)........................................4分

思路2：依題意，/（無）=2sin>z—1cos=以）51+4山式，........................2分

數(shù)學(xué)（文科）試題答案第3頁（共5頁）

由于A—￡）=―/⑴，則/⑺為奇函數(shù)，故可先判斷”了）在［0號）上單調(diào)性.

當(dāng)a；G］。，"!■，時,/'（工）=cos＜r+jcsinj;＞0,此時“力單調(diào)遞增，

由于了⑺為奇函數(shù)，所以"了）在（一方4）上是單調(diào)遞增函數(shù)...................4分

（2）由=aj?+2sinj:一①cos%,得了'（%）=3QJ?+cosz+zsinz,

依題意，只需探究—（式）=3。12+cos￡+￡sini在（0,兀）上的零點(diǎn)個數(shù)即可.

令〃（2）=/'（1）=3a圮2+（：05比+15由1,貝!!u（JT）=6aj:+jrcosJC=JC（6（2+COSJC）,

（I）當(dāng)6Q＞1,即時，6Q+COS久＞0,此時？/（久）》0在［0,兀）恒成立，

6

則〃（力）即/（］）單調(diào)遞增，故刑（1））即（0）=1,

此時/（G在（0,兀）上無零點(diǎn)，則/（尤）在（0,冗）上的極值點(diǎn)個數(shù)為0..................6分

（H）當(dāng)0V6QV1,即0VaV±時，三ioG（0,兀），使得xQ（6Q+COS1O）=0,即cosi。=—6Q,

6

可知OViVio時，〃'（力）〉0；々＜迎＜兀時，/（z）＜0,

所以〃（i）即//（久）在（0,￡（））上單調(diào)遞增，在（久。,式）上單調(diào)遞減，....................8分

由于/（0）=lj'（7t）=3aY—1,

①若/'（n）=3.2—1＞0,即工＜。＜《時"'（久）在（0.K）上沒有零點(diǎn)，

37ro

所以"（7）在（0,“）上的極值點(diǎn)個數(shù)為0..........................................10分

②若/'（n）=3an2—1V0,即0＜aV工時，/'（H）在（0,“）上有1個零點(diǎn)，

O7t

所以，/（了）在（0,“）上的極值點(diǎn)個數(shù)為1.

綜上所述：當(dāng)裊時，了（了）在（0,n）上的極值點(diǎn)個數(shù)為0；0＜々＜工時，/（7）在（0,無）上的

3兀-37r

極值點(diǎn)個數(shù)為1................................................................12分

22.【解析】（1）因?yàn)镽=pcos0,j/=psin6,

由比2+62=111+）,得02=ipcosj］+psin。..................................2分

由V〉。知，p=〉。，且2）?！?〈2后》+兀,

故p=|cosj|+sinj,2上式〈?！?6兀+兀,左GZ........................................4分

（范圍寫成0＜6＜/不扣分）

fjC=ZCOSQ,

（2）曲線G：＜（方為參數(shù)“＞0）的極坐標(biāo)方程為e=a,

［j/=，siriQ

數(shù)學(xué)（文科）